线性代数讲义 (21)

假设有
ks
≤
0,则当y n
=
es (单位坐标向量)时,
∑ f (Ces ) = ki yi2 = ks ≤ 0.
i
显然 x = Ces ≠ 0, 这与 f 为正定相矛盾 .
故 ki > 0(i = 1,,n).
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
说明 只有实对称矩阵，才能 考虑其正定性.
⎜⎛ 5 A = ⎜ 2
2 − 4⎟⎞ 1 − 2⎟,
⎜⎝ − 4 − 2 5 ⎟⎠
它的顺序主子式
5 > 0,
52 = 1 > 0,
21
5 2 −4 2 1 − 2 = 1 > 0, −4 −2 5
故上述二次型是正定的.
例5 若二次型 f = x12 + 4x22 + 2x32 + 2tx1x2 + 2x1 x3
令 A − λI = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 6.均为正数,
即知A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型
f (x1, x2, x3 ) = 5x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2 x3
是否正定.
解
f (x1, x2, x3 )的矩阵为
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理1(惯性定理) 设有实二次型 f = xT Ax,它的秩
为r , 有两个实的可逆变换
x = Cy 及 x = Pz
使
f = k1 y12 + k2 y22 + + kr yr2 (ki ≠ 0),
及
f = λ1z12 + λ2z22 + + λr zr2
怎样判断两个矩阵合同
这个没有很好用的充分必要条件, 只能用定义或简单结论
1. 因为合同必等价, 所以 若两个矩阵的秩不相同, 则它们不是合同的 2. 若存在可逆矩阵C, 使得 CTAC = B, 则A与B合同 , 这是从定义的角
度考虑. 3. 若给两个显式矩阵, 判断它们是否合同, 只能把它们化成标准形, 比
例1 试问k 取何值时,
f = x12 − 4x1x2 − 2x22 + 4x1x3 − 2x32 + 8x2 x3 + k( x12 + x22 + x32 )
为正定二次型.
解 二次型 q = x12 − 4x1x2 − 2x22 + 4x1x3 − 2x32 + 8x2 x3
⎡ 1 − 2 2 ⎤
a11 a21
a12 > 0, a22
> 0;
an1 ann
这个定理称为霍尔维茨定理．
说明
a11 a1n
, a11 < 0,
a11 a21
a12 < 0, a22
Fra Baidu bibliotek
< 0;
an1 ann
绝不是矩阵A负定的充要条件. 而应是
推论 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
A = ⎢⎢− 2 − 2
4
⎥ ⎥
⎢⎣ 2 4 − 2⎥⎦
令 A − λI = 0，可求出三个特征值为 2，2，− 7，
且必存在正交变换将二次型 f 化为标准形
q = 2 y12 + 2 y22 − 7 y32
同时，由正交变换保持 向量长度的不变性，即
3
3
∑ ∑ xi2 = yi2，知该正交变换将 f 化为标准形
6.2 正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理 二、正（负）定二次型 的概念 三、正（负）定二次型 的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A + B也是正定 矩阵.
定义2 称对角线元是A的前k个对角线元 a11, a22, ,akk的k阶子式为矩阵 A的k 阶 顺序主子式 （或前主子式）.
从而，有
定理4 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n
, a11 > 0,
定理3 实对称矩阵A正定的充要条件是存在 可逆 矩阵P,使A = PT P.
证明 充分性 因为A = PT P,且P可逆，故对任意 x ≠ 0,必有 Px ≠ 0,于是有 f = xT Ax = xT PT Px = (Px)T Px = Px 2 > 0 故得 f 或矩阵 A正定. 必要性 因为A是实对称矩阵，故必存 在正交阵Q,使
a11 a1k
(− 1)k
> 0, (k = 1,2,,n).
ak1 akk
例3 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) = 2x12 + 4x22 + 5x32 − 4x1x3
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
⎜⎛ 2 A = ⎜ 0
0 − 2⎟⎞ 4 0 ⎟,
⎜⎝ − 2 0 5 ⎟⎠
(2) f ( x) < 0,则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵.
