贝特朗悖论(几何概型).doc
几何概型的解析方法和类型例解以及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析
几何概型的解析方法和类型例解 及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析几何 概型是高中数学新课程的新增加内容之一.部分师生在几何概型知识的理解上存在一些偏差，在有关内容的教学中有说理不清或解法错误的现象。
本文依据几何概型理论知识和课例，谈谈几何概型问题的解析方法和基本事件为线段、圆、球射线等非质点问题的转化，以及蒲丰投针试验、贝特朗奇论的解析。
1 问题引入题 1 如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？在第99页里和网上一些教师课件中有上述习题及如下答案。
解：：记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为130103⨯=米，所以101()303P E ==。
笔者认为：上述解答错误。
错误主要原因几何概型问题的解析方法不正确。
题2 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自 钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油（油滴不出铜钱面），油滴的直径是0.2cm 的球，则油滴整体落入孔中的概率是 。
关于此题的教学中，部分学生和教师出现分析无方，说理不清等现象，那么几何概型应怎样分析解决呢？题3 苏教版必修3提到的“贝特朗奇论”：在半径为1的圆内任作一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
贝特朗奇论的经典解法有如下三种。
解法一：如图1弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为41。
解法二：如图2由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于41点与43 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为21 。
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考
几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考几何“贝特朗概率悖论问题”的一点思考郑甜（贵州省贵阳市第一中学）度中引入了古典概型和几何概型的概念，并从古典概型入手，要求学生能够对基本事件进行准确的计数和合理的描述。
学生要能够掌握几何概型中的具体情境分析，能够对基本事件的发生进行转换，将其转变为特定区域内的随机取点。
教材在几何概型这方面旨在对学生的建模能力和类比猜想能力进行培养和提高，并在其中渗透了丰富的数形结合思想和等价转换思想，是新课标人教A版高中数学教材中的一项难点内容。
在教学的过程中，几何概型的教学难点就在于如何让学生把握住几何概型的定义和特征，不要出现类似贝特朗概率悖论的问题。
二、贝特朗概率悖论问题贝特朗概率悖论问题是一个着名的问题，其内容为“有一个半径为1的圆，在圆内随机地将一条弦去除，那么弦的长度超过圆的内接等边三角形边长的概率有多大？”1.长度，y，2.60°角和，弦与该成样本空间Ω2。
两变量的变化率不一样，所以不能用弦与切线成60°角和120°角之间的概率取代弦长度大于三角形边长的概率。
3.如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是πr2，小圆的面积是π（r/2）2。
所以概率P=1/4，假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。
三、对贝特朗概率问题的分析每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
在几何概型中，对某一随机事件的概率可以用体积、面积和长度来进行计算，其中的基本原理就在于每个基本事件都与一个点相互对应，这些点均匀分布，构成了空间几何体、平面区域或者曲线段。
但仍然可问题，。
贝特朗奇论悖论
贝特朗奇论2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。
解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。
对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,P = CD 弧长圆周长 = 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。
解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。
若 A B 的中 点落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积= 14 。
2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。
解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。
三种答案对于各自的假定都是正确的。
这样的解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。
其实弊病出在概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率mn逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。
概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)= mn，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。
