幅相曲线
绘制下列传递函数的幅相曲线：
已知系统开环传递函数
试分别计算当 5-6 (1) (2) 5-7
0.5 和 2 时开环频率特性的幅值 A( ) 和相角 ( ) 。
5 ( 2 s 1)(8s 1) 10(1 s) G ( s) s2 G ( s)
试绘制下列传递函数的幅相特性曲线。
已知系统开环传递函数
试确定闭环系统临界稳定时的 K h 。 5-23 若单位反馈系统的开环传递函数
G ( s)
Ke 0.8s s 1
试确定使系统稳定的 K 的临界值。 5-24 设单位反馈系统的开环传递函数
G( s)
5s 2 e s ( s 1) 4
10 K1 ，当 r (t ) 10t 时，要 s(0.1s 1)( s 1)
题 5-17 图
5-18
已知系统开环传递函数
G(s)
10 s(0.2s 2 0.8s 1)
试根据奈奎斯特判据确定闭环系统的稳定性。 5-19 已知单位反馈系统的开环传递函数，试判断闭环系统的稳定性。
G ( s)
5-20 (1) (2) (3)
10 s2 s( s 1)( 1) 4
5-37
0. 4 s 1 0. 08s 1
计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。 设单位反馈系统的开环传递函数
G ( s)
K s( s 1)
试设计一串联超前校正装置，使系统满足如下指标 (1) 在单位斜坡输入下的稳态误差 ess 1 15 ； (2) 截止频率ωc ≥7.5 rad/s ； (3) 相角裕度γ≥45°。 5-38 设单位反馈系统的开环传递函数
试确定闭环系统稳定的延迟时间τ的范围。 5-25 某单位反馈系统的开环传递函数为 G ( s )
4-2 第二节 幅相特性曲线
对于Ⅰ型系统，当w → 0时，幅相特性曲线
有一条平行于虚轴的渐进线，该直线与实轴
的交点坐标u ，可以用下式确定。
ua
=
u0
=
lim
w→0
Re
⎡⎣G
(
jw)⎤⎦
例 1： G (s) = K ⎡⎣S (TS +1)⎤⎦
G(
jw)
=
(
K
jw) (1 +
jTw)
( ) =
−
1
KT + T 2w2
−
j
w
K 1+ T 2w2
出幅角超前输入幅角（导前）。
6、二阶振荡环节
G(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
wn——无阻尼自然频率 ξ ——阻尼比
G
(
jw)
=
(
jw)2
+
wn 2
2ξ wn (
jw)
+
wn 2
=
1
⎛⎜1 − ⎝
w2 wn 2
⎞ ⎟
+
⎠
j
2ξ w
wn
⎡ = ⎢1
⎢ ⎣
⎛ ⎜1
−
⎝
w2 wn2
⎞2 ⎟ ⎠
（3）曲线的中间形状取决于分子的一阶、
二阶微分环节的个数及G ( jw)中各因子的系
数。 一般标准传递函数的典型幅相特性曲线
如下图。
而对于非标准的传递函数则只能按照基 本定义进行分析。
例 1：绘制G (s) = K 的幅相特性曲线。
TS −1
G( jw) =
自动控制原理 第5章 频率法_2-1
1 2
)
(5-28)
M (w )
0.2 0.5
1
0.9
0
Mr
wr
wn w c
w
振荡环节的幅频特性
2 2
1 Tw 1 2 2 2 1 T w 2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 1 ,0 ， 2 半径为 1 。且当ω 由 0 时， G( jw ) 由 0 90 ， 2 说明惯性环节的频率特性在 G( jw ) 平面上是实轴下 方半个圆周。
20
1 T
和
(w ) 45
0
的交点为
工程上常用简便的作图法来得到L(w曲线，方法如下：
w
1 T
L(w ) 20 lg
1 T w
2
2
0 (dB)
即当频率很低时， L(w可用零分贝线近似； 低频渐近线
w
1 T
L(w ) 20 lg
1 T w
2
2
20 lg wT (dB)
当 w 10 时，20 lg G( j10) 20 lg 10 20(dB)
。
8
设 w'
10w
'
，则有
(5-36)
dB L(w )
60
20 lg w 20 lg 10w 20 20 lg w
可见，积分环节的对数幅频特 性是一条在w=1（弧度/秒）处 穿过零分贝线（w轴），斜率为 -20dB/dec的直线。 几何 意义 积分环节的相频特性是
(1) 幅相曲线 振荡环节的传递函数为： ( s) G
1 T w j 2Tw 1
2 2
自动控制原理常用名词解释
词汇第一章自动控制 ( Automatic Control) ：是指在没有人直接参与的条件下，利用控制装置使被控对象的某些物理量（或状态）自动地按照预定的规律去运行。
开环控制 ( open loop control )：开环控制是最简单的一种控制方式。
它的特点是，按照控制信息传递的路径，控制量与被控制量之间只有前向通路而没有反馈通路。
也就是说，控制作用的传递路径不是闭合的，故称为开环。
闭环控制 ( closed loop control) ：凡是将系统的输出量反送至输入端，对系统的控制作用产生直接的影响，都称为闭环控制系统或反馈控制 Feedback Control 系统。
这种自成循环的控制作用，使信息的传递路径形成了一个闭合的环路，故称为闭环。
复合控制 ( compound control ）：是开、闭环控制相结合的一种控制方式。
被控对象：指需要给以控制的机器、设备或生产过程。
被控对象是控制系统的主体，例如火箭、锅炉、机器人、电冰箱等。
控制装置则指对被控对象起控制作用的设备总体，有测量变换部件、放大部件和执行装置。
