四阶幻方练习

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【三套试卷】【苏教版】小学四年级数学上册期末试题含答案

期末教材检测卷(含答案解析)1.填一填。

(1)9408000520是一个( )位数,最高位是( )位,4在( )位上,表示4个( )。

(2)在数位顺序表中,第( )位是万位,第九位是( )位。

(3)由7个十亿,7个万和7个千组成的数是( ),省略万位后面的尾数约是( )。

(4)6□998≈6万,□里最大能填( )。

(5)60908000000里面有( )个亿和( )个万,改写成用“亿”作单位的近似数是( )。

2.判断题。

(对的画“√”,错的画“×”)(1)个位、十位、百位……都是计数单位。

( )(2)某条高速公路投资12亿多,这个数是近似数。

( )(3)读数时,数中间的0都要读。

( )(4)用计算器计算时,前一题算完后,按ON/C键可进行下一题计算。

( )3.读出下面各数。

6800560012读作:71289003401读作:36040500读作:50048090004读作:30400560读作:4.写出下面横线上的各数。

(1)地球的陆地面积是一亿四千九百万平方千米。

写作:(2)北京第一高楼“中国尊”总投资二百四十亿元。

写作:(3)某企业2016年生产总值是三千零四十五万元。

写作:5.帮小动物找家。

(连线)6.把下面的数按从大到小的顺序排一排。

(1)20781 87201 27018 20871(2)978504 10293711 975804 9875047.在一个十位数6566671870中任意划去5个数字,使剩下的5个数字(先后顺序不变)组成一个五位数。

这个五位数最小是多少?最大是多少?第1课时大数的认识1.(1)十十亿亿亿(2)五亿(3)7000077000 700008万(4)4 (5)609 800 609亿2.(1)×(2)√(3)×(4)√3.六十八亿零五十六万零一十二七百一十二亿八千九百万三千四百零一三千六百零四万零五百五百亿四千八百零九万零四三千零四十万零五百六十4.(1)149000000 (2)24000000000 (3)304500005.略6.(1)87201>27018>20871>20781(2)10293711>987504>978504>9758047.最小:51870 最大:71870期末精品检测卷(附答案)一、幻方这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”。

Dürer魔方(或幻方)问题

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 8Dürer 魔方（或幻方）问题Drer 魔方（或幻方）问题有些较为复杂的问题，开始时常常给人以一种变幻莫测的感觉。

但经过细微的分析研究，可以发现其中存在着某些内在的关系。

在使用适当的数学工具后，这些内在关系就被一一揭露出来了。

德国著名的艺术家 Albrecht Drer(1471-1521)于 1514 年曾铸造了一枚名为Melencotia I 的铜币。

令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。

这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题。

1 、Drer 魔方这是一个由自然数组成的方块，称之为 Drer 魔方，其数字排列如下：什么是魔方？我们来下一个定义。

我们所谓的魔方是指由 1~n 2 这 n 2 个正整数按一定规则排列成的一个 n 行 n 列的正方形。

按不同的要求，它可以具有某些特定的性质，n 称为此魔方的阶。

例如，上面给出的 Drer 魔方是 4 阶的，它的每一行数字之和为 34，每一列数字之和为 34，把对角线（或反对角线）上的数字加起来是 34，每个小方块中的数字之和也是 34，若把四个角上的数字加起来还是 34，多么奇妙！最后一行中间两个数字恰好是铜币的铸造时间1514 年。

构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。

传说三千二百多年前（公元前 2200 年），因治水出名的皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称洛书），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，（被人称为洛书的 3 阶魔方）大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯阿格里帕（1486-1535）先后构造出了 3~9 阶的魔方。

四年级计算幻方与数表教师版

知识要点幻方与数表一、如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。

二、在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。

对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……；用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。

三、对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。

中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。

用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。

四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。

ihgf e d c b a幻方【例1】请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。

（只要构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】（方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数；第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解；以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。

四年级奥数详解答案-第4讲-幻方

四年级奥数详解答案第4讲第四讲幻方一、知识概要1. 幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。

这个“相等的和”就叫幻和。

9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。

2. 三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)二、经典例题精讲1. 将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。

