第四章 河道流量演算与洪水预报2

减小；但由于这时水面比降比稳定流时增加了 SΔ,这又会 使得通过下断面的流量比稳定流时增加；落洪时，由于
上断面先落，下断面后落，情况与涨洪时相反。
v 寻找这样一个河段长，在其下断面处，由于水位变化引
起的流量变化正好与由于水面比降变化引起的流量变化
特
相互抵偿，以致河段的槽蓄量与其下断面流量呈单值关 系，即
= Q0
Q > Q0
1+ S∆ S0
位 流 量 关 系
v 落洪时 S∆为负， S∆ < 0 S0
Q < Q0
v 扩散波的水位流量关系为逆时针绳套，绳套大小由 S ∆
确定。
S0
扩散波从上游向下游转播，既要推移又要坦化
扩
v 扩散波有坦化（ S∆ ），有扭曲（流速的非线性），水位
流量关系、流量与断面面积关系和波速与流量关系均有绳
别为：
L＜ι
特
征
河
长
L=ι
法
的
实
L＞ι
质
基于特征河长的流量演算方法
差分法
12（I1 + I2）∆t − 12（Q1 + Q2）∆t = W2 −W1 （河槽水量平衡的差分方式）
W1 = KlQ1 W 2 = KlQ2
Q2 = C（0 I2 + I1）+ C2Q1
C0
=
0.5∆t 0.5∆t + Kl
法
v 由水力学可知，河段中任一断面的流量是水位和水面比
简
降的函数，即：
述
Q = Q(Z, S)
v 上式表示，水位的变化或比降的变化，或两者同时变
化，都将引起下断面流量O的变化。
v 设想保持中断面水位不变，如图示：
特
征
河
长
法
简
v 涨洪时，由于上断面先涨，下断面后涨，下断面水位比
述
稳定流时降低 ΔZ，使得通过下断面的流量比稳定流时
河 长
−
∂Q ∂Z
l 2
S∆
+
Q 2S
S∆
=
0
法 的
v 特征河长的微分表达式为：
实 质
l
=
Q0 S

∂Z ∂Q
0 假定
S = S0
l
=
Q0 S0

∂Z ∂Q
0
特
l
=
O0 S0

∂Z ∂O
0
征 河
v 上式表明，特征河长与河道的水力要素，即流量、比降 和水位－流量关系坡度有关。特征河长是河道水力特征
组
惯性项
摩阻项
动力方程可改写为：
求
解
问
题
讨
论
v Saint-Venant方程组中有Q、A、V、h四个未知数，当具 有Q=AV和A=f(h)时，原则上可以求解。但因其属拟线性
变系数双曲线型偏微分方程组，至今尚无严格的精确
解，水文学中常用简化方法。
洪水波的分类
运动波 扩散波 动力波
洪水波
动力波 扩散波 运动波 惯性波
马
v 合并同类项并经整理后得：
斯
O2 = C0 I2 + C1I1 + C2O1
京 根 法
C0
=
0.5∆t −KX 0.5∆t +K−Kx
C1
=
0.5∆t +KX 0.5∆t +K−Kx
C2
= −0.5∆t +K−KX 0.5∆t +K−Kx
C0 +C1+C2 =1.0
问
v 由水量平衡方程和槽蓄方程知，马斯京根法有两个基本
的关系。因此，河段的槽蓄量是流量沿程分布和断面水位
河
－流量关系的函数，将此函数关系称为槽蓄方程。
段
槽
蓄
方
程
W = f (流量沿程分布，断面水位流量关系)
河段的槽蓄方程
若无旁侧入流，忽略惯性项
−
∂Z ∂L
=
Q2 K2
=
v2 c2R
简化
W = f (Q, S)
v 若河段平均流量用入流量I和出流量Q来表示
散
套；
波
性
v 实际应用中，当惯性项较小可以忽略时，可以将其简化为
扩散波。
质
v 忽略惯性项及附加比降时，称为运动波（Kinematic Wave） 动量方程可改写为：
运
Q = K S0
动
v 因为运动波 S = S 0 所以水位流量关系是单一的。
波
运
v 运动波在传播过程中没有坦化，但可能有扭曲；水位流量
期
I
O
I+q
I+q-O
ΔW
W
Q‘ （m3/s）
时
（ m3/s） （ m3/s） （ m3/s） （ m3/s） （ 6h*m3/s） （ 6h*m3/s） x=0.4
x=0.45
8
2050
2110
14
2860
2950
20
4300
2100
dW (t) = 0 dt
（2）非稳定流：
涨洪 I (t) > Q(t) dW (t) > 0 dt
落洪 I (t) < Q(t) dW (t) < 0 dt
河段槽蓄量不随时间变化
河段槽蓄量增加 河段槽蓄量减少
附加比降大，河槽调节作用就大
v 河段的槽蓄量取决于河段中的水位沿程分布，即水面曲线
