冀教版数学八上17.3实数word教案一

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《实数》教案

第一组：1／2 ，5／8， 3／20，3／16，7／20，9／5，7／25第二组：1／7， 5／11，8／21，3／27，2／9，4／21，3／7第三组：1／6， 3／8， 5／12，7／15，1／12，6／35，8／45学生开始分组进行探究，每组学生使用计算器计算。

师：从第一组找一个代表，在黑板上写出答案；生：写第一组答案：0.5；0.625；0.15；0.1875；0.35；1.8；0.28师：其它同学和他的一样吗？生：齐答：一样。

师：下面请第二组同学找一个代表来写一下第二组答案。

生：写第二组答案：0.142857；0.45；0.380952；0.304347……；0.2；0.190476；0.428571师：很好，同学们作的很认真。

其它同学和这个同学的一样吗？生：我认为3／27=0.304347826086956527391，后面不能用省略号，它也是一个小数。

师：这位同学计算得非常认真。

结果也是正确的。

大家为他这种不怕困难，永于挑战的精神鼓掌。

生：齐鼓掌。

师：我们发现,上面的理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即, , , , ,归纳任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。

反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数观察通过前面的探讨和学习,我们知道,很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数, 也是无理数结论有理数和无理数统称为实数试一试把实数分类像有理数一样,无理数也有正负之分。

例如, , 是正无理数, , , 是负无理数。

由于非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类:我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示。

无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢?探究如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O′,点O′的坐标是多少?总结1、事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,这就是说,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数1、与有理数一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大讨论当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗?总结数的相反数是,这里表示任意一个实数。

实数精品教案设计（通用5篇）

实数精品教案设计（通用5篇）2022-03-22作为一名为他人授业解惑的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。

那么应当如何写教案呢？以下是小编精心整理的实数教案设计，欢迎阅读与收藏。

实数教案设计篇1教学目标●知识与技能目标（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。

（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算。

（3）正确运用公式：（≥0，≥0）（≥0，＞0）这两个公式，实际上是二次根式内容中的两个公式，但这里不必向学生提出二次根式这个概念。

●过程与方法目标（1）通过具体数值的运算，发现规律，归纳总结出规律。

（2）能用类比的方法解决问题，用已有知识去探索新知识。

●情感与态度目标由实例得出两条运算法则，培养学生归纳、合作、交流的意识，提高数学素养。

教学重点（1）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，能在实数范围内正确运算。

（2）发现规律：（≥0，≥0）（≥0，＞0）教学难点（1）类比的学习方法。

（2）发现规律的过程。

教学准备：教材、、电脑。

电脑软件：Word，Powerpoint。

教学过程第一环节：复习引入（2分钟，学生通过回答问题，回顾旧知）问题1 ：有理数中学过哪些运算及运算律？答：加、减、乘、除、乘方，加法（）交换律、结合律，分配律。

问题2：实数包含哪些数？答：有理数，无理数。

问题3：有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能继续使用？答：这是我们本节课要解决的新问题。

实数教案设计篇2一.教学目标知识与技能目标：掌握实数运算的法则和运算顺序，会用计算器进行简单的混合运算，并解决一些简单的实际问题。

过程与方法目标：通过回顾有理数的运算法则和运算律，了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。

情感与态度目标：通过计算器的使用，提高学生的应用意识；通过对实际问题的解决，体验数学的应用性特点。

2021年冀教初中数学八上《实数》教案 1)

合作探究、展示交流
1
一、预习导航 1.有理数包括
和分数.
2.小数分为
小数和无限小数，无限小数分为无限循环小数和
3.如果 m 是 2 的算术平方根，则 m=
二、合作探究、展示交流：探究一
(1) 22 =
， 12 =
，02 =
， (− 2)2 = ， (−1)2 =
整数的平方是整数，有平方等于 2 的整数吗？
值是它本身.：一个负实数的绝对值是它的相反数.：0 的绝对值是 0
(3)倒数:非零实数 a 的倒数是 1 . a
2
三、巩固练习
形式.(2)将下列分数写成小数形式.
−1 =
3=
2
4
−1 = 3
分数可以写成
小数或
小数.
归纳:有理数包括整数和分数.总可以表示成有限小数或无限循环小
数.反过来,有限小数或无限循环小数也都是有理数.
小组交流：(1) 2 、π 都是
小数.这样的数有很多,
如: 3 2 7 , 20 ，− 5 ，0，0.3737737773……（每两个 3 之间 7 3
的个数逐次多 1）.
(2)
(3)
和
叫做无理数. 统称为实数.
归纳：1.无理数存在的三种形式：开方开不尽的数。如 3 2 、 7 等.；
看似循环,实际上不循环的小数.如 0，0.3737737773……（每两个 3 之
间 7 的个数逐次多 1）；圆周率 π 及一些含 π 的数.如 π、、3π 等. 2
自我展示： 1.判断下列说法是否正确,错的请改正. (1)无理数都是带根号的数.（） (2)带根号的数都是无理数.( ) (3)两个无理数的和是无理数.( ) 2.在下列各数中，那些数是有理数，哪些数是无理数、实数？(填序号)

八年级数学上册实数运算教案冀教版

《》教案设计一、教学目标（－）知识目标1．了解有理数的运算法则在实数X 围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数X 围内正确计算.);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a ba . 4.了解二次根式和最简二次根式的概念.（二）能力目标1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.（三）情感目标通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。

二、教学重点难点用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数X 围内正确进行运算.发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a ba .并能用规律进行计算. 类比的学习方法.发现规律的过程.三、教学设想实数的运算是初二教材的第十七章内容。

本节课的内容涉及二次根式的化简及乘除法运算，结合前面讲过的平方根，导入二次根式概念，确定二次根式有意义的条件，同时把握二次根式的内涵，让学生正确认识二次根式。

利用探究让学生体会二次根式化简及乘除法运算法则的产生过程，归纳性质和规律。

正确认识性质和规律的可逆性。

通过例解和练习，让学生体会二次根式化简及乘除法运算的过程，从而认识最简二次根式的含义，明确最简二次根式所必备的两个基本条件。

当分母存在二次根式是，可根据需要对分母进行有理化。

四、教学过程一、情景引入如图，一边长为3m 的正方形花坛，要在其中一条对角线AC 上单独种植某种花卉，相邻两棵树之间相距 m ，问需要这种花卉多少棵？析解：对角线AC 的长为：m ，所需棵树为（÷ +1）棵。

那么到底如何进行计算呢？二、师生互动 (0a ≥)的式子叫做二次根式说明：1.被开方数大于0；2.根指数是2；练习：指出下列哪些是二次根式？C BD218218()51()32-()3213()()04≥b b ()()225≥-a a ()()b a b a 〈-6()3257m ()182+x（二）探究（1）它们的值是多少？通过观察类比得出：（三）探究（2）它们的值是多少？通过观察类比得出：练习：（四）例题讲解化简：解：()=22()=24()=20=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231()=217a a =2)(（a ≥0） ()=⨯2541=⨯254()=⨯1692=⨯169()=2543=254()=36254=3625)0,0(≥≥•=•b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b a ()821　⨯()6723()827322⨯()58514÷8)1(50)2(2224248)1(=⨯=⨯=2522522550)2(=⨯=⨯=练习：化简下列各值：（五）小结：1(0a ≥)的式子叫做二次根式说明：1.被开方数大于0；2.根指数是2；2、3、（六）布置作业：24)1(1698)2(75.0)4(52)3(a a =2)(（a ≥0）)0,0(≥≥•=•b a b a b a )0,0(>≥=b a b ab a。

