西南交大数值分析上机实习报告

数值分析上机实习报告（2015～2016学年第一学期）

姓名：xxxxx xx

学号：xxxxxxxxxx

专业：岩土工程

指导教师：***

联系电话：xxxxxxxxxxx

实习成绩：

xxxxxxxxx

2015年12月10日

目录

一序言 (3)

二正文 (3)

题目3 (3)

原理3 (3)

结果3 (4)

分析3 (5)

题目4 (6)

原理4 (6)

结果4 (7)

分析4 (7)

题目5 (7)

原理5 (7)

结果5 (8)

分析5 (9)

三总结 (9)

四附录 (9)

附录1雅格比迭代法程序代码 (9)

附录2高斯－赛德尔迭代法程序 (10)

附录3求解题目3程序代码 (11)

附录4 SOR法程序代码 (12)

附录5求解题目4程序代码 (13)

附录6 Ru n ge-Kutt a 4阶算法程序代码 (13)

附录7求解题目5程序代码 (14)

一 序言

MATLAB 的M 语言，一种演算纸方式的编程语言。通过这种语言，用户可以用类似于数学公式的方式来编写算法，大大降低了编程所需的难度并节省了时间，从而让用户把主要的精力集中在算法的构思而不是编程上。

为便于检验结果，本上机实习全部使用M 语言编程，然后用内置函数求解进行对比。 二 正文

题目3用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax =b ，研究

其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。

(1) 12621-3100142, b 2, b -2003144345A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2) 1210.80.8350.810.8, b 2, b 00.80.811-10A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(3) 134, b 716A ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

原理： 雅格比迭代法：

)

b x a x a x a x a (a 1x )

b x a x a x a (a 1x )b x a x a x a (a 1x n )

1k (1n 1nn )1k (33n )1k (22n )1k (11n nn

)

k (n

2)1k (n n 2)

1k (323)

1k (12122)

k (21)

1k (n

n 1)1k (313)

1k (21211)

k (1-++++-=-+++-=-+++-

=------------

Jacobi 迭代也可看成简单迭代的一种，故对简单迭代的所有性质也成立。从上可知：如果矩阵A 的主对角元不为零，则其Jacobi 迭代是唯一的。如用矩阵形式表示：则迭代矩阵：B=I －A D 1-

其中：g= b ，D=diag(a 11,…，a nn )

Jacobi 迭代收敛的充要条件是ρ（Ｉ－1D -Ａ）<１。 Gauss-Seidel 迭代法

()(1)

(1)

(1)

11221331111

()

()(1)

(1)

22112332222

()

()()()

()

112233111()

1

()

1()

k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n nn n n nn

x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a -------=-

++

+-=-+++-=-

++++-

我们称它为方程组Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代式，如写成矩阵形式为： x (k)= D -1 (L x (k)+Ux (k-1))+ D -1b

x (k)= (D-L)-1U x (k-1)+ (D-L)-1b

其中：L=－12121

(1)1

2

1

000

0,00n

n n n n nn a a a

U a a a a --⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎢

⎥⎣

⎦

D=diag(a 11,…，a nn )

Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为(D －L 1)-U ，常数项为(D －L 1

)-b ，收敛的充要条件是ρ（(D －L 1)-U)<1 结果3

取()(1)

10^(8)k k x x ∞

-≤--

(1)

分析3

GS 迭代收敛速度一般比Jacobi 迭代收敛速度快，右端项对迭代是否收敛没有影响，但有时对迭代次数会产生较大的影响。 题目4松弛因子对SOR 法收敛速度的影响。

用SOR 法求解方程组Ax =b ,其中

41-3141-2...-2, b ....141-214-3A -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

要求程序中不存系数矩阵A ,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, ...,1.9进行迭代，记录近似解x (k)达到||x (k)-x (k-1)||<10-6时所用的迭代次数k ，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当