高等数学解题方法上1PPT课件
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f ( x nl) . nl (n N ) 也是 f ( x) 的周 期.
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
.精品课件.
27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
.精品课件.
6
《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求：
时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日）
下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 《高等数学练习册》每本售价：17元
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
.精品课件.
21
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
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27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
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6
《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求：
时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日）
下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 《高等数学练习册》每本售价：17元
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
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例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，
高等数学 (上册) -01-PPT课件
3. xlim 左右极限存在并相等 x ƒ(x) 的存在性 当x<xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo-0) 左极限 x
0
0
当x>xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo+0) 左极限 x
0
应用-----主要用于分段函数 分段点处求极限
x x0 2
证明: 对 >0要使|sinx-sinxo |=2|sin 2|sin
x x0 2
cos
x x0 |<ε 2
x x0 cos 2
|≤2|sin
x x0 2
|
当 x 很 小 时,|sinx| < |x| 2|sin
x x0 2
|<|2
x x0 2
| = |x-x0|<ε
（1）、ε-x定义:
if 对 >0, x>0,st 当 |x|>x 时 , 有 |ƒ(x)-a|<ε so 称 a 为 ƒ(x) 当 x→∞时的极限 先有ε,再找x
（2）、ε-定义 if对 >0, st当0<|x-xo|< 时,有|ƒ(x)-a|<ε成立,则 limƒ(x)=a 称a是ƒ(x)当x→xo 的极限,记为 x x
iii) 极限过程可以变,但必须是型,且x一模一样 1/(x-1) =1 如:1) lim x 1 [1+(x-1)] 1 .2 x 1 1 2 x lim（1 ) = e1/2 2) lim (1+ ) = x 2 x x 2x 3) lim (1+ x 4) lim ) x = e2 x (1+
大一高数上-1精ppt课件
学习数学，必须做一定数量的习题，做习 题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且 也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想 方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能 认为，只要做了题，就算学好了数学。
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3
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限， 因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理 论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的 精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理 解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是 从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
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19
例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf ={2}。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。
y
2
y=2
O
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x
20
例3. 函数 y=|x|= x, x0 称为绝对值函数。 -x, x<0
函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =[0, + )。
17世纪（1763年）Descartes建立了解析几 何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生 了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学 进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是 高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量 间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其 它自然科学的基础。
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1
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初
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3
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限， 因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理 论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的 精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理 解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是 从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。
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例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf ={2}。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。
y
2
y=2
O
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x
20
例3. 函数 y=|x|= x, x0 称为绝对值函数。 -x, x<0
函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为Rf =[0, + )。
17世纪（1763年）Descartes建立了解析几 何，同时把变量引入数学，对数学的发展产生 了巨大的影响，使数学从研究常量的初等数学 进一步发展到研究变量的高等数学。微积分是 高等数学的一个重要的组成部分，是研究变量 间的依赖关系——函数的一门学科，是学习其 它自然科学的基础。
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1
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
全高考数学解题技巧讲解课件PPT
������������|cos θ=������������·������������ =
|������������ |
������ 2-1 ������ 2+1
=
������2 + 1 − ������22+1,
令 ������2 + 1=t(t>1),则|������������|= ������������22-+11=t-2������ .令 f(t)=t-2������ ,则有 f'(t)=1+������22.在
A.
5 5
,
2 3
B.
2 3
,
25 5
C.
5 5
,
7 3
D.
7 3
,
25 5
-7-
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a4=4,S5=15,
∴
������1 + 3������ = 4,
5������1
+
5×4 2
������
=
15,解得
������1 = 1, ������ = 1.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、 简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判 断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对 于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知 识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法, 特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
A.2 019 B.0 C.1 D.-1 (2)平行四边形 ABCD 中,������������, ������������在������������上投影的数量分别为 3,-1, 则������������在������������上的投影的取值范围是( )
|������������ |
������ 2-1 ������ 2+1
=
������2 + 1 − ������22+1,
令 ������2 + 1=t(t>1),则|������������|= ������������22-+11=t-2������ .令 f(t)=t-2������ ,则有 f'(t)=1+������22.在
A.
5 5
,
2 3
B.
2 3
,
25 5
C.
5 5
,
7 3
D.