八年级数学上册第十七章实数复习教案冀教版

第十七章实数回顾与反思〖教学目标〗（－）知识目标1用对比的方法复习概念2.熟练实数的运算（二）能力目标1．引导学生梳理和归纳本章内容，把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系2.通过典型问题的分析，对重点知识有进一步的认识.（三）情感目标通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果,对学生进行爱国主义教育.〖教学重点〗1．无理数、实数概念的理解2．实数的运算〖教学难点〗无理数的概念的理解〖教学过程〗一、课前布置1.阅读P121~P122回顾与反思，自己尝试着归纳本章的内容. 整理出本章的难点、重点，找出自己的疑点，盲点，出错点.2.查阅“圆周率π”有关资料圆周率π趣闻在日常生活中，人们经常与π打交道。

自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。

当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。

”中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。

根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。

在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。

西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。

东汉张衡(公元78-139年)认为π=10=3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。

三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。

他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。

数学：17.3《实数》课件(冀教版八年级上)

a ( a 0 ) | a | 0(a 0) a ( a 0)
棋牌1880年在英国创立，英文名称：Halma（希腊文“跳跃”的意思），最初的棋盘是正方形的，共有256格，开始时棋子分布在四个角落，以最快跳到对角为目标，规则和中国棋牌雷同。不久就有人改成星形棋盘，由一间德国公司Ravensburger取得专利，称为Stern-Halma。20世纪30年代起在美国开始流行，并改了Chinese Checkers（中国棋牌）的名字。当这种棋子传到中国时，称为波子棋，实质上棋牌并不是起源于中国。； / 大地棋牌 jbh02lcf 棋牌是世界上最古老、最普及的智力游戏之一。关于棋牌的第一本书早在1531年就已经在威尼斯出版。在棋牌基础上发展起来的国际棋牌在许多国家受到欢迎。国际棋牌联合会已经有50多个会员国。些，她心中那些不切实际的想法，也就渐渐地暂时放了下来。只是从今以后，再也不会弹筝罢了。冰凝暗暗下定了决心。不出众人所料，冰凝顺利地通初选、复选，明天就是终选，尘埃落定的日子。第壹卷第三十四章变天王爷早就知道今天这个重要的日子，因此，提前好几天就安排好了手下，壹待选秀结束立即通知他，因为他要壹刻都不能耽误，立即请皇阿玛赐婚。由于已经知道了入选秀女名单，他并没有什么紧张情绪，相反倒很是神闲气定，唯壹就是觉得时间过得太慢了。此刻他正在衙门里跟下属商量最近的事情，忽然，秦顺儿壹反常态地由外面直接冲进了屋子，而不是象往常那样先在门外请示：“爷，爷，大事不好了。”“什么事情这么慌里慌张的，怎么这么不懂规矩！这么多大人在这里，本王的脸都让你给丢尽了！”“爷，真的出事儿了！”秦顺儿顾不得王爷冲他发火，急急火火地回着话，可是，见这屋子的人，他又不能当着众人的面说出来，急得面红耳赤，手足无措。本来壹路小跑过来就已经汗流浃背，再这么壹着急，仿佛那脑袋顶上都在蒸着热汗。壹向办事机灵的秦顺儿此时这么反常，王爷也知道可能真是有什么事情，但是当着这么多的大臣，他又不便问内容，只好满怀歉意地对在场的人说：“各位大人，本王有点儿急事儿，暂且离开壹会儿，请各位先行商议，待本王处理完再予商讨。”“好的，王爷，您先忙，在下先行商议就是。”出了屋子，还不待王爷发话，秦顺儿就附上王爷的耳朵：“爷，今天万岁爷亲自参加了！”“参加了什么？”“选秀啊！”“你说什么？”“万岁爷亲自参加了选秀！”壹听这话，他浑身的血液齐齐地直往头上涌！皇阿玛将近有三十来年没有亲自参加过选秀，全都委托了佟贵妃娘娘，为什么这壹次突然亲自参加了？这个出乎意料的情况，几乎将王爷震惊了！虽然年姑娘家世显赫，不应入了皇阿玛的法眼，但是，亲自面试的变数就太大了。就凭玉盈姑娘弹得这壹手好筝，他也能知道，她是壹个极具才情的人！再加上年家花重金请来嬷嬷进行了亲传身教，玉盈该是壹个多么出色的秀女，被皇阿玛留牌的可能性太大了！越想，王爷越是不敢往下想，越想，他越是冷汗淋漓，这个情况大大出乎他的意料，将他的如意算盘全部打乱，第壹次，他深深地陷入了绝望之中。本次选秀，前几轮都是由佟佳贵妃、惠妃、宜妃、德妃几个轮流主持，对于今天的终选，皇上根本没有打算参加。佟佳贵妃既是目前后宫中位份最高的妃子，也是皇上的表妹，更是已故先皇后孝懿皇后的亲妹妹。原本她只是按往常的惯例，客气地前来请皇上主持秀女的终选，皇上壹如既往地推说公务繁忙，信得过佟贵妃，就不参加了。以往也是如此，她也就没有深劝，只好

八年级上17.3 实数(一)教案(冀教版)

一、课题名称二、教学目标
§17.3 实数（一）
课型
新授课
1、了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用． 2、能利用实数的运算法则与运算律进行有关实数的简单运算．
三、教学重点、能利用实数的运算法则与运算律进行有关实数的简单运算．难点利用实数的运算法则进行化简．四、教学手段五、教学方法六、教学过程探究讨论、讲练结合教学内容教学活动教学建议教学评价一、实数和有理数一样，教师直接告诉可以进行加、减、乘、学生．除、乘方运算．做一做：（1） 4 9 ＝鼓励学生计算、归纳、交流，自 4 9 ＝己总结得出结论． 4/ 9＝
关注学生运用法则和运算律进行化简的能力．
（4） (3 3 2)( 3 1) 三、练一练 1、判断：（1） (2) (7)
关注学生的理解能力和应用能力．
(2) (7)
(2) 9 16
9 16
七、练习设计
(3) 2 3 3 2 5 5 (4) 2 3 3 3 6 3
虽然有的学关注学生生表述的不的归纳、总结是很完整，很能力、语言表准确，但教师达能力．都应给与肯定和鼓励．应该让学生进行充分的说理．关注学生运用学生按照老师法则进行化简举例的步骤进的能力，及对行化简．建议让学生每一步进行说对每一步进理的能力和语行说理言表达能力．引导学生回忆关注学生的类有理数的运算比能力．法则与运算律，用类比的方并对在实数中法，引入实数的应用进行举的运算律．例说明．
学生独立完成
可引导学生从以下几方面总结： 1、本节课有哪些新收获？ 2、还有哪些疑问与困惑？例2

