2.7矩阵-克莱姆法则

D ≠ 0, 则方程组（2）只有零解． 则方程组（ ）只有零解．
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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注： 对于齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 L a x + a x + L + a x = 0 n2 2 nn n n1 1
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 有非零解 ⇔ det(aij ) = 0. L a x + a x + L + a x = 0 n2 2 nn n n1 1
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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例2. 求解下列方程组 2 n −1 x1 + a1 x 2 + a1 x 3 + L + a1 x n = 1 2 n −1 x1 + a 2 x 2 + a 2 x 3 + L + a 2 x n = 1 L L x + a x + a 2 x + L + a n −1 x = 1 n 2 n 3 n n 1 其 中 a i ≠ a j , i ≠ j , i , j = 1, 2, L , n
（2） ）
x1 = x2 = L = xn = 0 一定是它的解，称之为零解． 一定是它的解，称之为零解． 零解
非零解． （2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解． ）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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如果齐次线性方程组（ ）有非零解， 推论 如果齐次线性方程组（2）有非零解，则 它的系数行列式 D ＝０． 注： 在第三章中还将证明这个条件也是充分的 ．即
1 1 1 2 5 −2 1 4
1 5 −1 − 2 D4 = = 142 2 − 3 −1 − 2 3 −1 2 0 1 1 1 2
D3 =
2 −3 −2 −5 3 − 1 0 11
= −426
方程组有唯一解（ ， ， ，－ ，－1） ∴ 方程组有唯一解（1，2，3，－ ）.
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
方程组( )在什么情况下有解？ 方程组(1)在什么情况下有解？ 有解的情况下，如何表示此解？ 有解的情况下，如何表示此解？
(1)
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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方程组（ ）的系数可以构成一个n级行列式 方程组（1）的系数可以构成一个 级行列式
a11 a21 D= L a n1
a12 a22 L an 2
∑ aij x j = 0, j =1
n
i = 1,2,L , n.
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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二元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
(1) (2)
当 D ≠ 0 时该方程组的解为 D1 D2 x1 = , x2 = . D D a11 b1 b1 a12 a11 a12 = 21 , a a aa b = 1 11b2 − b b21 = a = D1 =a11b 22 −− 12aD,= baa 22a− a=1aD ,= b 11b2 − b1aD2 = a b = D2 = 21 a 12 2 21 2 2 a 22 21 22
L L L L
a1n a2 n L ann
称为方程组（ ） 系数行列式. 称为方程组（1）的系数行列式
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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Cramer法则 二、 Cramer法则
如果线性方程组（ ） 如果线性方程组（1）的系数行列式
a11 a21 D= L a n1
a12 a22 L an 2
s =1
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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证明: 证明
定理包含三个结论: 定理包含三个结论 (1) 方程组有解 (2) 解是唯一的 (3) 解由公式 给出 解由公式(3)给出 分两步证明: 分两步证明 (1)验证 式是解 验证(3)式是解 验证 (2)解必由 式给出 解必由(3)式给出 解必由
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = 0 L a x + a x + L + a x = 0 n2 2 nn n n1 1
则称（ ） 齐次线性方程组． 则称（2）为齐次线性方程组． 简记为
(2)
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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(1) 验证 式是解 验证(3)式是解
n
∑ aij x j = bi , j =1
n
i = 1,2,L , n.
式代入第i个方程 把(3)式代入第 个方程 左端为 式代入第 个方程,
因为
1 n ∑ aij D = D ∑ aij D j . j =1 j =1
5−λ 2 2 D = 2 6 − λ 0 = (5 − λ )(2 − λ )(8 − λ ) = 0 2 0 4−λ
．
方程组有非零解． ∴ 当 λ = 2, 5, 8 时，方程组有非零解．
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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p101 20
解 : 将a1 , a 2 , L , a n代入 f(x)得 c a + c a + L + cn− 2 a1 + cn−1 = b1 n −1 n c0 a 2 + c1a 2 − 2 + L + cn− 2 a 2 + cn −1 = b2 L c a n −1 + c a n − 2 + L + c a + c = b 1 n n− 2 n n −1 2 0 n
1 nn nn 1 = ∑ ( ∑ a ij Asj )bs D i = s D s =1 j =1 = 0 i ≠s 1 1
=
D
Dbi = bi
所以, 式是 的解. 式是(1)的解 所以 (3)式是 的解
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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(2) 解必由 式给出 解必由(3)式给出
a11 a21 Dj = L a n1
L L L L
a1, j −1 a2, j −1 L a n , j −1
b1 a1, j +1 b2 a2, j +1 L L bn an , j +1
L L L L
n
A ≠ = D0 | |
a1n a2 n L ann
= b1 A1 j + b2 A2 j + L + bn Anj = ∑ bs Asj .