的形状。但知，河段中每一断面的水位与流量又存在一定
v 特征河长（抵偿河长）的概念由前苏联著名水文学家加
里宁和米留柯夫于1958年首先提出，借助特征河长概念
特
可以解释上述三种槽蓄关系存在的条件。
征
v 由于特征河长是一个很重要的概念，在河段汇流计算 中，常按特征河长作为单元河段长推求相应的汇流系数
河
或汇流曲线；在水位－流量关系单值化等方面也应用这
长
个概念。
假定：（1）在Δt时段内，入流量I，出流量O呈线性变
化；（2）在任何计算时刻，入流量I，出流量 O在河段
内沿程变化是线性的。
题
1 2
( I1
+
I2 )∆t
−
1 2
(O1
+
O2 )∆t
=
W2
− W1
W = f ( I , O ) = K [ xI + (1 − x )O ]
讨
论
v Why?（马法是河段流量演算
第四章 河道流量演算与洪水预报
River Flow Routing and Flood Forecasting
4.7 水力学的河道洪水演算方法
所需资料：河道地形数据
边界处理方式：
（1）对于上边界采用水位或流量过程； （2）对于下边界采用流量过程、水位过程或 者水位流量关系； （3）内部边界采用水力特性做处理。
河
W = f (Q, S)
W = f (I,Q)
段
（ 槽蓄曲线）
槽
蓄
v 河段的出流量Q与蓄水量W的关系
方
W = f (Q)
程
受附加比降影响，下断面流量与河段槽蓄量存在三种关系。
顺时针绳套关系
河
段 槽 蓄 方
下 断 面
程
流
量
单值关系
逆时针绳套关系
图解
v 槽蓄方程的性质：在河段中取任一河长dL，则
河
根
v 联解水量平衡方程和槽蓄方程，即：
法
1 2
( I1
+
I2 )∆t
−
1 2
(O1
+
O2 )∆t
=
W2
−
W1
W = f ( I , O ) = K [ xI + (1 − x )O ]
1 2
(I1
+
I2)∆t
−
1 2
(O1
+O2
)∆t
= K[xI2 +(1−x)O2] −[xI1 +(1−x)O1]
方程经简化后的的线性有限差解）
v 若 ∆t = K 则 C0 =C2
问
v 若 x = 0 则 C0 = C1
v 由 O 2 = C 0 I 2 + C 1 I 1 + C 2 O1 可知，
题
只有当 C0 = 0 时，马法才有预见期，预见期为Δt。
讨
C0
=
0.5∆t − 0.5∆t + K
Kx − Kx
=
0
0.5∆t − Kx = 0
论
∆ t = 2 K x, O2 = C1I1 + C 2O1
算例 长江万县—宜昌河段的X=0.25，K=△t=18h
C0 = 0.26 C1 = 0.48 C2 = 0.26
Q2 = 0.26I2 + 0.48I1 + 0.26Q1
参
v 方法涉及K 与 x 两个参数， 采用经验法（水文学方法）
长
的综合参数。河道的水力特征又决定了河道洪水波运动
法
的特点。
的
实
质
在演算河段长等于特征河长时，假定蓄量W和出流Q 间存在线性关系。
槽蓄方程：
W = f (Q)
W = KlQ
Kl 为常数，特征河长的传播时间
基于特征河长的概念容易证明河段槽蓄量与下断面
流量关系为逆时针绳套、单一线和顺时针绳套的条件分
河 段
I (t) − O (t) = dW (t) dt
水
v 上式的物理意义是：？
量
平
衡
方
程
河
段
水
量
平
衡
方
程
河段水量平衡方程的差分形式：
1 2
(I1
+
I2
)∆t
−
1 2
(O1
+
O2
)∆t
=W2
−W1
河槽的调节作用
I (t) − O(t) = dW (t) dt
（1）稳定流： I (t) = Q(t)
v 基于的槽蓄方程
W = K [ xI + (1 − x )O ] = K Q '
Q ' = xI + (1 − x )O
马
v 系数 x表示上、下断面流量在槽蓄量中的相对权重。如果河
斯
槽调蓄作用大，则x小，反之x大。例如，对水库而言，入流
京
量不起作用，x≈0；若入流与出流的影响相同，则 x=0.5；。
推求。假定不同的 x 值，以 O’～W 曲线关系单一作为选
择 x 值的标准。确定好O’～W 曲线关系后，求其坡度即
为 K 值。
数
v 现举例说明：已知某河段一场洪水的入流和出流过程，
Δt＝6h，粗略估计河段传播时间为12h。计算结果见下
推
