解析几何发展史

阅读与思考解析几何的发展史

教学目标：

了解解析几何的发展情况；增加学生的数学底蕴

教学重点：

射影几何的发展

教学难点：

几何学的统一

教学过程：

几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。

一、欧氏几何的创始

公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。

欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。他的思想被称作“公理化思想”。

二、解析几何的诞生

解析几何是变量数学最重要的体现。解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。

解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。

三、非欧几何的诞生与发展

非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。

1854 年德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基的几何思想，从而建立了一种更为一般化的几何，称为“黎曼几何”。他认为欧氏几何和罗氏几何都是黎曼几何的一种特例。直到19 世纪后期，数学家贝尔特拉米、克莱因、庞加莱在欧氏空间建立了非欧几何的模型，非欧几

何才得到理解和承认。

四、射影几何的发展

文艺复兴时期的几何发展源于对宗教绘画的更高追求。画家在绘画中对“同一物体的同一投影的不同截影有什么相同的性质？”等问题产生了兴趣，这导致了透视学的兴起，即催生了射影几何学。法国人德沙格在1639 年发表了《试论锥面截一平面所得结果的初稿》[2]，这本书也是将数学方法引用于解决透射问题的第一部发表的论著。另一位法国数学家帕斯卡1640 年完成了《圆锥曲线论》，提出了射影几何学中的帕斯卡定理。他们对射影几何作出了突出的贡献，但他们局限于将这种几何学作为欧氏几何的一部分来研究。

1822 年，庞思列发表了《论图形的射影性质》，他在书中提出了两条重要的原理，即“连续性原理”和“对偶原理”。与前辈们不同的是，他讨论的问题不单单是在欧氏几何的模式中进行，而是一般性的问题。与此同时，德国数学家普吕可和莫比乌斯开创了研究射影几何的解析方法，即应用代数的方法来推导对偶原理等射影几何原理的成立。史陶特在1847年出版的《位置几何学》中用坐标概念来重新定义交比，使射影几何摆脱了长度等度量的限制。因此射影几何比欧氏几何更基本。在学者们的努力下，明确了欧氏几何与非欧几何都是射影几何的特例。

五、几何学的统一

非欧几何的创立打破了长久以来人们认为只有欧氏几何的观念。人们开始探寻能否在一般的条件下统一几何学。1872 年德国数学家克莱因在《艾儿朗根纲领》中提出了自己统一几何学的基本构想：“所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。”在他之后，希尔伯特为统一几何学的提出了实施方法，即公理化方法。

希尔伯特在他的《几何基础》中提出了包含20 条公理的公理体系，并将它们分为五个组别。而且提出了选择和组织公理系统的原则为相容性、独立性、完备性。这样组织的公理系统中，通过否定或者替换其中一条或者几条公理，就能构造出某一种几何。这种公理系统透彻的阐述了几何学的逻辑关系和包含内容，完整的统一了几何学。