分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。

如图所示：(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。

如：8↔2 1↔9)2. 将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。

分析指导：这是一个四阶幻方。

四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的顺序把1～16填好)，然后，1列和4列、2列和3例互相对换，最后，再将1行和4行、2行和3行对调。

这样两次对换后，四阶幻方就成了。

如下图所示。

这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线方向交换位置即成。

如下图所示：3. 将1～9这九个自然数填入图中的方格，使每行、每列及对角线上的三个数中，两端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。

分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。

这里有个数的方法—从1～9这九个自然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五居中间”，把数填入每个方格中即成。

结果如下图所示：4. 将1～13中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列三数之和也相等。

幻方四年级练习题

幻方四年级练习题幻方是一种数学游戏，通过填充数字使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。

在四年级的数学学习中，幻方常常被用来培养学生的逻辑思维和数学运算能力。

本文将为四年级学生准备一系列幻方练习题，帮助他们巩固数学知识并提高解题能力。

第一题：3×3幻方在3×3的网格中填入数字1~9，使得每行、每列和对角线上的数字之和都等于15。

解答：1 2 34 5 67 8 9第二题：4×4幻方在4×4的网格中填入数字1~16，使得每行、每列和对角线上的数字之和都等于34。

解答：16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1第三题：5×5幻方在5×5的网格中填入数字1~25，使得每行、每列和对角线上的数字之和都等于65。

解答：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9通过以上练习题，你可以锻炼对幻方的理解和解题思路。

在解答时，你可以采用尝试填数的方法，通过不断调整数字的位置，直到满足幻方的要求。

同时，你还可以尝试寻找规律，看看是否存在一些固定的数学特性来帮助你填写幻方。

幻方作为一种数学游戏，不仅仅可以提高你的运算能力，还可以培养你的逻辑思维和观察力。

当你掌握了幻方的基本原理和解题方法后，可以尝试设计自己的幻方题目，并与同学们一起分享解题经验，共同提高。

通过这些幻方练习题的学习，你将更加熟悉数字的排列组合，锻炼你的逻辑思维和数学运算能力。

相信通过不断地练习和思考，你会在幻方中展现出自己的数学才能，并更加喜欢数学这门学科。

在解答题目时，你可以逐步填写，注意每次填写后都要检查数字之和是否符合要求。

当然，也可以尝试不同的数字顺序填写，寻找更多的解答方法。

无论你采取何种方式，都要保持耐心和专注，相信你一定能够完成出色的幻方练习题。

以上就是关于幻方四年级练习题的介绍和解答。

小学奥数数阵与幻方知识点+例题+练习 (分类全面)

拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

11.幻方综合练习

幻方综合练习1、在方格中填入适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和为27。

【分析与解答】由于三阶幻方的幻和等于27，所以中间数是27÷3＝9，因此可以填出6下方的数是27－5－9＝13，5下方的数是27－6－9＝12；接着再填出第一行第一列的数是27－13－6＝8，第三行第三列的数是27－5－12＝10；最后填写第一行第二列和第三行第二列的数分别是27－8－5＝14和27－13－10＝4（如右图，填写顺序依次是红、蓝、绿、黑）。

2、用“罗伯法”编排下列幻方。

①将16～24这九个数排成一个三阶幻方。

②将0、2、4、6、8、10、12、14、16这九个数排成一个三阶幻方。

③将4～28这二十五个数排成一个五阶幻方。

3、使用“中心对称交换法”：①用4、6、8、……、32、34这十六个数编排一个四阶幻方。

②用1、3、5、……、125、127这六十四个数编排一个八阶幻方。

4、利用同心方阵法，用2～200中的一百个偶数编排一个十阶幻方。

5、在方格中填入适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

6、在下图空格中填入适当的数，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数乘积都相等。

7、如右图，方格中已经填入了一些数，为了使每一行、每一列及两条对角线上所填的三个数之和都等于19.95，则X＝（）。

8、在下图1的3×3的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。

现在另有一个3×3的阵列（图2），请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于10，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。

9、将1～9这九个数字分别填入下图中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三位数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。

