导数的综合应用题型及解法

导数的综合应用题型及解法

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1.已知函数y =f (x) =X(X _c)2在x =2处有极大值，则常数c = 6 ；

题型二：利用导数几何意义求切线方程

2.求下列直线的方程：

3 2 2

(1)曲线八x x 1在P(-1,1)处的切线；(2)曲线八x过点p(3,5)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

3.已知函数f(x)=x3 ax2 bx c，过曲线X f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1

(l)若函数f(x)在x = -2处有极值，求f(x)的表达式；

(n)在(I)的条件下，求函数y = f(X)在［—3, 1］上的最大值；

(m) 若函数y = f(x)在区间［—2，1］上单调递增，求实数b的取值范围

3 2

4.已知三次函数f(x)

二x

ax bx c

在xi和x—1时取极值，且"-2)=-4 .

(1)求函数y"(x)的表达式；

(2)求函数y

=f(

x

)的单调区间和极值；

5.设函数f(x) =X(X -a)(x-b)

(1)若f(x)的图象与直线5x-y-8=0相切，切点横坐标为2,且f(x)在x = 1处取极值,

求实数a，b的值;

(2)当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点. 题型四：利用导数研究函数的图象

能是(D )

8 方程2x? _6x2+7 =0在(0,2)内根的个数为

A、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

f (x) = -- x3 +2ax2 -3a2x +b,0 v a < 1.

9•设函数 3

(1)求函数f(x)的单调区间、极值.

(2)若当X，［a2］时，恒有|f(x)^a，试确定a的取值范围.

2

10.已知函数f (x)= x3 + ax2+ bx + c在x=—3

与x= 1时都取得极值(1) 与函

数f (x)的单调区间

(2)若对x〔—1, 2〕，不等式f (x) :c2恒成立，求c的取值范围。题型六：利用导数研究方程的根

1 J3

■厂■— --

11.已知平面向量a=( -3, —1). b=(2, 2).

I I I I III

y

(1)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t2 —3)b，y=-k a+t b，x丄试求函数关系式

k=f(t);

⑵据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t) —k=0的解的情况.

题型七：导数与不等式的综合

12.设a 0,函数f(x) = x3-a x在［「：：)上是单调函数.

(1)求实数a的取值范围；

(2)设X。> 1，f(x) > 1, 且f(f(X0))=X0，求证:f(X0)=X。.

f (x) =(x2十m(x+a)

13.已知a为实数，函数

2

(1)若函数f(x)的图象上有与X轴平行的切线，求a的取值范围

(2)若f'(T)=0，求函数f(x)的单调区间

求a、b的值

题型八：导数应用题

14•统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y

(升)关于行驶速度x (千

1 3 3

y=------- x3 - — x+ 8(0cxO20).

米/小时)的函数解析式可以表示为：

128000 80

已知甲、乙两地相距100千米。

(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

题型九：导数与向量的结合

3 1

a = ，—二)，

b =(二)•

1.设平面向量 2 2 2 2若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,使

—T —& —* I —&

x =a (t _k)b, y - -sa tb且x _ y,

(1)求函数关系式S = f(t)；

(2)若函数S二f(t)在1上是单调函数，求k的取值范围。

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