第3讲 平面向量 专题训练— 2021届高考(理科)数学二轮复习

专题训练作业(九)一、选择题1．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF→＝( )A ．－12AB →＋34AD → B.12AB →＋23AD → C.13AB →－12AD →D.12AB →－34AD →2．(2020·衡水中学第七次调研)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，若AD→＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( ) A.12 B.13 C ．2D.233．(2020·马鞍山市高中毕业班第二次教学质检)已知非零向量a ，b 满足|a －b |＝3|a ＋b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π64．(2020·宜宾市第一中二模)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x>0，若(a－2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．0D ．25．(2020·贵州铜仁市第二次模拟)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2020·山东省实验中学高三月考)已知平面向量a ，b 满足(a ＋b )·b ＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2 37．已知i ，j 是单位向量，且i ，j 的方向分别与x 轴、y 轴的正方向相同，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，128.(2020·湖北省七市联考)据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC ＝3，BC ＝4，点D 是CB 延长线上的一点，则AC→·AD →＝( )A ．3B ．4C ．9D ．不能确定9．(2020·决胜高考仿真卷)设等边三角形△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足AM→＝12AB →＋13AC →，向量AM →与AB →夹角的余弦值为( ) A.63 B.36 C.1912D.4191910．(2020·山西运城市模拟)若|AM →|＝3，|AN →|＝1，AM →·MN →＝－8，则|MN →|＝( )A ．2 2 B. 6 C.14D.14211.(2020·西安五校联考)如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD → B ．2AC →－2AD → C.AD→－AC → D ．2AD→－2AC → 12．(2020·山东省高三模拟)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n)，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法不正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为锐角 B ．向量a 在b 方向上的投影为55 C ．2m ＋n ＝4D ．mn 的最大值为213．(2020·三亚华侨学校月考)已知点A(4，6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，与向量AB→平行的向量的坐标不可能是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫143，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫7，92 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－143，－3 D ．(7，9)14．(2020·四川省宜宾二模)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32 C ．－43 D ．－1二、填空题15．已知向量a ，b 满足：|a |＝1，b ＝(1，3)，a ·(a －b )＝2，则向量a 与向量b 的夹角为________；向量a 在向量a －b 方向上的投影为________．16．已知向量a ＝(1，1)，|b |＝2，且向量a 与b 的夹角为3π4，a ·(a ＋b )＝________． 17．已知向量AC→＝(1，si nα－1)，BA →＝(3，1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2 019π－α)＝________．18．(2020·山东高三检测)已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(－1，2)，a ，b 的夹角为θ，则sinθ＝________．19．(2020·山东省高三模拟)已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点F 2恰好为△F 1AB 的外心，若(BF 1→＋BA →)·AF 1→＝0，则C 的离心率为________． 20．(2020·石家庄市毕业班综合训练)已知向量AB →，BC →，若|BC →|＝2|AB →|，BC →的方向是沿AB →方向绕着B 点按逆时针方向旋转30°角得到的，则称AB →经过一次τ变换得到BC →.已知向量OA 1→＝(1，0)经过一次τ变换后得到A 1A 2→，A 1A 2→经过一次τ变换后得到A 2A 3→，…，如此下去，A n －2A n －1经过一次τ变换后得到A n －1A n ，设A 2 019A 2 020＝(x ，y)，则y －x ＝________．1．(2020·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－52D ．－542．(2020·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( ) A ．1 B.12 C.34D.323．(2020·郑州质量预测二)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋c )·(2b －c )的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－1D ．04．(2019·课标全国Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t)，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．35．(2018·课标全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．86．(2020·安徽省高三模拟)已知在等腰△AOB 中，若|OA|＝|OB|＝5，且|OA →＋OB →|≥12|AB →|，则OA →·OB →的取值范围是( ) A ．[－15，25) B ．[－15，15] C ．[0，25)D ．[0，15]7．(2020·山西五地市联考)已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(－2，1)，若a 与2a －b 共线，则|b ||a |＝________．