10、如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上的三个整数的和相等，那么X＝____。

有理数的运算-幻方专题-教师版

有理数的运算-幻方专题1．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的33⨯方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则2x y -=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】解：各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， 206(2)y y y ∴++=++-，20(2)0y y x ++=+-+， 34y y ∴=+，32y x =-，解得2y =，8x =， 2x y ∴- 822=-⨯ 84=-4=故选：B ．2．将2n 个正整数1、2、3、⋯、2n 填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记()f n 为n 阶幻方对角线上数的和．如图就是一个3阶幻方，可知f （3）15=．则f （4）等于（）A ．36B ．42C ．34D ．44【答案】解：根据题意可知： 3阶幻方所有数之和为： 21233S =+++⋯+ 221(13)32=+⨯ 45=，f ∴（3）451533S ===； 4阶幻方所有数之和为：21234S =+++⋯+ 221(14)42=+⨯ 136=，f ∴（4）1363444S ===．故选：C ．3．据记载，“九宫图”源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．如图所示，由33⨯的方格构成，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则()a b -+的值为（）A ．3-B ．3C ．1-D ．1【答案】解：由题意可得：4523a +=-=，解得：1a =-，故323b +-=，解得：2b =，故()1a b -+=-．故选：C ．4．把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a 的值是（）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】解：设中心数为x ，根据题意得，6164++=++，x x a∴=，18a故选：C．5．学习了“探寻神奇的幻方”后，小明也找了九个数字做成一个三阶幻方，如图所示是这个幻方的一部分，则a=，b=．【答案】解：由题意知2113+=+，b aa a b+=++，1921则21138a=+-=，b=-=，819216故答案为：6，8．6．我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1~9这九个数字填入33⨯的方格中使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m所表示的数是．【答案】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，--=，∴第3列第三个数为：15852∴=--=．15276m故答案为：6．7．将9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如表一．如表二：将满足条件的另外9个数中的三个数填入了表二，则这9个数的和为（用含a的整式表示）【答案】解：如图所示：++-++-=+++，a a x a x a a x2531027解得2=+，x a+++=+++=+，a a x a a a727239a a+=+．3(39)927故答案为：927a+．8．幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为．【答案】解：依题意，得：2415++=，m解得：9m=．故答案为：9．9．（1）在学习有理数的加减法时，教材第20页中有这样一个题目：你能将4-、3-、2-、1-、0、1、2、3、4这9个数分别填入如图1所示的幻方的9个空格里，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？（2）填完（1）中的幻方后，请你将2-，0，1，2，3，4，5，6，8分别填入如图2所示的幻方的9个空格里，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都相等．【答案】解：（1）能，如图1；（2）将题中的9个数分别乘以2填入幻方，如图2．10．请完成如图所示的4阶幻方．【答案】解：1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数．如图：按行从左向右顺序排数．2、以中心点对称互换数字．（有两种对称交换的方法）1)、以中心点对称交换对角线上的数（即116-互换），完成幻方，-、710-、611-、413幻和值34=．2)、以中心点对称交换非对角线上的数（即215-、89-互换），完成幻方，-、512-、314幻和值34=故答案为：11．将九个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，如图1，我们称这样的图为三阶幻方．如图2中的三阶幻方中已知三个数，请填上其余6个数．【答案】解：设第一行第三列的数为x，则三个数之和为11x+，根据题意得，113(1)+=-，x x解得7x=．所以，其余6个数如图2所示：12．请将“2，4，6，7，9，11，12，14，16”共9个数，填入到下面33⨯的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，构成一个三阶幻方．（至少三种不同的填法）【答案】解：如图所示．。

七年级数学幻方题

七年级数学幻方题一、基础幻方题（1 10）1. 用1 9这九个数字构造一个三阶幻方。

解析：方法一：“罗伯法”。

首先把1放在第一行中间一列，即第一行第二列。

然后按顺序向右上方向填写数字。

如果右上方向出了幻方（比如到了最上面一行的上面或者最右边一列的右面），则把数字填到幻方相对的位置（如果出了上面就填到最下面一行对应的列，如果出了右面就填到最左面一列对应的行）。

当右上方向已经有数字时，就把数字填在当前数字的下面。

按照这个规则，1在第一行第二列，2就填在2行3列（1的右上方向），3填在3行1列（2的右上方向），4填在4行2列（3的右上方向，因为出了幻方的顶行，所以填到最下面一行对应的列），5填在5行3列（4的右上方向），6填在6行1列（5的右上方向），7填在7行2列（6的右上方向，因为右上方向已有数字4，所以7填在6的下面），8填在8行3列（7的右上方向），9填在9行1列（8的右上方向）。

