立方和与立方差
立方立方差公式
立方立方差公式好的，以下是为您生成的关于“立方立方差公式”的文章：在咱们学习数学的漫长道路上，有那么几个公式，就像是数学世界里的“明星”，让咱们又爱又恨。
今天，咱们就来聊聊立方和立方差公式。
立方和公式：(a+b)(a² - ab + b²) = a³ + b³；立方差公式：(a - b)(a² +ab + b²) = a³ - b³。
这两个公式看起来好像有点复杂，但只要咱们掌握了其中的奥秘，那就能在数学的海洋里畅游得更轻松愉快。
还记得我上中学的时候，有一次数学考试，其中有一道题就是要用立方和公式来求解。
当时我看着那道题，心里就像揣了只小兔子，砰砰直跳。
题目是这样的：已知一个长方体的长、宽、高分别是 x + 1 、x - 1 、 x ，求这个长方体的体积。
这要是不知道立方和公式，那可真是要抓瞎啦。
我赶紧静下心来，运用立方和公式展开式子。
先把长、宽、高相乘，得到 (x + 1)(x - 1)x ，然后逐步展开。
(x + 1)(x - 1) 这不就是平方差公式嘛，等于 x² - 1 。
再乘以 x ，那就是 x(x² - 1) = x³ - x 。
哎呀，当我算出答案的那一刻，心里别提多有成就感了。
其实，立方和立方差公式在日常生活中也有不少用处呢。
比如说，建筑工人在计算建筑物的体积时，如果形状接近立方体，就可能会用到这些公式。
还有工程师设计零件的时候，也可能会靠它们来精确计算零件的体积。
咱们再回过头来仔细看看这两个公式。
立方和公式里，(a + b)乘以(a² - ab + b²) ，这里面的每一项都有它的作用。
a 乘以 a²得到 a³，b 乘以 b²得到 b³，中间的 -ab 相互抵消，最后就巧妙地得出了 a³ + b³。
立方和差公式口诀
立方和差公式口诀立方和：两项相加，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之差，结果立方。
一平方之和，二积相减；再乘积之和，结果立方。
亦可约记为：(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3例子：1)2^3+3^3=(2+3)(2^2-2*3+3^2)=5*1=52)4^3+5^3=(4+5)(4^2-4*5+5^2)=9*(-6)=-54立方差：两项相减，第一平方，第二积之两乘；再乘一积之和，结果立方。
一平方之差，二积相加；再乘积之差，结果立方。
亦可约记为：(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3例子：1)6^3-4^3=(6-4)(6^2+6*4+4^2)=2*52=1042)8^3-7^3=(8-7)(8^2+8*7+7^2)=1*113=113立方和公式的推导：设(a + b)^3 = c，则展开式为c = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3、将式子视为多项式c = a^3 + b(b^2 + 3ab +3a^2)，可以发现，b(b^2 + 3ab + 3a^2)的部分其实是(b + a)^2的展开式中的(a^2 + 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方和公式(a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，立方差公式的推导也是类似的。
设(a - b)^3 = d，则展开式为d = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3、将式子视为多项式d = a^3 -b(b^2 - 3ab + 3a^2)，可以发现，b(b^2 - 3ab + 3a^2)的部分其实是(b- a)^2的展开式中的(a^2 - 2ab)项。
所以，我们可以推导出立方差公式(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3立方和差公式在数学中有广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算两个数的立方和或立方差，尤其在解决一些代数运算问题时非常有用。
立方和与立方差公式分解因式的方法
立方和与立方差公式分解因式的方法说实话立方和与立方差公式分解因式这事，我一开始也是瞎摸索。
我就先从立方和公式开始吧。
我知道立方和公式是a³+ b³= (a + b)(a²- ab + b²)。
那怎么用这个公式来分解因式呢？我一开始就很迷茫，看着那些式子不知道从哪儿下手。
就拿x³+ 8来说吧，我一开始没看出来8是2的立方，就想乱凑数字，结果肯定是失败了。
后来我就提醒自己，得先把式子变成公式里面那种标准的形式。
这x₃就是a³啦，8是2³也就是b³。
那根据公式就可以分解成(x + 2)(x²- 2x + 4)。
这步骤可不能乱了，我有一回就把后面括号里的式子写错了，写成了(x²+2x + 4)，这就是没理解好公式里各项的关系。
我觉得这里边这个- ab就像一个桥梁，连接着前面的(a + b)和后面的b²，不能写错。
再说说立方差公式a³- b³= (a - b)(a²+ ab + b²)。
有一次做一个题是x³- 27，我一下反应过来27是3的立方，那就可以写成(x - 3)(x²+3x + 9)。
但是有时候式子会复杂一点，比如说27x³- 8y³这种的，这就需要你把27x³看成(3x)³，8y³看成(2y)³。
然后按照立方差公式去分解，就是(3x - 2y)(9x²+6xy + 4y²)。
我试过不少练习题，发现一个窍门就是你一定要先把式子中能变成立方的部分都找出来。
如果式子比较复杂，你得先化简试试能不能凑成那种立方和或者立方差的形式。
