理论力学第7章(点的合成运动)
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
理论力学7-2
z
M M '
rM z '
r'
O' x'
k ' rO ' i '
j'
y'
O
y
UNIVERSITY OF JINAN
第七章 点的合成运动
1. 动系做平移时 i 0, j 0, k 0
' k ' 0 2 x' i ' y ' j ' z
ve vr va ro
vB ve r O l l l
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第七章 点的合成运动
绝对加速度 相对加速度
n 2 aa aa O r
方向由A指向O
ar ?
n e 2 e
方向水平
2 O r2
v 牵连加速度 a l
l
方向由B指向D
v R vr aa R R 2 v R 2 r 2vr R
2 a 2
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第七章 点的合成运动
加速度合成定理(Theorem of composition of accelerations)
1. 动系做平移时
aa ae ar
2. 两个不相关的物体，求二者的相对速度。 根据题意, 选择所求相对运动速度的点为动点, 动系 固结于另一物体上。
UNIVERSITY OF JINAN
第七章 点的合成运动
3. 相对于运动物体在运动的物体上有一动点，求该点的绝 对运动。则取该点取为动点，动系固结于另一个运动物体 上。
理论力学第七篇_复合运动
例： 刨床急回机构。曲柄长OA r , 两轴间
距杆的oo角1 速 度l 。w求1 。当曲柄在水平位置时摇
wo
w1
o1
步 骤:
运
速
动
度
分
分
析
析
va ve vr
wo
y 解：动点：滑块A；
va B
动系：固连在摇杆O1B上；
vr
ve A
绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动；
牵连运动：转动。
va ve vr
t0 t
t0 t
t0 t
aa
lim
t 0
va ' va t
ar
lim vr
t 0
' vr1 t
ae
lim
t 0
ve1 ve t
lim vr ' vr lim vr ' vr1 vr1 vr
t0 t
t 0
t
ar
lim vr1 vr t0 t
ar w vr
lim ve ' ve lim ve ' ve1 ve1 ve
牵连运动：平动
aa ae ar
arn
vr2 R
vr
ve
sin
v
sin
arn
1 R
v2
sin2
aa ae ar arn
vr
va
ve
aa sin ae cos arn
aa
1
sin
a
cos
v2
R sin2
actg
v2
R sin3
例2 已知曲柄转动的匀角速度为w, OAr,
OO1 =l, 求当OA处于水平时摇杆O1B的 加速度
理论力学第七章
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
点的合成运动
2013年7月5日
理论力学CAI
42
1.牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕 定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽 内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点
相对于定系的绝对加速度应是
多少呢？
2013年7月5日
理论力学CAI
43
选点M为动点，动系固结于圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
y'
y u
x'
M
O
M O
y'
x'
x
O'
2013年7月5日
理论力学CAI
4
车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。
2013年7月5日
理论力学CAI
5
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点。
两系
定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。 动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
ar = 2l sin
理论力学CAI
37
课后作业1（浙大）
作业题 7-7 7-8 7-9
2013年7月5日
理论力学CAI
38
课后作业1
思考题 8-1 8-2 作业题 8-7 8-8
8-3
8-10
2013年7月5日
理论力学CAI
39
例题
例 曲柄滑杆机构
= 45o 时，, a ; 已知: OA＝l ,
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
理论力学.
2.速度分析： vavevr
大小：rω ? ?