被控量 (controlled variable ) ：指被控对象中要求保持给定值、要按给定规律变化的物理量。
被控量又称输出量、输出信号。
给定值 (set value ) ：是作用于自动控制系统的输入端并作为控制依据的物理量。
给定值又称输入信号、输入指令、参考输入。
干扰 (disturbance) ：除给定值之外，凡能引起被控量变化的因素，都是干扰。
干扰又称扰动。
第二章数学模型 (mathematical model) ：是描述系统内部物理量（或变量）之间动态关系的数学表达式。
传递函数 ( transfer function) ：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。
零点极点 (z ero and pole) ：分子多项式的零点（分子多项式的根）称为传递函数的零点；分母多项式的零点（分母多项式的根）称为传递函数的极点。
概略幅相曲线例题
例5-1系统的开环传递函数为
，（）
试概略绘制系统的开环幅相曲线。
解开环系统由比例环节和两个惯性环节组成，开环频率特性为
幅频特性
相频特性
根据开环系统的幅频特性和相频特性，可以计算出时的幅值和相角，即得到幅相曲线的起始位置和终点位置。
由此可知，开环幅相曲线起始于正实轴，至原点的距离为K处，曲线的终点
在原点，且与负实轴相切进入原点，相角变化范围是。
大致的开环幅相曲线如图5-12所示。
例5-2 控制系统的开环传递函数为
试绘制系统大致的开环幅相曲线。
解与上例中的系统比较，开环传递函数中增加了一个积分环节，为1型系统。
幅相频率特性分别为
可知，相角变化范围：，开环幅相曲线起始于负实轴无穷远处，终点在原点，且曲线与正虚轴相切进入原点。
将频率特性写成实部与虚部的形式
分别称和为开环系统的实频特性和虚频特性。
在起点，
求幅相曲线与实轴交点（该点对于分析系统的稳定性非常重要），可令
，得
将代入实部，可得
系统的开环幅相曲线如图5－13所示。
若在系统的开环传递函数中再增加一个积分环节，即
则当时，，开环幅相曲线起始
于负实轴无穷远处，当，开环幅相曲线与正实轴相切进入原点，如图5－14所示。
开环幅相曲线绘制
( jω ) 2 + j 2ζω nω + ω n 2
ωn 2
1) 极坐标图
Im
ωn 2
2) 伯德图
ω 2 2 ω = (1 − ( ) ) + j 2ζ ωn ωn
40dB/dec ω
L(ω)/dB
ω =ωn
ω →∞ 0 ω →0 Re 1 1 φ(ω)/(o) 180 90 0 -90 ω
27
10
0 10
0
10
1
10
2
Frequenc y (rad/s ec )
(ω ) = 20 log [1 + (ωT ) 2 ] ≈ 20 log ωT ( dB )
26
5.3. 二阶微分环节
G ( s) = T 2 s 2 + 2ζ Ts + 1 = G ( jω ) = s 2 + 2ζω n s + ωn 2
Im ω →∞ Re
ϕ +90 对数相频特性： (ω ) = +90 对数相频特性：
L(ω)/dB 20dB/dec 0 1 φ(ω)/(o) 90 10 ω
o
0 ω →0
0 -90
ω
24
思考：一阶微分环节与惯性环节的 bode图之间的关系？
5.2 一阶微分环节 G(s)=1+Ts G(jω)= 1+jωT Im ω →∞ 1) 极坐标图 2 2 ω →0 幅频特性： 幅频特性：A(ω ) = 1 + ω T 0 1 ϕ 相频特性： 相频特性： (ω ) = arctan ωT 2) 伯德图
18
取一次近似， 取一次近似，且令
19
20
21
4.2.1 常用于描述频率特性的几种曲线
G1 ( jw)G2 ( jw) G1 ( jw) e j1 (w ) . G2 ( jw) e j2 (w ) G1 G2 e j1 2
20lg G1G2 20lg G1 20lg G2
几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加
G1G2 1 2
两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称
线 性 分 度
L( w)
40 20
dB
w
0.1 1 10 100
w 2f
rad / s (弧度/秒)
线 性 分 度
( w )
900
度
w
0.1 1 10 100
rad / s (弧度/秒)
－900
对数频率特性优点 – 展宽频率范围 – 对于不含不稳定环节的系统，可由对数频率特性得到系 统的传函。 – 典型环节可用直线或折线近似表示
• 幅频特性是w 的偶函数 • 相频特性是w 的奇函数
w : 0 的曲线和w : 0的曲线关于实轴对称
• 性能分析（尤其是稳定性）时不需要绘制精确 的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可
对数分度：
lg 2 0.301
lg 5 0.699
lg 7 0.845
lg 8 3 lg 2 0.903
4.2. 典型环节频率特性
4.2.1 常用于描述频率特性的几种曲线
• 幅相频率特性曲线简称幅相曲线，又称极坐标图。在复平面 上，以角频率 w为自变量，把频率特性的幅频特性 ——模和 相频特性 ——相角同时在复平面上表示出来的图就是幅相曲 线。
• 开环对数频率特性图(对数坐标图或Bode图) 包括 开环对数幅频曲线 和 开环对数相频曲线 横坐标为w，以对数分度， 十倍频程，单位是rad/s 频率w每扩大10倍，横轴上变化一个单位长度。因此，对 于w坐标分度不均匀，对于lgw 则是均匀的。
自动控制原理
幅频特性和相频特性分别为
G( j )H ( j ) K
1
1