比如说有个式子看起来很杂乱，你可以先合并同类项什么的。
我还常犯的一个错误就是符号的问题，尤其是在立方差公式里。
这个- b³对应公式里的(a - b)这一项，很容易一不小心就写错。
初高中数学衔接第一讲---立方和与立方差公式
第一讲 立方和立方差公式【知识讲解】练习1 计算: 22()()a b a ab b +-+于是，我们得到：【立方和公式】3322))((b a b ab a b a +=+-+两个数的和．乘以它们的平方和与它们积的差．，等于这两个数的立方和．．．． 【例1】计算(1) 2(2)(24)x x x +-+（2）)416)(4(2m m m +-+(3) 22(25)(41025)a b a ab b +-+练习2 计算：))((22b ab a b a ++-我们得到：【立方差公式】3322))((b a b ab a b a -=++-两个数的差．乘以它们的平方和与它们积的和．，等于这两个数的立方差．．．． 【例2】计算：(1) 2(21)(421)x x x -++ (2) 22()()32964a b a ab b -++ 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【课堂小结】【立方和公式】 2233()()+-+=+a b aab b a b 【立方差公式】 2233()()a b a ab b a b -++=- 这就是说，两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)，等于这两个数的立方和(差)．【例3】计算：)164)(2)(2(24++-+a a a a1．填空，使之符合立方和或立方差公式：(1)(x －3)( )＝x 3－27；(2)(2x ＋3)( )＝8x 3＋27；(3)(x 2＋2)( )＝x 6＋8；(4)(3a －2)( )＝27a 3－8．2．填空，使之符合立方和或立方差公式：(1)( )(a 2＋2ab ＋4b 2)＝____ _________ ；(2)( )(9a 2－6ab ＋4b 2)＝___ ________ ；(3)（ ）221(4)4x xy y -+＝____ _______ ；(4)( )(m 4＋4m 2＋16)＝____ ________ 。
立方和与立方差的公式
立方和与立方差的公式立方和与立方差，这可是数学里的一对好朋友，绝对值得咱们好好聊聊。
说到立方，大家可能会想到那些满天星斗的数字，哦，真是让人眼花缭乱。
但是别担心，咱们不需要变成数学天才，只要掌握几个公式，就能轻松搞定这些立方的游戏。
先说说立方和的公式，简单明了，听着就像在说家常话：a³ + b³ = (a + b)(a² ab + b²)。
哎呀，这里有个加法，跟咱们日常生活中的聚会一样，大家一起来，热热闹闹。
想象一下，a和b就像是两个老友，彼此相聚，聊聊生活，顺便做点小生意。
哦，生意怎么做呢？把他们加在一起，得出个总数，然后再把各自的小故事展开来。
一个a 的平方，一个b的平方，再来个ab，这个组合就像是把老友的各种趣事汇聚成一本书，真是热闹非凡。
然后说说立方差，这个有点儿意思，给人一种神秘感。
公式是：a³ b³ = (a b)(a² + ab + b²)。
哦，这里有个减法，就像是两个朋友因为意见不合，暂时冷战了一下。
没关系，他们还是好朋友，只不过暂时在角落里发发牢骚。
然后他们又恢复了，接着把各自的平方和合在一起，这一小段感情的起伏，简直就是生活的真实写照。
咱们可以想象一下，生活中总有这样的时刻，朋友之间有欢笑有泪水，甚至因为一点小事闹别扭。
不过，回过头来，还是会一起分享快乐。
这就像是数学中的立方和与立方差，永远存在着相辅相成的关系。
生活也是如此，不是吗？开心和烦恼交替着，让我们的人生多姿多彩。
讲到这里，我想说，立方和与立方差的公式不仅是数学上的工具，更是生活中的哲理。
它们教会我们，合作与冲突，欢笑与泪水，都是人生的一部分。
就像是每一个方程式背后的故事，蕴藏着无尽的智慧。
听着，这些公式并不只是冰冷的数字，而是承载着生活百态的宝藏。
再想想，生活中每一次选择，就像是立方和与立方差之间的转变。
有时你需要和谐的立方和，把各种元素融为一体，有时又需要直截了当的立方差，清晰地划分出界限。
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式
公式如下：
1、立方和公式为a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
2、立方差公式为a³-b³=(a-b)(a2+ab+b2)。
一、关于立方和公式
立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式，其文字表达为：两数和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。
立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。
二、关于立方差公式
立方差公式的文字表达为：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。
立方差公式是数学中常用公式之一，在高中数学且在数学研究中该式都占有很重要的地位，甚至在高等数学、微积分中也经常用到。
换算关系：
1、立方分米：1立方分米=0.001立方米。
2、立方厘米：1立方厘米=0.000 001立方米。
3、方，公方：1方（公方）=1立方米。
4、立方市丈：1立方市丈=1 307.8立方米。
5、立方市尺：1立方市尺=0.037 0立方米。
6、立方码：1立方码=0.764 6立方米。
7、立方英尺：1立方英尺=0.028 317立方米。