贝特朗悖论
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
贝特朗悖论
贝特朗悖论著名的数学家弗朗西斯·贝特朗曾提出一个有趣的悖论：如果我们在相同的时间内穿越不同的维度，那么我们将永远也无法到达目的地。
也就是说，我们只能前进而不能后退，既然这样，我们为什么还要向着终点努力呢？其实这个悖论很好理解。
我们先假设现在有两个你，和一个你存在于过去。
如果你进入了过去的某一个时间点，那么这就意味着你来到了另一个你的时空。
而这样的事件在平行宇宙中可能会发生，但几率非常小。
所以说，你只能往前走而无法后退。
然而，这个悖论的前提是在一个四维时空中同时存在两个你。
如果你有三维空间的思想，就会觉得难以接受。
在三维世界中，一切物体都具有长、宽、高三种特性，然而到了第四维世界中，一切物体均具有了时间和速度，因此没有任何运动可言。
物体之间的关系也只能是“瞬间”或者“过去”或者“未来”，没有任何其他联系。
正如网上流传的一句话“时间是最小的距离”，从另一个角度看，“时间就是物体”，当物体消失在另一个空间时，它同时也消失在另一个世界里。
一方面，你希望能够走到更远处；另一方面，你又不能后退。
换做是我们，谁会选择停留在原地，而不前进呢？这个悖论也表明了，在我们面对多维空间时，每个人都会做出不同的选择。
既然生活在三维空间中的我们是如此不自由，那么我们还有必要坚持继续向前吗？1、请思考一下，如果你现在站在广场上，在你面前有两条路，一条通往死亡，一条通往毁灭。
你作何选择？请在其中选择一条通道！假设，我们已经用尽了人生全部的积蓄，并打算把仅剩的钱买一张彩票。
如果买了一张中奖了，就能够改变你的命运，这次冒险是否值得？2、很久以前，我们的太阳系统治了整个银河系，但是今天，银河系却威胁到了太阳系的生存。
为了保护我们自己，我们需要拥有足够的战斗能力。
你愿意做一名军人，还是坐在火山口上悠闲地晒太阳？3、如果你得到了500万美元，会怎么分配？如果继续保留这笔钱，你的钱会随着时间的推移而贬值；如果进行投资，可能你的回报会翻倍；甚至更多……钱还可以购买到不同的商品，带来丰富的收益，这样的机会难道不珍贵吗？。
贝特朗悖论
贝特朗悖论
1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，使我们对概率的定义有了更深的认识。
同一个问题，得出了三种答案，所以该问题一经提出就被人称为“悖论”。
其实，该问题的答案已经被人们证明有无数多个。
现在我们要考虑，同一个问题，为什么答案会有这么多?
之所以被人称之为“悖论”，并不是因为这个问题错了，也不是解答错误，每种答案都对。
但是结果不一样，这是因为人们忽略了概率中的一个定义。
样本空间定义
一个随机试验可能出现不同的结果，这些结果称之为样本点，样本点的全体所构成的集合称之为样本空间Ω，事件A定义为样本空间Ω的一个子集，它包含了若干的样本点。
所以我们要求概率，首先考虑这个试验的样本空间是什么，选择不同的样本空间，会得出不同的答案，我们针对上面三种解法考虑其样本空间：
上面三种解法得出不同答案的实质是因为求解概率的样本空间不同，换句话说就是弦是怎么做出来的，不同的作弦方式会得到不同的样本空间。
该问题之所以称之为悖论，仅仅是因为该问题中并没有阐述圆中的弦是怎么做出来的。
而我们知道，做弦的方式有无数多种，所以贝特朗提出的这个问题有无数种答案。
以下用两题对比来体会样本空间这一概念：
两个题目做出线段CM的方式不同：。
贝特朗悖论
贝特朗悖论贝特朗悖论是一个有关几率论的传统解释会导致的悖论。
约瑟·贝特朗于1888年在他的著作《Calcul des probabilités》中提到此悖论，用来举例说明，若产生随机变数的“机制”或“方法”没有清楚定义好的话，几率也将无法得到良好的定义。
贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。
若随机选圆上的弦，则此弦的长度比三角形的边较长的几率为何？贝特朗给出了三个论证，全都是明显有效的，但导致的结果都不相同：1.“随机端点”方法：在圆周上随机选给两点，并画出连接两点的弦。
为了计算问题中的几率，可以想像三角形会旋转，使得其顶点会碰到弦端点中的一点。
可观察到，若另一个弦端点在弦会穿过三角形的一边的弧上，则弦的长度会比三角形的边较长。
而弧的长度是圆周的三分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为三分之一。
图1 随机的弦，方法1；红=比三角形的边较长，蓝=比三角形的边较短2.“随机半径”方法：选择一个圆的半径和半径上的一点，再画出通过此点并垂直半径的弦。
为了计算问题的几率，可以想像三角形会旋转，使得其一边会垂直于半径。
可观察到，若选择的点比三角形和半径相交的点要接近圆的中心，则弦的长度会比三角形的边较长。
三角形的边会平分半径，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为二分之一。
图2 随机的弦方法23.“随机中点”方法：选择圆内的任意一点，并画出以此点为中点的弦。
可观察到，若选择的点落在半径只有大圆的半径的二分之一的同心圆之内，则弦的长度会比三角形的边较长。
小圆的面积是大圆的四分之一，因此随机的弦会比三角形的边较长的几率亦为四分之一。
图3 随机的弦方法3上述方法可以如下图示。
每一个弦都可以被其中点唯一决定。
上述三种方法会给出不同中点的分布。
方法1和方法2会给出两种不同不均匀的分布，而方法3则会给出一个均匀的方法。
但另一方面，若直接看弦的分布，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。
贝特朗奇论与几何概型
贝特朗奇论与 几何概型
问题探究
【问题】 在半径为1的圆内随机地取一条弦，
问其长超过该圆内接等边三角形的边长 3 的概率等于多少？
法国数学家贝特朗的三种具有代表性的解法
问题探究
法国数学家贝特朗的三种具有代表性的解法
解法一:任取一弦 A B ,过点 A 作圆的内接等边三 角形(图 1).因为三角形内角 A 所对的弧占整个圆 周的
4 5
3 3
61 125
.