T12 2 1 T22 2 1
G(
j )H (
j )
arctgT1
arctgT2
arctg
(T1 T2 ) 1 T1T2 2
34
1 极坐标图
当 0 时，G( j)H ( j) K,G( j)H ( j) 00
当 1
时，G( j )H ( j ) K T1T2 ，G( j )H ( j ) 900
对数相频特性
ω
tg1
2ζ Tω 1 T2ω2
低频段，即ωT<<1时
Lω 20lg1＝0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
22
Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
高频段，即ωT>>1时
L( ) 20 lg( 2T 2 ) 40 lg(T )
当ω增加10倍
部和虚部，求出渐近线;
5. 最后在G(jω)H(jω)平面上绘制出系统开环频率特性的
极坐标图。
2
绘制系统开环频率特性的极坐标图，需把系统所包含 的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
例5.2 ：求如下传递函数的极坐标图。
Gjω ejω T
1 jω T 解： G(jω)可写为：
Gjω e jω T 1
0.1
0.2 0.3
0.7 1
0.1
0.2 0.3 0.7
1
0.2
0.4 0.6 0.8 1
/n
2
4 6 8 10
24
可见：当频率接近 ω ωn 时，将产生谐振峰
值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。
自动控制_05c开环频率特性曲线的绘制
K (1 T1T2 2 ) Q( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
而 A( ) K
1
1 T
2 1
2
1 1 T
2 2 2
( ) 90 arctanT1 arctanT2 ,
当ω＝0时 P(0) K (T1 T2 ),Q() , A(0) , (0) 90 表 明低频率段的渐近线是一条过实轴－K(T1+T2)点且平行于 虚轴的直线。 当ω→∞时 P() 0, Q() 0, A() 0, () 90 90 90 270 可见，此时高频段是以－270°作为极限角而卷入坐标原点 的。
设系统开环传递函数 G ( s ) 中含有V个积分环节，其相应 的频率特性为 m1 m2 2 2 ( 1 j ) [ ( j ) 2 k k ( j ) 1] i k K i 1 k 1 G ( j ) n1 n2 v ( j ) (1 jT j ) [Tl 2 ( j ) 2 2 lTl ( j ) 1]
图5-26 例5-2系统的幅相频率特性
在绘制系统的开环极坐标时，应注意曲线所具 有的一些特征。例如：当ω→0时低频段曲线从何 处出发？而当 ω→∞时的高频段特性曲线以什么姿 态卷向原点？曲线在ω值为多大时跨越实轴或虚轴？ 跨越点的坐标值如何？等等。后两个问题我们已经 作过说明，下面讨论前两个问题。
K (1 jT1 )(1 jT2 ) G ( j ) (1 jT1 )(1 jT2 )(1 jT1 )(1 jT2 )
K [(1 T1T2 2 ) j (T1 T2 ) ] 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) K (1 T1T2 2 ) K (T1 T2 ) j 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
自动控制原理 第五章第二节幅相频率特性(上)
（6） 振荡环节
G(s) =
s2
2 n
+
2
n
s
+
2 n
=
(
s
1 )2 + 2
s
=
2 n
+ 1 (s − 1 )(s − 2 )
1
n
n
G(jω)
=
1−
ω2 ωn2
+
j2ξ
ω ωn
G=
1
[1
−
2
2 n
]2
+ [2 2
n
]2
G
=
−arctan
1
−
ωn
2
2 n
G(j0) = 10 G(j) = 0 − 180
5.2 幅相频率特性（Nyquist图）（上）
⑺ 二阶复合微分
G(j ) = 1 − 2
G(s) = T2s2
+ j2
+
2
Ts
+
T=1
1=
n
(
s
n
)
2
+
2
s
n
+1
2 n
n
G=
[1
−
2
2 n
]2
+
[2
n
]2
2
G + = arctan
n 2
1
-
2 n
5.2 幅相频率特性（Nyquist图）（上）
0.707 ( 45)
= 0.707
( = 45) 0 0.707
( 45 90)
=0 ( = 90)
开环幅相曲线
G K ( jω ) =
由开环频率特性可知，系统为 0 型，即ν = 0 。
0
k 1 1 T1T2 ( jω + )( jω + ) T1 T2
0
幅相曲线的起点为： GK ( j 0) = k∠0 ，幅相曲线的终点为： GK ( j∞) = 0∠ − 180 。 粗略画出幅相曲线如下：
1 ，试绘制系统幅相曲线。 s ( s + 1) 1 1 1 解：统的开环频率特性： GK ( jω ) = =− −j 2 ω (1 + ω 2 ) jω ( jω + 1) 1+ ω 由开环频率特性可知，系统为 I 型，即ν = 1 。 于是幅相曲线的起点为： GK ( j 0) = ∞∠ − 90 0 ，当 ω = 0 时，实部函数有渐近线-1。
2
k ( j 2ω + 1) ( jω ) ( j 0.5ω + 1)( jω + 1) 由开环频率特性可知，系统为 2 型，即ν = 2 。 0 于是幅相曲线的起点为： GK ( j 0) = ∞∠ − 180 0 幅相曲线的终点为： GK ( j∞) = 0∠ − 270 GK ( jω ) =