8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为 ________．9．(2018·课标全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．参考解析答案1.答案 D解析 利用向量的三角形法则，可得DF→＝AF →－AD →，AE →＝AB →＋BE →，∵E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则AF →＝12AE →，BE →＝12BC →，∴DF →＝AF →－AD →＝12AE →－AD →＝12(AB →＋BE →)－AD →＝12AB →＋14BC →－AD →. 又∵BC→＝AD →，∴DF →＝12AB →－34AD →.故选D. 2.答案 B解析 本题考查平面向量基本定理．因为AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB→)＝14AB →＋34AC →，所以λ＝14，μ＝34，所以λμ＝13.故选B.3.答案 C解析 因为|a －b |＝3|a ＋b |＝3|a |，平方可得a 2－2a ·b ＋b 2＝3(a 2＋2a ·b ＋b 2)＝3a 2，由3(a 2＋2a ·b ＋b 2)＝3a 2⇒2a ·b ＝－b 2，代入a 2－2a ·b ＋b 2＝3a 2可得|a |＝|b |. 设a 与b 的夹角为θ，代入2a ·b ＝－b 2有2|b |2·cos θ＝－|b |2⇒cos θ＝－12. 又θ∈[0，π]，故θ＝2π3.故选C.4.答案 A解析 因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)．∵(a －2b )∥(2a ＋b )，(8－2x)(x ＋1)＝(16＋x)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则－52x 2＋40＝0，解得x ＝±4，又x>0，因此，x ＝4.故选A. 5.答案 B解析 ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0.∴|m |2－|n |2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0，∴λ＝－3，故选B. 6.答案 C解析 由(a ＋b )·b ＝2及|b |＝2，可得a ·b ＋|b |2＝2，可得a ·b ＝－2，|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×（－2）＋22＝1，故选C.7.答案 D解析 由已知得a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a ，b 的夹角为锐角，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1－2λ5×1＋λ2>0，且cos 〈a ，b 〉≠1，即λ<12且λ≠－2.故选D.8.答案 C解析 因为AC ＝3，CB ＝4，AB ＝5，所以AC 2＋CB 2＝AB 2， 所以AC ⊥CB ，所以AC→·CB →＝0，所以AC →·CD →＝0，所以AC →·AD →＝AC →·(AC →＋CD →)＝AC →2＋AC →·CD →＝9＋0＝9.故选C. 9.答案 D解析 |AM →|2＝AM →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋13AC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →2＋2×12×13×AB →·AC →＝1936，|AM→|＝196，对AM →＝12AB →＋13AC →两边用AB →点乘，AB →·AM →＝12AB →2＋13AB →·AC →＝23，AM →与AB →夹角的余弦值为AM →·AB →|AM →||AB →|＝41919.故选D.10.答案 A解析 因为|AM→|＝3，|AN →|＝1，所以AM→·MN →＝AM →·(AN →－AM →)＝AM →·AN →－AM →2＝AM →·AN →－9＝－8， 所以AM →·AN →＝1，所以|MN →|＝|AN →－AM →|＝AN →2－2AM →·AN→＋AM →2＝2 2.故选A. 11.答案 D解析 连接CD ，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D.12.答案 B解析 由题意知，a ·b ＝1>0，所以a 与b 的夹角为锐角，故A 正确； 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝12＝22，故B 错误；a －b ＝(1，2)，因为(a －b )∥c ，m ，n 均为正数，所以c 为非零向量，且－n ＝2m －4，2m ＋n ＝4，故C 正确；由基本不等式知，4＝2m ＋n ≥22mn ，mn ≤2，当且仅当2m ＝n ＝2时取等号，故mn 的最大值为2，故D 正确． 13.答案 D解析 由点A(4，6)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32，则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－92. －7×3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92×143＝0，故A 正确．－7×92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92×7＝0，故B 正确．－7×(－3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143＝0，故C 正确．－7×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92×7≠0，故D 不正确．14.答案 B解析 如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴， D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，所以PA→＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)， 所以PB→＋PC →＝(－2x ，－2y)， PA→·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y(3－y)＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32， 当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32.故选B.15.答案 2π3 277解析 ∵b ＝(1，3)，∴|b |＝1＋3＝2，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2， 解得cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3， ∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝5＋2＝7，∴|a －b |＝7， 则向量a 在向量a －b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，a －b 〉＝a ·（a －b ）|a －b |＝277.16.