问题探究
与“贝特朗奇论”类似的几个问题
【问题2】在等腰直角三角形ABC中。 （1）在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率； （2）过直角顶点C在∠ACB内部任做一条射线CM，与 线段AB交于点M，求AM＜AC的概率。
【正解】(1)点 M 等可能地落在线段 A B 上,故线段 A B 为 区域 .在 A B 上截取 A C A C ,当点 M 位于图 1 中的线 段 A C 内 时 , A M A C ,故 线段 A C 即 为区域 A .于是
1 4
.
问题探究
法国数学家贝特朗的三种具有代表性的解法 一个确定的概率问题运用不同的方法 得到了不相同的答案，违背了逻辑学原理。
“贝特朗奇论” 我们知道，两点确定一条直线，随机 地取一条弦等价于在圆上随机地同时取两 个不同的点作为弦的端点，这是独立重复 实验。该问题解决的关键是要找到相匹配 的几何概率模型。
贝特朗悖论
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗Joseph Bertrand提出“贝特朗悖论”至今;已经过了一个多世纪..在这漫长的一百多年中;贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注;人们穿越时空;从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦;求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案..人们往往这样来解释：得到三种不同的结果;是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布;而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布..这三种答案是针对三种不同的随机试验;对于各自的随机试验而言;它们都是正确的..三个结果都正确——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因..显然这样的解释是不正确的..上述解法看似是用了严密的理论来论述;但有的解法与问题的本质是脱节的;即理论是正确的;但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件;而此问题的条件是在圆内任作一条弦或是从圆内任取一条弦;所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时;才能使整个的随机试验过程具有等可能性;否则;运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的..找到了问题的本质;我们就容易分析上面三种解法中;哪种解法是错误的了;实际上;找出错误;只要举出一个反例即可;下面我们把目光指向圆心：第一种解法中;除了圆心外;圆内的点都和唯一的一条弦与相应的直径垂直对应;即一一对应..但是;圆心却与无数条弦即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦;其长度满足题意对应..这样;圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了;为此;用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了;所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的..有了这种认识;大家会马上发现第三种解法也是不正确的..而第二种解法;所构造的均匀分布的点是在圆周上;没有圆心;用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的;所以结果是正确的..。
贝特朗概率悖论的解释-学习文档
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ 上是均匀分布的。
正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。
一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。
原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。
再看解法2.解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。
贝特朗悖论