5.3 系统开环频率特性的绘制 一、 开环及坐标图 将开环传递函数表示为时间常数表达形式
G (s) =
b0 s m + b1s m-1 + a0 s n + a1s n-1 +
+ பைடு நூலகம்m-1s + bm =K + an -1s + an
∏ (τ k s + 1)∏ (τ l2 s 2 + 2τ lς l s + 1)
Gk ( j 0+ ) =
开环幅相曲线
开环幅相曲线是指在开环系统中，输出信号的振幅与相位随输入信号频率的变化关系。
它是评估系统稳定性和频率响应的重要工具。
在本文中，我将详细介绍开环幅相曲线的概念、作用和构建方法。
一、开环幅相曲线的概念开环幅相曲线是描述开环系统频率响应的一种图形表示方法。
它展示了系统对不同频率输入信号的增益和相位特性。
通过观察开环幅相曲线，我们可以了解系统在不同频率下的响应情况，进而判断系统的稳定性和频率补偿的需要。
二、开环幅相曲线的作用1. 系统稳定性评估：开环幅相曲线可以帮助我们评估系统的稳定性。
在频率响应中，如果开环增益在某个频率上达到0dB，系统可能存在稳定性问题。
这个频率被称为系统的临界频率，超过这个频率，系统可能会产生振荡。
2. 频率补偿设计：通过观察开环幅相曲线，我们可以确定系统的频率补偿需求。
如果开环增益在特定频率范围内下降较快，我们可以采取相应的频率补偿措施，以提高系统的稳定性和性能。
3. 滤波器设计：开环幅相曲线对于滤波器设计也非常有用。
通过分析开环幅相曲线，我们可以确定滤波器的通带、截止频率和阻带等参数，从而满足特定的滤波要求。
三、开环幅相曲线的构建方法构建开环幅相曲线的一种常用方法是使用频率响应仪器或者模拟仿真软件。
下面是具体的步骤：1. 设计测试信号：选择适当的测试信号，例如正弦波或者脉冲信号。
测试信号的频率应该覆盖感兴趣的频率范围。
2. 测试系统响应：将测试信号输入到待测试系统中，记录输出信号的幅值和相位。
3. 绘制幅相曲线：根据记录的幅值和相位数据，绘制系统的幅相曲线。
通常，幅值使用对数坐标表示，相位使用线性坐标表示。
4. 分析曲线特性：通过观察幅相曲线，分析系统在不同频率下的响应特性。
关注增益的变化和相位的变化，判断系统的稳定性和频率补偿的需求。
四、总结开环幅相曲线是评估开环系统频率响应的重要工具。
它可以帮助我们评估系统的稳定性，并指导频率补偿设计和滤波器设计。
构建开环幅相曲线的方法包括设计测试信号、测试系统响应和绘制幅相曲线。
自动控制原理-第5章2
时的情况。 讨论 0 ≤ ζ ≤ 1时的情况。当K=1时，频率特性为： 时 频率特性为：
1 G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) + j 2ζωT
实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 1 − T 2ω 2 − 2ζωT P(ω ) = , Q (ω ) = 2 2 2 2 2 2 (1 − T ω ) + 4ζ ω T (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2
1
二、幅相曲线（极坐标图、奈奎斯特图） 幅相曲线（极坐标图、奈奎斯特图）
比例环节： ⒈ 比例环节： G ( s ) = K ;
G ( jω ) = K
P Q 虚频特性： 实频特性 ： (ω ) = K ；虚频特性： (ω ) = 0 ；
ϕ 幅频特性： (ω ) = K ；相频特性： (ω ) = 0 A 相频特性： 幅频特性：
ϕ (ω ) = −
− tg −1T1ω − tg −1T2ω
[分析 、当 ω = 0 时， (0) = −k (T1 + T2 ), Q(0) = −∞, ϕ (0) = − π 分析]1、 分析 P 2 G 显然， 显然，当 ω → 0 时， ( jω )的渐近线是一条通过实轴 − k (T1 + T2 ) 点， 且平行于虚轴的直线。 且平行于虚轴的直线。
A(ω ) = P (ω ) 2 + Q(ω ) 2 =
−1
1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ζωT ) 2
Q(ω ) −1 2ζωT ϕ (ω ) = tg = −tg P(ω ) 1 − T 2ω 2
6
振荡环节的奈氏图
1 − T 2ω 2 P (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2 − 2ζω T Q (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + 4ζ 2ω 2T 2
4-2频率特性图形表示
1 ) 2
ξ
= −90 + arcsin
0
ξ
1−ξ 2
振荡环节的幅值特性曲线如图 所示。在 0 <ω <ωr 的范 围内，随着ω的增加， M(ω) 缓慢增大；当 ω =ωr 时， (ω)达到 M 最大值 Mr ；当 ω > ωr时，输出幅值衰减很快。 当阻尼比 ξ >1 时，此 时振荡环节可等效成两个 不同时间常数的惯性环节 的串联， 即
2
Tω = v(ω) 2 2 1+T ω
则有
1 2 u(ω) − + [v(ω)] 2 1 1 −Tω 1 = − + = 2 2 2 2 2 1+T ω 1+T ω 2
2 2 2