7 3
,
25 5
-7-
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a4=4,S5=15,
∴
������1 + 3������ = 4,
5������1
+
5×4 2
������
=
15,解得
������1 = 1, ������ = 1.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、 简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判 断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对 于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知 识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法, 特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
A.2 019 B.0 C.1 D.-1 (2)平行四边形 ABCD 中,������������, ������������在������������上投影的数量分别为 3,-1, 则������������在������������上的投影的取值范围是( )
高等数学第一章复习课ppt课件.ppt
3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
第一讲高等数学ppt
第一讲
1 极限与单侧极限
定理：lim
x x0
极限及其运算法则
f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A .
x x0 x x0
例1、 求下列函数极限。
(1 ) f ( x ) x lim f ( x ); ( 2 ) f ( x ) [ x ]
1
记住 lim 结论：
n
n
n 1 , 并可推广到
x
lim x
x
1.
定理2：单调有界数列必有极限。 第一个重要极限
sin x x 1
lim
x 0
( 1 )当 x ( 0 ,
( 2 ) lim sin x x
2
) 时 , 有 sin x x tan x ;
0 0 型极限才有 lim sin x x 1 , 而 lim
x x0
lim g ( x ) lim h ( x ) A , 则 lim f ( x ) A .
x x0 x x0
例10、求下列极限。
( 1 ) lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
);
( 2 ) lim
n
n
n.
解题关键：适当放缩，使较小和较大 数列的极限存在且相等。
例12、求下列极限。
( 1 ) lim ( 1
x
3 x
2
) ;
3x
x
( 2 ) lim x 1 x ;
x1
( 3 ) lim (
x
2x 1 2x 1
1 极限与单侧极限
定理：lim
x x0
极限及其运算法则
f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A .
x x0 x x0
例1、 求下列函数极限。
(1 ) f ( x ) x lim f ( x ); ( 2 ) f ( x ) [ x ]
1
记住 lim 结论：
n
n
n 1 , 并可推广到
x
lim x
x
1.
定理2：单调有界数列必有极限。 第一个重要极限
sin x x 1
lim
x 0
( 1 )当 x ( 0 ,
( 2 ) lim sin x x
2
) 时 , 有 sin x x tan x ;
0 0 型极限才有 lim sin x x 1 , 而 lim
x x0
lim g ( x ) lim h ( x ) A , 则 lim f ( x ) A .
x x0 x x0
例10、求下列极限。
( 1 ) lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
);
( 2 ) lim
n
n
n.
解题关键：适当放缩，使较小和较大 数列的极限存在且相等。
例12、求下列极限。
( 1 ) lim ( 1
x
3 x
2
) ;
3x
x
( 2 ) lim x 1 x ;
x1
( 3 ) lim (
x
2x 1 2x 1
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
《高等数学第一章》PPT课件
思考题解答
f ( x)在x0 连续，
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
且 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f
2(
x)
lim
x x0
f
(
x
)
断点；在 x 2 是第_____类间断点 .
2、指出 y x 2 x 在 x 0 是第________类间 x ( x 2 1)
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f ( x)
的连续性，并画出函数
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例4
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
高等数学上册课件.ppt
y y f (x)
y
y f (x)
f (x2)
f (x1 )
f ( x1 )
f (x2 )
o D
x
o
D
x
当 f (x)在 D 上单调递增或单调递时减，则 称f ( x)
在 D 上 是单 调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
181h，
如果x1, x2 D, 当x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
181h，
1 , 当x0,
例3 符号函数
sgnx
0
,
当x0,
x xsgnx ,
1 , 当 x 0 .
sgnx 起了 x 的符号的作用.
x
而 x [a,b（ ] 不包含原点）, 即 a x b ,
111 ,
f ( x) 1 在 [a, b] 上有界 .
bxa
x
181h，
2．函数的单调性 设 y f ( x) , x D.
如果x1, x2 D, 当x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( > ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调递（增减）的.