冀教版数学八年级上教案：第十四章实数

第十四章实数1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.2.会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求数的平方根与立方根.3.了解无理数和实数的概念,了解实数与数轴上的点的一一对应关系.4.了解在实数范围,相反数、倒数和绝对值的意义.5.会进行实数大小的比较和实数的近似计算.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.1.类比有理数的有关概念和运算律来学习实数,体现了知识的前后联系以及数系发展的规律.2.让学生感受现实生活中存在无理数,从而认识到学习无理数的必要性.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,增加学生的自我意识和集体责任感.本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.本章通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.学习本章之后,数的范围扩充到了实数,今后若无特别说明,所研究的数与代数的内容(一元一次不等式、二次根式、函数等)一般都在实数范围内进行.因此,本章内容是学习后继内容的前提和基础,对于发展学生的数感、用数学思想理解和解释现实问题、提高学生的数学素养有着重要的意义.另外,本章是中考的重要内容,常考的考点有求一个非负数的算术平方根、平方根的概念和性质、立方根的意义及运算、比较两个实数的大小、无理数的识别等.题型以填空题、选择题为主,也有与其他知识相综合的解答题,一般难度不大.【重点】1.平方根、算术平方根的意义,立方根的意义.2.无理数的意义以及实数的概念.【难点】1.平方根、算术平方根的概念,二者之间的区别和联系.2.实数的概念.1.概念的形成过程也是一个思考的过程,所以要关注学生对概念的理解和认识,引导学生积极参与探究活动,经历归纳概括、发现新知的过程,逐步提高学生的思维水平.2.关注学生的探究和发现过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.3.注意知识间的相互联系和区别,实数的概念、运算法则、运算律等,都可以通过类比有理数来获得,这样能较好地体现新旧知识的联系.如实数的绝对值、相反数和倒数等概念都是类比有理数直接得出的.同时,也要注意到它们之间的区别,如无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数,有理数和数轴上的点不是一一对应的,而实数和数轴上的点是一一对应的等.4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.5.在解决实际问题的过程中,如果遇到复杂的计算问题,应允许学生用计算器进行计算.6.在进行实数的大小比较以及用有理数估计无理数的范围等问题中,要控制好问题的难度,不要超出教材的要求.14.1平方根2课时14.2立方根1课时14.3实数3课时14.4近似数1课时14.5用计算器求平方根与立方根1课时回顾与反思1课时14.1平方根1.了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义.2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根.1.通过探究,了解开平方与平方是互逆运算.2.会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根和算术平方根.通过学习,体验数学知识来源于实践,是由于生活或生产的需要而产生、发展的.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.第课时1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.3.知道±表示的是非负数a的平方根.在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.【教师准备】课件1~7.【学生准备】平方的相关计算.导入一:我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.[设计意图]新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.导入二:小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.几秒之后提问:同学们,你们知道吗?[设计意图]设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题.导入三:玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125 dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.[设计意图]好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.活动一:做一做——感知平方根[过渡语]通过导入一我们知道当护栏的边长是10 m时,正方形花圃的面积是100 m2,也就是102=100.下面我们再来看几个问题.思路一【课件1】1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?3.满足x2=25的x的值是多少?解:1.,100.2.,-,10,-10.3.5,-5.教师说明:因为52=25,所以x=5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25.因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.例如:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10都是100的平方根.你能说出49,144的平方根吗?(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)[设计意图]使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.【课件2】填写下表:-1 0 1 3 …x…-3-x2……学生填完表格后,引导学生观察:(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?(4)负数有平方根吗?学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:(1)它们的平方相等.(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(3)0有一个平方根,是0本身.(4)负数没有平方根.说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“±”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如记作,读作“根号a”;±记作±,读作“正、负根号a”.【课件3】观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.[设计意图]理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.思路二说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10 m.教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.因为52=25,所以5是25的一个平方根.说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)【课件4】求100的平方根.问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?问2:你能正确书写解题过程吗?解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根为10或-10(也可以写成±10).说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.【课件5】试一试.(1)144的平方根是什么?(2)0.0001的平方根是什么?(3)0的平方根是什么?讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律?总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根是0.由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.[设计意图]进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.问1:-4有没有平方根?为什么?学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.结论:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根只有一个,为0.3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.)问2:a有没有平方根?为什么?结合问1:当a≥0时,a有平方根;当a<0时,a没有平方根.[设计意图]引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.说明:正数a的两个平方根记为±,其中a叫做被开方数.如4的平方根为±,被开方数是4;0.01的平方根为±,被开方数是0.01.活动二:例题讲解[过渡语]我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.【课件6】求下列各数的平方根.(1)81;(2);(3)0.04.指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9. (2)因为,所以的平方根为±,即±=±.(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±=±0.2.教师规范书写格式. 思考:±表示什么意思,这里的a 可取什么样的数呢?-又该怎样理解呢?这里的x 又可取什么样的数呢?学生讨论回答. 【课件7】(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.-64,0,(-4)2.学生分组讨论,选派一名代表回答.解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是±4.[知识拓展] (1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数m 和指数2,求幂,是平方运算,即m 2=(?);②已知幂a 和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.[设计意图] 通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.平方根的定义一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根.表示方法当a 为正数时,a 的平方根为±.