这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 2 ,0 ，半径为 。且 2 当ω由 0 →∞时，∠G( jω) 由 0° → −90° ，说明惯性环节的频率特 性在 [G( jω)] 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。惯性环 节是一个低通滤波环节 相位滞后环节 低通滤波环节和相位滞后环节 低通滤波环节 相位滞后环节。在低频范围内，对 输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内， 幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为90゜ 。
K 即 G(s) = 2 2 ，其对应频率特性 G( jω) 的起点 为 T s + 2ξTs +1
G( j0) = K, ∠G( j0) = 00
(ω = 0)
（五） 一阶微分环节 典型一阶微分环节的传函数为
G(s) = τs +1
其中τ为微分时间常数、1为比例项因子，由于实际的物理系 理想微分环节或纯微分环节（即不含比例项）是不存在的， 统中理想微分环节或纯微分环节 理想微分环节或纯微分环节 因此用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。
绘制下列传递函数的幅相曲线：
习题5-1 试求图5-76(a)、(b) 所示网络的频率特性。
图5-76 R-C 网络5-2 某系统结构图如图5-77所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(t c s 和稳态误差)(t e s(1) t t r 2sin )(=(2) )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 5-3 若系统单位阶跃响应h t e e t t t()..=-+≥--11808049试求系统频率特性。
5-4 绘制下列传递函数的幅相曲线： ()()/1G s K s = ()()/22G s K s = ()()/33G s K s =5-5 已知系统开环传递函数 )15.0)(12(10)()(2+++=s s s s s H s G试分别计算当5.0=ω 和2=ω 时开环频率特性的幅值)(ωA 和相角)(ωϕ。
5-6 试绘制下列传递函数的幅相特性曲线。
(1) G s s s ()()()=++52181(2) G s s s ()()=+10125-7 已知系统开环传递函数 )1()1()(12++-=s T s s T K s G ； 12(,,0)K T T >当1=ω时，()180G j ω∠=-︒，5.0)(=ωj G ；当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为 1，试写出系统开环频率特性表达式)(ωj G 。
5-8 已知系统开环传递函数 )1)(1(10)(2++=s s s s G 试概略绘制系统开环幅相曲线。
5-9 绘制下列传递函数的渐近对数幅频特性曲线。
(1) G s s s ()()()=++22181(2) G s s s s ()()()=++20011012(3) G s s s s s s ()(.)(.)()=++++40050212(4) G s s s s s s s ()()()()()=+++++20316142510122(5)G s s s s s s s ()(.)()()=+++++8011425225-10 若传递函数 G s KsG s v ()()=0 式中，)(0s G 为)(s G 中，除比例和积分两种环节外的部分，试证ω11=K v式中，1ω为近似对数幅频特性曲线最左端直线（或其延长线）与零分贝线交点的频率，如图5-78所示。
尼奎斯特曲线和幅相曲线
尼奎斯特曲线和幅相曲线尼奎斯特曲线及其应用是近几年比较热门的研究方向，因为它具有很多特点，如曲率等。
尼奎斯特曲线本身是一类随机曲线，幅相曲线是它的一类特殊情况。
两者都是曲线，但它们之间存在着很多不同，以及在数学表示中不同。
尼奎斯特曲线本质上是一种几何图形，它是一类二维曲线，它的特点是曲率被不同的参数控制，通过控制参数可以达到想要的图形。
尼奎斯特曲线具有很高的灵活性，可以用来精细描绘曲线，比如椭圆，抛物线等。
一般来说，尼奎斯特曲线可以用以下几种方式来表示：1.勒级数：可以将尼奎斯特曲线表示为无限序列中的和，称为泰勒级数表达式。
2.数方程：利用参数的方式来表示尼奎斯特曲线，通常用参数方程来定义它。
3.微分方程：用偏微分方程的形式来表达尼奎斯特曲线，其中的特性得到了很大的认可。
幅相曲线是尼奎斯特曲线的一个特殊情况，它表示的是尼奎斯特曲线的投影到平面上的曲线。
它是一种简单的曲线，一般是结构清晰、曲线美观的，由此可见它在形状上的优势。
无论是尼奎斯特曲线还是幅相曲线，都是数学中一类具有许多特点的曲线，它们可以应用于许多领域，如几何学、物理和工程等。
尼奎斯特曲线和幅相曲线在生物学、气候学等研究领域发挥着重要的作用，它们也在统计学中被广泛应用。
例如，尼奎斯特曲线和幅相曲线可以用来描述统计数据，如温度变化和气压变化的趋势，可以用来对数据进行分析和预测，这非常有用。
此外，尼奎斯特曲线在惯性导航中也发挥了重要作用，它可以用来描述空间仿真、提高导航精度和减少飞行时间等。
尼奎斯特曲线和幅相曲线是一类非常有用的曲线，它们在很多领域都起着重要作用。
它们的表示方式有很多种，可以根据实际需求来灵活选择，以满足应用场景的要求。
因此，尼奎斯特曲线和幅相曲线在现在的学术界及应用领域中得到了越来越多的关注，它们应用的可能性正在不断增加，未来它们在更多领域发挥着重要作用。