(1)
不全为零，则称（ ） 若常数项 b1 , b2 ,L , bn 不全为零，则称（1）为 非齐次线性方程组． 非齐次线性方程组． 简记为
n
∑ aij x j = bi , j =1
i = 1, 2,L , n.
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§2.7 Cramer法则 Cramer法则
若常数项 b1 = b2 = L = bn = 0, 即
上式右端即为 D k .
左端 = ∑ ∑ a ij Aik c j = ∑ ∑ a ij Aik c j
n
n
n
n
n
i =1 j =1 nn
j =1 i =1
= ∑ ( ∑ a ij Aik )c j = Dc k .
j =1 i =1
nn
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
D c = Dk , Dk = Dck , 即 k D
L L L L
a1n a2 n ≠ 0, L ann
则方程组(１ 有唯一解 则方程组 １)有唯一解
Dn D1 D2 x1 = , x2 = , L , xn = D D D
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
（3） ）
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其中 D j ( j = 1,2,L , n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（ ） 的元素用方程组（1）的常数项 b1 , b2 ,L , bn 代换 阶行列式， 所得的一个 n 阶行列式，即
一、非齐次与齐次线性方程组的概念 二、Cramer法则及有关定理 Cramer法则及有关定理
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念
设线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 L a x + a x + L + a x = b n2 2 nn n n n1 1
n s =1
Dj
D j = b1 A1 j + b2 A2 j + L + bn Anj = ∑ bs Asj ,
所以
n 1 n 1 n ∑ aij D j = D ∑ aij ∑ bs Asj D j =1 j =1 s =1
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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1 n n = ∑ ∑ a ij Asj bs D j =1 s =1 1 n n = ∑1 ∑1 a ij Asj bs D s= j=
1 D= 1 2 3
1 2 −3 1
1 −1 −1 2
1 4 = −142 ≠ 0 −5 11
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§2.7 Cramer法则 Cramer法则
5 1 1 1 1 5 1 1 − 2 2 −1 4 1 − 2 −1 4 D1 = = −142 D2 = = −284 − 2 − 3 −1 − 5 2 − 2 −1 − 5 3 0 2 11 0 − ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 11
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例3：问 λ 取何值时，齐次线性方程组有非零解 ： 取何值时，齐次线性方程组有非零解? 有非零解
(5 − λ ) x1 + 2 x2 + 2 x3 = 0 2 x1 + (6 − λ ) x2 = 0 2 x1 + (4 − λ ) x3 = 0
若方程组有非零解， 解: 若方程组有非零解，则
k = 1,2,L,n.
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例1：解线性方程组 ：
x1 + x2 + x3 + x4 = 5 x1 + 2 x2 − x3 + 4 x4 = −2 2 x − 3 x − x − 5 x = −2 3 x1 + x 2+ 2 x3 + 11 4 = 0 x4 2 3 1
解：方程组的系数行列式
设(c1 , L , c n )为方程组 (1)的解 , 则∑ a ij c j = b i , i = 1,2, L , n.
j =1 n
将上述各式依次乘以 A1 k , A2 k , L , Ank , 然后相加得
∑ A ∑a
i =1 ik j =1
n
n
ij
c j = ∑ bi Aik
i =1
n
= ( -1)
n ( n- 1 ) 2
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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n元线性方程组 元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLL a x + a x + L + a x = b . n2 2 nn n n n1 1 它的解是否也有类似的结论呢？ 它的解是否也有类似的结论呢？
答案 : x1 = 1, x i = 0, i = 2,3,L n
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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撇开求解公式, 撇开求解公式 Cramer 法则可叙述为下面的定理 定理1 如果线性方程组（ ） 定理 如果线性方程组（1）的系数行列式 D ≠ 0, 则方程组（ ）一定有解，且解是唯一的． 则方程组（1）一定有解，且解是唯一的． 如果线性方程组（ ）无解或有两个不同解， 推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式 D必为零． 则方程组的系数行列式 必为零． 定理2 如果齐次线性方程组（ ） 定理 如果齐次线性方程组（2）的系数行列式
n −1 0 1 n− 2 1 1
§2.7 Cramer法则 Cramer法则
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n a1 −1
n a1 − 2 L a1 1 n a2 − 2 L a2 1
系数行列式为 d =
n a 2 −1
L
n a n −1 n an − 2 L an 1
n 1 a1 L a1 − 2
n a1 −1 n a 2 −1