得到的三阶幻方为：begin{bmatrix}816 357 492end{bmatrix}幻和为15（每行、每列、每条对角线上数字之和），计算方法为(1 +2+3+·s+9)÷3=(45÷3) = 15。

2. 在一个三阶幻方中，已知左上角数字为3，幻和为18，请完成这个幻方。

解析：设这个幻方为begin{bmatrix}3ab cde fghend{bmatrix}。

因为幻和为18，所以第一行的和3 + a + b=18，则a + b = 15。

又因为对角线上3 + d+h = 18，所以d + h=15。

同理，c + d+e = 18。

由于中间数d在计算幻和时用到了4次（行、列、两条对角线），根据幻方的性质，幻和等于中间数的3倍，所以d = 18÷3 = 6。

因为3 + d+h = 18，d = 6，所以h = 9。

因为a + b = 15，设a = 7，则b = 8。

再根据幻和为18求出其他数字，得到幻方begin{bmatrix}378 5671053end{bmatrix}。

小学奥数：幻方（一）.专项练习及答案解析[汇编]

1.会用罗伯法填奇数阶幻方2.了解偶数阶幻方相关知识点3.深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有：①求幻和：所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。

小学数学《数表与幻方》练习题

数表与幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.（一）幻方【例1】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【例2】 3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法【例3】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【例4】请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.987654321 14115106213169711548312【例5】在下图中的A 、B 、C 、D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方.【例6】在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.【例7】将自然数1至9分别填在如下图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．【例8】已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?（二）数表【例9】如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?3811165*497127*9*CDCBA【例10】在图中所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么?并完成这个数表.【例11】请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．【例12】如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？1.如右图的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列，请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.2.在下面两幅图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.3.在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21.88444.在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.5.在左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.。