自动控制理论名词解释2222
自动控制理论名词解释反馈：指将系统的输出返回到输入端并以某种方式改变输入，进而影响系统功能的过程，即将输出量通过恰当的检测装置返回到输入端并与输入量进行比较的过程。
相频特性：相移角度随频率变化的特性叫相频特性调整时间Ts ：响应曲线达到接近稳态值的±5％（或±2％）之内时所需要的时间，定义为调整时间。
离散控制系统：控制系统在某处或几处传递的信号是脉冲系列或数字形式的在时间上是离散的系统，称为离散控制系统或离散时间控制系统。
最大超调量M p ：阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比。
上升时间t r ：从零时刻首次到达稳态值的时间。
.峰值时间t p ：从零时刻到达峰值的时间，即阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。
.当ζ>1时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。
当0<ζ<1时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。
当阻尼比ζ=1时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态。
当阻尼比ζ=0时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。
主导极点：如果闭环极点离虚轴很远，则它对应的暂态分量衰减得很快，只在响应的起始部分起一点作用，而离虚轴最近的闭环极点(复极点或实极点)对系统瞬态过程性能的影响最大，在整个响应过程中起着主要的决定性作用，我们称它为主导极点。
偶极子：当极点s i 与某零点z j 靠得很近时，它们之间的模值很小，那么该极点的对应系数A i 也就很小，对应暂态分量的幅值亦很小，故该分量对响应的影响可忽略不计。
我们将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。
数学模型：描述自动控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式称为数学模型。
输入节点（又称源点）：只有输出支路的节点叫输入节点或源点。
输出节点（又称陷点）：只有输入之路的节点叫输出节点，它对应于因变量或输出信号。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点叫混合节点。
积分环节幅相曲线
积分环节幅相曲线1. 什么是积分环节幅相曲线积分环节幅相曲线是一种在控制系统理论中经常使用的工具，用于分析系统的稳定性和性能。
它反映了系统对输入信号的积分响应和相位响应。
2. 积分环节幅相曲线的特点积分环节幅相曲线具有以下特点：2.1 频率响应特性积分环节幅相曲线可以展示系统在不同频率下的增益和相位延迟。
通过观察曲线的形状，可以判断系统的频率响应特性。
2.2 稳定性分析对于一个控制系统来说，稳定性是一个重要的指标。
积分环节幅相曲线能够帮助分析系统的稳定性，并判断系统是否满足稳定性要求。
2.3 动态性能分析通过观察积分环节幅相曲线，可以分析系统的动态性能，比如超调量、响应时间等。
2.4 相位裕度和增益裕度积分环节幅相曲线也可以用于计算相位裕度和增益裕度，以判断系统对干扰和参数变化的承受能力。
3. 积分环节幅相曲线的绘制方法绘制积分环节幅相曲线的方法如下：3.1 建立数学模型首先，需要根据实际系统建立数学模型，包括系统的传递函数或状态空间方程。
3.2 将传递函数转化为频域形式将系统的传递函数转化为频域形式，可以得到系统的频率响应函数。
3.3 计算幅频特性和相频特性通过频率响应函数，可以计算系统的幅频特性和相频特性。
幅频特性表示系统对不同频率的输入信号的增益，相频特性表示系统对不同频率的输入信号的相位延迟。
3.4 绘制幅频特性曲线和相频特性曲线根据计算得到的幅频特性和相频特性，可以绘制积分环节幅相曲线。
4. 积分环节幅相曲线的应用积分环节幅相曲线在控制系统设计和分析中具有广泛的应用，包括：4.1 系统稳定性分析通过观察积分环节幅相曲线，可以判断系统是否满足稳定性要求。
如果曲线与稳定性边界重叠，则系统是稳定的；如果曲线与稳定性边界相交，则系统是边界稳定的；如果曲线与稳定性边界相离，则系统是不稳定的。
4.2 控制器设计积分环节幅相曲线可以用于控制器的设计。
通过分析曲线的特点，可以选择合适的控制器类型和参数，以满足系统的性能要求。
开环幅相曲线
开环幅相曲线是控制系统中常用的一种性能指标，用于描述系统在开环状态下信号的频率特性和相位特性。
它反映了系统对不同频率输入信号的增益和相位延迟情况，对于分析和设计控制系统具有重要的意义。
本文将详细介绍开环幅相曲线的定义、测量方法、分析和应用。
一、开环幅相曲线的定义开环幅相曲线是指控制系统中输出与输入之间的幅度和相位关系的曲线。
它描述了系统对不同频率输入信号的增益和相位延迟情况。
在频率域中，开环幅相曲线通常以频率为横轴，以幅度和相位为纵轴进行表示。
通过分析开环幅相曲线，可以了解系统对不同频率信号的响应特性，从而对系统的稳定性、抗干扰性等性能进行评估和优化。
二、开环幅相曲线的测量方法1. 频率扫描法：通过改变输入信号的频率，观察输出信号的幅度和相位变化情况。
可以使用频谱分析仪或示波器等工具进行测量。
在实际操作中，通常会选择一系列等间隔的频率点进行扫描，并记录相应的输出幅度和相位值，然后绘制成开环幅相曲线。
2. 步进法：通过逐步改变输入信号的幅度，观察输出信号的幅度和相位变化情况。
