002材料力学轴向拉压
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
材料力学第二章轴向拉伸和压缩 ppt课件
PPT课件
40
[例2-5-3] 如图为简易吊车，AB和BC均为圆形钢杆， 已知d1=36mm,d2=25mm, 钢的许用应力[σ]=100MPa。 试确定吊车的最大许可起重量。
解：1 计算杆AB、BC的轴力
X 0 : FN 2 FN 1 cos 30 0
Y 0 : FN 1 cos 60 W 0
FN 1 2W FN 2 3W
2 求许可载荷
FN max A[ ]
PPT课件
41
当AB杆达到许用应力时
FN max
A1 [
]
d
2 1
4
[
]
Wmax
1 2
FN max
d12 [
8
]
362 106 100 106
50.9kN
8
当BC杆达到许用应力时
20
三、斜截面上的内力和应力
F
F
F
Fα
假定横截面的面积为A，α斜截面的面积为A α ，则有
A
A
cos
F F
p
F A
F cos
A
cos
PPT课件
21
(c)
将应力 p 分解：
正应力： p cos cos 2
剪应力：
p
sin
cos sin
20
FNCD =30-2B =30+30-20=40kN
轴力图画在正下方，并与荷载图相对应！ C处虽然截面面积有变化，但该处没有集中力作用，轴力图不会发生突变！
轴力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。
材料力学第2章轴向拉伸与压缩
ε 相同，这就是变形的几何关系。
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
材料力学第2章 轴向拉压与材料的力学性能_OK
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第2章 轴向拉压与材料的力学性能
图2-2
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第2章 轴向拉压与材料的力学性能
2.2 拉压杆的内力与应力
2.2.1 轴力与轴力图
对于图2-3(a)所示两端承受轴向载荷F作用的拉压杆，为
了显示和确定横截面上的内力，应用截面法，沿横截面m-m
假想地将杆件分成两部分（见图2-3(b)、(c)）。杆件两段在横
t
50o
=
s 2
sin2a=-
125 2
sin100o
=-61.6MPa
其实际指向如图2-9(b)所示。
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第2章 轴向拉压与材料的力学性能
图2-9
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第2章 轴向拉压与材料的力学性能
2.3 材料拉伸与压缩时的力学性能
2.3.1 拉伸试验与应力-应变曲线
为了便于比较不同材料的试验结果，需要将试验材料按
2.1 引 言
在生产实践中经常遇到承受拉伸或压缩的杆件。例如， 图2-1(a)所示的连接螺栓承受拉力作用，图2-1(b)所示的活塞 杆承受压力作用。此外，如起重钢索在起吊重物时承受拉力 作用；千斤顶的螺杆在顶起重物时承受压力作用；至于桁架 中的杆件，则不是受拉就是受压。
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第2章 轴向拉压与材料的力学性能
在拉压杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力σ。
根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力，为了求得内 力与应力在横截面上的分布规律，必须先通过试验观察杆件 的变形。
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第2章 轴向拉压与材料的力学性能
图2-5(a)所示为一等截面直杆，变形前，在其侧面画两条
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学第二章 轴向拉压
N or A
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F
p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
材料力学第二章 轴向拉压与压缩
F
uA
Fa EA
Fa vA EA
整理课件
49
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕 过无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂 直位移。设刚索的 E=177GPa。
计算公式
整理课件
21
1、实验： 变形前
受力后
F
F
整理课件
22
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距减小。
纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
整理课件
23
3、平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且各 横截面沿杆轴线作相对平移
利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？
F
F
F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。
2. 构件的强度由两个因素决定：
①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
整理课件
17
一、应力的概念
截面某点处内力分布的集度 在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度
的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从 内力集度最大处开始。
F
F
FN
25kN
x
解：① 轴力FN =F =25kN
②应力： ma xF A N4 d F 24 3 .1 2 4 1 5 12 4 30 16 M 2Pa
整理课件
31
例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应
力。已知：d 2m 00 δ m 5 m , p m 2 M , 。 Pa
△L2 F
切线
C C′"
整理课件
47
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
uA
Fa EA
Fa vA EA
整理课件
49
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm² 的钢索绕 过无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂 直位移。设刚索的 E=177GPa。
计算公式
整理课件
21
1、实验： 变形前
受力后
F
F
整理课件
22
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距减小。
纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
整理课件
23
3、平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面且各 横截面沿杆轴线作相对平移
利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？
F
F
F
1. 内力大小不能全面衡量构件强度的大小。
2. 构件的强度由两个因素决定：
①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
整理课件
17
一、应力的概念
截面某点处内力分布的集度 在大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，集度
的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从 内力集度最大处开始。
F
F
FN
25kN
x
解：① 轴力FN =F =25kN
②应力： ma xF A N4 d F 24 3 .1 2 4 1 5 12 4 30 16 M 2Pa
整理课件
31
例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应
力。已知：d 2m 00 δ m 5 m , p m 2 M , 。 Pa
△L2 F
切线
C C′"
整理课件
47
写出图 2 中 B 点位移与两杆变形间的关系
材料力学轴向拉压
x
EA l EA
将 x=l 和 x=l/2 代入，得：
B
(F
1W) 2
l EA
C
(F
3W) 4
l 2EA
B、C 两截面的相对轴向位移为：
BC
lCB
B
C
(F
1W) 4
l 2EA
( )
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
A FA
FN2
FN1 B
C 30kN
C
D 20kN
D 20kN
求内力
FN1 FA 40kN or FN1 50 20 30 40kN FN 2 20 30 10kN
FN1 50kN 30kN