2. 上课纪律：
不 迟 到 ， 不 早 退 ， 不课 旷，累计缺课超过该课程授 课学时的1 3，不得参加期末考试；上课必须关闭手
机 ， 严 禁 上 课 玩 手 机！
181h，
大学高等数学第一节PPT
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a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
第八章
第四章
第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
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Байду номын сангаас
高数一章6节ppt课件
分子次数等 于分母次数
时, 分母
分子
分子分母同除以 x3 , 则
“ 抓大头”
42
lim
x
3x3 7x3
4x2 5x2
2 3
lim
x
3 7
x 5
x
x3 3
x3
这是因为lim x
a xn
a lim x
1 xn
a
lim
x
1 n x
0.
10
例8 求 lim 3x2 2x 1 . x 2x3 x2 5
( x x2
x
2) 1
1
通分化作商的极限
14
例12 求 lim x 1 . x1 x 1
解 方法 1 令 u x , 则 lim u 1, x1 x 1 u2 1 u1 x 1 u1
所以原式 lim(u 1) 2 u1
方法2 lim x 1 lim ( x 1)( x 1)
x2 lim
x2 x 2
x22
lim
x 7 3 x2
x22 x73
2
3
13
例11
求
lim(
x 1
x
3 3
1
1 ). x1
解 lim( 3 1 ) x1 x3 1 x 1
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1)
1)
lim ( x 2)( x 1) x1 ( x3 1)
lim
x 1
由定理1，推论1及推论2 4
定理3的(1), (2)可以分别推广到有限个函数的 代数和,相乘的情形.
推论1 若lim f ( x) A，c为常数，则
lim[cf ( x)] c lim f ( x) cA
大学高数第一章 PPT课件
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。 3.有界函数的界不唯一。
25
二 初等函数
基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
(0,1)
x
6
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
7
3.常量与变量:
证明:
∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)
∴f(x)为周期为2c的函数.
2233
4．函数的有界性: 设D是f ( x)的定义域, 若M 0,x D,有 f ( x) M ,
则称函数f (x)在D上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
x
o
D
y M
x0
o
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
2.有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。 3.有界函数的界不唯一。
25
二 初等函数
基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
26
2.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
(0,1)
x
6
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
7
3.常量与变量:
证明:
∵ f(x+2c)=f((x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)
∴f(x)为周期为2c的函数.
2233
4．函数的有界性: 设D是f ( x)的定义域, 若M 0,x D,有 f ( x) M ,
则称函数f (x)在D上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
x
o
D
y M
x0
o
《高等数学(上册)》课件 第一章
图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
例1 判断函数 ylg(x x2 1)的奇偶性． 解 因为函数的定义域为〔－∞，+ ∞ 〕，且
f( x ) l g ( x ( x ) 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) ( x x 2 1 ) x x 2 1
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
一、数列极限
定义1 在某一法那么下，当n〔n∈N+〕依次取1,2,3，…， n，…时，对应的实数排成一列数
x1， x2， x3， ， xn，
函数的对应法那么和函数的定义域称为函数的两
个要素．两个函数相等的充分必要条件是函数的定义 域和对应法那么均相同．
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
高中数学常用的解题方法与技巧1.ppt共23页文档
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高中数学常用的解题方法与技巧1.ppt
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高中数学常用的解题方法与技巧1.ppt
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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学习要纵横结合
,
着眼于提高数学素养。 14
第一讲
高等数学中的
分析问题
和
解决问题
方法
15
一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 )
数学模型
客观实际问题内在规律性的数学
结构. 具有形式化、符号化、简洁化的特点.
是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释 . 数学建模方法
• 实验归纳法 • 理论分析法 ( P514 ) 物理模型 数学模型
注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
6
一提到数学，很多人首先想到的是复杂的公式、 大量的计算、漫天的数字数据、还有百思不得其解数 学题。这与中国的高中教育偏重于对于知识的灌输， 而非对于知识的掌握密切相关。基于应试的压力，数学 教育尤其容易演变为固定类型的题海战术，甚至成为 某种意义上的死记硬背，而非激发学生的创造性思维， 这在根本上就是与数学教育相背道而驰的。这样使学生 对数学产生畏惧、反弹心理。.