可以使用信号发生器和相位计等仪器进行测量。
在实际操作中，首先选择一个基准频率和幅度，逐步增加或减小输入信号的幅度，同时记录相应的输出幅度和相位值，最后绘制成开环幅相曲线。
三、开环幅相曲线的分析1. 幅度特性分析：通过观察开环幅相曲线的幅度响应，可以了解系统对不同频率信号的增益情况。
一般来说，系统在低频段具有较高的增益，而在高频段则呈现下降的趋势。
通过分析幅度特性，可以评估系统的放大能力和频率响应范围，从而确定系统的带宽和增益裕度。
2. 相位特性分析：通过观察开环幅相曲线的相位响应，可以了解系统对不同频率信号的相位延迟情况。
相位延迟越大，系统的响应速度越慢。
相位特性分析可以帮助评估系统的相位裕度和稳定性，从而确定系统的相位补偿策略和控制器设计。
3. 稳定性分析：开环幅相曲线可以用来评估系统的稳定性。
一般来说，系统在增益趋于无穷大和相位为-180度（或0度）时容易出现稳定问题。
积分环节幅相曲线
积分环节幅相曲线1. 什么是积分环节幅相曲线？积分环节幅相曲线（Integral Loop Gain Phase Curve），简称ILGPC，是指在控制系统中，通过改变积分环节的增益和相位来调整系统的稳定性和性能。
它描述了控制系统的频率响应特性，可以帮助工程师设计和优化控制系统。
2. 积分环节的作用在控制系统中，积分环节常用于消除静态误差。
当系统存在静态误差时，可以通过增加积分环节来实现误差的自动校正。
积分环节的作用是将误差信号累积并与时间相关联，从而逐渐减小误差。
3. 积分环节幅相曲线的绘制方法绘制积分环节幅相曲线需要进行以下步骤：步骤一：确定控制系统的传递函数首先需要确定控制系统的传递函数，即将输入信号转换为输出信号的数学表达式。
传递函数通常表示为G(s)，其中s为复变量。
步骤二：计算开环传递函数根据控制系统的传递函数G(s)，可以计算开环传递函数G(s)H(s)，其中H(s)表示积分环节的传递函数。
开环传递函数是指在没有反馈的情况下，输入信号经过控制系统后的输出信号。
步骤三：绘制Bode图根据开环传递函数G(s)H(s)，可以绘制Bode图。
Bode图是一种常用的频率响应图，它由幅度曲线和相位曲线组成。
通过绘制Bode图，可以直观地观察到控制系统在不同频率下的增益和相位特性。
步骤四：确定积分环节的增益和相位根据Bode图，可以确定积分环节的增益和相位。
增益表示系统在不同频率下输出信号与输入信号之间的比例关系，而相位表示输出信号与输入信号之间的时间差。
步骤五：绘制积分环节幅相曲线根据确定的积分环节增益和相位，可以绘制积分环节幅相曲线。
幅相曲线将增益和相位作为横纵坐标，形成一条曲线。
通过观察幅相曲线，可以评估控制系统的稳定性和性能，并进行调整和优化。
4. 积分环节幅相曲线的分析和应用积分环节幅相曲线的分析和应用主要包括以下几个方面：稳定性分析通过观察幅相曲线，可以判断控制系统是否稳定。
当幅相曲线的增益大于0dB且相位小于-180°时，系统是稳定的。
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自动控制原理
本次课程作业(19)
5 — 4, 5, 6, 7 5 — 8 (选作)
自动控制原理
（第 19 讲）
§5. 线性系统的频域分析与校正
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8 §5.9 频率特性的基本概念 幅相频率特性（Nyquist图） 对数频率特性（Bode图） 频域稳定判据 稳定裕度 利用开环频率特性分析系统的性能 闭环频率特性曲线的绘制 利用闭环频率特性分析系统的性能 频率法串联校正
X jY
A:
w A 1 6.2 0.402 G( jw A ) 0.0267 j 0
wB 6.2 2.49 B: G( jw ) 0 j 0.412 B
§5.2.2
开环系统的幅相频率特性 （5）
5 例9 G ( s ) ，画G(jw)曲线。 s( s 1)(2 s 1) 5 j 5(1 jw )(1 j 2w ) 解 G( jw ) jw (1 jw )(1 j 2w ) w (1 w 2 )(1 4w 2 )
⑻ G( jw ) e
j w
w2 w 1 2 j 2 wn wn
1
1 jw
1
w w j 2 2 wn wn
2
§5.3.2
开环系统的幅相频率特性 （1）
K ( τ i s 1)
i 1 n v m
§5.2.2 开环幅相特性曲线的绘制
K ( τ 1 s 1)( τ m s 1) G( s ) v s (T1 s 1)(Tn v s 1)
由j(w0)：
G( jw0 ) 90
w 0 w n
w0 wn 10
1 3
K 2 由|G(w0)|： G(w0 ) 3 2 2
2 102 G( s) 1 s 2 2 10s 102 3
200 s 2 6.67s 100
§5.2
K ( s 1) G2 ( s ) 2 s (T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
G2 ( j 0) 180
G2 G2 ( 180)
G2 G2 ( 180)
G2 ( j) 0 360
§5.2.2
开环系统的幅相频率特性 （4）
s3 s3 例8 G ( s ) ( s 0.2)(s 1)(s 5) (1 5s )(1 s )(1 0.2s )
G( j 0) 0 270
G G
G( j) 10
jw 3 (1 j 5w )(1 jw )(1 j 0.2w ) G( jw ) (1 25w 2 )(1 w 2 )(1 0.04w 2 ) w 4 (6.2 w 2 ) jw 3 (1 6.2w 2 ) (1 25w 2 )(1 w 2 )(1 0.04w 2 )