立方和公式和立方差公式推导过程
立方和公式和立方差公式推导过程立方和公式和立方差公式是数学中常用的公式，用于计算一个数的立方和以及两个数的立方差。
在本文中，我们将推导这两个公式的过程并解释它们的应用。
让我们来推导立方和公式。
假设我们要计算一个数的立方和，即将从1到n的所有数的立方相加，可以表示为：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3我们可以观察到这个序列中每个数的立方都是由这个数的平方乘以这个数本身得到的。
因此，这个序列可以进一步表示为：(1^2 × 1) + (2^2 × 2) + (3^2 × 3) + ... + (n^2 × n)我们可以将这个式子展开并进行简化，得到：1 × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + 2 × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) +3 × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + ... + n × (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)可以发现，括号中的部分是一个等差数列的和，即：1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n × (n + 1) × (2n + 1) / 6将这个结果代入到原始式子中，我们可以得到立方和公式：1 × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6) +2 × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6) +3 × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6) + ... + n × (n × (n + 1) × (2n + 1) / 6)将分子提取出来，可以得到：(n × (n + 1) × (2n + 1) × (1/6)) × (1 + 2 + 3 + ... + n)进一步计算等差数列的和，我们可以得到最终的立方和公式：(n × (n + 1) / 2) ^ 2接下来，让我们推导立方差公式。
和立方公式与差立方公式
和立方公式与差立方公式立方公式和差立方公式是数学中常见的公式，用于计算数的立方和差的立方。
它们在代数运算和解析几何中具有广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍立方公式和差立方公式，并且探讨它们的应用和证明。
立方公式是指两个数的和的立方可以展开为两个数的立方和三倍两数的平方和六倍两数的乘积。
设两个数分别为a和b，则立方公式可以表示为：(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3这个公式可以用于计算两个数的和的立方。
它可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方和与两数乘积的乘积。
例如，如果a = 2，b = 3，则(a + b)^3 = 5^3 = 125、这可以很容易地通过计算a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3的值得到。
差立方公式是指两个数的差的立方可以展开为两个数的立方差三倍两数的平方和六倍两数的乘积的负值。
设两个数分别为a和b，则差立方公式可以表示为：(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3这个公式可以用于计算两个数的差的立方。
它也可以展开为四项之和，每一项分别代表一个数的立方减去两数乘积的乘积的负值。
例如，如果a = 5，b = 2，则(a - b)^3 = 3^3 = 27、同样，这可以通过计算a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3的值得到。
立方公式和差立方公式在代数运算中非常有用。
它们常用于化简表达式、计算多项式以及展开和因式分解方程。
通过应用这些公式，我们可以简化复杂的代数运算，并得到更简单的结果。
除了在代数运算中的应用之外，立方公式和差立方公式还在解析几何中发挥着重要的作用。
例如，当我们考虑一个立方体的体积时，可以使用立方公式来计算它的体积。
假设立方体的边长为a，则它的体积为a^3、类似地，当我们考虑一个立方体的表面积时，也可以使用立方公式来计算它的表面积。
假设立方体的边长为a，则它的表面积为6a^2、通过应用立方公式，我们可以快速计算出立方体的体积和表面积，而无需进行复杂的计算。
利用立方和立方差公式进行因式分解
利用立方和立方差公式进行因式分解利用立方和和立方差公式进行因式分解在第一讲中，我们研究了乘法公式中的立方和和立方差公式：a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 (立方和公式)a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 (立方差公式)因为因式分解和整式乘法是互为逆操作，所以我们可以反过来写整式乘法公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)这意味着，两个数的立方和（差）等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。
使用这两个公式，我们可以分解形式为立方和或立方差的多项式。
