2-第2章 结构动力学概述

周期性荷载
非周期性荷载
确定性荷载 动荷载
非确定性荷载 确定性荷载： 荷载的变化是时间的确定 性函数。
FP
冲击荷载
t
FP
简谐荷载
t
FP
突加荷载
t
7
非确定性荷载： 荷载随时间的变化是不确定的或不确知的， 例如：
25 20
又称为随机荷载。
Wind speed (m/s)
脉动风 平均风
t(sec)
风荷载
15 10 5 0 0
400
50
2 Acceleration (cm/s )
100
150
200
250
300
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的随机振动 分析。本课程主要学习确定性荷载作用下的结构振动分析。
ห้องสมุดไป่ตู้响应
实验研究:
• • • •
•
材料性能的测定； 结构动力相似模型的研究； 结构固有（自由）振动参量的测定； 结构动力响应的测定
振动环境试验等。
高速铁路桥梁 动力试验
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• 结构动力学的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在： •
• • • •
动力问题具有随时间而变化的性质；
数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；
对分布质量的实际结构，体系的自由度数为单元节点可发生的 独立位移未知量的总个数。 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点，是最灵活有效的 离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适 合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法。 已有不少专用的或通用的程序（如SAP， ANSYS等）供结构分 析之用。包括静力、动力 和稳定分析。
DOF=2
DOF=3

通常假定受弯直杆无轴向变形，否则自由度数还会增加； 如果考虑转动，自由度数还会增加。
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自由度数是否取决于质点数？ 不完全！
自由度数与结构是静定还是超静定有无关系？ No！ 实际工程结构的质量一般都是连续分布的，都是无限自由 度体系，通常将其简化为多自由度或单自由度体系分析。
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2.2 结构动力学的任务和研究内容
• 结构动力学的任务
a. 确定结构的固有动力特性，建立结构的固 有动力特性、动荷载和结构动力响应三者 间的相互关系； b. 提供结构动力响应分析方法；
c. 提供对结构进行动力设计的依据。
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• 结构动力学的研究内容
动荷载 结构 体系 控制
理论研究：
• 结构的响应分析（结构动力学的正问题） • 结构的参数识别或系统识别（反问题） • 荷载识别（反问题） • 结构的振动控制（当前科研重点问题） • 优化设计（动力设计，设计中考虑动力特性） 10
第一篇 结构动力学基础
第2章 结构动力学概述 第3章 单自由度体系的振动分析
第4章 多自由度体系的振动分析
1
第2章 结构动力学概述
•2.1 结构动力学基础 •2.2 动荷载的定义和分类 •2.3 结构动力学的任务和研究内容 •2.4 结构动力分析中体系的自由度 •2.5 结构的动力特性 •2.6 结构体系运动方程的建立
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2.5 结构体系运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
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单自由度体系模型
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[ 例2-1] 试用刚度法建立图示刚架的运动方程
y( t )
(t) (t) F F PP
m m
EI EI 11
ll EI 2 2 EI
EI EI l l 11
FP ( t ) FS 2
FI FS 1 FD
[ 解]
1） 确定自由度数: 横梁刚性，柱子无轴向变形。 1个自由度。 2） 确定自由度的位移参数。 y( t ) 3） 质量受力分析：取刚梁为隔离体，确定所受的所有外力！ 4） 列动平衡方程：
m1 x1 m2 x2 mk xk
mN xN
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2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列 规定的位移曲线的和来表示：
适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
k 1
n
则组合系数Ak(t)称为体系的广义坐标。 nπ x ( x ) bn sin l n 1
广义坐标 位移函数

广义坐标表示相应位移函数的幅值，是随时间变化的函数。 广义坐标确定后，可由给定的位移函数确定结构振动的位移曲线。 以广义坐标作为自由度，将无限自由度体系转化为有限个自由度。 所采用的广义坐标数代表了所考虑的自由度数。
y (t) c m k F (t)
质量块 m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数 c，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
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单自由度体系运动方程的建立（直接平衡法）
静力响应
输出 Output
内力 应力
数值
动荷载
大小 方向 作用点 时间变化
结构体系
输入 input
质量、刚度 阻尼、约束 频率、振型
动力响应
输出 Output
动位移 加速度 速度 动应力 动力系数 随时间变化
时间函数
4
2.1 动荷载的定义和分类
静荷载：
动荷载： 大小、方向和作用点不随时间变化或变化很缓 慢的荷载。 大小、方向或作用点随时间变化很快的荷载。
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3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
先把结构划分成适当（任意）数量的单元； 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标； 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
由此提供了一种有效的、标准化的、用一系列离散坐标 20 表示无限自由度的结构体系。
W=mg
F(t)
W=mg
m y
W=mg W=mg
动力自由度数目
→ 结构动力体系分类
m y
m y
m y
单自由度体系
结构动力体系