19世纪末，概率论的广泛应用提出了对概率论的基础概念与原理进行解释的需要．另外，科学家发现的一些概率悖论提示了古典概率论的基本理论所存在的矛盾，其中最著名的是贝特朗悖论．悖论提出后，在数学界引起了很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论．1932年，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上，那么什么是贝特朗悖论呢？下面我将简要向同学们介绍一下．贝特朗悖论是法国数学家贝特朗提出的关于几何概型的悖论．1889年贝特朗在著作《概率计算》中提出：在圆内作任一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率．现按几何概型的计算方法，可毫无计算错误地求得三种不同的结果，从而使几何概型陷入逻辑矛盾之中．（1） 如图1，弦l BC ∥，由ABC △是正三角形知，2R OD OD '==，OE d =，有PQ BC >，2R d <． 由Ｅ点在圆Ｏ直径上的等可能性，因此所求概率为21222RP R ⨯==． （2）如图2，弦l 的弦切角为α，由ABC △是正三角形知，60MAB ∠=°，120MAC ∠=°，有AP AB >，60120α<<°°．由于弦l 在圆内的等可能性，因此所求概率为1206011803P -==°°°． （3）如图3，弦l 的弦心距OE 为d ，ABC △的内切圆半径为，由于弦l 在大圆内和交点Ｅ在小圆内的等可能性，因此所求概率为 22π12π4R P R ⎛⎫ ⎪⎝⎭==． 出现以上三种不同结果的根本原因不是别的，就是本题进行了无穷多个等可能性随机试验，而“等可能”概念缺乏一个明确的客观标准．这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论合理化工作的早日到来． 当然这也提醒我们在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．。
用“蒙特卡罗”方法解读“贝特朗”悖论
用“蒙特卡罗”方法解读“贝特朗”悖论24嚣毒'''篇历特卡骂"方法思想方法解艇中心觎i卖''贝特朗"悖论"贝特朗"悖论直剌概率论的心脏,蒙特卡罗"方法帮忙找根源,计算机再次显身手,随机事件不神秘.方才国(安徽省铜陵市第十七中学)随着几何概率进入高中数学课堂,"贝特朗"悖论自然地进入广大数学教师的视野,成为大家关注的焦点之一.然而,笔者从近年来的有关论文看出,对于这个似乎早已解决的问题却有种种错误的解读,不能不说这是一件遗憾的事情.为此笔者用现代计算机技术结合必要的数学分析加以重新解读,以正视听.用计算机模拟随机试验进而得出随机事件的相关性质,这种方法即为"蒙特卡罗"(MonteCarlo)方法,高中课本(人教A版《数学3》)有简单介绍.为分析问题方便,先请看:问题1如图,△ABC中,A一30.,C一90.,D为BC边的中点,连结AD,试求下列概率:(1)在AB边上任取一点E,直线CE~#.AD于点F,求事件"AE≤1"发生的概率;(2)在中线AD上任取一点F,直线CF交AB于E,求事件"丽AE≤"发生的概率;(3)在C内部任作一条射线交AB于E,交AD于F,求事件"丽AE≤专"发生的概率.简析:三者都是求事件"丽AE≤1''发生的概率,答案一样"-57显然不一样,原因即为相应的条件不同.在(1)中,点E可以认为是在线段AB上随机运动且具有等可能性,故相应的概率户.一1;在(2)中,点F可以认为是在线AD上随机运动且具有等可能性,显然事件"AE≤∞≤詈",故相应的概率夕一2;在(3)中,可以认为射线CE在C内随机运动且具有等可能性,显然事件"dtl& ≤丢"甘"AcE≤30",,故相应的概率户.一÷.从上面的分析可以看出,随机事件发生的概率与其发生的条件有关,在不同条件下,同一事件结果发牛的概率并不相同;这就像我们在平原上烧水,事件"水在不到95℃时沸腾"是不可能事件,而在高原上烧水时事件"水在不到95℃时沸腾"就会经常发生,这是由于事件发生的条件不同的缘故.现在回到本文的核心部分,1899年,法国学者贝特朗(JosephBertrand)提出了所谓"贝特朗悖论",矛头直指一些数学基本概念.贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出了批评,促使概率论向公理化方向发展,贝特朗的问题是:问题2在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率.解法1:由于对称性,可预先固定弦的一端.仅当弦与过此端点的切线的交角在6O.～12O.之间时,其长才合乎1要求.所有方向是等可能的,则所求概率为÷.解法2:由于对称性,可预先指定弦的方向.作垂直于1此方向的直径,只有交直径于÷点与÷点间的弦,其长才大于内接正三角形边长.所有交点是等可能的,则所求概率为.解法3:弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求.中点1位置都是等可能的,则所求概率为÷.同一个问题却有三个不同的答案,这与我们通常的认识不一样,故称之为悖论.文[1]认为解法2是唯一正确的答案,文[2]认为解法1是唯一正确的,文[3]认为三种解法都是正确的.虽然"贝特朗悖论"已经提出一百多年,由此引出的几何概率的公理化工作也早已完成,但是可以看出仍然有很多专业的数学工作者对此认识不清;笔者认为这三个答案都是正确的,而且还可以有其他的解法与结果.