例1：使用立方和或立方差公式分解以下多项式：1) 8+x^32) 0.125-27b^3分析：在(1)中，8可以写成2，(2)中0.125可以写成0.5，27b^3可以写成(3b)^3.解：(1) 8+x^3=2+x^3=(2+x)(4-2x+x^2)2) 0.125-27b^3=0.5-(3b)^3=(0.5-3b)(0.25+1.5b+9b^2)说明：在使用立方和（差）公式分解因式时，我们通常要逆用幂运算法则，例如8a^3b^3=(2ab)^3，这里使用了法则(ab)^n=a^n b^n；在使用立方和（差）公式分解因式时，一定要注意因式中各项的符号。
例2：分解以下因式：1) 3ab-81b^32) a-ab^2分析：在(1)中，我们应该先提取公因式再进一步分解；在(2)中，提取公因式后，括号内出现了a-b，可以看成(a)-(b)或(a)+(b)。
解：(1) 3ab-81b^3=3b(a-27b)=3b(a-3b)(a+3ab+9b)2) a-ab^2=a(a-b)=a(a+b)(a-b)强化练：1.分解以下各式的因式：1) x^3-12) a^3+8b^33) x^6-y^62.分解以下各式的因式：1) a^3+272) 8-m^33) -27x^3+84) -p^3/8+q/645) 8x^3y^3-1/1256) x^3y^3/216+c^3/27为了分解以下各式的因式，请使用因式分解法：1) $xy^3+x^4$我们可以将两个项中的 $x$ 提取出来，得到 $x(y^3+x^3)$。
完全立方和与立方差公式
完全立方和与立方差公式好的，以下是为您生成的文章：咱从小到大，学数学的时候，总有那么几个公式让人又爱又恨，完全立方和与立方差公式就是其中的“大主角”。
还记得我上中学那会，数学老师在黑板上写下这两个公式的时候，我心里就犯嘀咕：“这又是啥呀？”但后来发现，它们就像神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门。
先来说说完全立方和公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
咱们来仔细瞧瞧这个公式。
比如说，咱有个边长为a + b 的立方体，要算算它的体积。
那咱就可以把这个大立方体分成几部分。
先看边长为 a 的小立方体，它的体积就是 a³呗。
然后呢，沿着长度方向多出来的那一块，就是 b 乘以 a²，有 3 个这样的部分，所以就是 3a²b 。
同理，宽度方向多出来的是 3ab²，最后边长为 b 的小立方体体积就是 b³。
这么一拆分，是不是就感觉这个公式特别清晰明了啦？再看看立方差公式：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³。
其实和完全立方和公式有相似之处。
比如说，a 是个大数字，b 是个小数字，那从 a³里减去 b 带来的影响，就有了后面那些项。
给大家举个例子，假设咱要给一个房间做个大改造。
房间的长是 a 米，宽是 a 米，高也是 a 米，这就是个标准的立方体。
然后咱想把其中一个角落切去一个小立方体，这个小立方体的边长是 b 米。
那原来大房间的体积是 a³立方米，切去的小角落体积就是 b³立方米。
而因为切去这个小角落，在长、宽、高方向上减少的体积就是 3a²b 和 3ab²。
在做数学题的时候，这两个公式可好用啦。
比如遇到那种需要展开式子或者化简的题目，它们就派上大用场了。
立方和差公式
立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍。
注意：下方文本中出现圆圈不用在意，圆圈为文本制作间隔符号。
（例如：）立方和公式：a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)3项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)推导过程：a³+b³+c³-3abc=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)=(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）3项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^21迭代法：我们知道：0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/22次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
立方差与立方和推导过程
立方差与立方和推导过程立方差和立方和，这听起来像是数学课上那些神秘的符号和公式，其实它们在生活中处处可见哦。
想象一下，三个人在一起，结果变成了一个超大的三角形，哈哈，没错，这就是我们要聊的立方和和立方差。
你可能会问，这两者有什么关系呢？好吧，让我给你慢慢道来。
立方和，顾名思义，就是把几个数的立方加起来，想象一下把苹果切成小块，最后把这些小块堆成一座高山。
而立方差呢？这就像是在玩“你打我，我打你”，看谁能赢得更高的分数。
立方和的公式是 (a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2))，而立方差则是 (a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2))。
听起来复杂，其实一点都不难，咱们一步一步来，轻松就能搞定。
我们先从立方和开始吧。
想象一下，你有两个小伙伴，一个叫A，另一个叫B。
A特别喜欢收集橘子，B则钟情于苹果。
假如A有3个橘子，B有4个苹果，立方和就是把这两个数字的立方加起来。
