第三章 运动方程求解
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Vs 2 ux dy 2
0 y0 y0 0
平均流速：
2 p 3 Vs y0 3 μ x
1 p 2 2 ( y y0 )dy 2 μ x
1m
3 Vs Vs 2 p y0 1 p 2 ub y0 A 2 y0 3μ x 2 y0 3 μ x
2 ub umax 3
当流体不可压缩时，ρ=常数
Du 1 2 ρ ρf B p μ u μ( u) Dθ 3
u 0
Du ρ ρf B p μ 2 u Dθ
动量传递方程的分析
ux u y uz 0 x y z
2 2 2 ux ux ux ux ux ux ux 1 p ux uy uz X ( 2 2 2 ) x y z x x y z
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
u y
Y
1 p
y
(
uy
2
x
2
uy
2
y
2
uy
2
z
2
)
2 2 2 uz uz uz uz uz uz uz 1 p ux uy uz Z ( 2 2 2 ) x y z z x y z
1 1 uθ u z (rur ) 0 r r r θ z
u z 0 z
N-S方程简化 r 分量:
2 ur ur uθ ur uθ ur ur uz ' θ r r θ r z 2 2 1 u u ur 1 pd 1 2 θ r ν (rur ) 2 2 2 2 ρ r r θ z r θ r r r
二、套管环隙中的轴向稳态层流
主体流速
r2 1 2π ub = u z dA= u z rdr 2 2 r A A π(r2 - r1 ) 1
压力降
1 dp 2 2 2 ub (r2 r1 2rmax ) 8 μ dz
dp 1 8 μub 2 2 2 dz r2 r1 2rmax
y
y0 o y0
流向
x
一、方程的简化
（1）连续性方程的简化
x
ux u y uz 0 x y z
u x 0 x
（2）运动方程的简化 x 方向：
ux ux ux ux 2 u x 2 u x 2u x 1 p ux uy uz X ν( 2 2 2 ) x y z θ ρ x x y z
变量数：ux，uy，uz，p；方程数：4
动量传递方程的分析
方程组的求解目的—获得速度与压力分布
ux ux ( x, y, z, θ ) u y u y ( x, y, z, θ ) uz uz ( x, y, z, θ ) p p( x, y, z, θ )
动量传递方程组的特点：
动量传递系数 CD （或 f ）等。
2 uθ 1 p r ρ r
三、旋转黏度计的测量原理
uθ uθ uθ uθ ur uθ uθ ur uz θ r r θ r z 2 2 1 1 1 p 1 uθ 2 ur uθ Xθ ν (ruθ ) 2 2 2 2 ρ r θ r θ z r θ r r r
第三章 动量传递方程的若干解
3.1 两平壁间的稳态层流
一、方程的简化 二、方程的求解 三、平均流速与流动压降
一、方程的简化
物理模型：流体在两 平壁间作平行稳态层流 流动，例如板式热交换 器、各种平板式膜分离 装置等。 z 设ρ=常数；稳态；远离流道进、出口；流体仅沿 x方 向流动： u y uz 0
1 (ruθ ) 0 r r r
三、旋转黏度计的测量原理
uz uz uθ uz uz ur uz θ r r θ z 1 uz 1 p 1 2u z 2u z Xz ν (r ) 2 2 2 ρ z r θ z r r r
三、平均流速与流动压降
压降：
Δp f p Δp 3μub 2 L x L y0
范宁摩擦因子（推导过程？）：
τs 12 μ 12 f 2 ρub / 2 y0 ρub Re
(2 y0 ) ρub Re = μ
