电路分析基础 第4章 一阶电路的时域分析
一阶电路的时域分析方法
(t ) -
+
uL
-
diL Ri L L (t ) dt
0 0
0 diL iL (0 ) 0 0 Ri Ldt 0 L dt dt 0 (t )dt 0 1 0 LdiL 1 iL (0 ) L 定性分析： uL (t ) 1 0 uLd 1 i L (0 ) i L (0 ) L L
uC'
t
稳态解 全解
0
U0 -US
uC"
暂态解
2. 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 K(t=0) K(t=0) i R i R + + +u – +u – R R US US u uC C –C C – uC (0-)=U0 uC (0-)=0
K(t=0)
R
R
i
C uC –
+
=
+
+u –
uC U S (1 e
电容充电
零输入响应
C
uC(0-)=0 1. t 在 00 0
0+间
duc uc C (t ) dt R
uc 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立
duc 0 uc 0 dt 0 dt 0 ( t )dt C dt R
C[uc (0 ) uc (0 )] 1
-
uC(0-)=0
i C e 2 t ( t ) e 2( t 0.5 ) ( t 0.5) mA
又
e 2 t mA (0 t 0.5 s) 分段表示为 iC ( t ) - 0.632e -2( t -0.5) mA ( t 0.5 s) iC(mA) 波形 1
实验十五 一阶电路的时域响应(电路分析基础)
ui
R C
uo
2）选取R=500Ω,C=0.1µF, 2）选取R=500Ω,C=0.1µF, 电源频率f =1000Hz,观察波 电源频率 观察波 形输出，并记录结果。 形输出，并记录结果。
1）选取R=1000Ω,C=0.1µF,电 ）选取 电 源频率f 源频率 =1000Hz，观察波形 ， 输出，并记录结果。 输出，并记录结果。
1).选取 选取R=200Ω,C=0.05µF, 选取 电源频率f 电源频率 =1000Hz,观察 观察 波形输出，并记录结果。 波形输出，并记录结果。
Cui≈ RCR Nhomakorabeauo
2).选取 选取R=300Ω,C=0.05µF, 选取 电源频率f 电源频率 =1000Hz,观察 观察 波形输出，并记录结果。 波形输出，并记录结果。
2、积分电路。 、积分电路。 时间常数τ远远大于方波周期 时间常数 远远大于方波周期T 。 远远大于方波周期 1).选取 选取R=10kΩ,C=0.1µF,电 选取 电 源频率f 源频率 =1000Hz,观察波 观察波 形输出，并记录结果。 形输出，并记录结果。
R
ui
C
uo
3、微分电路。 、微分电路。 时间常数τ远远小于方波周期 时间常数 远远小于方波周期T 。 远远小于方波周期
duC u R = iR = RC dt du
i
dt
ui = uC + uR ≈ uC
四.实验报告要求
参考《实验指导书》书写。 参考《实验指导书》书写。
实验十五 一阶电路的时域响应
一.实验目的 实验目的
参考《实验指导书》书写。P93 参考《实验指导书》书写。
二.实验设备 实验设备
ui
R C
第4章 一阶电路的时域分析
第4章 一阶电路的时域分析基础与提高题P4-1 uF 2电容器的端电压是V 10时，存储电荷是多少？ 解：uC 20101026=⨯⨯==-CU qP4-2 充电到V 150的uF 20电容器，通过一个M Ω3电阻器放电，需要多长时间？何时的放电电流最大？最大值多少？解：s RC 60102010366=⨯⨯⨯==-τ，放电完毕约等于s 3005=τ 刚开始放电时电流最大，最大电流为uA 501031506=⨯ P4-3 当uF 2电容器电压如图P4-3所示时，画出流过此电容器的电流波形图。
假设电压与电流为关联参考方向。
图P4-3 图1解：关联参考方向，则电容电流dtt du C t i c c )()(=，分段求解如下： （1）A t i V t u ust c c 0)(,0)(,0=∴=≤（2）()A t i Vt t u us t c c 401020102)(,1020)(,10666=⨯⨯⨯=∴⨯=≤≤-（3）A t i V t u us t c c 0)(,20)(,41=∴=≤≤（4）()A t i V t t u us t c c 40)1020(102)(,1001020)(,64666-=⨯-⨯⨯=∴+⨯-=≤≤-（5）()A t i Vt t u us t c c 201010102)(,801010)(,86666=⨯⨯⨯=∴-⨯=≤≤-（6）A t i V t u ust c c 0)(,0)(,8=∴=≥ 电容的电流如图1所示。
P4-4 0.32tA 电流流过150mH 电感器，求s t 4=时，电感器存储的能量。
解：电感器存储的能量()23232.0101502121t Li W ⨯⨯⨯==- 当s t 4=时，电感器存储的能量为0.123WP4-5 由20V 电源与Ω2电阻、H 6.3电感组成的串联电路，合上开关后经过多长时间电流达到其最大值，最大值多少？设合上开关前电感无初始储能。
电路分析基础第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析 解 (1) 先计算电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。开关
开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电 感相当于短路，t=0－时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a) 可得
图4.2-5 例4.2-2用图(二)
第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律，有