答案 0解析 ∵向量a ＝(1，1)，|b |＝2，且向量a 与b 的夹角为3π4，∴|a |＝12＋12＝2；∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝(2)2＋2×2×cos 3π4＝2－2＝0. 17.答案 －2解析 ∵B ，C ，D 三点共线，∴可设BD→＝xBC →＝x(BA →＋AC →)， 即(2，cos α)＝x(4，sin α)，则2＝4x ，cos α＝xsinα，得x ＝12，即cosα＝12sin α，得tanα＝2，则tan(2 019π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－2. 18.答案 55解析 依题意θ∈[0，π]，所以cosθ＝a ·b |a ||b |＝－105×5＝－255，sin θ＝1－cos 2θ＝55. 19.答案3＋12解析 取AF 1的中点为C ，连接BC ，AF 2，BF 2，如图所示： 因为(BF 1→＋BA →)·AF 1→＝12BC →·AF 1→＝0，所以BC ⊥AF 1，又C 为AF 1的中点，所以△ABF 1为等腰三角形且BF 1＝BA ，因为点F 2恰好为△F 1AB 的外心，所以点F 2在直线BC 上，且AF 2＝BF 2＝F 1F 2＝2c ，由双曲线的定义知AF 1－AF 2＝BF 1－BF 2＝2a ，则AF 1＝BF 1＝2a ＋2c ，所以△ABF 1为等边三角形，则BC ＝32BF 2＝3c ，在△CBF 1中，BC 2＋CF 12＝BF 12，即9c 2＋(a ＋c)2＝(2a ＋2c)2，化简得3a 2＋6ac －6c 2＝0，同时除以a 2可得2e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋32或1－32(舍去)．20.答案 22 019解析 由题意可得AB→经过一次τ变换得到BC →，相当于一次旋转变换．而向量OA 1→＝(1，0)经过一次τ变换后得到向量A 1A 2＝(3，1)，向量A 1A 2→＝(3，1)经过一次τ变换后得到向量A 2A 3＝(2，23)， 向量A 2A 3＝(2，23)经过一次τ变换后得到向量A 3A 4＝(0，8)， 而2 019＝3×673，可得再经过三次τ变换后得到的向量坐标为(0，64)，则向量OA 1→＝(1，0)经过2 019次τ变换后得到(0，8673)＝(0，22 019)，可得y －x ＝22 019.备选题1.答案 D解析 不妨设e ＝(1，0)，则a ＝(1，m)，b ＝(－2，n)(m ，n ∈R )，则a ＋b ＝(－1，m ＋n)，所以|a ＋b |＝1＋（m ＋n ）2＝2，所以(m ＋n)2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可知，a ·b 的最大值为－54.故选D. 2.答案 D 解析 方法一：∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t(a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t(t ＋1)a ·b ＋t 2b 2.∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t(t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a＋c |的最小值为32.故选D.方法二：∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，32t (t ∈R )，∴a ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋t 2，32t ，∴|a ＋c |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋3t 24＝t 2＋t ＋1≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.3.答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，则|a |·|b |cos θ＝12，即cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3，令OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设c ＝OC →＝(cosα，sin α)(0≤α≤2π)，则(a ＋c )·(2b －c )＝(1＋cosα，sin α)·(1－cosα，3－sinα)＝(1＋cosα)(1－cosα)＋sinα·(3－sinα)＝1－cos 2α＋3sin α－sin 2α＝3sin α≥－3(当且仅当α＝3π2时取等号)．故选B.4.答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC→＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C. 5.答案 D解析过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM→＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D. 6.答案 A解析 因为|OA →＋OB →|≥12|AB →|＝12|OB →－OA →|，所以|OA →＋OB →|2≥14|OB →－OA →|2，即(OA →＋OB →)2≥14(OB →－OA →)2，所以OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2≥14(OB →2－2OA →·OB →＋OA →2)，52＋2OA →·OB →＋52≥14(52－2OA→·OB →＋52)，OA →·OB →≥－15，又OA →·OB →≤|OA →||OB →|＝5×5＝25，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取等号，因此上述等号取不到，所以所求范围是[－15，25)，故选A.7.答案 12解析 本题考查平面向量的运算、平面向量共线的条件．由题意得2a －b ＝(2x ＋2，3)，则由a 与2a －b 共线得2(2x ＋2)－3x ＝0，解得x ＝－4，则|a |＝（－4）2＋22＝25，|b |＝（－2）2＋12＝5，则|b ||a |＝12.8.答案 π6解析 设向量a 与b 的夹角为θ.∵b 在a 上的投影为3，且|a |＝12＋（3）2＝2，a·b＝3＋3m，∴|b|cosθ＝|b|×a·b|a||b|＝3＋3m2＝3，解得m＝ 3.∴|b|＝2 3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝3＋3×32×23＝32.∵θ∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为π6.9.答案1 2解析2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝1 2.。