这是因为,在圆内任作一条弦,作法有多种,每种作法对应一种等可能条件,因而每一种作法得到的概率都可能A1不同,这与问题1中事件":≤÷"发生的概率有三种情锯题中心思想方法..一.....一况是一样的.下面我们考虑三种作弦的方法,冉用"蒙特卡罗"方法加以验证,看看每种作法下面事件"弦长超过圆内接正三角形边长"发生的频率有何不同.作法1:在圆周上任取两点,并连结成一条弦.此种作法实际上是假定每条弦的端点在圆周上是均匀分布的,因而每条弦被选取的机会是均等的,与弦的长短无关.为此编写下列计算机程序:Constpi一3.14l59265358979Randomize(Tliner)Fori一1To10000al—Rnd*2pia2一Rnd*2pixl—Cos(a1)yl—Sin(a1)x2一Cos(a2)y2一Sin(a2)S一(xl—x2)2+(yl—y2)2Ifs>3ThenS—S+1Nextip—s/iprint"p一";P程序说明:用随机数在单位圆上随机产生两点(, Y.),(aT2,Y2),再判断弦长的平方(oTI,/72)2+(l—y.)2是否大于3,试验10000次,统计弦长大于√3(即内接正三角形边长)的频数与频率P.1运行程序,户一0.333…,接近解法1的结果亡.作法2:在圆内任取两点,并连结为一条直线,与圆交成一条弦.此种作法实际上是假定圆内的点是均匀分布的,因而每条弦被选中的机会是不均等的,与弦的长短有关,越长的弦被选中的机会越大.设在圆内任取两点(,Y,),(,),其连线方程为(Y21).27一(2一1).).4-(2一1)l(2一-y1)1—0.设2一Yl一"?,2一1一,2,nyl—mxl一,则连线方L2程为"—my4.k一0,对应的弦心距平方为南,当且L2仅当—d0.25时所选取的弦长超过圆内接正三角形m十"边长.为此编写下列计算机程序:Constpi一3.14159265358979Randomize(Timer)Fori一1To10000a—Rndaa—Rnd*2pixl—a*Cosraa)yl—a*Sin(aa)b—Rndbb—Rnd*2pix2一b*Cos(bb)加嚣翌毒'25中学数学教学参考y2一b*Sin(bb)m—y2一y1n—x2一xlk—nyl—In*x1d一(k2)/(rn2+n2)Ifd<0.25Thens—S+1Nextip—s/iprint"p一";P运行程序,户一0.896…,可以看出相应的频率远大于÷,这是由于我们在圆内任取两点,越长的弦上面的点越多,被选中的机会也越大.,作法3:在圆内任取一点,并按任一方向画一条直线,与单位圆交成一条弦.这里设定圆内的所有点都是均匀分布的,且每条弦在各方向上也是均匀分布的,这样弦越长被选中的机会仍然是越大,但与作法2相比,弦的长度对所求的概率的影响有所减弱.先选定弦的方向,设其倾斜角为a,再在圆内任取一点(.,y),于是弦所在的直线方程为kx—Y—kx+Y一0.对应的弦心距平7i为,当且仅当k.+1的边长.<O.25时所选取的弦长超过圆内接正三角形程序如下:Constpi一3.14l59265358979Randomize(Timer)Fori一1TO1000000a—Rnd*Dib—Rnd*2pic—Rndxl—c*Cos(b)yl—C-R-Sin(b)k—Tan(a)d一(k*x1一y1)2/(k2+1)Ifd<0.25ThenS—s+1NextiPs/iprint"P一":P运行程序得一0.752….从上面的三种弦的作法中可以看出,每一种弦的作法,对应一种等可能性的假定,相应的概率(频率)也有大有小,也就是说"贝特朗"悖论之所以产生,其根源在于"圆内任取一条弦"的取法不明确,并不神秘.参考文献1黄晶品,黄世同.关于贝特朗悖论的新思考EJ].昆明师范高等专科学校,2004,42苏同安.都是圆心惹的祸——"贝特朗悖论"新说EJ].中学数学,2O1o,13徐明."几何概型"教学释疑～…兼谈"贝特朗概率悖论" EJ].数学通讯(下半月),2009,6。
贝特朗悖论(几何概型).doc
一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
几何概型和贝特朗悖论
２ ． Ｌ＞、 ／ 了 ，如果 ｒ ＜ ／ ，其 发生的
概 率 为 ｉ．
随机试验是不够的 ， 还必须考 虑有无限多 个试验结果 的情 况． 例如一个人 到单位 的 时 间可能 是 ８ ： Ｏ ０至 ９ ： ０ ０之 间的任何 一 个 时刻 ； 往一个方格 中投一 个石子 ， 石子 的圆内， 其发生的概率为 １ ． 悖论分析 （ １） 由于对称性 ， 可预 先 固定弦 的～ 端．仅 当弦与 过此端 点的切 线 的交角在 ６ Ｏ 。 ～１ ２ ０ ｏ之 间， 其 长才合 乎要求． 所有
过 对 贝 特 朗 问题 的解 法 进 行 深 入 剖 析 ， 总
于 ｝ 点 与 手 点 间 的 弦 ， 其 长 才 大 于 内 接
正三角形边长．所有交 点是等可能 的， 则 所求概率 为 ／． 此时假定弦的 中心在直径
［
上 均 匀分 布 ． （ ３ ） 弦被 其 中点位置 唯一确 定 ． 只 有