平方根的性质(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(2)0只有一个平方根,是0本身. (3)负数没有平方根.1.(2015·黄冈中考)9的平方根是 ( )A.±3 B .± C.3 D.-3 解析:9的平方根是±=±3.故选A.2.(2015·威海模拟)(-2)2的平方根是 ( )A.-2B.2C.±2D.4解析:(-2)2=4,4的平方根为±2.故选C. 3.下列说法正确的是 ( ) A.-81的平方根是±9B.任何数的平方是非负数,因而任何数的平方根也是非负数C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数D.2是4的平方根解析:A.由于负数没有平方根,故A选项错误;B.任何数的平方为非负数,正确,但只有非负数才有平方根,且平方根有正负之分(0的平方根为0),故选项B错误;C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数,不一定正确,如:当0<a<1时,>a,故选项C错误;D.2的平方是4,所以2是4的平方根,故选项D正确.故选D.4.下列各数中没有平方根的是()A.0B.-82C. D.-(-3)解析:A.0的平方根是0,故错误;B.-82=-64<0,没有平方根,故正确;C.,有平方根,故错误;D.-(-3)=3,有平方根,故错误.故选B.5.“4的平方根是±2”翻译成数学语言是()A.=±2B.-=-2C.-=2D.±=±2解析:4的平方根是±2,可以写成±=±2.故选D.6.下列说法正确的是()A.0.25是0.5的一个平方根B.72的平方根是7C.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0D.负数有一个平方根解析:A.±=±0.25,故A错误;B.±=±7,故B错误;C.一个正数的平方根互为相反数,互为相反数的两个数的和为0,故C正确;D.负数没有平方根,故D错误.故选C.7.求下列各数的平方根.(1)0;(2);(3).解析:直接进行开平方运算即可.注意0的平方根为0,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.解:(1)0的平方根为0.(2)的平方根为±=±.(3)的平方根为±=±.8.一个正数x的平方根是3a-4与8-a,则a和这个正数是多少?解析:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得出3a-4+8-a=0,求出a的值,即可求出答案.解:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得3a-4+8-a=0,解得a=-2,即3a-4=-10,则这个正数为(-10)2=100.第1课时活动一:做一做——感知平方根活动二:例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第62页练习第1,2,3题.2.教材第62页习题A组第1,2,3,4题.【选做题】教材第63页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.3的平方根是()A.9B.C.-D.±2.以下叙述中错误的是()A.±=±0.5B.±=0.5C.0的平方根是0D.1是1的平方根3.的平方根是()A.±B.±C.D.4.若x满足x2=,则x的值为()A. B.- C.± D.±5.下列说法正确的是()A.-4是-16的平方根B.4是(-4)2的平方根C.(-6)2的平方根是-6D.的平方根是±4【能力提升】6.求下列各数的平方根.(1)36;(2);(3)1;(4)1;(5)0.09.7.已知(a-2)2+|b-8|=0,求的平方根.8.求下列各式中的x的值.(1)4(x-1)2=25;(2)9(x2+1)=10.【拓展探究】9.已知x2+2015的一个平方根是,求x2的平方根.10.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+3n的平方根.【答案与解析】1.D(解析:∵(±)2=3,∴3的平方根为±.故选D.)2.B(解析:±表示0.25的平方根,为±0.5,故B错误.故选B.)3.A(解析:∵,∴的平方根是±,∴的平方根是±.故选A.)4.C(解析:∵x2=,∴x=±.故选C.)5.B(解析:A.因为-16<0,所以-16没有平方根,故A选项错误;B.因为(-4)2=16,42=16,所以4是(-4)2的平方根,故B 选项正确;C.因为(-6)2=36,所以(-6)2的平方根是±6,故C选项错误;D.因为=4,所以的平方根是±2,故D 选项错误.故选B.)6.解:(1)∵(±6)2=36,∴36的平方根是±6,即±=±6.(2)∵,∴的平方根是±,即±=±.(3)∵(±1)2=1,∴1的平方根是±1,即±=±1.(4)∵±2==1,∴1的平方根是±,即±=±.(5)∵(±0.3)2=0.09,∴0.09的平方根是±0.3,即±=±0.3.7.解:∵(a-2)2+|b-8|=0,∴a=2,b=8,∴,∴±=±.8.解:(1)4(x-1)2=25,开平方得2(x-1)=±5,解得x=3.5或-1.5.(2)9(x2+1)=10,9x2=1,x2=,x=±.9.解:根据题意得x2+2015=2016,即x2=1,则1的平方根为±1.10.解:∵2m+2的平方根是±4,∴2m+2=16,解得m=7.∵3m+n+1的平方根是±5,∴3m+n+1=25,即21+n+1=25,解得n=3,∴m+3n=7+3×3=16,∴m+3n的平方根为±4.本堂课一开始直接从现实生活中提出问题,由问题引入新知识,从而激发学生研究问题、解决问题的欲望.然后在一系列练习中提出问题,直观地得出一个非负数的平方根的特点,加深对概念的理解,其间不断组织学生自主思考、互相交流,培养学生独立思考的能力和团队协作的精神.1.对于平方根性质的得出,教师没有进行适当的归类,在知识的总结上学生感觉到吃力.2.教学的过程中,在求平方根的时候,部分学生书写还不够规范,教师示范不够到位.3.教材中涉及的求平方根的计算题,都是直接能够得到有理数的,没有体现知识的拓展和迁移,知识呈现过于局限.1.对于平方根性质的得出,教师要在设计题型上进行归纳,多举些例子,让学生发现、总结规律.2.在规范书写格式上,教师要通过多媒体展示、个别指导等方式,通过练习,使学生的书写格式做到规范.3.对于平方根的计算,可出几个开平方开不尽的数,如求2的平方根等,使学生认识到2的平方根就是±,不能再进行化简.练习(教材第62页)1.±6±7±11±0.4±0.08±1042.解:(1)±=±5.(2)±=±12.(3)±=±0.7.(4)±=±0.9.(5)±=±.(6)±=±.3.解:(1)12是144的平方根.(2)169的负的平方根是-13.(3)±0.3不是0.9的平方根.因为(±0.3)2=0.09≠0.9,所以±0.3不是0.9的平方根.习题(教材第62页)A组1.解:第一行依次填±0.3,±7,±14.第二行依次填25,64,.2.解:(1)正确.因为12=1,所以1是1的平方根.(2)不正确.因为(±1)2=1,所以1的平方根是±1.(3)不正确.因为(-2)2=4,(-2)2的平方根即为4的平方根,所以(-2)2的平方根为±2.(4)不正确.因为-1没有平方根.3.解:(1)±=±15.(2)±=±40.(3)±=±.(4)±=±0.6.(5)±=±0.12.4.解:设较大的鱼池的边长为x m,根据题意得x2-602=4500,即x2=8100,因为(±90)2=8100,所以x=±90,又因为x>0,所以x=90.答:这个较大的鱼池的边长为90 m.B组1.解:(1)±=±.(2)±=±140.(3)±=±1.7.(4)±=±10-3.2.解:设每块地板砖的边长是x m.根据题意得50x2=18,解得x2=0.36,因为(±0.6)2=0.36,所以x=±0.6,又因为x>0,所以x=0.6.答:每块地板砖的边长为0.6 m.教学时通过情境使学生认识到平方根产生于实际需要,对于开平方这一运算要多与平方运算相联系,从根本上理解开平方运算.让学生体会用平方运算求一个非负数的平方根,用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程.对于平方根的性质,要让学生自己去发现规律并用自己的语言加以表述,从而加深对平方根概念的认识.尽量让学生多举一些求平方根的例子,自己总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;一个负数没有平方根”.求下列各式中的x的值.(1)x2+5=7;(2)2(x-1)2-8=0.〔解析〕(1)根据移项法则把原式化为x2=2的形式,根据平方根的概念解答即可;(2)根据移项法则把原式化为(x-1)2=4的形式,根据平方根的概念解答即可.解:(1)x2+5=7,x2=7-5,x2=2,x1=,x2=-.(2)2(x-1)2-8=0,2(x-1)2=8,(x-1)2=4,x-1=±2,x1=3,x2=-1.(1)正数x的平方根为a+2和2a-8,求x的值;(2)如果a+3与2a-15是m的平方根,求m的值.〔解析〕(1)根据一个正数的平方根互为相反数列式求出a的值,再求(a+2)2即可;(2)这两个平方根互为相反数或相等,分别列式进行求解即可.解:(1)根据题意得a+2+2a-8=0,解得a=2,所以x=(a+2)2=(2+2)2=16.(2)①当a+3与2a-15是同一个平方根时,a+3=2a-15,解得a=18,此时m=(18+3)2=441;②当a+3与2a-15是两个平方根时,a+3+2a-15=0,解得a=4,此时m=(4+3)2=49.如果x<0,y>0,x2=4,y2=9,求x+y的值.〔解析〕根据x<0,y>0,x2=4,y2=9,就可确定x,y的值,进而求解.解:∵x2=4,y2=9,∴x=±2,y=±3,又∵x<0,y>0,∴x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.【重点】算术平方根的概念和性质.【难点】对算术平方根意义的理解.【教师准备】课件1~6.【学生准备】复习平方根的意义以及平方根的性质.导入一:【课件1】学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师:怎样算出画布的边长为5 dm的呢?(思考1分钟)【课件2】填表:正方形面积 1 9 16 36正方形边长教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.[设计意图]从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫.导入二:同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.[设计意图]“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路.导入三:【课件3】1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少?(2)-7和7是哪个数的平方根?(3)正数m的平方根怎样表示?(4)求下列各数的平方根.①64;②0;③(-0.4)2;;⑤16;⑥(-4)3.2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?解:设正方形的边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,得x=±.因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是.[设计意图]复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备.。