多自由度体系
无限自由度体系
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【例 】考察图示结构的自由度:
m m m
EI= m m
m
m y
m y
y m

EI= m
m
m
DOF=3
m
DOF=1
m
y x
x
m,I
y
DOF=？
t
惯性力是结构内部弹性力所平衡全部荷载的一个重要部分！ 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解； 需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼 特性分布的影响； P P (t)
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2.3 结构动力分析中体系的自由度
2.3.1 体系的动力自由度
静力自由度: 在静力学中，一个物体的自由度，通常定义 为确定此物体在空间中的位置以及全部变形状态 所需要的独立参数的数目。
5. 阻尼
y
t
T

结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。 结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。 由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。 阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。 等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：
FD cy
为质量的速度。 y c 为阻尼系数，
y (t) c F (t) m k
建立计算模型
y (t)
取质点为隔离 体画平衡力系
FD
FS
FI
F (t )
建立平衡方程
FI FD FS F (t )
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y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程：
FI FD FS F (t )
惯性力： 根据 d’Alembert原理： 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：
2
结构动力学是结构力学的一个分支， 着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、 应力等的时间历程），以便确定结构的承 载能力和动力学特性，或为改善结构的性 能提供依据。 动荷载的特性 结构的动力特性
结构响应分析
3
结构动力体系
位移
静荷载
大小 方向 作用点
结构体系
输入 input
刚度、约束 杆件尺寸 截面特性
质量 m = 结构的惯性； 弹簧 k = 结构的刚度； 阻尼器c = 结构的能量耗散.
22
2. 结构的动力响应
y
t
定义
表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性， 又称自振特性。
结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。
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3. 结构的自由振动与受迫振动
y
y
t
t
定义
在振动过程的任一时刻，为了表 示全部有意义的惯性力的作用，所必 须考虑的独立位移分量的个数，称为 体系的动力自由度。
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动力自由度:
动荷载 →结构产生弹性变形 荷载变化 →结构变形变化 变形变化 →结构上质点振动 质点振动 →惯性力 独立参数确定质量的位置 独立参数的数量：振动自由度
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度 显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比 是否可以忽略 动荷载的定义
荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质量运 动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则
把这种荷载称为动荷载。 问题：你知道有哪些动荷载？
5
6
动荷载的分类：
概念：动荷载是时间的函数！ 分类：
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直接平衡法
根据所用平衡方程的不同，直接平衡法又分为 刚度法和柔度法。 刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全 部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得 到体系的运动方程。 柔度法:
以结构整体为研究对象，通过分析所受的全部 外力，利用结构静力分析中计算位移的方法，根据 位移协调条件建立体系的运动方程。
mdx dx
DOF=∞
m
机器振动
y
y
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2.3.2 体系自由度的简化
1. 集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或 某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块 。
适用于大部分质量集中 在若干离散点上的结构。
例如：房屋结构一般简 化为层间剪切模型。
m
m1 m2
m1
m2
m3
mk
mN
大型桥梁结构 的有限元模型
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2.4 结构的动力特性
1. 数学模型
承受动力荷载的结构体系的主要物理特性：
质量、弹性特性、阻尼特性、外荷载 在最简单的单自由度体系模型中，所有特性都假定集结于 一个简单的基本动力体系模型内，每一个特性分别由一个 具有相应物理特性的元件表示：
y (t) c m k F (t)
定义
结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动， 这种振动称为结构的自由振动。 如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种 振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动 。
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4. 固有频率
y
t
T
质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为 周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。 结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。 对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力 自由度数相等。 结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。 25
FI m y
FS ky
FD cy
（2-0）
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阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积： 由此得到体系的运动方程：
cy ky F (t ) m y
建立体系运动方程的方法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。 虚功法 : 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。 变分法 : 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。 • 对于不同的结构体系建立运动方程时，三种方法的应用各 有所长。本课程仅讨论直接平衡法。
( x)
πx b1 sin l
2π x b2 sin l 3π x b3 sin l
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nπ x ( x ) bn sin l n 1

定义
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线为 y(x,t)，可用 一系列位移函数 k ( x ) 的线性组合来表示：
y( x ,t ) Ak ( t )k ( x )