数学论文 证明三角形内角和等于180度
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证明：三角形内角和等于180°
在几何证明中，“三角形内角和等于180°”这个定义十分常用，但这个定义的得出原因值得探讨。
我们可以随意作一个三角形，为△ABC
方法一：可以添加一条平行线，得到相等的同位角和内错角，然后进行等量代换。
证明：如图①，延长BC到D，再过点C作A B∥CD
A
E
B C D
图①
∵A B∥CD（已知）
∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACB＋∠ECD＋∠ACE＝180°（平角为180°）
∴∠ACB＋∠B＋∠A＝180°（等量代换）
方法二：
证明：如图②，过点A作AD∥BC
A
B
C
D
E
∵AD ∥BC ∴∠DAC ＝∠ACB ∠EAB ＝∠ABC
∵∠EAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°（平角为180°） ∴∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°（等量代换）
方法三：
证明：如图③，过点A 作AD ∥BC
图③
A
B
C
D
∵AD ∥BC
∴∠C=∠DAC （两直线平行，内错角相等）
∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠DAC
∴∠C+∠CAB+∠B=180°
方法四：如图④，过A 点作DE ∥BC ，延长BA 、CA 交DE 于A 点
F G
A
B
C
E
D
图④
∵DE ∥BC ∴∠C=∠FAD
∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180°
∵∠DAE=∠DAF+∠FAG+∠GAE ∴∠DAF+∠FAG+∠GAE=180°
∵∠GAF=∠BAC（对顶角相等）
∴∠BAC+∠C+∠B=180°
方法五：如图⑤，作直线DE∥AC，FE∥AB交BC于E
∵DE∥AC
∴∠AFE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∠C=∠DEB（两直线平行，同位角相等）
∵FE∥AB
∴∠AFE+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∠B=∠FEC（两直线平行，同位角相等）
∴∠A=∠DEF
∵B,C,E三点共线
∴∠BEC=180°
∵∠BEC=∠DEB+∠DEF+∠FEC ∴∠DEB+∠DEF+∠FEC =180° ∴∠A+∠C+∠B=180° 方法六：
证明：如图⑥，作DE ∥AC ，FG ∥AB ，MN ∥BC ，都交于点O
D A
B
C
F M
O N
G
E
图⑥
∵DE ∥AC
∴∠AFO+∠FOD=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵FG ∥AB
∴∠AFO+∠A=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A=∠FOD ∵MN ∥BC
∴∠C=∠FNO（两直线平行，同位角相等）
∵DE∥AC
∴∠FNO=∠DOM（两直线平行，同位角相等）
∴∠C=∠DOM
∵MN∥BC
∴∠B=∠DMO（两直线平行，同位角相等）
∵FG∥AB
∴∠DMO=∠FON（两直线平行，同位角相等）
∴∠B=∠FNO
∵M,O,N三点共线
∴∠MON=180°
∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON
∴∠DOF+∠DOM+∠FON=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
方法七：
证明：如图⑦，作DE∥AC，FG∥AB，MN∥BC，都交于点O
延长AC交FG于点K，延长AB到点L，延长BC 交FG于点P
A
B
C
F L
K
N
H
G
P O
M
D
E
∵ MN ∥BC
∴∠ABC=∠AHN
∠ACB=∠ANM （两直线平行，同位角相等） ∵ AB ∥FG ∴∠AHN=∠FON
∠BAC=∠AKO （两直线平行，同位角相等） ∴∠ABC=∠FON
∵DE∥AC
∴∠ANM=∠DOM （两直线平行，同位角相等）∠OKA=∠DOF （两直线平行，内错角相等）∴∠ACB=∠DOM
∵FG∥AB
∴∠BAC=∠OKA（两直线平行，同位角相等）
∴∠BAC=∠DOF
∵M,O,N三点共线
∴∠MON=180°
∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON
∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180°
∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°