数学翼教版《17.3实数》教案2(八年级上)

可引导学生从以下几方面总结：
1、本节课有哪些新收获？
2、还有哪些疑问与困惑？
关注学生灵活运用知识的能力，交流的积极性．
关注学生的理解能力和应用能力．
根据学生自身情况，总结出任意的一点，教师都应加以表扬与鼓励．
八、板书设计
课题
复习提问例1 例2 练一练
九、教学反思
一、课题名称
17.3 实数（二）
课型
新授课
二、教学目标
熟练运用实数的运算法则和运算律对被开放数含有分母和开的尽的因数的实数进行化简．
三、教学重点、难点
对被开放数含有分母和开的尽的因数的实数进行化简．
对被开放数含有分母实数进行化简．
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
探究讨论、讲练结合
六、教学过程
教师强调说明
让学生讨论，寻找解决这种问题的方法，并进行交流、总结．
要求学生模仿例子按步骤完成．
对于有困难的学生教师可给与必要的指导．
通过几个练习进行复习．
引导学生反用法则，理解字母的取值范围．
重点在于让学生明白算理．
可再采用书上的引教师给与必要的指导．
学生先口头分析交流，在独立完成题目．
关注学生对知识的巩固情况．
关注学生的理解能力．
关注学生的理解能力、探究意识、归纳总结能力．
关注学生的运算能力和理解能力．
七、练习设计
例2化简：
（1）
（2）
（3）
学生讨论完成
教师进行指导
学生独立完成，教师进行指导．
学生小结谈收获教师加以总结．
学生自己摸索做题再交流，同时发挥四人小组的作用．
教学内容
教学活动
教学建议
教学评价

17.3.2实数教学设计.doc

“ § 17-3实数（第二课时）”教学设计——青龙满族自治县大石岭总校张志军（132********）【教材分析】本节是冀教版八年级数学上册第17章第3节第2课时的内容，本章内容在整个初中阶段“数与式”这一部分占有相当重要的比例。

本节内容是在学习无理数后，使数的范围由有理数扩大到了实数，使学生在初中阶段对数的范围有了一个较完整的认识。

在此之前，学生已经学习了可以利用类比有理数的方法在实数范围内了解相反数、绝对值、倒数的意义，本节课也是利用有理数的有关知识点探讨得出在数轴上表示无理数以及实数的大小比较的。

【教学目标】1、通过自主学习中的“新知探究”，使学生能够理解无理数在数轴上的表示方法。

2、通过自主学习，使学生能够理解实数和数轴上的点是一一对应的，并会用有理数估计一个无理数的大致范围。

3、通过合作探究，使学生能够对实数进行大小比较。

【教学重难点】重点：无理数在数轴上的表示以及实数大小比较的方法。

难点：无理数在数轴上的表示。

【教学方法】本着“以学生为”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了自主发现、合作探究的教学方法，按照“实践一一认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

【教学具准备】刻度直尺、圆规、导学卡、投影仪、多媒体课件。

【教学流程】教学环节师生活动教学手段设计意图时间分配情境导入师：我们在数的王国里又认识了一个新的成员——无理数，这样就将数的范围由有理数扩大到了实数。

我们知道有理数可以用数轴上的点来表示，那么无理数能用数轴上的点来表示吗？怎样较准确地找到它所在点的位置？无理数加入后，实数的大小又怎样进行比较？这节课我们就来探讨这些问题。

（板书课题）老师表述联系所学知识，设置疑问，调动学生的学习积极性，激发学生探究的欲望。

2分钟课前热身（师：在学习本节课内容之前，我们先来热热身大家集体起立，对桌互考一下下面的知识点，计时3分钟）【旧知回顾】1、数a的相反数是（）；2、一个正实数的绝对值是（）；一个负实数的绝对值是（）；0的绝对值是（）。

《实数》精品教案

《实数》精品教案一、教学内容1. 实数的定义及性质2. 无理数的理解与表示3. 实数的分类及数轴上的表示4. 实数的四则运算法则及性质二、教学目标1. 理解实数的概念，掌握实数的分类及性质。

2. 学会表示无理数，理解无理数在数学中的意义。

3. 能够运用实数的四则运算法则进行混合运算，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：无理数的理解与表示、实数的混合运算。

教学重点：实数的定义、性质及分类，实数与数轴的关系。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入实数概念，例如：测量物体长度时，无法得到一个精确的整数，从而引出实数的定义。

2. 新课导入：讲解实数的定义、性质，引导学生理解实数的分类。

3. 实例讲解：以π和√2为例，讲解无理数的概念及表示方法。

4. 互动环节：让学生在数轴上表示出不同的实数，加深对实数与数轴关系的理解。

5. 例题讲解：讲解实数的四则运算法则，通过例题巩固所学知识。

6. 随堂练习：布置一些实数运算的题目，让学生当堂练习，及时发现问题并进行解答。

8. 课堂小结：布置课后作业，提醒学生复习所学内容。

六、板书设计1. 实数的定义、性质及分类2. 无理数的概念及表示方法3. 实数与数轴的关系4. 实数的四则运算法则七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）实数：π，3/2，2^3，5；无理数：√2。

（2）2π + 3√2 5 = 2π + 3√2 5，(3 + √2)(2 √2) = 6 2√2 + 2√2 2 = 4。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对实数的概念和性质掌握情况较好，但在无理数的理解和实数混合运算方面还存在问题，需要在今后的教学中加强训练。