表。
求
参 数 推 求
日 日 20 21
22
23 ∑
马斯京根法 W 与 Q’ 计算实例
；C2
=
− 0.5∆t + Kl 0.5∆t + Kl
一般预报河段的长度远大 于特征河长，按照特征河 长河段划分n段
n=L l
4.3 马斯京根法
1、由G.T.麦卡锡于1938年提出，首先应用于马斯京根河得名； 2、我国从20世纪50年代开始对该方法进行深入的研究，并逐步进行改进：
（1）1962年，华东水利学院提出马斯京根法有限差解的河网单位线； （2）长江流域规划办公室水文处导出出马斯京根法河道分段连续流量 演算的通用公式及完整的汇流系数表； （3）1982年，法国工程师康吉提出了马斯京根-康吉演算法； （4）1985年，华东水利学院提出了马斯京根法非线性解以及矩阵解。
段
槽
蓄
式中τ为洪水波的转播时间。
方
程
v 槽蓄量对流量的一阶导数就是河段的传播时间。此性质 是确定槽蓄方程中槽蓄系数的重要依据。
的
性
质
水量平衡方程
1 2
(I1
+
I2
)∆t
−
1 2
(O1
+
O2
)∆t
=
W2
− W1
槽蓄方程（槽蓄关系）
W1 = f (Q1)
W2 = f (Q2 )
无预见期
2、特征河长法 （Characteristic （River）Length Method）
流量演算法
4.4 流量演算法（Flow Routing Method）
4.4.1 圣维南方程组及其简化
Saint-Venant Equations and Various Simplifications
非
v 天然河道洪水波属长波，水流的水力要素随时空变
恒 定
化，是三维非恒定的问题。 v 三维非恒定的问题在其基本方程的理论假定及数学
惯性项
局地
迁移
√
√
×
×
×
×
√
√
附加比降
√ √ × √
河底比降
√ √ √ ×
摩阻比降
√ √ √ ×
2、圣维南方程组简化
v 所有各项全部考虑称为完全动力波（Full Dynamic Wave）求解困难。
v 对于受潮汐、闸、坝等严重影响的河段要用动
动
力波进行演算。
力
v 直接求解析解困难,但可以求数值解。
波
v 惯性项全部忽略时，称为扩散波（Diffusion Wave）
扩
Q=K
S0
−
∂h ∂L
散
v 因为
−
∂h ∂L
=
S∆
波
v 所以
Q=K
S0 + S∆ = K
S0
1+ S∆ S0
= Q0
1+ S∆ S0
扩 散 波 水
Q
v
= K S0 + S∆ = K
涨洪时
S∆为正，
S∆ S0
S0
>0
1+ S∆ S0
征 河
W = f (Q)
长
v 则该河长称为特征河长（抵偿河长）。
法
v 对 Q = Q(Z , S ) 求全微分，得
的
实 质
dQ = ∂Q dZ + ∂Q dS
∂Z
∂S
dQ = ∂Q dZ + ∂Q dS
∂Z
∂S
v 据特征河长的定义：
dQ
=
0，dZ
=
−
l 2
S∆
特 征
Q = K S ∴ ∂Q = Q ∂S 2S
求解上还存在诸多难题。
流
v 实际应用中常将问题简化为一维或二维非恒定问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问
求解。
题
v 描述一维非恒定水流运动的基本方程就是由法国科
学家圣维南（Saint Venant）1871 年提出。
1、圣维南方程组
圣
∂A + ∂Q = 0
维
∂t ∂L
连续方程
南
动力方程
方
程
水面坡度 局地惯性项 迁移惯性项 摩阻坡度
关系单一；
动
波
性
v 实际应用中，若流域上游地区或河底比降较大的河流，洪 水波可以简化为运动。
质
4.4.2 流量演算基本方程 1、基本方程
流
河段水量平衡方程
量
演
算
基
本
方
程
河段槽蓄方程
v 描述洪水波运动的连续方程对河段长积分，可导出河段的水
量平衡方程的微分形式：
河 段 水
∂Q + ∂A = 0 → ∂Q = − ∂A ∂L
∂L ∂t
∂t
量
v 对河段长L积分：
平 衡
∫ ∫ L
∂Q =
L − ∂A ∂L
0
0 ∂t
方 程
L
∫0 ∂Q = Q(L,t) − Q(0,t) = O(t) − I (t)
∫ ∫ L − ∂A ∂L = − ∂ L A∂L = − ∂W (t) = − dW (t)
0 ∂t
∂t 0
∂t
dt
v 连续方程对河段长积分的最终形式为：