A的橘子立方是 (3^3 = 27)，B的苹果立方是 (4^3 = 64)。
加起来就是 (27 + 64 = 91)。
嘿，91听起来真不错，对吧？这就像是一个派对上的超大果盘，大家都来抢着吃。
然后，咱们再看看立方差。
如果A这次不想分享了，只想把自己的橘子藏起来，那就有趣了。
立方差的计算就变成了 (3^3 4^3 = 27 64)，结果是个负数，哈哈，这就像A生气了，直接把苹果推到一边，气呼呼的走了。
我们可以更深入地探讨一下这些公式背后的奥秘。
立方和和立方差就像是一个动态的游戏，两个数在不同的舞台上跳舞。
每一个公式都在告诉我们，不同的数之间其实有着千丝万缕的联系，像极了生活中那些看似不相关的人，实际上一碰面就会产生火花。
你能想象吗？当你把一个简单的数提升到三次方，就像给它施了魔法，让它变得更加出色。
立方和好比是一场华丽的聚会，所有的数都兴奋地聚集在一起，而立方差则像是一场戏剧冲突，揭示了数与数之间的竞争关系。
立方和和立方差
立方和和立方差哎哟喂，兄弟伙，今天咱们来摆一哈（聊一聊）那个“立方和”跟“立方差”的龙门阵（故事），用咱们地道的四川话，整得巴巴适适（舒舒服服）的。
你晓不晓得，数学里头，立方和跟立方差，就像是孪生兄弟，看着相似，用起来却各有各的妙处。
咱们先来说立方和，就好比你有三个一模一样的正方体盒子，啷个（怎么）堆在一起体积最大？对头，就是摞（堆）成一坨，这时候的体积就是它们各自体积的立方和，简单说，就是三个数的三次方加起来。
这感觉，就像是过年家里摆的糖果堆，一颗接一颗，甜上加甜，幸福满满当当的。
再来说说立方差，这个就有点儿意思了，它像是你在玩积木，把其中一个盒子抽走，留了个空位。
这时候，前后的差距，就是立方差——一个数的三次方减去另一个数的三次方。
想象一下，你小时候用积木搭了个高高的塔，突然抽掉一块，塔就矮了一截，那减少的部分，就是咱们说的立方差。
这种变化，让人心里头有种微妙的感受，既有点失落，又带点好奇，想看看少了这块之后，整体会变成啥子样子。
说起来，这两个概念啊，不仅仅是在数学书上冷冰冰的公式，它们背后藏着的是咱们生活中的变化与对比，是增减之间的哲理。
就像咱们的人生，有时候是在积累，追求那个立方和的最大化，希望日子越过越红火；有时候呢，又是在经历失去，体会立方差带来的那份不同，让人学会珍惜，学会在变化中成长。
所以啊，下次当你再看到立方和跟立方差的时候，不妨多想一层，它们不仅仅是数学里的工具，更是咱们理解世界、感受生活的一种方式。
咱们四川人讲究的是“活学活用”，让这些个知识点儿，也在咱们的心头生根发芽，开出智慧的花朵来！。
立方差公式和立方和公式的推导
立方差公式和立方和公式的推导
立方差公式和立方和公式是数学中重要的公式，可以用它们来方
便的进行计算。
推导这两个公式，可以更加清晰地理解它们的作用。
首先是推导立方差公式，公式内带二次方，可以从最初的一次方
公式开始推导：假设有一组数据{x1,x2,…,xn}，其一次方平均数a，
则可以把它们写成X1-a, X2-a,..., Xn-a，即这些数据比平均数小或
比平均数大的不同比例。
把{X1-a, X2-a,..., Xn-a}这些数据平方后，再取它们的平均数，得到的结果就是二次方差S^2。
推导立方和公式的过程也很简单，首先假设有一个n阶元组
（x1,x2,…,xn)，则可以把它们写成x1+x2+…+xn，发现这一定是一个多项式，并且可以把它拆分为不同阶的多项式，再继续拆分可以获得
一阶多项式、二阶多项式、三阶多项式和四阶多项式等，将它们累加
再取平均值就能得到立方和公式。
总而言之，立方差公式是从一次方差推出结果，得到二次方差，
而立方和公式是将一个n阶元组划分为不同阶的多项式，然后累加，
加得的结果是立方和。
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利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-强化练习1．因式分解下列各式：(1) 31x - (2) 338a b + (3)66x y -2．把下列各式分解因式： (1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6) 3331121627x y c +2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y-+强化练习答案1． (1) 31x -=331x -=22(1)(11)x x x -+⋅+=2(1)(1)x x x -++(2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-⋅+ (3)66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +-2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++立方和与立方差公式1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.例 计算：(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)； （3 ）（4）课堂练习1立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3)( )(41 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是????????????????????????????????????????