2. 拓展延伸：引入更复杂的实数运算，如分数指数幂、对数等，为学生今后的学习打下基础。

同时，通过实际应用问题，让学生体会实数在生活中的重要性。

最新冀教版八年级数学上册《实数》全章教学设计

第十四章实数1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.2.会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求数的平方根与立方根.3.了解无理数和实数的概念,了解实数与数轴上的点的一一对应关系.4.了解在实数范围,相反数、倒数和绝对值的意义.5.会进行实数大小的比较和实数的近似计算.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.1.类比有理数的有关概念和运算律来学习实数,体现了知识的前后联系以及数系发展的规律.2.让学生感受现实生活中存在无理数,从而认识到学习无理数的必要性.1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.2.鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,增加学生的自我意识和集体责任感.本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.本章通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.学习本章之后,数的范围扩充到了实数,今后若无特别说明,所研究的数与代数的内容(一元一次不等式、二次根式、函数等)一般都在实数范围内进行.因此,本章内容是学习后继内容的前提和基础,对于发展学生的数感、用数学思想理解和解释现实问题、提高学生的数学素养有着重要的意义.另外,本章是中考的重要内容,常考的考点有求一个非负数的算术平方根、平方根的概念和性质、立方根的意义及运算、比较两个实数的大小、无理数的识别等.题型以填空题、选择题为主,也有与其他知识相综合的解答题,一般难度不大.【重点】1.平方根、算术平方根的意义,立方根的意义.2.无理数的意义以及实数的概念.【难点】1.平方根、算术平方根的概念,二者之间的区别和联系.2.实数的概念.1.概念的形成过程也是一个思考的过程,所以要关注学生对概念的理解和认识,引导学生积极参与探究活动,经历归纳概括、发现新知的过程,逐步提高学生的思维水平.2.关注学生的探究和发现过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.3.注意知识间的相互联系和区别,实数的概念、运算法则、运算律等,都可以通过类比有理数来获得,这样能较好地体现新旧知识的联系.如实数的绝对值、相反数和倒数等概念都是类比有理数直接得出的.同时,也要注意到它们之间的区别,如无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数,有理数和数轴上的点不是一一对应的,而实数和数轴上的点是一一对应的等.4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.5.在解决实际问题的过程中,如果遇到复杂的计算问题,应允许学生用计算器进行计算.6.在进行实数的大小比较以及用有理数估计无理数的范围等问题中,要控制好问题的难度,不要超出教材的要求.14.1平方根2课时14.2立方根1课时14.3实数3课时14.4近似数1课时14.5用计算器求平方根与立方根1课时回顾与反思1课时14.1 平方根1.了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义.2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根.1.通过探究,了解开平方与平方是互逆运算.2.会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根和算术平方根.通过学习,体验数学知识来源于实践,是由于生活或生产的需要而产生、发展的.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.第课时1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.3.知道±表示的是非负数a的平方根.在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.【重点】平方根、算术平方根的概念及求法.【难点】有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.【教师准备】课件1~7.【学生准备】平方的相关计算.导入一:我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.[设计意图] 新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.导入二:小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.几秒之后提问:同学们,你们知道吗?[设计意图] 设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题.导入三:玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125 dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.[设计意图] 好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.活动一:做一做——感知平方根[过渡语] 通过导入一我们知道当护栏的边长是10 m时,正方形花圃的面积是100 m2,也就是102=100.下面我们再来看几个问题.思路一【课件1】1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?3.满足x2=25的x的值是多少?解:1.,100. 2.,-,10,-10. 3.5,-5.教师说明:因为52=25,所以x=5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25.因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.例如:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10都是100的平方根.你能说出49,144的平方根吗?(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)[设计意图] 使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.【课件2】填写下表:x …-3 --1 0 1 3 …x2……学生填完表格后,引导学生观察:(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?(4)负数有平方根吗?学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:(1)它们的平方相等.(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(3)0有一个平方根,是0本身.(4)负数没有平方根.说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“±”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如记作,读作“根号a”;±记作±,读作“正、负根号a”.【课件3】观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.[设计意图] 理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.思路二说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10 m.教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.因为52=25,所以5是25的一个平方根.说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)【课件4】求100的平方根.问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?问2:你能正确书写解题过程吗?解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根为10或-10(也可以写成±10).说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.【课件5】试一试.(1)144的平方根是什么?(2)0.0001的平方根是什么?(3)0的平方根是什么?讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律?总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根是0.由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.[设计意图] 进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.问1:-4有没有平方根?为什么?学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.结论:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.2.0的平方根只有一个,为0.3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.)问2:a有没有平方根?为什么?结合问1:当a≥0时,a有平方根;当a<0时,a没有平方根.[设计意图] 引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.说明:正数a的两个平方根记为±,其中a叫做被开方数.如4的平方根为±,被开方数是4;0.01的平方根为±,被开方数是0.01.活动二:例题讲解[过渡语] 我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.【课件6】求下列各数的平方根.(1)81; (2); (3)0.04.指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.(2)因为,所以的平方根为±,即±=±.(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±=±0.2.教师规范书写格式.思考:±表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?--又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?学生讨论回答.【课件7】(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.-64,0,(-4)2.学生分组讨论,选派一名代表回答.解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是±4.[知识拓展] (1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数m和指数2,求幂,是平方运算,即m2=(?);②已知幂a和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.[设计意图] 通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.平方根的定义一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.表示方法当a为正数时,a的平方根为±.