15 5(1 2w 2 ) j 2 2 (1 w )(1 4w ) w (1 w 2 )(1 4w 2 )
G( j 0) 90 G( j) 0 270
§5.2
⑻ 延迟环节
r (t ) (t )
幅相频率特性 ( Nyquist )（12）
G( s) e s
c( t ) k ( t ) ( t ) R( s ) 1
C ( s) G( s ) e s R( s )
C ( s) e s
G( jw ) e
1 jwT
⑷ G( jw ) 1 ( 1 jwT) ⑸ G( jw ) 1 jwT
e-j w
K
w2 w ⑹ G( jw ) 1 1 w 2 j 2 w n n
1 1 jw T
1 1 jw T
w2 w G ( j w ) 1 j 2 ⑺ 2 wn wn
1 w 2T2 G arctan wT
课程回顾（3）
不稳定惯性环节
G ( jw )
1 1 jwT 1 G 1 w 2T2
1 G( s) Ts 1
G arctan
⑸ 一阶复合微分
wT
-1
180 arctanwT
G( s ) Ts 1
K 1 j iw
m m
s v (Tj s 1)
j 1
G (w )
w
v
i 1 n v
1 jT jw
j 1
K 1 i2w 2
w v 1 T j2w 2
j 1
i 1 n v
j (w ) G( jw ) (1 j iw ) v 90 (1 jT jw )
v
起点
v0 K0 90v v 0
终点 0 90( n m )
§5.2.2
例7 G1 ( s )
开环系统的幅相频率特性 （3）
K s 2 (T1 s 1)(T2 s 1)
G1 G1
G1 ( j 0) 180 G1 ( j) 0 360
G ( jw ) 定义二： G ( jw ) G ( s ) s jw G ( jw ) 定义三： G( jw ) C ( jw ) R( jw )
课程回顾（2）
§5.2 幅相频率特性（Nyquist图）
G( jw ) K G ( jw ) jw
§5.2.1 典型环节的幅相特性曲线
⑴ 比例环节
⑵ 微分环节 ⑶ 积分环节 ⑷ 惯性环节
G( s ) K
G( s ) s
1 G( s) s
G( s)
1 G( jw ) jw
G K G 0 G w G 90 G 1 w G 90
1 Ts 1
G
1
1 G ( jw ) 1 jw T
G( jw ) 1 jwT
G 1 w 2T 2
G arctan wT
180 arctan wT
§5.2
幅相频率特性 ( Nyquist )（6）
§5.2.1 典型环节的幅相特性曲线
2 2 1 wn wn ⑹ 振荡环节 G( s ) 2 2 s s s 2wn s w n ( ) 2 2 1 ( s 1 )(s 2 ) wn wn 1 G( j 0) 10 G ( jw ) 2 w w G( j ) 0 180 1 2 j 2 wn wn
G ( j )
0 180 0 270 0 360 0 450
G( j 0) G ( jw ) K K 0 0 (1 jwT1 )(1 jwT1 ) K I jw (1 jwT1 )(1 jwT1 ) 90 K II ( jw )2 (1 jwT )(1 jwT ) 180 1 1 K III ( jw )3 (1 jwT )(1 jwT ) 270 1 1
jw
G 1
G w
§5.2
⑴ G( jw ) K ⑵ G ( jw ) jw ⑶ G( jw ) 1 jw
幅相频率特性 ( Nyquist )（13）
- 1 jwT
典型环节的幅相频率特性
jw
w2 w 1 2 j 2 wn wn
1
w2 w 1 2 j 2 wn wn
G 1 [1
d G 0 dw
w 2 w 2 ] [ 2 ] 2 wn wn
d w2 2 w 2 [1 ] [ 2 ] 0 2 dw wn wn
w2 w w 2 2[1 2 ][2( 2 ) ] 2 [ 2 ]( ) 0 wn wn wn wn 4w w2 2 [ 1 2 ] 0 2 2 wn wn
w 2 1 2 2 wn
2
例4:当 0.3, wn 1 ，时
wr 1 1 2 0.32 0.9055
Mr 1 2 0.3 1 0.3
2
1.832
§5.2
谐振频率 谐振峰值 M r
幅相频率特性 ( Nyquist )（8）
w r w n 1 2 2
自动控制原理
（第 19 讲）
§5.2 幅相频率特性
（Nyquist 曲线）
课程回顾（1）
频率特性 G(jw) 的定义
G ( jw ) 定义一：G( jw ) G( jw ) G( jw )
ucs ( t ) 1 G( jw ) ur ( t ) 1 w 2T2
G( jw ) ucs (t ) ur (t ) arctan wT
( 90)
0
1 2 1
2
wr wn
2 1
2
Mr
§5.2
幅相频率特性 ( Nyquist )（9）
G K
G( jw ) 幅相特性
w2 2 w 2 例5 系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。 [1 2 ] [2 ] w w K n n G ( s ) 由曲线形状有 w s2 s 2 2 1 wn 2 G arctan wn wn w2 1- 2 wn G( j 0) K0 由起点： K 2
1
w2 2 w 2 [1 2 ] [2 ] wn wn w w 2 2 wn wn G arctan 360 arctan 2 w2 w 1- 2 1- 2 wn wn
G
§5.2
2
幅相频率特性 ( Nyquist )（11）
2 2
T 1 w n