第三章 动量传递方程的若干解
3.1 两平壁间的稳态层流
3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流
1 p 2 2 ux ( y y0 ) 2 μ x
抛物线形
当 y 0 时速度最大 1 p 2 umax y0 2 μ x
y 2 ux umax [1 ( ) ] y0
三、平均流速与流动压降
在流动方向上，取单位宽度的流通截面 A 2 y0 1, 则通过该截面的体积流率为 y0
三、旋转黏度计的测量原理
连续性方程简化
ur 0 , uz 0 1 1 uθ u z (rur ) 0 r r r θ z
uθ 0 θ
运动方程简化
2 ur ur uθ ur uθ ur ur uz θ r r θ r z 2 2 1 u u ur 1 p 1 2 θ r Xr ν (rur ) 2 2 2 2 ρ r r θ z r θ r r r
二、套管环隙中的轴向稳态层流
速度分布
由B.C.Ⅰ+Ⅲ 由B.C.Ⅱ+Ⅲ
1 dp r 2 r12 r 2 uz ( rmax ln ) 2 μ dz 2 r1
1 dp r 2 r2 2 r 2 uz ( rmax ln ) 2 μ dz 2 r2
r22 - r12 联立二式 rmax = 2ln r2 r1
一、圆管中的轴向稳态层流
二、套管环隙中的轴向稳态层流
三、旋转黏度计的测量原理
一、圆管中的轴向稳态层流
流体在圆管中的流动问题许多工程科学中遇到。 设：不可压缩流体在 水平圆管中作稳态层流 流动，所考察的部位远 离管道进、出口，流动 为沿轴向的一维流动。 r
z
一、圆管中的轴向稳态层流
柱坐标连续性方程的简化
范宁摩擦因子
f ?
三、旋转黏度计的测量原理
两垂直的同轴圆筒，内筒 的直径为a, 外筒的直径为b, 在两筒的环隙间充满不可压 缩流体。当内筒以角速度ω1 、外筒以角速度 ω2 旋转时， 将带动流体沿圆周方向绕轴 线作层流流动。若圆筒足够 长，端效应可以忽略。
ω1 a
ω2
b
ur 0 ,
uz 0
（b）对 y 积分得
p( x, y) ρgy k ( x)
对x 微分得
p dk ( x) f ( x) x dx
因
ux / x 0
ux / z 0
ux 仅是 y 的函数
d 2ux 1 p 常数 2 dy μ x
二、方程的求解
边界条件（B.C.）： （1） y y0 , ux 0; （2） y y0 , dux dy 0 速度分布为
pd 0 θ
一、圆管中的轴向稳态层流
pd 1 uz μ r z r r r pd 0 r pd 0 θ 1 d du z 1 dpd (r ) r dr dr μ dz
B.C. (1) r 0,
pd pd (r, θ, z) pd ( z)
2 u y 2 u y 2u y 1 p ux uy uz Y ν( 2 2 2 ) x y z θ ρ y x y z u y u y u y u y
p ρY ρg y
一、方程的简化
2u x p μ( 2 ) （ a) x y p (b) ρY ρg y p (c) 0 z
范宁摩擦因子
2τ s 8μ 16 μ 16 f 2 ρub ρru dub ρ Re i b
二、套管环隙中的轴向稳态层流
流体在两根同心套管 环隙空间沿轴向的流动 在物料的加热或冷却时 经常遇到，如套管换热 器。 设：不可压缩流体在两管环隙间沿轴向流过。设 所考察的部位远离进、出口，求解套管环隙内的速 度分布、主体流速以及压力降的表达式。
第三章 动量传递方程的若干解
本章讨论重点流体作简单层流流动时，动量传递 方程的典型求解。主要包括： 1.两平壁间的稳态层流； 2.圆管与套管环隙间的稳态层流； 3.无限大平板在黏性流体中的突然运动； 4.极慢黏性流动（爬流）； 5.势函数与理想流体的流动。
动量传递方程的分析
动量传递方程组：
ρ ( ρu) + 0 θ
