专题12 二次函数中的宽高模型解决面积问题(原卷版)

专题12 二次函数中的宽高模型解决面积问题

【模型展示】面积中的宽高模型

如图，试探究△ABC 面积

【解法】一：如图1，过点C （定点）作CD△x 轴交AB 于点D ，则S △ABC =S △ACD +S △BCD

图1 图2

【解法】二：如图3，过点 A 作AD△x 轴交BC 的延长线于点D ，则S △ABC =S △ABD -S △ACD

图3 图4

【解法】三：如图5，过点B 作BD△y 轴交AC 于点D ，则S △ABC =S △ABD +S △BCD

图5 图6

【解法】四：如图7，过点 A 作AE△y 轴于点E ，延长AE 交BC 反向延长线于点D ，则S △ABC =S △ACD -S △ABD

图7 图8

【模型总结】无论点A 、B 、C 三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美。

1、△△△△△△y=ax 2+bx+c△△A△-3△0△△B△1△0△△C△0△3△△△△

△1△△△△△△△△△△△△

△2△点P△△△△△△△△△△△△△△△△△PAC△△△3△△△P△△△△

2、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：

“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah ． 例如：三点坐标分别为A （1，2），B （-3，1），C （2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．

（1）已知点

A （1，2），

B （-3，1），P （0，t ）．

△若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； △直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值．

3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+6（a≠0）交x 轴于A （-4，0），B （2，0），在y 轴上有一点E （0，-2），连接AE ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D 是第二象限内的抛物线上一动点．

①求△ADE 面积最大值并写出此时点D 的坐标；

（3）连接AC ，点P 是线段CA 上的动点，连接OP ，把线段PO 绕着点P 顺时针旋转90°至PQ ，点Q 是点O 的对

4、如图，已知抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标;

（2）过点A 作AP △CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 2

1y x =-x y x ⊥x ∆

5、如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,△ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c

=++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：△求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；△在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.