非平稳时间序列的随机分析

思考：如果把每一时刻的观察 值与上年同期相应的观察值相 减，是否能将原序列的周期性 变化消除？（或实现平稳化）， 在经济上，就是考查与前期相 比的净增值，用数学语言来描 述就是定义季节差分算子。 定 义：季节差分可以表示为
1阶－12步差分：提取 周期信息。
4.3.3、过差分


例4.4


足够多次的差分运算可以充分地提取原 序列中的非平稳确定性信息 但过度的差分会造成有用信息的无谓浪 费，从而降低估计的精度。
4.3.1、ARIMA模型结构

使用场合：差分平稳序列拟合 ARIMA（autoregressive integrated moving average求和自回归移动平均） ARIMA（p,d,q）模型结构
( B) d xt ( B) t 对比63页 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t d d 1 B ; (B) 1 1 B 2 B 2 p B p
差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方 法（Box和Jenkins）。

Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一 定可以充分提取确定性信息。
xt jt ( B)at
j j 0

d
离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导， 在上述分解下， d阶差分就可充分提取时序中的确 定性信息。
p d d ( B) ( B) = 1 i B 1 B i 1 ARIMA( p, d , q)模型的广义自回归系数多项式有p+d 1 1 个根，其中p个根 ，..., 在单位圆外，d个根在圆上。 1 p


自回归系数多项式 的根为特征根的倒数， 所以 ARIMA(p,d,q) 模 型共有 p+d 个特征根， 其中 p 个在单位圆内， d个在单位圆上。 所以当 d 0 时 ARIMA(p,d,q) 模 型 非平稳。
产生的随机误差的大小。

差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息
i xt (1 B) xt (1) i C d xt i d d d i 0
i xt (1)i 1 Cd xt i d xt i 1
d
随机误差
4.2.2 差分方式的选择
1）序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就 可以实现趋势平稳

对于任何一个离散平稳过程{xt }它都可以分解为两个 不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另 一个为随机性的，不妨记作 xt Vt t t j t j t 为随机序列， {Vt }为确定性序列， 其中：
j 0
它们需要满足如下条件
（1） 0 1,
第四章 非平稳序列的随机分析



时间序列的分解 差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化wenku.baidu.com条件异方差模型
4.1 时间序列的分解 4.1.1 Wold分解定理 4.1.2 Cramer分解定理
引 例
4.1.1、Wold分解定理（1938）
2）序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或 三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 3）对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周 期长度的差分运算，通常可以较好地提取 周期信息
1）序列蕴含着显著的线性趋势 【例4.1】1964年——1999年中国纱年产 量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。 对该序列进行一阶差分运算

一阶差分

二阶差分
序列蕴含着显著的曲线趋势， 二阶或三阶差分就可以实现趋势平稳
3）蕴含着固定周期的序列

例4.3 差分运算提取1962年1月——1975年12月 平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
差分后序列时序图
1阶差分：提取线性递增趋势， 剩季节波动和随机波动。 序列还蕴含着固定周期，如何实现趋势平稳？
2、ARIMA模型的平稳性
ARIMA( p, d , q)模型 : ( B)d xt ( B)t
1 B ; (B) 1 1 B 2 B 2 p B p
d d
(B) 1 1 B 2 B q B
2
q
( B) ( B)d 称为广义自回归系数多项式。
确定性序列

随机序列
Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确 定性平稳序列和随机平稳序列之和。它是现代时间 序列分析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳 序列的理论基础。
4.1.2、Cramer分解定理（1961）

{xt } 任何一个时间序列（可适用于非平稳序列） 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多 项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的 零均值误差成分，即
ARIMA模型结构
ARIMA（p,d,q）模型结构
( B) d xt ( B) t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t d d 1 B ; (B) 1 1 B 2 B 2 p B p (B) 1 1 B 2 B 2 q B q
为延迟算子
j 为常数系数
at 为一个零均值
白噪声序列
( B)at
随机性影响 例如：平稳ARMA
确定性影响
离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导， 在上述分解下， d阶差分就可充分提取时序中的确定 性信息。 d d j t j c, c为某一常数
j 0
注意：防止出现过差分。
Var( 2 xt ) Var(at 2at 1 at 2 ) 6 2
过差分实质上是因为过多次的差分导致有效信息 的无谓浪费而降低了估计的精度。
4.3 ARIMA模型


ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
分别为平稳可逆ARMA（p,q）模型的自回归系数多项式 和移动平均系数。
注意：ARIMA（p,q）的平稳性？方差齐性？ ARMA（p,q）呢？

例4.5 ARIMA(0,1,0)时序图
3、ARIMA模型的方差齐性

d 0时，原序列方差非齐性
如：ARIMA (0,1,0)模型 Var ( xt ) Var ( x0 t t 1 1 ) t
2

d阶差分后，差分后序列方差齐性
ARIMA (0,1,0)模型 Var(xt ) Var( t ) 2
xt t t
j t j j 0 d
为延迟算子
j 为常数系数
at 为一个零均值
白噪声序列
( B)at
随机性影响 例如：平稳ARMA
确定性影响
对Cramer分解定理的理解：

Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广，它
说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确
假设序列如下 xt 0 1t at
考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差

一阶差分


二阶差分（过差分）

平稳
1 at at 1
平稳
at 2at 1 at 2
xt xt xt 1
2 xt xt xt 1
Var (xt ) Var (at at 1 ) 2 2
（4.1）
为平稳可逆ARMA（p,q）模型的自回归系数多项式
(B) 1 1 B 2 B 2 q B q
为平稳可逆ARMA（p,q）模型的移动平均系数多项式。
( B ) t （4.2） （4.1）简记为 xt ( B)
d
其中， t 为零均值白噪声序列。
ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。 即任何非平稳序列如果能通过适当阶数的差分实现差分 后平稳，此时可对差分后序列进行ARMA模型拟合了。
ARIMA 模型族

d=0
ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q) P=0

ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)

q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d) d=1,P=q=0 ARIMA(0,1,0)=random walk model
定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序列要求
这两方面的影响都是稳定的，而非平稳序列产生的
机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方
面是不稳定的。
4.2 差分运算

差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
4.2.1、差分运算的实质


得到观察值序列之后，无论采用确定性时序分 析方法还是随机时序分析方法，第一步都是要 提取序列中的确定性信息。 确定性时序分析方法：季节指数、长期趋势模 型、移动平均（消弱短期随机波动对序列的影 响）、指数平滑等（第五章）。
j 0 2 j

t ~ WN (0, ) （2）
2
（3）C ov(Vt , s ) E(Vt , s ) 0, t s
确定性序列与随机序列的定义

对任意序列 yt 而言，令 yt 关于q期之前的序列值 作线性回归
2 其中{t }为回归残差序列， 。 Var(t ) q
yt 0 1 yt q 2 yt q1 t 对比43页AR模型
2 显然， q Var( yt ) ，且随着q的增大而增大，也就是 2 说 q 是非减的有界序列，它的大小可以衡量历史 2 信息对现时值的预测精度。q 越小，说明预测得越 2 准确， q 越大，说明预测得越差。

随机游走模型( random walk)

模型结构 xt xt 1 t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t
模型产生典故



Karl Pearson(1905.07)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外， 一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ 雷利爵士（1905.08）认为，最好去初始位置找他
xt xt xt 1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
差分前后时序图

原序列时序图

差分后序列时序图
序列蕴含着显著的线性趋势， 一阶差分就可以实现趋势平稳
2）序列蕴含着曲线趋势

例4.2 尝试提取1950年——1999年北京市 民用车辆拥有量序列的确定性信息
差分后序列时序图
问题：平稳AR模型和可逆MA模型，它们是否具有方差齐性？
回顾：Cramer分解定理（1961）

{xt } 任何一个时间序列（可适用于非平稳序列） 都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多 项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的 零均值误差成分，即
xt t t
j t j j 0 d

2 lim 确定性序列：若 q q 0

即说明序列随着时间的发展有很强的规律性。

Var( yt ) 随机序列：若 lim q
2 q

即说明序列随着时间的发展随机性很强，预测
效果很差，此时称 yt 是随机序列。
例如：ARMA模型分解
( B) xt t ( B)
d j t j c, c为某一常数
j 0 d

展开1阶差分，有 xt xt xt 1 xt xt 1 xt

1阶差分实质上就是一个自回归过程，它是用延迟一
期的历史数据 xt 1 作为自变量来解释当期序列值的
变动状况，差分序列 xt 度量的是1阶自回归过程中