iL(0+)=iL(0－)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路 电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于
iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电 路如图(b)所示。对图(b)中右边一个回路应用KVL，得
第4章 动态电路的时域分析 图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图
第4章 动态电路的时域分析
4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间［t0－，t0+］
为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有
uC (t0 iL (t0
) uC (t0 ) iL (t0 )
4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一
个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历 一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接 入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为 “换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过 渡过程的概念。
第4章 动态电路的时域分析
4.1 电容元件和电感元件
4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
一阶电路和二阶电路的时域分析
R di i dUS (t) dt C dt
2019/11/14
12
1. 动态电路及其方程
S(t = 0) R i
(t >0)
Ri
应用+ KVL和元件的+VCR得： +
+
Us
-Ri
uL
_CuCu–L
U
L
S
Us -
C
_
uL –
L
+
+
i C duC dt
uCuL
L
di dt
LC
d2uC dt 2
S(t=0) i
C
+uC
+ R uR
–
–
则
1t
uC Ae RC
代入初始值 uC (0+)=U0
A=U0
t
uC U0e RC t 0
i (0-)=0
或
i
uC R
U0
t
e RC
R
1
I0e RC
t 0
i
C
duC dt
t
CU0e RC
(
1 RC
)
U0 R
t
a. 换路后的电路
b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。
（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电 感电流方向相同）
4)由0+电路求所需各变量的0+值。
2019/11/14
26
例3L求S闭合瞬间C流过它的电+流值uL
iL
+
－ uC
iL1A
04 第4章 动态电路时域分析 学习指导及习题解答
第4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
一阶电路的时域分析
5.1 换路定则及初始值
5.2 三要素法 5.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.4 RC微分电路和积分电路
概 述
• “稳态”与 “暂态”的概
K 念:R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处）过程 :
旧稳态 新稳态
uC
E
暂态
稳态 t
RC uC () 0
t0
t
时RC电路
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
0 [U S 0]e U Se
t RC t RC
t0
u C 曲线与时间常数τ的关系
2. RL电路的零输入响应
US i L ( 0 ) i L (0 ) R L R iL () 0
uC、iL 不能突变。其它电量均可
电容相当于恒压 u (0 ) U0 0， 源，其值等于 U 0 ；uC (0 ) 0， 电容相当于短
3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于
I 0 ；iL (0 ) 0
，电感相当于断路。
例2 电路如图所示。 t 0 时电路处于稳态，t 0 时开关S断开。已知：R1 = 3 ，R2 = 4 ，R3 = 8 ，R4
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化（换路）时（如：电路接入电源、从电源断 开、电路参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，
一阶电路时域分析
零输入响应的特性如下:
（1）从物理意义上说，零输入响应是在零输入时非零初始 状态下产生的，它取决于电路的初始状态，也取决于电路的 特性。对一阶电路来说，它是通过时间常数τ或电路固有频 率λ来体现的。 （2）从数学意义上说，零输入响应就是线性齐次常微分方 程，在非零初始条件下的解。 （3）在激励为零时，线性电路的零输入响应与电路的初始
4. 零输入响应与初始状态的关系
小结：一阶RC、RL电路，可用一阶微分方程来描述它的 零输入响应
dy (t ) ay (t ) 0 dt { y (0 ) k }
y zp (t ) y (0 )e
对于一阶RC电路： 对于一阶RL电路：
t
t 0
(t 0)
RC
(b)
将(a)式代入(b)式得
8i(t ) uC (t ) 0
列VCR方程
duC (t ) i (t ) iC (t ) C dt
duC (t ) 5 uC (t ) 0 dt 4
(c)
② 确定初始条件 因为t＜0电路处于稳态，所以根据换路定律得
uC (0 ) uC (0 ) 4V
us 8i us R0 8() i