学生学习数学存在许 多不 良习惯 ， 例 老师 的心 理 ， 做作业不 讲究效率 ， 心 思不 集 中， 学 习效率不高等。 建立 良好的学习数学习惯 ， 会使 自己 学 习感到有序而轻松。在学习数学过程中
提 态 ， 勤奋 学 习， 日积月 累， 就一 定能成功 。 如遇到问题不能独 立思考 ， 养成一种依赖 我评判能力 ；要养成善于交流 的习惯 ，
高表 达能力 ：要养成独立思考的 习惯 ， 提 许 多事情我们不可能一蹴而就。 同学们肯 高分析问题、 解决 问题的能 力。 日积月累，
习方 法。
定有这样的体验 ，学 习不 纯粹在于 方法 ， 要有一颗坚定不移的心 ， 持之以恒地坚持 下去 ， 每天进步一 点点 ， 这样才能 实现 自 己的梦想。
贝特朗悖论之争的终极原因——这只是一道缺少条件的数学开放题
贝特朗悖论之争的终极原因——这只是一道缺少条件的数学开放题贝朗特1. 贝特朗悖论的产生背景人们对概率的研究有着悠久的历史。
公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。
转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。
正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nseph Bertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。
华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。
2. 相关的概念古典概型2.1古典概型① 定义如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.古典概型的特点: (i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.② 概率计算公式P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)2.2几何概型①定义对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A 的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型③ 率计算公式P(A)=(g的度量)/(G的度量)g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.一切推理都必须从观察与实验中得来。
贝特朗悖论
贝特朗数学悖论在一个圆内随机地画一条弦。
它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？算法1：由于对称性，可将弦的方向固定，考虑它与垂直于它的直径的交点。
当这个焦点是半径的中点时，长度小于内接等边三角形边长的弦达到最大长度。
因此所求概率是1/2。
算法2：考虑弦的中点。
对于长度大于内接等边三角形边长的弦，这个中点必定落在一个半径为原来一半的同心圆内。
这个新圆的面积只有原来那个院的1/4，因此所求的概率为1/4。
算法3：由于对称性，可从弦的一个交点以及弦与此点切线的夹角着手。
这条弦必定位于三个60°角的一个角内。
因此这概率必为1/3。
算法4：让我们设想把所有能作为弦的线段放在一起，它的长度从0到d(即圆的直径长度)。
那些符合要求的弦其长度将落在(√3)d/2与d之间。
因此概率是(2-√3)/2。
贝特郎（Joseph Bertrand, 1822-1900, 法国数学家）在1889年提出了这个问题，用以批评连续型概率，并提出了第三种算法。
R. J. Denichou博士提出了第四种算法。
事实上，这道题的答案不是唯一的，除非明确规定了随机变量。
本题中并没有这样做。
几中算法对应于几种不同的随机变量：(1) 弦到圆心的距离；(2) 弦的中心位置；(3) 弦与切线的夹角；(4) 弦的长度。
《世界报》的一位读者证明，如果死抱着导致这种悖论的诡辩推理不放，那么可以使这个概率在0到1之间连续变化。
令ABC为一等边三角形，ON为垂直于OA的半径。
S是OA所在直线上位于O点上方的一点。
SN交AC于C'，交圆在A点的切线于N'。
由于对称性，可仅考虑左半圆。
经过A的一条弦相应于SN上的一个点，因此弦的长度大于这个等边三角形边长的概率是SC'/SN'。
但是S的位置是可以随意变化的，于是这个概率可以取0（S趋于O时）与1（S无限上升时）之间任何值。
贝特朗悖论
贝特朗悖论有一位美国年轻人，毕业后去参军，因训练不合格，退伍回家。
一天，他站在一座桥上，面对滔滔河水，想起自己没有文化、不懂技术，只能靠做苦力赚钱。
为了使自己成为有知识、懂技术的人，他毅然决定从明天起学习。
但是他一没有钱，二没有时间，三没有任何基础。
要实现这一目标谈何容易！他坐在河边思考，又来到河边散步，他看见一位老人在钓鱼，手持钓杆，注视水面，非常专注。
过了一会儿，老人慢慢收起鱼竿，放进鱼篓里，望着水面若有所思地说：“真正想要学会钓鱼，就要像我一样静心观察水面，专心致志。