平方根的性质(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.(2)0只有一个平方根,是0本身.(3)负数没有平方根.1.(2015·黄冈中考)9的平方根是( )A.±3B.±C.3D.-3解析:9的平方根是±=±3.故选A.2.(2015·威海模拟)(-2)2的平方根是( )A.-2B.2C.±2D.4解析:(-2)2=4,4的平方根为±2.故选C.3.下列说法正确的是( )A.-81的平方根是±9B.任何数的平方是非负数,因而任何数的平方根也是非负数C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数D.2是4的平方根解析:A.由于负数没有平方根,故A选项错误;B.任何数的平方为非负数,正确,但只有非负数才有平方根,且平方根有正负之分(0的平方根为0),故选项B错误;C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数,不一定正确,如:当0<a<1时,>a,故选项C错误;D.2的平方是4,所以2是4的平方根,故选项D正确.故选D.4.下列各数中没有平方根的是( )A.0B.-82C.-D.-(-3)解析:A.0的平方根是0,故错误;B.-82=-64<0,没有平方根,故正确;C.-,有平方根,故错误;D.-(-3)=3,有平方根,故错误.故选B.5.“4的平方根是±2”翻译成数学语言是( )A.=±2B.-=-2C.-=2D.±=±2解析:4的平方根是±2,可以写成±=±2.故选D.6.下列说法正确的是( )A.0.25是0.5的一个平方根B.72的平方根是7C.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0D.负数有一个平方根解析:A.±=±0.25,故A错误;B.±=±7,故B错误;C.一个正数的平方根互为相反数,互为相反数的两个数的和为0,故C正确;D.负数没有平方根,故D错误.故选C.7.求下列各数的平方根.(1)0; (2); (3).解析:直接进行开平方运算即可.注意0的平方根为0,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.解:(1)0的平方根为0.(2)的平方根为±=±.(3)的平方根为±=±.8.一个正数x的平方根是3a-4与8-a,则a和这个正数是多少?解析:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得出3a-4+8-a=0,求出a的值,即可求出答案.解:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得3a-4+8-a=0,解得a=-2,即3a-4=-10,则这个正数为(-10)2=100.第1课时活动一:做一做——感知平方根活动二:例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第62页练习第1,2,3题.2.教材第62页习题A组第1,2,3,4题.【选做题】教材第63页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.3的平方根是( )A.9B.C.-D.±2.以下叙述中错误的是( )A.±=±0.5B.±=0.5C.0的平方根是0D.1是1的平方根3.的平方根是( )A.±B.±C.D.4.若x满足x2=,则x的值为( )A. B.- C.± D.±5.下列说法正确的是( )A.-4是-16的平方根B.4是(-4)2的平方根C.(-6)2的平方根是-6D.的平方根是±4【能力提升】6.求下列各数的平方根.(1)36; (2); (3)1; (4)1; (5)0.09.7.已知(a-2)2+|b-8|=0,求的平方根.8.求下列各式中的x的值.(1)4(x-1)2=25; (2)9(x2+1)=10.【拓展探究】9.已知x2+2015的一个平方根是,求x2的平方根.10.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+3n的平方根.【答案与解析】1.D(解析:∵(±)2=3,∴3的平方根为±.故选D.)2.B(解析:±表示0.25的平方根,为±0.5,故B错误.故选B.)3.A(解析:∵,∴的平方根是±,∴的平方根是±.故选A.)4.C(解析:∵x2=,∴x=±.故选C.)5.B(解析:A.因为-16<0,所以-16没有平方根,故A选项错误;B.因为(-4)2=16,42=16,所以4是(-4)2的平方根,故B选项正确;C.因为(-6)2=36,所以(-6)2的平方根是±6,故C选项错误;D.因为=4,所以的平方根是±2,故D选项错误.故选B.)6.解:(1)∵(±6)2=36,∴36的平方根是±6,即±=±6. (2)∵,∴的平方根是±,即±=±. (3)∵(±1)2=1,∴1的平方根是±1,即±=±1. (4)∵±2==1,∴1的平方根是±,即±=±. (5)∵(±0.3)2=0.09,∴0.09的平方根是±0.3,即±=±0.3.7.解:∵(a-2)2+|b-8|=0,∴a=2,b=8,∴,∴±=±.8.解:(1)4(x-1)2=25,开平方得2(x-1)=±5,解得x=3.5或-1.5. (2)9(x2+1)=10,9x2=1,x2=,x=±.9.解:根据题意得x2+2015=2016,即x2=1,则1的平方根为±1.10.解:∵2m+2的平方根是±4,∴2m+2=16,解得m=7.∵3m+n+1的平方根是±5,∴3m+n+1=25,即21+n+1=25,解得n=3,∴m+3n=7+3×3=16,∴m+3n的平方根为±4.本堂课一开始直接从现实生活中提出问题,由问题引入新知识,从而激发学生研究问题、解决问题的欲望.然后在一系列练习中提出问题,直观地得出一个非负数的平方根的特点,加深对概念的理解,其间不断组织学生自主思考、互相交流,培养学生独立思考的能力和团队协作的精神.1.对于平方根性质的得出,教师没有进行适当的归类,在知识的总结上学生感觉到吃力.2.教学的过程中,在求平方根的时候,部分学生书写还不够规范,教师示范不够到位.3.教材中涉及的求平方根的计算题,都是直接能够得到有理数的,没有体现知识的拓展和迁移,知识呈现过于局限.1.对于平方根性质的得出,教师要在设计题型上进行归纳,多举些例子,让学生发现、总结规律.2.在规范书写格式上,教师要通过多媒体展示、个别指导等方式,通过练习,使学生的书写格式做到规范.3.对于平方根的计算,可出几个开平方开不尽的数,如求2的平方根等,使学生认识到2的平方根就是±,不能再进行化简.练习(教材第62页)1.±6 ±7 ±11 ±0.4 ±0.08 ±1042.解:(1)±=±5. (2)±=±12. (3)±=±0.7. (4)±=±0.9. (5)±=±.(6)±=±.3.解:(1)12是144的平方根. (2)169的负的平方根是-13. (3)±0.3不是0.9的平方根.因为(±0.3)2=0.09≠0.9,所以±0.3不是0.9的平方根.习题(教材第62页)A组1.解:第一行依次填±0.3,±7,±14.第二行依次填25,64,.2.解:(1)正确.因为12=1,所以1是1的平方根. (2)不正确.因为(±1)2=1,所以1的平方根是±1. (3)不正确.因为(-2)2=4,(-2)2的平方根即为4的平方根,所以(-2)2的平方根为±2.(4)不正确.因为-1没有平方根.3.解:(1)±=±15. (2)±=±40. (3)±=±. (4)±=±0.6.(5)±=±0.12.4.解:设较大的鱼池的边长为x m,根据题意得x2-602=4500,即x2=8100,因为(±90)2=8100,所以x=±90,又因为x>0,所以x=90.答:这个较大的鱼池的边长为90 m.B组1.解:(1)±=±. (2)±=±140. (3)±-=±1.7. (4)±-=±10-3.2.解:设每块地板砖的边长是x m.根据题意得50x2=18,解得x2=0.36,因为(±0.6)2=0.36,所以x=±0.6,又因为x>0,所以x=0.6.答:每块地板砖的边长为0.6 m.教学时通过情境使学生认识到平方根产生于实际需要,对于开平方这一运算要多与平方运算相联系,从根本上理解开平方运算.让学生体会用平方运算求一个非负数的平方根,用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程.对于平方根的性质,要让学生自己去发现规律并用自己的语言加以表述,从而加深对平方根概念的认识.尽量让学生多举一些求平方根的例子,自己总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;一个负数没有平方根”.求下列各式中的x的值.(1)x2+5=7; (2)2(x-1)2-8=0.〔解析〕(1)根据移项法则把原式化为x2=2的形式,根据平方根的概念解答即可;(2)根据移项法则把原式化为(x-1)2=4的形式,根据平方根的概念解答即可.解:(1)x2+5=7,x2=7-5,x2=2,x1=,x2=-.(2)2(x-1)2-8=0,2(x-1)2=8,(x-1)2=4,x-1=±2,x1=3,x2=-1.(1)正数x的平方根为a+2和2a-8,求x的值;(2)如果a+3与2a-15是m的平方根,求m的值.〔解析〕(1)根据一个正数的平方根互为相反数列式求出a的值,再求(a+2)2即可;(2)这两个平方根互为相反数或相等,分别列式进行求解即可.解:(1)根据题意得a+2+2a-8=0,解得a=2,所以x=(a+2)2=(2+2)2=16.(2)①当a+3与2a-15是同一个平方根时,a+3=2a-15,解得a=18,此时m=(18+3)2=441;②当a+3与2a-15是两个平方根时,a+3+2a-15=0,解得a=4,此时m=(4+3)2=49.如果x<0,y>0,x2=4,y2=9,求x+y的值.〔解析〕根据x<0,y>0,x2=4,y2=9,就可确定x,y的值,进而求解.解:∵x2=4,y2=9,∴x=±2,y=±3,又∵x<0,y>0,∴x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.【重点】算术平方根的概念和性质.【难点】对算术平方根意义的理解.【教师准备】课件1~6.【学生准备】复习平方根的意义以及平方根的性质.导入一:【课件1】学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?师:怎样算出画布的边长为5 dm的呢?(思考1分钟)【课件2】填表:正方形面积 1 9 16 36正方形边长教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.[设计意图] 从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫.导入二:同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.[设计意图] “神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路.导入三:【课件3】1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少?(2)-7和7是哪个数的平方根?(3)正数m的平方根怎样表示?(4)求下列各数的平方根.①64; ②0; ③(-0.4)2; ④-; ⑤16; ⑥(-4)3.2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?解:设正方形的边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,得x=±.因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是.[设计意图] 复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备.活动一:感知——算术平方根的定义思路一[过渡语] 上面的问题,可以归纳为“已知一个正数的平方,求这个正数”的问题.实际上是乘方运算中,已知一个数的指数和它的幂求这个数.一个正数的两个平方根互为相反数,我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式x2=a(x≥0)中,规定x=.。