(3) f ( x) ≥ 0则称此二次型为半正定二次型，对应的 实对称矩阵为半正定矩 阵. (4) f ( x) ≤ 0则称此二次型为半负定二次型，对应的 实对称矩阵为半负定矩阵.
(5) f ( x)可正可负,则称 f 为不定型二次型.
较它们的正负惯性指数正负惯性指数分别相等则合同, 否则不合同.
102
− 2<t< 2
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)特征值判别法. (3)顺序主子式判别法；
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
两端矩阵的对角线元， 由
PT
P
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
p1T p2T
⎤ ⎥ ⎥ [ ⎥
p1 ,
p2 ,,
pn ] =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
p1T
p1
⎢ ⎣
pnT
⎥ ⎦
⎢ ⎣
#
p2T p2
* ⎤
⎥
⎥
⎥
pnT
pn
⎥ ⎦
即得
aii = piT pi = pi 2 > 0
正定矩阵具有以下一些简单性质： 1. 设A为正定实对称阵 ,则AT , A−1, A∗均为正
i =1
i =1
f = 2 y12 + 2 y22 − 7 y32 + k( y12 + y22 + y32 )
= (2 + k) y12 + (2 + k) y22 + (−7 + k) y32
为使二次型正定，按定 理2，必有
⎧ 2 + k > 0
⎪ ⎨
2+
k
>0
⎪⎩− 7 + k > 0
即
k >7
正定，求参数 t 应满足的条件.
解 f 的矩阵为
⎜⎛1 t 1⎟⎞ A = ⎜ t 4 0⎟,
⎜⎝1 0 2⎟⎠
根据定理4，应有A的各阶顺序主子式均为 正，由
a11 = 1 > 0,
a a 11 12 = 1 t = 4 − t 2 > 0,
a a 21
22 t 4
解得
1t 1 A = t 4 0 = −2t2 + 4 > 0
−
−
yr 2
它的系数分别为 1，，1，− 1，，− 1，0，，0（0可以没有）,
在这个顺序下，二次型 的规范形是唯一的 .
比较常用的二次型是系 数全正或全负的情形， 为此，我们引出
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) = xT Ax, 如果对任何 x ≠ 0,
(1) f ( x) > 0,则称 f 是正定二次型，对应的 实对称矩阵A为 正定矩阵.
(λi ≠ 0),
(i = 1, 2,,r)
λ λ k k 则 ,, 中正（负）数的个数与 ,, 中正
1
r
1
r
（负）数的个数相等 .
且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数，
负系数个数称为 负惯性指数， 分别记作 π，υ .
常称形如下式的标准形 为二次型的 规范形：
f
=
y12 + +
y
2 p
−
y
2 p+1
QT AQ = Λ 即 A = QΛQT
其中Λ = diag[λ1,,λn].又因A正定，故λi > 0,即有 λi = λi 2 , i = 1,, n.
若记矩阵T = diag[ λ1 ,, λn ], 则显然成立
Λ = T T . 于是可将 A = QΛQT写成 A = QΛQT = QTTQT = (TQT )T (TQT )
若记P = TQT则定理得证.
说明 定理3的换个说法是：“实对 称矩阵A正定
的充要条件是A合同于单位矩阵 I.”
例2 若A为正定矩阵，则其对角线元 aii > 0. 证明 因为A正定，所以，由定理 3，知存在可
逆阵 P, 使成立 A = PT P,由于P可逆，所以P的每个
列向量 p1, p2 , , pn 都是非零向量，比较 A = PT P
件是它的正惯性指数π 等于变量个数 n.
证明 设可逆变换x = Cy使 n
f (x) = ∑ f (Cy) = ki yi2. i =1
充分性 设 k i> 0 (i = 1,,n). 任给 x ≠ 0,
则 y = C −1 x ≠ 0,
故
n
f (x) = ∑ ki yi2 > 0.
i =1
必要性（反证法）
例如
f ( x, y, z) = x2 + 4 y2 + 16z2 f ( x1, x2 ) = − x12 − 3 x22 f ( x1, x2 ) = − x12 + 3 x22
为正定二次型 为负定二次型 为不定型二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型 f = xT Ax为正定的充分必要条