r 2 uz umax [1 ( ) ] ri
r 2 umax ub uz dA 2 umax 1 dA A A πri A ri 2
一、圆管中的轴向稳态层流
压力降
Δp f dpd 8 μub 2 L dz ri
一、圆管中的轴向稳态层流
pd 0 r
z 分量:
uz uz uθ uz uz ur uz ' θ r r θ z 1 uz 1 pd 1 2u z 2u z ν (r ) 2 2 2 ρ z r θ z r r r
（1）非线性偏微分方程； （2）质点上的力平衡，仅能用于规则的层流求解。
动量传递方程的分析
方程组求解的分类：
（1）对于非常简单的层流，方程经简化后，其形 式非常简单，可直接积分求解—解析解； （2）对于某些简单层流，可根据流动问题的物理 特征进行化简。简化后，积分求解—物理近似解； （3）对于复杂层流，可采用数值法求解；将方程 离散化，然后求差分解； （4）对于湍流，可先进行适当转换，再根据问题 的特点，结合实验，求半理论解。
uz / θ 0
uz / z 0
u z u z (r )
(Baidu Nhomakorabea) r ri , uz 0
du z 0; dr
一、圆管中的轴向稳态层流
速度分布
1 dpd 2 2 uz (ri r ) 4 μ dz
管中心最大流速 1 dpd 2 umax ri 4 μ dz 平均流速 1 1
2u x p μ( 2 ) x y
一、方程的简化
z 方向：
uz uz uz uz 2uz 2uz 2uz 1 p ux uy uz Z ν( 2 2 2 ) x y z θ ρ z x y z
p 0 z
y 方向：
二、套管环隙中的轴向稳态层流
套管环隙中层流的变化方程与圆管相同，即
1 d duz r r dr dr 1 dpd 常数 μ dz
B.C. 为 (I)
r r1 , uz 0
du z , 0 dr
(II) r r2 , uz 0
(III) r rmax , u z umax
pd 1 uz μ r z r r r
一、圆管中的轴向稳态层流
θ 分量:
uθ uθ uθ uθ ur uθ uθ ur uz ' θ r r θ r z 2 2 1 u uθ u 1 pd 1 2 θ r ν (ruθ ) 2 2 2 2 ρr θ r θ z r θ r r r
0 y0 y0 0
平均流速：
2 p 3 Vs y0 3 μ x
1 p 2 2 ( y y0 )dy 2 μ x
1m
3 Vs Vs 2 p y0 1 p 2 ub y0 A 2 y0 3μ x 2 y0 3 μ x
2 ub umax 3
当流体不可压缩时，ρ=常数
Du 1 2 ρ ρf B p μ u μ( u) Dθ 3
u 0
Du ρ ρf B p μ 2 u Dθ
动量传递方程的分析
ux u y uz 0 x y z
2 2 2 ux ux ux ux ux ux ux 1 p ux uy uz X ( 2 2 2 ) x y z x x y z
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
u y
Y
1 p
y
(
uy
2
x
2
uy
2
y
2
uy
2
z
2
)
2 2 2 uz uz uz uz uz uz uz 1 p ux uy uz Z ( 2 2 2 ) x y z z x y z
1 1 uθ u z (rur ) 0 r r r θ z
u z 0 z
N-S方程简化 r 分量:
2 ur ur uθ ur uθ ur ur uz ' θ r r θ r z 2 2 1 u u ur 1 pd 1 2 θ r ν (rur ) 2 2 2 2 ρ r r θ z r θ r r r
二、套管环隙中的轴向稳态层流
主体流速
r2 1 2π ub = u z dA= u z rdr 2 2 r A A π(r2 - r1 ) 1