所以
R0C 8 0.1 0.8(s)
uCzp (t ) 4e
t 0.8
则
4e-1.25t (V) (t 0)
(t 0)
duC (t ) i (t ) C 0.5e 1.25t (A) dt
5.1.2 一阶电路的零状态响应 (1) 零状态响应的定义
t=0
t)
duC (t ) 1 uC (t ) 0 dt RC
一阶电路和二阶电路的时域分析
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
第一阶电路时域分析
图 4.3 – 1 一阶RC电路的零输入响应
第16页/共128页
按图4.3-1(a)中设定的电流、电压参考方向，写
换路后电路的KVL方程为 Ri+uC=0
(4.3-1)
(1) 试求电路零输入响应uCx、i1x和i3x (2) 试验证整个放电过程中各电阻消耗的总能量
第25页/共128页
图 4.3-3 例 4.3-1 图
第26页/共128页
解 (1) t＜0时电路已处于直流稳态， 电容C可视为开路，
故有
R' R1 //(R2 R3) 3 //(2 4) 2
电路进入新的稳态。
第19页/共128页
时间常数τ的大小反映了电路暂态过程的进展速 度。τ愈大，电路零输入响应衰减愈慢，暂态过程进 展愈慢。实际上，该电路的暂态过程就是RC电路的放 电过程，在电容初始电压一定时，电容量C愈大，电容 中存储电荷愈多，放电时间就愈长；电阻R愈大，则放 电电流愈小，也会延长放电时间。 因此，RC电路中的 时间常数τ与RC成正比关系。
一阶RL电路如图4.3-2(a)所示。t＜0时，开关S
处于位置1，电路已达稳态，电感中流过电流
iL s
在t=0时，开关由位置1切换至2， 通过电感的初始电流
I0
iL (0 )
iL (0 )
R0 R0
R
Is
电感初始储能为
1 2
LI02
。
换路后，在电感初始储能的作用下，
电路产生零输入响应。
一般情况下，选择t0=0，则由(4.2 - 4)式得
一二阶电路的时域分析解读
§7.1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL、KVL和支路方程式（VAR）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC电路、RL电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
=t：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到+0；-=0t：换路前的最终时刻；+=0t：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL，KVL和VAR建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+Cu和Li)0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξdttiCtutudttitqtqCCCCCC)(1)()()()()(取+-==0,tt, 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若 有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！ ① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+, 0)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有 0)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
一阶电路和二阶电路的时域分析
Chapter 7 一阶电路和二阶电路的时域分析主要内容1.动态电路的方程及其初始条件；2.一阶和二阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；3.一阶和二阶电路的阶跃响应概念及求解。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程： 电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL 、KVL 和支路方程式（VAR ）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC 电路、RL 电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到 +0；-=0t ：换路前的最终时刻； +=0t ：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL ，KVL 和VAR 建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+C u 和 L i )0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξd tt i C t u t u d t t i t q t q C C C C C C 0000)(1)()()()()( 取 +-==0 ,00t t , 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若 有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！ ① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+, 0)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有 0)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶电路动态过程的时域分析