方向：√ √ √
v e v as i n rs in
1
ve r2
O1A l2 r2
例7-4
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
D
C
M
B A
解： 1.运动分析：
动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD；
绝对运动：未知；
相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
C
vavevr
大小： ？ Rω2 Rω 1
方向： ？ √ √
vave 2 vr2R1 222
用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，
滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲
柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
求：曲柄在水平位置时摇杆的角 加速度。
解:
1.运动分析：
§动 绝牵点对连7-M运 运4相动动牵对、：连于相D运E地对动的面动绝运是水作动定平空点对、轴平间牵转移曲：运连动。线运时运滑动动点动的块：加速以度A合O；成点为动圆系心:，与O摇A杆为半固O径1 连B的；圆周运动；
arctvvaer)na( rct a1 2)n(
D M
B A
点的速度合成定理的解题步骤
1.选取动点、动参考系和定参考系； 2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线 4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
理论力学课后习题答案
第7章 点的合成运动一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。
( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。
( × )3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。
( √ )4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。
( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。
( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。
( √ ) 7．在图中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。
( √ )二、填空题1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。
2．在图中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图(a)中直杆的角速度=1ωθθωcos sin 2，图(b)中直杆的角速度=1ω2ω。
图 图3．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。
4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。
牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。
5．如图所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。
则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ϕ= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。
图6．当点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹都是曲线时，牵连运动是直线平动时的加速度合成定理表达式是a e r =+a a a ；牵连运动是曲线平动时的加速度合成定理表达式是 a e r =+a a a ；牵连运动是转动时的加速度合成定理表达式是a e r k =++a a a a 。
理论力学 点的合成运动
例1. 梯子 AB 长 L , 重 P，一端 B 靠在光滑的铅垂墙上， 另一端 A 放在摩擦系数为 f 的水平地面上，问梯子与水 平线所成的倾角 多大时，梯子能处于平衡？
y
解：
对象：梯子 P , NB , NA , FAmax
B
P m NA RAmax
分析力：
NB
L 列方程： m A ( F ) N B L sin P cos 0 2
摩擦角和自锁现象
2.利用摩擦角判断物体是否平衡的两条规律
全约束力的作用线范围
0 m
m
m
R
若某接触面上的主动力的合力作用线在摩 擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体 将永远平衡。－－自锁现象
螺旋千斤顶 tg 1 f
m
f 0.1
5 43
例2. 已知排挡齿轮宽为 b，自重忽略不计，能在直径为 d 的轴上左右滑动。若齿轮与轴之间的摩擦系数为 f，求不 使齿轮被卡住，水平推力 P 的作用线离轴线的距离 a 的 y 范围。
解：
对象：排挡齿轮
d
NA A
P
a FA b
B m
分析力： P , NB , NA , FB , FA
FB NB
x
列方程：
Y N N 0 Y P F F 0
A B A B
RBmax
d mA ( F ) P(a ) N Bb FB d 0 2 FB fN B 摩擦定律： FA fN A
由式得 NA = NB 代入式
b a 2f
由式得 FA = FB = P/2 齿轮平衡
B A RBAmax RAmax RAmax RBAx 画封闭力三角形：
理论力学答案(第七章后)
第七章 点的合成运动一、是非题7.1.1动点的相对运动为直线运动，牵连运动为直线平动时，动点的绝对运动必为直线运动。
（ × ）7.1.2无论牵连运动为何种运动，点的速度合成定理r e a v v v +=都成立。
（ ∨ ）7.1.3某瞬时动点的绝对速度为零，则动点的相对速度和牵连速度也一定为零。
（ × ）7.1.4当牵连运动为平动时，牵连加速度等于牵连速度关于时间的一阶导数。
（ ∨ ）7.1.5动坐标系上任一点的速度和加速度就是动点的牵连速度和牵连加速度。
（ × ）7.1.6不论牵连运动为何种运动，关系式a a +a a r e =都成立。
（ × ）7.1.7只要动点的相对运动轨迹是曲线，就一定存在相对切向加速度。
（ × ）7.1.8在点的合成运动中，判断下述说法是否正确：（1）若r v 为常量，则必有r a =0。
（ × ）（2）若e ω为常量，则必有e a =0. （ × ）（3）若e r ωv //则必有0=C a 。
（ ∨ ）7.1.9在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相7.1.10当牵连运动为定轴转动时一定有科氏加速度。
