初等数学研究课后题

现代远程教育

《初等数学研究》

课

程

学

习

指

导

书

课程学习方法指导

1、为什么要学习初等数学研究？

作为一个中学数学教师，仅仅具备中学中所涉及到的知识，是远远不够的。为了更好地掌握并处理好中学数学教材，必须懂得更多的数学。好比用一桶水去斟一杯水，才显得胸有成竹，游刃有余。大学里学习那么多高等数学，目的即在于此。但是高等数学知识怎样和初等数学相结合？如何指导中学数学教学？也就是说怎样用高等数学的方法去处理中学数学问题？怎样使教师的知识更加现代化？怎样用最新的数学观念去理解中学数学中的有关内容？其次，中学数学的重要任务之一，是培养学生运用数学知识解决问题的能力。因此，教师本身就应具备这方面的较强的能力。学习高度数学可以提高数学修养，提高解题能力。但是怎样结合中学实际，运用中学生可以接受的方法，特别是运用初等的方法来处理初等数学中的问题。这方面有许多技能与技巧，还必须作专门的训练。这就是我们要学习初等数学研究的目的。

2、怎样阅读教材？

阅读教材时，应边阅读边作笔记。把重要的、不懂的、难理解的记录下来，以便和录像中的讲解进行对比学习。每天看书不要太多，以免贪多嚼不烂，要循序渐进。要结合录像看书学习，对每道例题，要亲自动手再作一作，理解了，会了，再向下学习。学贵有恒，贵在坚持。

3、怎样观看录像？

观看录像时，应先看书，后看录像。对每个例题、定理的证明，要先思考，后看录像，以验证自己的思维。要充分理解领会每个例题的解证思路与方法，并运用数学方法论思想去审视每道题目的解证方法。既要理解数学的概念和原理，更要理解数学的本质、数学的价值；既要理解数学的探究过程，又要了解数学发展的历史和方法。每次观看录像不宜太多，每次观看一节课为宜。

4、怎样解题？

学习数学，必须学会解题。要以波利亚的“怎样解题表”为指南进行解题训练，要注意解后回顾，要注意提炼、总结数学方法。

附波利亚怎样解题表和解题思考步骤、程序表：

怎样解题表

第一你必须弄清的问题

1、未知数是什么？已知数数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

2、画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？第二、拟定计划。找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。

1、你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

2、你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理、性质等？

3、看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

4、这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

5、你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

6、回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余的部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

7、你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有不要的概念？

第三、实现你的计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

第四、回顾

1、解法正确吗？你能用别的方法导出这个结果吗（即是否还有别的解法）？哪个解法是最本质的？哪个解法是最简单的？你能不能一下子看出它来？由命题的解法你能想到什么？

2、你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？

3、你能对命题进行变形、推广吗？试者改变命题的条件或结论，看能得出什么新的命题来？

４、探索题目的背景，对结论特殊化，一般化。

解题思考步骤、程序表

课程学习进度安排

课程学习课时分配

初等代数部分

第一章数系

一、教学目的和基本要求：

深化学生的知识结构，培养学生的基本知识、基本技能和严谨的思维能力。使学生了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则；掌握自然数的基数理论及整数环的构造；掌握带余除法和整除的基本性质；确切理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数集的性质。确切理解无理数、实数概念、掌握实数大小比较的法则、实数的运算和实数集的性质。确切理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。

二、章节重点、要点

重点：自然数的基、序数理论，带余除法，整数的性质；有理数的理论，实数的大小比较及运算，复数集的性质。

难点：自然数的基、序数理论，带余除法；有理数的理论，复数的性质。 三、练习题 1、 简答题：

（1）自然数的两个作用是什么？ （2）何为自然数的阿基米德性质？ （3）叙述最小数原理。 2、用序数理论推求：（1）3+5；（2）3·5. 3、.91154,的倍数是证明设-+∈n N n n

4、已知近似数2315.4的相对误差界是0.02％，试确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。

5、若d c d c b a ,,,,,∈是无理数，证明：.,d c b a d b c a ==⇔+=+

6、设.S ,,,*bc ad d

cx b

ax x Q d c b a =⇔++∈是有理数＝

是无理数，求证：， 7、求复数7

)2

3(1i ++的模及幅角主值。

第二章 解析式

一、 教学基本要求

深化学生的认知结构，培养学生的抽象思维能力和迅速正确的运算能力，为教好中学数学打下扎实的基本功，

要求学生理解解析式的概念及其分类；掌握解多项式恒等证明，熟练掌握待定系数法和多项式的因式分解方法。

理解分式的概念和代数延拓原理，掌握分式的恒等式证明； 掌握根式的运算法则和复合根式的运算与变形；

理解指数概念的扩展，掌握指数式和对数式的性质、运算及其恒等变形。 理解三角函数式与反三角函数式的概念与性质，掌握三角与反三角式的运算，熟练掌握三角与反三角恒等式的变形。

二、 教学重点与难点

重点：待定系数法和多项式的因式分解方法；根式的运算法则和变形；指数