《实数》第一课时教案

3-2《实数》第一课时教案教学目标：（1）了解无理数和实数的概念，会辨别无理数和有理数.（2）类比有理数的分类依据，会对实数按照一定的标准进行分类.教学重难点：重点掌握：无理数的形式与实数的分类.教学过程：一、回顾旧知你认识下列各数吗？3，35-，911，﹣5，0.875，0 这些数都属于我们上学期学习的有理数，书上给有理数下的定义是：整数和分数统称为有理数。

有理数有两种分类方法，分别是按定义分和按性质分。

分别是：有理数：①整数（正整数、零、负整数）有理数：①正有理数（正整数、正分数） ②分数（正分数、负分数） ②零 ③负有理数（负整数、负分数）二、创设情境导入新课使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？3 ， 35- ，478 ，911 ，119 ，59我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即： 3 3.0= ，30.65-=- ，47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 三、合作交流解读探究【归纳】任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 我们知道，小数分为有限小数和无限小数，而无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数，那无限不循环小数是什么数呢？【探究】观察图3-2，每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积1，(1)图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？(2)（12）进而提出2具体是多大？是什么样的小数？求解过程：1²=1, (2)²=2, 2²=4→1<2< 2→2=1. …1.4²=1.96 , (2)²=2, 1.5²=2.25→1.4＜2＜1.5→2=1.4…1.41²=1.9881,(2)²=2,1.42²=2.0164→1.41＜2＜1.42→2=1.41… 用这种方法可以得到一系列越来越接近2的近似值.2=1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6…,它是一个无限不循环小数.【观察】通过前面的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数.无理数与有理数一样，也有正负之分。

冀教版八年级上册数学教案 17.3勾股定理

教学设计
教学反思１．开始上课时，运用多媒体教学，以逼真生动的画面、动听悦耳的音效创造教学情境，引入新课，让学生思维活跃，兴趣盎然地参与教学活动中来。

２．利用愉快地拼图，诱发学生的学习兴趣，通过电子白板拼图展示，让学生体会信息技术与数学学科的整合，让学生在探究中体会学习过程。

３．适时运用多媒体播放勾股定理历史的视频，激发学生爱国热情，培养学生的民族自豪感和探索创新精神。

４．运用多媒体播放解决生活中的实际问题，使数学生机勃勃，让学生喜欢数学，热爱数学。

总之，本节课是一节将信息技术与学科整合的探究课。

由于本节课内容设计较少，没有很好的提高学生能力。

在以后教学中，我会充分利用教学环境，提高数学学科含量。

2022年八年级数学上册第十七章特殊三角形17.3勾股定理1教案新版冀教版

17.3勾股定理（1）教学目标【知识与能力】1.经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想.2.会初步应用勾股定理解决实际问题.【过程与方法】1.经历“测量——猜想——总结——验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索的过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.【情感态度价值观】通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.教学重难点【教学重点】勾股定理的探索过程.【教学难点】勾股定理的应用.课前准备多媒体课件教学过程一：新课导入：导入一:【课件1】下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?教师引导学生思考,各抒己见,发表自己的见解.[设计意图]从现实生活中提出的“赵爽弦图”和“希腊邮票”,为学生能够积极主动地投入到探索活动中创设情境,激发学生学习热情,同时为探索勾股定理提供背景材料.导入二:【课件2】如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?师:在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边也随之确定了,事实上,古人发现,直角三角形三边长度的平方存在着一个特殊的数量关系.让我们一起去探索吧![设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入三:【课件3】相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.[设计意图]学生对故事中的问题很感兴趣,激发了学生探究知识的欲望,从而自然地引入本节课要探究的问题.二：新知构建：活动:探究勾股定理思路一探究1:测量计算——初步感知【课件4】学生活动:1.画一个直角三角形,使直角边分别为3cm和4cm,测量一下斜边是多少?2.画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?3.画一个直角边分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.思路二【课件5】任意画几个直角三角形,分别度量三条边,把长度标在图形中,计算三边的平方,师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒,有哪些数据符合a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13;1.2,1.6,2……师:哪些数据不符合a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?探究2:面积推理勾股定理活动1:探索边长为3,4,5的直角三角形的情况【课件6】如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的ΔABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?问题:(1)以AC为边的正方形的面积是;(2)以BC为边的正方形的面积是;(3)从AB为边的正方形的面积是;(4)三个正方形的面积之间关系是+=.活动2:探索直角边长为1的等腰直角三角形刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢? 思路一【课件7】如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?学生观察发现:以AC,BC为边的正方形的面积都是1.说明:对于以AB为边的正方形的面积,教师可让学生通过数格子的方法求出其面积,也可以将其分成四个等腰直角三角形的面积来求.思路二【课件8】如图所示,直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足猜想的数量关系吗?你是如何计算的?师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证明A+B=C.师:准确地说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流正方形C的面积的求法,教师巡视点评.)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算.)生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法.)师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到正方形C的面积,还有什么方法可以得到呢?活动3:类比发现,形成结论【课件9】如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的Rt ΔABC的边把这种关系表示出来.学生思考、交流,教师请学生口答,并板书.教师总结:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.探究3:推理验证勾股定理与小组同学交流、讨论,拿出设计方案,并给出合理的解释.组1:我们的设计方案是:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:我们发现外部是一个大正方形,边长为c,内部是一个小正方形,其边长是a-b,四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.1ab×4+(a-b)2=c2,2化简后为:a2+b2=c2.组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角边分别为a,b,斜边为c.我们是这样拼的,如图所示.外部是一个边长是a+b的正方形,内部是一边长为c的小正方形.四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.1ab×4+c2=(a+b)2,2化简后为:a2+b2=c2.师:两个组的设计都非常精彩,你们利用了我们比较熟悉的面积的有关知识,还有其他方案吗?组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.我们是这样拼的,如图所示.我们发现:两个直角三角形这样摆放,若连接A,B两点,就构成了一个直角梯形.直角梯形的上底为b ,下底为a ,高为a +b.直角梯形是由两个直角三角形和一个直角边为c 的等腰直角三角形构成的.直角梯形的面积=两个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积.12(a +b )(a +b )=12ab ×2+12c 2, 化简后为:a 2+b 2=c 2.师:以上三个小组的设计方案,实质上都渗透了数学的转化思想,将复杂问题转化、分解为简单问题,或将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决.方法都是“拼凑法”,先拼出一个图形,再利用两种不同的方法求出面积的表达式.由于一个图形的面积不变,因此将两种面积的表达式用等号连接起来,再化简,就可能得出我们要探究的结论.说明:我们古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.因此,直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2. 思考:(1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a 2+b 2=c 2有哪些变形公式?(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出 . 指导学生完成教材第151页“做一做”.[知识拓展] (1)由勾股定理的基本形式a 2+b 2=c 2可以得到一些变形关系式,如a 2=c 2-b 2=(c +b )(c-b );b 2=c 2-a 2=(c +a )(c-a ).(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a ,b ,c ,若c 为最大边长,则有a 2+b 2<c 2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a ,b ,c ,若c 为最大边长,则有a 2+b 2>c 2.[设计意图] 通过探索活动,调动学生的积极性,给学生充分的时间与空间讨论、交流,鼓励学生敢于发表自己的意见,感受合作的重要性. 让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情. 三：课堂小结： 1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的变形公式a =√c 2-b 2;b =√c 2-a 2;c =√a 2+b 2. 要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边的长度.。