一阶电路动态过程的时域分析1、典型一阶电路一阶电路仅包含一个动态元件，若将动态元件分离出来，则由戴维南或诺顿定理可得到如下两种典型一阶电路：典型一阶RC 电路典型一阶RL 电路注意：图中N 是线性含源单口网络。
2、一阶电路的电路方程及其一般形式 ✓ 一阶RC 电路：①关于u C 的电路方程：C C C S du R u u dt +=②关于i C 的电路方程：C S C di du RC i C dt dt +=③关于u R 的电路方程：S R R du du RC u RC dt dt+= ✓ 一阶RL 电路①关于i L 的电路方程：1L L S di L i u R dt R +=②关于u L 的电路方程：S L L du du L L u R dt R dt+= ③关于u R 的电路方程：R R S du L u u R dt+= ✓ 一阶电路方程的一般形式从上可知，一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程。
并且，若记电路的激励为x (t )，响应为y (t )，则一阶电路方程一般形如：()()()τdy t y t x t += 式中，τ 因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数(time constant)。
并且，对于一阶RC 电路，[][][][][][][]RC τ⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦库安秒欧法欧欧秒伏伏 对于一阶RL 电路，[][]L R τ⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦亨韦伏秒秒欧安欧安欧 3、常系数一阶微分方程的经典时域解法对于常系数一阶微分方程()()()τdy t y t x t dt+=，其解(即电路的响应)由通解和特解两部分构成。
通解：是对应齐次方程的解，与激励无关，称为电路的自由响应。
()⇒(t)=(A )0=A t ptτh dy t y t d e t y e -1+=τ通解 式中，A 为待定积分系数，可根据初始条件来确定。
电路分析基础一阶电路的时域分析
即：直流时，uL ( t ) 0
记忆元件 (Ⅱ) 电感电流的记忆性质：
1 i L ( t ) uL ( )d L
t
i L ( t0 ) 1 t uL ( )d ) t
初始值 L
0
(Ⅲ) 电感电流的连续性质： 不能跃变
iL ( t ) iL ( t )
电感电流波形
当 t 3s 时 iL ( 3s) 2A
5.当3s ≤ t时，u(t)=-1mV
t 3
iL (t ) i L (3) 2 10
3
(10 3 )d 2A 2(t 3)A -2(t- 4)A
例2 电路及电流源电流变化如图，求时间t>0电感电压、功 率和能量的变化规律。
直 流 电 源
充放电问题？
S2 磁场
S1
R1
S1
S
R2
等效
us
R
70V
L
us
线圈
110V
C
0.1mF
氖灯
继电器电路
延时问题？
RC延时电路
一、电容
§4-1 动态元件
电解电容器
瓷质电容器
聚丙烯膜电容器
固定电容器
管式空气可调电容器
片式空气可调电容器
可贮存电能的二端 元件，当它两个极板间电压为零时，电荷也为零。 电容元件的储能本领可用电容量C表示，即：
1 t 1 uc ( t ) i ( )d C C
1 t i ( )d t iC ( )d C C 0
t0
1 t uC ( t 0 ) iC ( )d ) t 初始值 C 0
(Ⅲ) 电容电压的连续性质：不能跃变
一阶电路时域分析
+
i
u
Ceq
_
n个电容串联
等效电容
由KVL，有 u (t) u 1 (t) u 2 (t) u n (t) 代入各电容的电压、电流关系式，得
1t
1t
1t
u ( t ) C 10 i () d u 1 ( 0 ) C 20 i () d u 2 ( 0 ) C n 0 i () d u n ( 0 )
iL
1 L
t
u()d
iLL 1 0 u()dL 10 tu())d
iL(0)L 10tu()d
(0) t u()d 0
当u为有限值时
iL(0+)= iL(0-)
L (0+)= L (0-)
磁链守恒
换路定律成立的条件!!!
三、电路初始值的确定
(1) 由0-电路求 uC(0-)
+ 10k
+
10V
若uL为有限值
总结: q(t0+)= q(t0-) uc(t0+)= uc(t0-)
(t0+)= (t0-) iL(t0+)= iL(t0-)
若换路时刻t =0时刻，则为:
q(0+)= q(0-)
(0+)= (0-)
uc(0+)= uc(0-) iL(0+)= iL(0-)
对于联接有多个电容的结点（但不含电压源）， 换路前后电荷守恒：
– – – – –q
线性定常电容元件
C 电路符号
电容以电场形式存储能量。
1. 元件特性 i
+
u
+ C
–
–
描述电容的两个基本变量: u, q
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时域模型：
电路模型中，元件用R、L、C等参数表征，激励 用电压源电压、电流源电流的时间t的函数表征。
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《电路分析基础》
第四章 一阶电路的时域分析
第4章 一阶电路的时域分析
知识
能力
建立并深刻理解电路的暂态和稳态、 根据给定电路问题合理选择分析方
电路的换路、电路的零输入响应、
线性时不变电容：库伏特性曲线为q-u平面上一条过
原点的直线，且不随时间而变的电容元件。 q(t)=Cu(t)
（2） 符号： q(t) C
i(t) + u(t)
关联参考方向 系数C ：电容；
单位：法[拉], F； μF 10-6F ； pF 10-12F；
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第四章 一阶电路的时域分析
动态电路的时域分析
集总电路分：电阻电路和动态电路。 动态电路：至少含有一个动态元件的电路。 动态元件：元件的VCR关系均要用微分或积分来表示的元件。