”年轻人恍然大悟，当即找来笔墨纸砚，把老人的话记录下来，重新坐在河边思考起来。
他目不转睛地盯着水面，专心致志地读书、写字，渐渐地忘记了时间。
后来，他终于用辛勤劳动换得了一笔钱，买了许多书籍和文具。
于是，他废寝忘食地攻读，先后掌握了电工、木工等技术，通过了自学考试。
由于他有一定的文化功底，工作起来得心应手，很快成了单位的技术骨干。
但是他并不满足于现状，一心想寻求更高深的知识。
于是他买了一些专业书，一有空就埋头钻研，逐渐掌握了许多知识，成了远近闻名的专家。
贝特朗这时做了一个奇怪的举动：跳入水中，接受了一次又一次严峻的挑战。
在水中，贝特朗凭借自己过硬的本领和坚强的意志，顽强拼搏，越过一道又一道障碍，终于成为闻名遐迩的游泳健将。
他也再一次证明：自学能使人走向成功，学习是成功之母。
很多科学家、文学家、艺术家都是经过刻苦自学，掌握了精湛的本领。
比如说法国的科学家居里夫人，她自幼父母双亡，后被送进教会学校。
中学毕业后，她考入巴黎大学[gPARAGRAPH3]学医，希望能用学到的知识救治像妈妈一样病重的人们。
为什么会发生这种现象呢？原来，居里夫人选择了一条正确的道路。
在学医的路上，她把许多知识与实践结合起来，使自己成长为世界著名的科学家。
贝特朗和居里夫人都是经过自学才成为优秀的人才。
这也说明：自学能够改变人的命运。
人们在自学的过程中，必须有目标，也就是说你要给自己定好方向。
贝特朗问题的教学设计与实现
贝特朗问题的教学设计与实现在中学的几何概型中，测度的对象主要有长度、面积、体积、时间和角度等，在长度、面积、体积、时间的问题中测度的对象是“点”，而角度问题中测度的对象是“射线”，与“射线”的旋转角度有关而与其“长度”无关，也即与几何图形的面积无关。
简例：圆形时钟与椭圆形时钟中，秒针出现在任何位置都是同样等可能的。
正由于上述区别，概率论中背景相似的问题，当研究的等可能角度不同时，其概率是不一样的。
其中最著名的是“贝特朗(Bertrand)问题”：若在半径为1的圆内随机地取一条弦，则其长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少？本文以Flash8为平台，通过对“贝特朗问题”进行教学设计及课堂实现，使学生了解到测度对象的差异在概率论中的影响，加强学生对一类形似质异问题的理解和掌握。
“贝特朗问题”的关键在于：问题强调了“取”弦的随机性，以保证每一条弦的出现都是等可能的，却没有说明“取”弦的方法，正是“取”弦的方法的差异，给问题的答案带来无限可能。
下面用三个不同的“取”弦方法对“贝特朗问题”展开研究。
方法一：随机产生圆周上不同的两点来构成弦设计思想：用随机函数连续随机产生两个0～2π范围内的角度，生成定圆（半径为R）上的两点，以此两点构弦；当两点的距离大于时，予以计数，并计算此数与弦总数的比值；为了演示的简洁方便，以弦的中点表示弦所在的位置。
Flash8核心语句实现：_global.fun1 = function() {A = 2*Math.PI*Math.random();B = 2*Math.PI*Math.random();pX = 100*Math.cos(A)+300;pY = 100*Math.sin(A)+200;qX = 100*Math.cos(B)+300;qY = 100*Math.sin(B)+200;if ((Math.pow(pX-qX, 2)+Math.pow(pY-qY, 2))>=30000) {num++;}total++;duplicateMovieClip(pp, “pp”+total, total+10);setProperty([“pp”+total], _x, (pX+qX)/2);setProperty([“pp”+total], _y, (pY+qY)/2);bi = num/total;};演示效果如图1，多次实验中，正好捕捉到一个如此完美的演示结果，从效果上看，中心部分的弦比靠边的弦稍显密集，其概率值在1/3附近摆动。
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一个几何概型试题的题源探究
《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页
1 题目
点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .
（2009年福建省数学高考文科试题）
解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为
122
3
B B P =
=优弧长圆周长.
2 题源
2.1 源于历史名题
初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”
从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：
解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1
=3
BC P =
圆周长.