（ × ）二、 填空题7.2.1 牵连点是某瞬时 动系上与7.2.2 v e 与v r 共线 情况下，动点绝对速度的大小为r e a v v v +=，在 情况下，动点绝对速度的大小为a v =v e 、v r ，应按___ ____ __ 计算v a三、选择题：7.3.1 动点的牵连速度是指某瞬时牵连点的速度，它相对的坐标系是（ A ）。
A 、 定参考系B 、 动参考系C 、 任意参考系7.3.2 在图示机构中，已知t b a s ωsin +=， 且t ωϕ=（其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固结于物块B ，定系固结于地面，则小球的牵连速度v e 的大小为（ B ）。
理论力学(7.5)--点的合成运动
第七章作业1、已知：如图所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，运动方程为：x' =40(1-cos t)mm , y' =40sin t mm，式中t 以 s 计，x ' 和 y ' 以 mm 计。
平面Ox ' y ' 又绕垂直于该平面的O 轴转动，转动方程为 φ=t rad ，式中角 φ 为动坐标系的 x '轴与定坐标系的 x 轴间的交角。
试求：点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。
2、已知：在图 a 和 b 所示的两种机构中，己知= a =200mm ， =3rad/s 。
试求：图示位置时杆 A 的角速度。
3、已知：绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M ，如图所示， b =0.lm 。
设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为=9rad/s 和=3rad/s 。
试求：此瞬时销子 M 的速度。
4、已知：图示偏心轮摇杆机构中，摇杆 A 借助弹簧压在半径为 R 的偏心轮C 上。
偏心轮C 绕轴 O 往复摆动，从而带动摇杆绕轴 摆动。
设 OC ⊥O时，轮 C 的角速度为ω，角加速度为零，θ =。
试求：此时摇杆 A 的角速度和角加速度 。
5、已知：小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度 。
在小车上有一轮绕 O 轴转动，轮的半径 r =0.2m ，转动的规律为 。
试求：当 t =1s 时，轮缘上点 A 绝对加速度。
6、已知：图示直角曲杆OBC 以匀角速度ω=0.5rad/s 绕 O 轴转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动， OB =0.1m ， OB 与BC 垂直。
试求：当 φ =时，小环 M 的速度和加速度。
理论力学(第7版)第七章 点的合成运动
ar ~ d 2r dt 2
xi j k y z
ae
d 2 rM dt 2
xi yj zk rO
?
√ √ √ √ 将加速度矢量式投影到法线上，得
a a sin a e cos
大小 方向
aa a e a r a r ? a0 R? √
?
n
n
ar
n
aa (ae cos ar n ) / sin
整理得
a AB
2 3 8 v0 aa (a0 ) 3 3 R
称为动参考系，简称动系。例如在行驶的 汽车。以o’x’y’z’坐标系表示。
[注]： 1、参考系须指明固结于哪个参考体上，选择参 考体是选择参考系的关键。 2、动系与参考体有区别：参考体是有限的，而 参考坐标系是无限大的，故动系无限大。
3
7-1 相对运动 牵连运动 绝对运动
二、三种运动
１．绝对运动：动点对定系的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动
2 (aa aen )sin 30 3O r (l r ) aet cos 30 3l
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
28
7-4 牵连运动是定轴时点的加速度合成定理 科氏加速度
1、牵连运动为转动情况：
定理推导:
rM rM
r xi yj z k
3、 v a v e v r 大小 r ? ?
ve r 2 1 2 O1 A l r 2
方向 OA O1B //O1B ve va sin r sin
合成运动--加速度合成
va r0 vevar0
ve r 0 DB l
⑷ 牵连运动为平移，由加速度
合成定理
aa
ae ar
得
aaaenaet ar
大小 √ √ ？ ？ B 方向 √ √ √ √
y'
A
aenDC 0 30
ar
E
60
x'
aet O aa
aa r02
2）取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒 B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝 对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：
解：⑴ 取曲柄OA上的A点为动点，动系在丁字杆上
⑵ 研究三种运动
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动
va
ve
vr
D A
牵连运动：平移
O
⑶
由速度合成定理
va
ve
vr，
B
C
作速度平行四边形
E
va ve vr
va r
大小 √ ？ ？ 方向 √ √ √
vevasinrsin
在摇杆O1B上滑动并带动摇杆绕固定轴 O1摆动。 OA=r, OO1=l, 求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度和角加速度。
解：⑴ 取曲柄O1A上的A点为动点，动系在O1B上
⑵ 研究三种运动
x'
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动源自 veva
B
vr
牵连运动：转动
O
A
⑶
由速度合成定理
va
ac
21vr
2r3 2l
(r2 l2 )3
2
哈工大理论力学教研室《理论力学》复习大全(点的合成运动)
第7章 点的合成运动7.1 复习笔记一、合成运动 1．基本概念（1）合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
（2）定参考系：习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。
（3）动参考系：固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系。
（4）绝对运动：动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。
（5）相对运动：动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。