压力降
1 dp 2 2 2 ub (r2 r1 2rmax ) 8 μ dz
dp 1 8 μub 2 2 2 dz r2 r1 2rmax
y
y0 o y0
流向
x
一、方程的简化
（1）连续性方程的简化
x
ux u y uz 0 x y z
u x 0 x
（2）运动方程的简化 x 方向：
ux ux ux ux 2 u x 2 u x 2u x 1 p ux uy uz X ν( 2 2 2 ) x y z θ ρ x x y z
变量数：ux，uy，uz，p；方程数：4
动量传递方程的分析
方程组的求解目的—获得速度与压力分布
ux ux ( x, y, z, θ ) u y u y ( x, y, z, θ ) uz uz ( x, y, z, θ ) p p( x, y, z, θ )
动量传递方程组的特点：
动量传递系数 CD （或 f ）等。
2 uθ 1 p r ρ r
三、旋转黏度计的测量原理
uθ uθ uθ uθ ur uθ uθ ur uz θ r r θ r z 2 2 1 1 1 p 1 uθ 2 ur uθ Xθ ν (ruθ ) 2 2 2 2 ρ r θ r θ z r θ r r r
第三章 动量传递方程的若干解
3.1 两平壁间的稳态层流
一、方程的简化 二、方程的求解 三、平均流速与流动压降
一、方程的简化
物理模型：流体在两 平壁间作平行稳态层流 流动，例如板式热交换 器、各种平板式膜分离 装置等。 z 设ρ=常数；稳态；远离流道进、出口；流体仅沿 x方 向流动： u y uz 0
1 (ruθ ) 0 r r r
三、旋转黏度计的测量原理
uz uz uθ uz uz ur uz θ r r θ z 1 uz 1 p 1 2u z 2u z Xz ν (r ) 2 2 2 ρ z r θ z r r r
三、平均流速与流动压降
压降：
Δp f p Δp 3μub 2 L x L y0
范宁摩擦因子（推导过程？）：
τs 12 μ 12 f 2 ρub / 2 y0 ρub Re
(2 y0 ) ρub Re = μ
第三章 动量传递方程的若干解
3.1 两平壁间的稳态层流
3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流
1 p 2 2 ux ( y y0 ) 2 μ x
抛物线形
当 y 0 时速度最大 1 p 2 umax y0 2 μ x
y 2 ux umax [1 ( ) ] y0
三、平均流速与流动压降
在流动方向上，取单位宽度的流通截面 A 2 y0 1, 则通过该截面的体积流率为 y0
三、旋转黏度计的测量原理
连续性方程简化
ur 0 , uz 0 1 1 uθ u z (rur ) 0 r r r θ z
uθ 0 θ
运动方程简化
2 ur ur uθ ur uθ ur ur uz θ r r θ r z 2 2 1 u u ur 1 p 1 2 θ r Xr ν (rur ) 2 2 2 2 ρ r r θ z r θ r r r
二、套管环隙中的轴向稳态层流
速度分布
由B.C.Ⅰ+Ⅲ 由B.C.Ⅱ+Ⅲ
1 dp r 2 r12 r 2 uz ( rmax ln ) 2 μ dz 2 r1
1 dp r 2 r2 2 r 2 uz ( rmax ln ) 2 μ dz 2 r2
r22 - r12 联立二式 rmax = 2ln r2 r1
一、圆管中的轴向稳态层流
二、套管环隙中的轴向稳态层流
三、旋转黏度计的测量原理
一、圆管中的轴向稳态层流
流体在圆管中的流动问题许多工程科学中遇到。 设：不可压缩流体在 水平圆管中作稳态层流 流动，所考察的部位远 离管道进、出口，流动 为沿轴向的一维流动。 r
z
一、圆管中的轴向稳态层流
柱坐标连续性方程的简化
范宁摩擦因子
f ?