时域分析： 在时域模型中，以时间为主变量列写电路的 微分方程并确定初始条件，通过求解微分方 程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。
即：仅以电场方式存储能量，并可将此能量释放出去，电容本身并不消耗 能量；电容电压反映了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。
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《电路分析基础》 5、电容电路的分析 第四章 一阶电路的时域分析
例1 设0.2F电容流过的电流波形如图a所示，
i
5A
已知 u(0) 3。0V试计算电容电压的
C uc(t0)=U0
uc(t) U0
uc1(t) u1(t0)=0
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4、电容的储能
第四章 一阶电路的时域分析
ic(t) +uc(t)_
C
p(t) uc (t) ic (t)
uc
(
t
)
C
duc ( dt
t
)
( p( t ) dw( t ) ) dt
第四章 一阶电路的时域分析
2、电容伏安特性
（1） VCR：
ic(t) + uc(t)_
C
ic
(
t
)
C
duc ( dt
t
)
（2） 特点：
uc
(t)
1 C
t
ic ( )d
动态元件
(Ⅰ) 直流开路性：
若 C duc ( t ) 0 dt
即： uc ( t ) U(常数 )
则： i( t ) 0
(Ⅱ) 电容电压的记忆性质：记忆元件
变化规律并画出波形。
解： 0 t 3s i 5A>0 电容充电
0 2A 3s
u u(0) 1
t
i( )d 30V
1
t
5Ad 30V 25t
C0
0.2F 0
并且 u(3s) (30 253)V 105V
iC
u
t
7s
(a)
(2) 3s t 7s ：i 2A<0 ，电容放电
法，列写相关方程，正确求解。
零状态响应和全响应等概念。深刻 理解动态电路元件（电容和电感元 件）的特性。
学习并掌握RC和RL电路在直流激励 下电路发生换路时的响应（电压、 电流和能量）的分析方法，理解其 响应规律。
正确绘制电路分析过程中不同电路 状态下的电路图。
对实际电路中的动态响应现象进行 分析和解释。
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电容上电流、电压波形如图所示。
结论：
第四章 一阶电路的时域分析
i 5A
iC
u
➢ 流过电容的电流可以突变， 但电容电压连续变化。
➢ 对于直流电压，流过电容的 电流为0，电容开路。
➢ 理想电容只储能，不消耗能 量。电容给电路放电时，相当 于电压源。
1
uC (t ) uC (t0 ) C
t
t0 ic ( )d
t t0
U0 uC1(t ) t t0
一个已被充电的电容，若已知 uc(t0)=U0，则在 t t0 时可
等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的
电压值即为t0时电容两端的电压U0。
ic(t)
C ic(t)
uc(t)
t
u u(3s) C1 i( )d 105V 0.12F (2)Ad 135V -10t 3s
i 5A
i
C
u
0 2A 105V
3s u
(a)
t 7s
65V
30V
0
t
3s (b) 7s
图 题5.2
t 3s
并且 u(7s) 65V
(3) t 7s：此时 i 0电容电压保持不变， u(t) u(7s) 65V
电解电容器
瓷质电容器
固定电容器
聚丙烯膜电容器
管式空气可调电容器
片式空气可调电容器
可变电容器
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第四章 一阶电路的时域分析
1、定义及符号
q
q
（1） 定义： 电容：
C
0
u
1
u
0
二端元件电荷与电压之间关系由q-u平面上一条曲线确定。
（瞬时电荷q(t)和瞬时电压u(t)相约束的元件q=f(u)）。
uc
(t
)
1 C
t
i( )d
1 C
t0
iC (
)d
1 C
t
t0 iC( )d
(Ⅲ) 电容电压的连续性质：不能跃变
uC( t0 )
初始值
1 C
t
t 0 iC( )d )
uC( t ) uC( t )
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第四章 一阶电路的时域分析
3、电容的等效电路： 已充电电容等效未充电电容串电压源
第四章 一阶电路的时域分析
R1
1 电子开关
直
＋
流 电 源
Us －
2 RL
i
＋
C
U
－
S2
S1 us
磁场 线圈
等效 us
继电器电路
充放电问题？
S1
R1
S
R2
R
L
110V
70V
C
0.1mF
氖灯
延时问题？
RC延时电路
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一、电容
第四章 一阶电路的时域分析
§4-1 动态元件
t
wC( t0 ,t )
p( )d
t0
t t0
C
uc (
)
duc ( d
)
C
t
t0 uc ( )duc ( )
1 2
C
[ uc2 (
t
)
uc2 (
t0
)]
uc ( t ) uc ( t0 ) wc 0 吸收能量 储能元件
uc ( t ) uc ( t0 ) wc 0 发出能量 无源元件
根据指标要求设计简单的动态电路 并设计测试方案进行指标测试。
学习并掌握一阶电路“三要素”分 析法。
利用EWB软件熟练地对一阶电路进行 仿真和测试。
学习并掌握应用EWB软件进行动态元 件和动态电路仿真和响应规律测试 的方法。
参阅教材：第4章 P104~159
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《电路分析基础》 问题提出：Fra bibliotek闪光灯电路