小学数学《数表与幻方》练习题(含答案

数表与幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.（一）幻方[小故事]（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：987653421【例1】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.分析：第一步：求幻和：2+3+4+…+9+10=54第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18×4=72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72-54）÷3=6第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图：987654321 14115106213169711548312[巩固]3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法分析：除了运用例题中的方法，还有两种方法：（方法一）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格（2）如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行（4）如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1213213421563421563742156387421563987421（方法二）对易法：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了.563987421563987421563987421[说明]南宋数学家杨辉曾概括幻方为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.”这就是我们现在所学的对易法.[小知识] 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆.”【例2】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.[亮点设计]（1）提问：三阶幻方的我们可以通过算的方法填出，五阶的呢？算算看，累死.七阶呢？更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢？看老师的：（2）示范：边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数幻方是最简单易行的.（3）练习：写个七阶的看看（大家一起来练）注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.（4）亮化：大家现在感到是不是很好玩？美国的有个小孩子写出了105阶的幻方，被记在一本数学课本上.我们现在知道，这里的方法其实不算难吧？其实我们也不妨跟美国小朋友PK一下，来构造一个比较大的幻方，也可以是或者就是做一份数学作品，跟书法作品一样装裱得非常漂亮地挂在你家客厅的墙上，客人到你家作客时，一看是一头雾水，你就简单地问一问他，横行的所有数之和是多少？所有横行的每个和怎么样呢？都相等吧？竖列所有数之和是多少？跟横行的和相等吧！还有，看看两条对角线上，每条对角线上所有数之和呢？轻轻而清晰地告诉他，这就是57阶幻方或者**阶幻方！厉害吧，这就是奥数研究生的作品.（研究奥数的学生简称奥数研究生嘛）当然，别忘了，十几阶的奇数幻方奖一个章，二十几阶的奖励三个章，三十几阶的奖励五个章，四十几阶的奖励七个章，如果六十几阶应该奖励几个章呢？【例3】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k，3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格的数=k÷3注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用. [拓展]如图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?110 8*分析：首先确定左下角的数为17，这样才能保证第一行和第一列的和相等，如此可以得出，这个三阶幻方中围绕中心的相对位置上的两个数和为17+10=27，接着确定底边和右边上的数，通过设左上角标有*的方格中所填的数未知数为X，列式为（18+x）÷3+27=18+x，最后求出标有*的方格中所填的数为22.5.【例4】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.分析：中间方格中的数为7.再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10.考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10.经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样，只是方向不同而已.[巩固]如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．x19 95100951918124171291761051009519分析：（1）设中间的数为Y，则各行各列的和为3Y，求出各个方格中每个数的代数式，左上角为Y-X+95,右上角为2Y-95,右下角为：Y+X-95,最下面一行中间的数为：2Y-X，根据每行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,解得X=171.（由此引出三阶幻方性质：角上的数等于不相邻边上数的平均数）（2）根据（1）所得的每个方格中的代数式可得右上图.【例5】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方.[前铺]用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见下图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方.【例6】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析：这一例题较复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A 至I 这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应包含全部奇数（1、3、5、7、9）和偶数8，由于DEF =2×ABC，GHI =3×ABC ，所以GHI =ABC +DEF ,因此又可把3×3方格中的数看作一个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H 至多为5）.因此E=8，这样，B ＝9，H=7.最后，由于A ＜D ＜G 必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，I=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B 、E 、H 是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H ，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于314×2≠658，354×2≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A ＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G ＜（1+1）×3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论. 由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.【例7】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.分析：先填出一个普通幻方，任意取一个自然数n ，然后将幻方中的数改成以n 为底，原来的数为指数的形式即可,取n=2，如果取2，则九个数字为：2、4、8、16、64、128、256、512，如图.563987421512256128641684232[拓展]把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216．求位于正中间的方格中所填的数．分析：1=2030，2=2130，3=2031，4=2230，6=2131，9=2032，12=2231，18=2132，36=2232，只要将这些数填入空格保证每行每列以及对角线上的2和3上的指数和相等.943122183616【例8】已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?