[??? ]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是????????????????????? [??? ]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x)(4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)(7) (1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)； (9)(a-3)(a 2+3a-9) (10) (a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)．6 已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值．立方和与立方差习题一、公式 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3=a 3+b 3．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3=a 3-b 3．二、运用乘法公式计算：1、(l)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(5)(x-3)(??? )=x 3-27；(6)(2x+3)(??? )=8x 3+27； (7)(x 2+2)(??? )=x 6+8；(8)(3a-2)(??? )=27a 3-8．三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式（1）1642721333x a b ---（） （3）()()x y x y x y m m +--+33334（）（5）8133b a +（6）82733b a - 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
? （1）a 2+b 2?? (2) a 2-ab+b 2?? (3) (a-b)2??(4) a 3+b 31)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)；（3 ）（4）课堂练习1立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3)( )(41-xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________3、下列等式能够成立的是[??? ]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是[??? ]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x)(4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)(7) (1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)； (9)(a-3)(a 2+3a-9)(10) (a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)．6 已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值． 8、(1) 2(2)(24)x x x +-+(2)22(25)(41025)a b a ab b +-+(1) 2(21)(421)x x x -++(2)22()()32964a b a ab b -++ 9、225(5)(25)224b ab b a a -++2222(3)(2)(24)(39)x y x y x x y y x x y y -+-+++ 已知32x =，求2(3)(39)x x x -++的值。
10、分解下列各式： (1) 31x -(2) 338a b +(3)66x y -11、利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式： (1) 2713+x(2) 331258b a - (3)322x x +-(4) 6664a b -（5）66x y -1(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a 与b?(有两种方法，①从二项的因式判断，②从积去判断，将积化为两数的立言和(或差)) 2(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3)()(41-xy+4y 2)＝__________； (4)()(m 4+4m 2+16)＝__________3立方和与立方差公式计算：(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x)；(4)(32a-21b)(94a 2+31ab+41b 2)；(5)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y4) 1(1)(5-2y)(4y 2+25+10y)； (2)(1+4x)(16x 2+1-4x)； (3)(2a-3b)(4a 2+6ab+9b 2)； (4)(-x-2y)(x 2-2xy+4y 2)；(5)(y-x)(x 2+xy+y 2)； (6)(10-3)(9+30+100) 2(1)(x-1)(x 2-x+1)； (2)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)；(3)(b+5)(-5b+25+b 2)； (4)(a-3)(a 2+3a-9)。