才能尝到成功的滋味；
3
哈佛图书馆的训诫
谁也不能随随便便成功， 它来自彻底的自我管理和毅力； 狗一样地学习， 绅士一样地玩； 今天不走，明天要跑； 教育程度代表收入； 即使现在，对手也不停地翻动书页；
没有艰辛，便无所获。
4
科学家语录
培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智， 数学使人精细。
马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用 数学，才算真正发展了。
利于得到某种确定感和安全感。不是为了考高分念书， 而是为了不逃避痛苦与讨厌的事。生活本质上活脱脱 就是一个战场，身处战场绝对不是一安全的事， 8
高等数学方法
（上）
科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的桥梁。
数学方法是数学的灵魂
9
参考书
张晓宁、李安昌：
高等数学方法
中国矿业大学出版社，2002.
高等数学方法
第一讲
主讲教师: 王升瑞
1
惜时如金
唯有奋斗 最风流!
2
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦； 学习时的痛苦是暂时的，未学到的痛苦是终身的； 学习这件事，不是缺乏时间，而是缺乏努力； 学习不是人生的全部，但是人生的一部分; 学习也无法征服，还能做什么呢？ 请享受无法回避的痛苦； 只有比别人更早，更勤奋的努力，
7
其实数学背后的思想，数学的证明方法才是数学的 精髓。数学学习关注的是逻辑推演能力。数学是一种 表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。在数学中， 不仅各种数字、函数， 就连加、减、乘、除，大于、 小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也 都是约定俗成、极少歧义的概念。而几何方法，更是能 用清晰、直观的坐标或图形表达比较复杂的逻辑关系。 学习的目的是得到某种确定感和安全感，并且上学有
伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书， 如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也看不清。
华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。 勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。
5
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累” “由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创”
B B A
且对任意 有 f()g()0,
C
A
证明存在
0(0,
2
), 使
f(0)g(0)0.
C
D
D
19
不妨设 g(0)0, f(0)0,且对任意 有 f()g()0,
证明存在
0(0,
2
),使
f(0)g(0)0.
证明: 设
h()f()g()C[0,
2
],
又
h(0)0,
h(
2
)0,（转
2
后，对角线互换）。
1. 科学方法的重要性
科学
是什么 , 为什么:
反映自然、社会、思维的客观规律的分科的
知识体系。
技术
做什么 , 怎么做:
进行物资资料生产所凭借的方法和能力。
科学方法
桥梁与钥匙。
12
2. 数学方法的含义
数学
思维的体操
(思路)
数学方法
思维方法
科学的语言
(表达)
对数学规律的认识
解题方法
生活的需要
(应用)
(是数学的灵魂)
由连续函数零点定理可知
,
存在
0(0,
2
),
使 h(0) 0 即 f(0)g(0)
又知 f(0)g(0)0,所以 f(0)g(0)0
思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?
提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
20
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
1. 简化方法 2. 直观分析法
3. 逆向分析法 4. 类比法
求解和分析
许多物理中的概念都要借助于高等数学中的
数学结构才能说的清楚。
16
例如 , 为什么用 " N"及 " "语言定义极限 ?
• 用圆内接正多边形面积逼近圆面积A .
圆内接正n边形的面积为
An
nr2sincos
nn
o r
找出
(n3,4,5, ) n
0,
精度要求
N (正整数)
,
当 nN时,
边数足够多
13
二. “高等数学方法”的结构与学习方法
(参考前言第二、三段) 第一部分 (第一至第七章)
每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题
第二部分 (第八至第十一章) 包括综述和提高
(从古典数学向近代数学靠拢 ) 学习方法:
1. 掌握数学内容和数学方法相结合；
2. 重视分析问题和解决问题的方法；
3.
10
目录
第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法
第二讲 研究函数与四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的
计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题
的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析
11
前言
一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段)
要使
f(r)A0
记作
lim f(r)lim r2
r r0
r r0
r02
18
再如 , 椅子稳定问题 (P515～P516)
假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .
建模:
设 A , C 两脚与地面的距离之和为 g()C[0,2]
B , D 两脚与地面的距离之和为 f()C[0,2]
不妨设 g(0)0, f(0)0,
有
AnA ,
可无限逼近
记作 limAn A. 利用极限知识可求出 :
n
A limr n
2
sin
n
n
cos
r2
n
17
• 测量圆面积
A r2
直接观测量为r 间接观测量为A.
寻找精度 0,
半径真值为 r0 测量圆半径得 r 让 r r0
面积真值为 A 0 计算圆面积为 f (r) r2
任给精度 0,