三、旋转黏度计的测量原理
两垂直的同轴圆筒，内筒 的直径为a, 外筒的直径为b, 在两筒的环隙间充满不可压 缩流体。当内筒以角速度ω1 、外筒以角速度 ω2 旋转时， 将带动流体沿圆周方向绕轴 线作层流流动。若圆筒足够 长，端效应可以忽略。
ω1 a
ω2
b
ur 0 ,
uz 0
（b）对 y 积分得
p( x, y) ρgy k ( x)
对x 微分得
p dk ( x) f ( x) x dx
因
ux / x 0
ux / z 0
ux 仅是 y 的函数
d 2ux 1 p 常数 2 dy μ x
二、方程的求解
边界条件（B.C.）： （1） y y0 , ux 0; （2） y y0 , dux dy 0 速度分布为
pd 0 θ
一、圆管中的轴向稳态层流
pd 1 uz μ r z r r r pd 0 r pd 0 θ 1 d du z 1 dpd (r ) r dr dr μ dz
B.C. (1) r 0,
pd pd (r, θ, z) pd ( z)
2 u y 2 u y 2u y 1 p ux uy uz Y ν( 2 2 2 ) x y z θ ρ y x y z u y u y u y u y
p ρY ρg y
一、方程的简化
2u x p μ( 2 ) （ a) x y p (b) ρY ρg y p (c) 0 z
范宁摩擦因子
2τ s 8μ 16 μ 16 f 2 ρub ρru dub ρ Re i b
二、套管环隙中的轴向稳态层流
流体在两根同心套管 环隙空间沿轴向的流动 在物料的加热或冷却时 经常遇到，如套管换热 器。 设：不可压缩流体在两管环隙间沿轴向流过。设 所考察的部位远离进、出口，求解套管环隙内的速 度分布、主体流速以及压力降的表达式。
第三章 动量传递方程的若干解
本章讨论重点流体作简单层流流动时，动量传递 方程的典型求解。主要包括： 1.两平壁间的稳态层流； 2.圆管与套管环隙间的稳态层流； 3.无限大平板在黏性流体中的突然运动； 4.极慢黏性流动（爬流）； 5.势函数与理想流体的流动。
动量传递方程的分析
动量传递方程组：
ρ ( ρu) + 0 θ
r 2 uz umax [1 ( ) ] ri
r 2 umax ub uz dA 2 umax 1 dA A A πri A ri 2
一、圆管中的轴向稳态层流
压力降
Δp f dpd 8 μub 2 L dz ri
一、圆管中的轴向稳态层流
pd 0 r
z 分量:
uz uz uθ uz uz ur uz ' θ r r θ z 1 uz 1 pd 1 2u z 2u z ν (r ) 2 2 2 ρ z r θ z r r r
（1）非线性偏微分方程； （2）质点上的力平衡，仅能用于规则的层流求解。
动量传递方程的分析
方程组求解的分类：
（1）对于非常简单的层流，方程经简化后，其形 式非常简单，可直接积分求解—解析解； （2）对于某些简单层流，可根据流动问题的物理 特征进行化简。简化后，积分求解—物理近似解； （3）对于复杂层流，可采用数值法求解；将方程 离散化，然后求差分解； （4）对于湍流，可先进行适当转换，再根据问题 的特点，结合实验，求半理论解。
uz / θ 0
uz / z 0
u z u z (r )
(Baidu Nhomakorabea) r ri , uz 0
du z 0; dr
一、圆管中的轴向稳态层流
速度分布
1 dpd 2 2 uz (ri r ) 4 μ dz
管中心最大流速 1 dpd 2 umax ri 4 μ dz 平均流速 1 1
2u x p μ( 2 ) x y
一、方程的简化
z 方向：
uz uz uz uz 2uz 2uz 2uz 1 p ux uy uz Z ν( 2 2 2 ) x y z θ ρ z x y z
p 0 z
y 方向：
二、套管环隙中的轴向稳态层流
套管环隙中层流的变化方程与圆管相同，即
1 d duz r r dr dr 1 dpd 常数 μ dz
B.C. 为 (I)
r r1 , uz 0
du z , 0 dr
(II) r r2 , uz 0
(III) r rmax , u z umax
pd 1 uz μ r z r r r
一、圆管中的轴向稳态层流
θ 分量:
uθ uθ uθ uθ ur uθ uθ ur uz ' θ r r θ r z 2 2 1 u uθ u 1 pd 1 2 θ r ν (ruθ ) 2 2 2 2 ρr θ r θ z r θ r r r