分析：对角线上的和为34，由此可以确定第四行第三列的数为2，右下角的数为13，于是便可以确定标有*的方格中所填的数为6.3811165*49712（二）数表【例9】如下图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖行相邻三个数的和都为20，那么“*”所代表的数是多少？分析：设左上角方格中的数为x ，由相邻三个数的和为20，可知横行、竖行都以3为循环，那么左上角的数为14-x ，左下角方格中的数为12-x ，由此还能求到右下角的数为6+x ，“*”所代表的数为20-（14-x ）-（6+x ）=0.[巩固]如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l ，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x ．那么x 所代表的数是多少?分析：先分析竖直方向的数字出现规律，都是以3为周期循环出现相同数字，求得交叉点上数字为10，同理可求得x=5.【例10】请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．*26883x511121132113211321133232132113211分析：这个图形如中间图所示打上斜线，那么这四个格子都在不同的斜线上，将4×8的方格网也打上斜线，填数的时候，只要保证同一条斜线上的数相同，并且从最上边的斜线向下，线上对应的数以4为周期依次出现两个1，一个2，一个3.[拓展] 请在4×8方格表的每个方格内填入数1、2、3、4，使得任何排列如例10图所示形状的4个方格中所填数的和都是10．分析：只需将图中的部分斜线上的1替换成4.[前铺]请在4×8方格表的每个方格内填人数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．11121132113211321133232132113211分析，首先考虑一个横排，要使横排任意四个数包含3、2、1、1，那么每个横排上的数都应该以4为一个周期，将这样的一个横排向左错位一格作为它的下一排，向左错位两格作为它的下边第二排，……，那么在竖直方向，数表也将符合题目条件的性质.[巩固]在如左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.分析：12=1+1+2+2+3+3，由例10得到灵感：将1、2、3如图排列后能保证符合条件211333222211111333333222221111333221[拓展]用一个九宫格盖住下边表中9个数，已知这个九宫格中间一个数是86，你能否用这被盖住的9个数构成一个幻方，使得每一横行，每一竖行还有对角线上三个数的相等.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 …………………………………………………………分析：表中对于任何一个数，它的左邻比它小1，右邻比它大1，上邻比它小9，下邻比他大9，由此可知，九宫格盖住的9个数分别为76、77、78、85、86、87、94、95、96，将它们填成幻方如图，86当然放在最中间.969594878685787776【例11】如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第一列第二列第三列第四列……第一行 1 2 5 10 17 第二行 4 3 6 11 第三行 9 8 7 12 第四行 16 15 14 13 ……分析：按照填写顺序，所有的完全平方数都出现在数表的第一列，所有小于等于2n 的正整数数都能够组成一个边长为n 的正方形，442＜2007＜452，所以2007处在边长为45的正方形的边缘，边长为四十五的正方形边缘第一个数是442+1=1937，位于第一行、第四十五列，最后一个数是452=2025，位于第四十五行，第一列，所以第四十五行，第四十五列的数是（2025+1937）÷2=1981，2007＞1981，所以2007在第四十五行上，2025-2007=18，所以2007在第十九列上.[拓展]如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第1列第2列第3列第4列第5列第6列……第1行 1 2 6 7 15 16 第2行 3 5 8 14 17 第3行 4 9 13 18 第4行 10 12 19 第5行 11 20 第6行 21 ……分析：每当所填的数能表示成n n+12（）时（n 为正整数），所有已经填的数就构成一个直角边长为n 个数的直角三角形，n 为奇数时，2n （n+1）在第一行，n 为偶数时，n n+12（）在第一列，因为6262+12⨯（）＜2007＜6363+12⨯（），所以2007在边长为63个数的直角三角形的斜边上，6363+12⨯（）=2016位于第1行第63列，2016-2007=9，所以2007在第10行，第54列.【例12】在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析：为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S ，那么图中六个正方形可得到：a 1+a 2+b 1+b 2=S,a 2+b 2+a 3+b 3=S,b 1+b 2+c 1+b 2=S,a 2+b 3+b 2+b 1=S,b 2+b 2+b 3+c 3=S,a 1+a 3+c 3+c 1=S.将上面的六个等式相加可得到： 2（a 1+a 3+c 3+c 1）+3（a 2+b 3+b 2+b 1）+4b 2=6S.则4b 2＝S 4（a 1+a 3+c 3+c 1）+4（a 2+b 3+b 2+b 1）+4b 2=9S.于是有： 4（a 1+a 2+a 3+b 1+b 2+b 3+c 1+b 2+c 3）=4×45=9S. 9S=4×45 S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20. 所以：b 2=5. 从而得到：a 1+a 2+b 1=a 2+a 3+b 3=15， b 1+c 1+b 2=b 2+c 3+b 3=15.由上面两式可得：a 1+b 1=a 3+b 3,b 1+c 1=b 3+c 3. 如果a 2为奇数，则a 1+b 1和a 3+b 3均为偶数.①若a 1为奇数，a 3为偶数，则b 1为奇数，b 3为偶数.因为a 2+b 3+b 2+b 1=20，所以b 2为偶数，则c 1为偶数，c 3为奇数.但是a 1+a 2+5+b 1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a 1为偶数，a 3为偶数，则b 1也为偶数，b 3也为偶数.因为a 2+b 3+b 2+b 1=20，所以b 2为奇数，则c 1为偶数，c 3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a 1为奇数，a 3为奇数，则b 1、b 3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾. ④若a 1为偶数，a 3为奇数，情况与①相同.综合上述，a 2必为偶数.由对称性易知：b 2、b 2、b 1也为偶数.因此a 1、a 3、c 3、c 1全为奇数. 这样，就比较容易找到此解.也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.1. （例4）在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少?分析：设中间的数为X ，可以此确定上边、右上角、右下角、左下角、左边、右边所填数的代数式，由于3X=19.95，X=6.65，最后得到，标有*的格内所填的数是11.12.*8.804.332. （例6）将自然数1至9分别填在如图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．分析：中间的数只能为5，这样才能保证有4组数对分别填写于方格四周，相对位置两数和相等并且比中心所填的数大5.9876432153. （例9）如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?分析：这个数的各个数位上的数字以3为周期循环出现，这个数为97497497497，标有*的那个数位上的数字应是7.7* 94.（例11）如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？第一列第二列第三列第四列第五行第一行 1 2 3 4第二行8 7 6 5第三行9 10 11 12第四行16 15 14 13……分析：各个自然数的列号以8为循环，行号每4个数加一行，2007=8×250+7，所以2007在第3列，第502行，它下边的数比2007大4，所以2007下边是2011.5.（例12）将1～8填入下图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内.分析：因为中间两个○分别只与一个○不相邻，只能填1和8，其余数的填法见右上图.。