2B
B
1B
B
B B
B B 图1
A
C
图2
A
B P
P
P
P
解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直
径AB
的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>
1
2
≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为1
2
CD P AB =
=.
解法3 如图4
所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>
，于是弦心距12
≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为
1
2
的圆内或圆上，故所求概率2
1()12
4
P ππ
==
. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.
同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.
几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身.悖论提出后，在数学界引起很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论.1932，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上.
图4
图3
，O的内接正三角形的边长等于取O的任一弦长
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身.
在一给定圆内所有的弦中任选一条弦,求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.
取单位圆O ，O 取O 的任一弦长AB ，记“AB >的事件为A .
1.L >
如果
2433ππα<<
, 其发生的概率为1
3；
2.L >如果12r <, 其发生的概率为1
2
.
3.L >如果(,)x y 在半径为12的圆内，其发生的概率为1
4
.
悖论分析
1）由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60～120 之间，其长才合乎要求.所有方向是等可能的，则所求概率为1
3
.此时假定端点在圆周上均匀分布.
2）由于对称性，可预先指定弦的方向.作垂直于此方向的直径，只有交直径于14点与34
点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1
2
.此时假定弦的中心在直径上均匀分布.
3）弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求.中点位置都是等可能的,则所求概率为
1
4
.此时假定弦长被其中心唯一确定. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。
然而，1899年，法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基本概念。
贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评，促使概率论向公理化方向发展。
然而，人类也因此再一次错失了一次纠偏的大好时机！
在半径为1的圆内的所有弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.
解法一：
由于对称性，可预先固定弦的一端。
仅当弦与过此端点的切线的交角在60～120之间，其
长才合乎要求。
所有方向是等可能的，则所求概率为1
3
.
解法二：
由于对称性，可预先指定弦的方向。
作垂直于此方向的直径，只有交直径于1
4
点与
3
4
点间的
弦，其长才大于内接正三角形边长。
所有交点是等可能的,则所求概率为1
2
.
解法三：
弦被其中点位置唯一确定。
只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要
求。
中点位置都是等可能的,则所求概率为1
4
.
三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox。
其实，这些结果都是对的。
因为它们采用了不同的等可能性假定：
解法一假定端点在圆上均匀分布；
解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；
解法三假定弦的中点在圆内均匀分布.
这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的.
现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。
那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了.它们的分布情况如下：
解法一的弦中点分布：
从贝特朗的这个悖论，我们可以清醒地看到数学家们对点的分布状态影响问题的结果是有认识的！事实上，贝特朗悖论告诉了我们一个很浅显的道理：我们在解决一个问题之前，就应该设定点的分布状态。
然而，遗憾的是数学家们不去反省由此悖论反应出来的数学基础是否牢固，而总是弄出一大堆理论来试图亡羊补牢。
说句不好听的话，数学的公理化是什么？就是如果你说的一大堆谬论没有自相矛盾，那么恭喜你，你创造了一套理论.
现在问题来了！数学中我们经常所说的“点”究竟是什么？平面或者空间中点的分布状态到底是怎么样的？我们一般倾向于假设点在平面或者空间是均匀分布的，但是“均匀”这个词并不能表达所有，是在每个方向上是均匀的吗？在每条直线上的密度是一样的吗？我们能建立直角坐标系吗？
如果我们建立了直角坐标平面xOy ，那么就等于宣布了平面上的点在x 轴和y 轴方向上都是均匀的，而且在x 轴和y 轴上的“密度”是相同的！
我们在向自己的学生讲授函数知识的时候，总是说单调函数是从定义域A 到值域B 上的一一对应。
果真是这样吗？下面我也仿照贝特朗悖论，提出下面一个悖论：
首先我们假设平面内的点在x 轴和y 轴上都是均匀分布的，这个大家没有意见吧？！给定一个分段函数：,
0121,12
x x y x x ≤≤⎧=⎨
-<≤⎩。
这是一个单调函数，按照数学家们的说法，按照这个对
应法则，从定义域[0,2]到值域[0,3]建立了一个一一对应关系。
下面我要问：当x 在[0,2]内变化时，[0,1]x ∈的概率是多少？如果在x 轴上看，概率当然是
1
2
；又因为通过这个函数可以得到[0,1][0,1]x y ∈⇔∈，[0,2][0,3]x y ∈⇔∈，这就是说，如果通过这个函数转移到y 轴上去看,概率变成了
1
3。
问题出在哪儿？。