（6）牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
（7）动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相对速度r v 和相对加速度r a 。
（8）动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝对速度a v 和绝对加速度a a 。
（9）在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度，用符号e v 和e a 表示。
二、点的速度合成定理 1．点的速度合成定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
表达式为a e r v v v =+由此公式画出的平行四边形也称为速度平行四边形。
2．用速度合成定理解决问题步骤与注意事项（1）选取动点、动参考系和定参考系。
所选的动参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。
因此，动点和动参考系不能选在同一个物体上，一般应使相对运动易于看清。
动点与动参考系直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点），牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
（2）分析三种运动和三种速度。
相对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？牵连运动是怎样的一种运动(平移、转动或其他的某一种刚体运动)？绝对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？各种运动的速度都有大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。
天津大学理论力学课件运动学3点的合成运动
再如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小 球M以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运 动，如图示。将动坐标系固结在OB管上，以 小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在 动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、 t2瞬时分别到达M1、M2位置，
➢若选凸轮上的点（例如与A重合之点）为 动点，而动坐标系与AB杆固结，这样，相对
运动轨迹不仅难以确定，而且其曲率半径未 知。因而相对运动轨迹变得十分复杂，这将 导致求解（特别是求加速度）的复杂性。
第三节 牵连运动为平移时，点的加速度 合成定理
➢动点的绝对加速度、相对加速度和牵连加速度
绝对加速度aa：动点相对于静坐标系运动的加速度 相对加速度ar：动点相对于动坐标系运动的加速度
在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点 以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点 相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于 静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度
下图中，动坐标系OA上各点的速度大小不一 样
M点绝对速度va沿着绝对运动轨迹（半圆弧）在点M 处的切线方向，即va垂直于点M与圆心的连线； M点相对速度vr沿着动点M与动系（摇杆OA）的相对 运动轨迹的切线方向，即沿着OA上的滑槽方向；
EF 相接触，在两者接触处套上一小环 M，当 BC 杆
运动时，小环 M 同时在 BC、EF 杆上滑动。设曲柄 AB=CD=r，连杆 BC=AD=l，若曲柄转至图示角位 置时的角速度为，角加速度为，试求小环 M 的
加速度。
解：
动点：小环M
动系：固连在连杆BC上
静系：固连在地面上
绝对运动是沿 EF 的直线运动。aa 方向已知，沿 EF；
理论力学第7章分析解析
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
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点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
三种运动 （1）动点相对于静参考系的运动称为绝对运动 （2）动点相对于动参考系的运动称为相对运动 （3）动参考系相对于静参考系的运动称为牵连运动 一个动点；两个坐标系；三种运动
即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于 牵连加速度与相对加速度的矢量和。
a a a n
∴一般式可写为：
aa a ae a ar an a n e来自n r
加速度求解步骤
1. 取动点，动系 2.分析三种运动 3. 速度分析 4.加速度分析
[例] 已知：凸轮半径 R,vo ,ao 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。
§7-1 点的合成运动概念
点的运动对于不同的参考系是不同的 1) 图示沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点Ｍ的运动。 y y
M
O O C
x
x
对地面上的观察者： Ｍ点的轨迹是旋轮线 对车上的观察者： Ｍ点的轨迹则是一个圆。
2) 图示桥式吊车，卷扬小车 A边垂直起吊重物边行走。 y
A
O
x
M M 随小车一起运动的观察者：
们的方向不变，是常矢量，所以 d i ' 0, d y ' 0, d z ' 0 ）
dt dt dt
又
d vO ' aO ' ae , dt
d2 x ' d2 y ' d2 z ' ar i' j' k' 2 2 2 dt dt dt
aa ae ar
—牵连运动为平动时点的加速度合成定理
动 点
绝对运动
绝对轨迹 绝对速度 va 点的运动
相对运动
相对轨迹 相对速度 vr 相对加速度 ar
绝对加速度 aa
动系相对于静系的运动
静 系
固结于地面上的坐标系
牵连运动
刚体运动
动 系
固结于相对于地面 运动物体上的坐标系
28
理论力学
相对运动
动 点
动 系
牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！
不同瞬时，动点在 动系中的位置不同。
重物在在垂直方向作直线运动
地面观察者： 重物作曲线运动
观察发现： 点在一个参考体中的运动可以由几个运动组合而成。 车轮上Ｍ点： 对于地面，Ｍ沿旋轮线运动； y 以车厢为参考体，点Ｍ对于车厢的 运动是简单的圆周运动； M 车厢对于地面的运动是简单平动。 Ｍ点的运动就可以看成两个简单运 动的合成. O 即点Ｍ相对于车厢作圆周运动; 同时车厢对地面作平动.
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系， 基座为静系。 绝对速度 va = r ，方向 OA 相对速度 vr = ? ，方向//O1B 牵连速度 ve = ? ，方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。
r r 2 sin ,ve va sin 2 2 r l r 2 l 2 ve 1 r 2 r 2 又ve O1 A1 ,1 2 l 2 （ 2 2 O1 A r 2 2 r l r l
将上式两边同除以 t 后，
MM 1 M 1M MM lim lim lim 取 t 0 时的极限，得 t 0 t 0 t 0 t t t
va ve vr
va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：va—动点的绝对速度； vr—动点的相对速度； ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 ①动系作平移时，动系上各点速度都相等; ②动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
d x' d y' d z' va vO i j k dt dt dt
d va d vO d 2 x ' d2 y ' d2 z ' i' j' k' 对t求导 aa 2 2 2 dt dt dt dt dt
(其中 i ' , j' , k ' 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它
动点的牵连速度、牵连加速度指某瞬时动参考系上与动点 重合点的速度和加速度
符号： 动点的相对速度和相对加速度 动点的绝对速度和绝对加速度 动点的牵连速度、牵连加速度
vr , a r va , a a ve , ae
relative absolute embroil
动 点
绝对运动
试求:当 =60°时，CD杆的速度。 解：1. 运动分析 动点：CD上的C点；动系：固连于AB杆。 绝对运动：上下直线运动； 相对运动：沿AB直线运动； 牵连运动：铅垂平面内曲线平移。 2. 速度分析
va =ve+ vr
ve=vA=O1A× =0.2m/s, vCD=va= vecos=0.1m/s
第七章 点的合成运动
点和刚体相对一个定参考系的运动。
点的运动在直角坐标和弧坐标描述；
刚体简单运动为：平动和定轴转动。 物体相对于不同参考系的运动是不相同的。 运动的分解与合成： 研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同 参考系运动之间的关系，称为复杂运动或合成运动。
本章分析点的合成运动。分析运动中某一瞬时点的速度 合成和加速度合成的规律。
求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
①选取动点，动系和静系；
②三种运动的分析； ③三种速度的分析； ④根据速度合成定理 v v v a e r
作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
动点、动系的选择原则
①动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体， 否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动。动点不能是动系上的点。 ②动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
理论力学 30
动点、动系的选择原则
①动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体， 否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动。动点不能是动系上的点。 ②动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。
（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
理论力学
31
§7-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
牵连点
在某瞬时，动系中 与动点相重合的点。
牵连点对静系的速度和加速度分别称为 动点 的牵连速度 ve与牵连加速度 ae
理论力学
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va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：va—动点的绝对速度； vr—动点的相对速度； ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 ①动系作平移时，动系上各点速度都相等; ②动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线 AB运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平移。 由于牵连运动为平动，故
ve vO ' , ae aO '
由速度合成定理
va ve vr
d x' d y' d z' vr i' j' k' dt dt dt
绝对轨迹 绝对速度 va 点的运动
相对运动
相对轨迹 相对速度 vr 相对加速度 ar
绝对加速度 aa
动系相对于静系的运动
静 系
固结于地面上的坐标系
牵连运动
刚体运动
动 系
固结于相对于地面 运动物体上的坐标系
相对运动
动 点
动 系
牵连点是动系上的点，不同瞬时牵连点不同！
不同瞬时，动点在 动系中的位置不同。
§7-2 点的速度合成定理