FN3 20kN
画内力图（轴力图）
40kN +
10kN
20kN +
校核
• 两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一 斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截 面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切 应力为正。
• 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全 貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉 压杆内各点为单向应力状态。
第二章 轴向拉伸和压缩
A
F
连杆
A
钢拉杆
B
F
B
002-材料力学_轴向拉压
σ
F FN
σ =
FN A
拉应力为正 压应力为负
拉压杆横截面上正应力计算公式
公式适用于轴载作用的杆件。 公式适用于轴载作用的杆件。 变截面杆或分布轴载作 用下横截面正应力计算
σ ( x) =
FN ( x ) A( x )
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ F σ
τ= σ
σ
2
σ
τ=
2
σ
F
2 σ τ= 2
ρgπ
l
ξ )2
叠加原理适用
FN (0) = F
FN (l ) = ( F + P)
dFN ( x) ρgπ 2 d1 (d 2 d1 ) d d ρgπ d d = [d1 + 2 x + ( 2 1 )2 x2 ] = (d1 + 2 1 x) 2 = p( x) dx 4 l l 4 l
单向(单轴) 单向(单轴)应力状态
σ
2
σ τ = 2 σ
2
2
讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应 作顺时针转动的趋势为正。 切应力以使隔离体有作顺时针转动的趋势为正。 力的关系， 力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应 σ max = σ 0 = σ τ0 = 0 横截面上 变相同，即变形是均匀的。 变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分 σ min = σ 90 = 0 τ 90 = 0 布。 纵截面上 σ Fα = ∫ Aoα p α dAτ max p ατ ∫ Aα=dA = p α σ α = σ = = A F
2.1 拉压杆的内力 轴力及轴力图
横截面是杆件内最有代表性的截面， 横截面是杆件内最有代表性的截面， 其上的内力可用截面法求出。 其上的内力可用截面法求出。 由隔离体的平衡条件截面上只 有截面法向的内力分量 FN(x), ), 轴力。 称为轴力 称为轴力。 由 ∑ Fx = FN ( x) F = 0
《材料力学》第2章 轴向拉(压)变形 习题解讲解
第二章轴向拉(压变形[习题2-1]试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（b）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（c）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（d）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图中间段的轴力方程为：轴力图如图所示。
[习题2-2]试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力[习题2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EC横截面上的应力。
解：（1）求支座反力由结构的对称性可知：（2）求AE和EG杆的轴力①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。
由平衡条件可知：②以C节点为研究对象，其受力图如图所示。
由平平衡条件可得：（3）求拉杆AE和EG横截面上的应力查型钢表得单个等边角钢的面积为：[习题2-5] 石砌桥墩的墩身高，其横截面面尺寸如图所示。
荷载，材料的密度，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：墩身底面积：因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
[习题2-6]图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：式中，，把的数值代入以上二式得：轴向拉/压杆斜截面上的应力计算题目编号10000 100 0 100 100.0 0.0 习题2-6100 30 100 75.0 43.310000100 45 100 50.0 50.010000100 60 100 25.0 43.310000100 90 100 0.0 0.010000[习题2-7]一根等直杆受力如图所示。
材料力学 第二章 轴向拉压应力PPT课件
第二章 轴向拉伸和压缩
§2–1 拉压杆的内力 ·轴力与轴力图 §2–2 拉压杆的应力及强度条件 §2-3 材料在拉伸和压缩时的力学性质 §2-4 剪切与挤压的强度计算
§2–1 拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
×
一、拉压杆的内力——轴力
×
§2–3 应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
×
五、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应
力。
max
FN3
Ⅲ 30k N
Ⅲ
×
FN3 300 FN3 30kN
例2 长为l ，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉
力P 作用，画该杆的轴力图。
轴力图
FN
P+W F x 0 ;F N P x 0
⊕
x
P
FN
PxPWx
l
x0 ;F NF N mi nP
P
P
x l;F NF N ma x P W
×
例3 画图示杆的轴力图。
3k N 2k N N 4k N 8kN
3k N ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
6k N ⊕
○－
4k N 8k N
轴力图
×
§2–2 拉压杆的应力及强度条件
一、横截面的正应力
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
§2–1 拉压杆的内力 ·轴力与轴力图 §2–2 拉压杆的应力及强度条件 §2-3 材料在拉伸和压缩时的力学性质 §2-4 剪切与挤压的强度计算
§2–1 拉压杆的内力 · 轴力与轴力图
杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。
拉伸 F
F
压缩 F
F
×
一、拉压杆的内力——轴力
×
§2–3 应力集中的概念
拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面 上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力 大得多，这种现象称为应力集中。
P
P
P
P
P
×
五、拉压杆的强度条件
拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最
大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的容许应
力。
max
FN3
Ⅲ 30k N
Ⅲ
×
FN3 300 FN3 30kN
例2 长为l ，重为W 的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉
力P 作用，画该杆的轴力图。
轴力图
FN
P+W F x 0 ;F N P x 0
⊕
x
P
FN
PxPWx
l
x0 ;F NF N mi nP
P
P
x l;F NF N ma x P W
×
例3 画图示杆的轴力图。
3k N 2k N N 4k N 8kN
3k N ⊕ 1⊕kN
○－
1kN
轴力图
6k N ⊕
○－
4k N 8k N
轴力图
×
§2–2 拉压杆的应力及强度条件
一、横截面的正应力
拉压杆横截面上只有正应力而无剪应力，忽略应力集中 的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有
材料力学(土木类)第二章轴向拉压
FN3 =F
F
Fq
F N2
F
x1
F F Fx1
l
FN 2
F
x1
整理ppt
Fx 0
FN22F-FR-Fl1x0
FN2
Fx1 l
F
18
F q=F/l F
F
l
2l
l
FN
F
F
思考：
F
此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？
作业：2-1
整理ppt
19
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整理ppt
1
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念 1、工程实例
整理ppt
2
整理ppt
3
2、拉伸与压缩的特点
F
FF
F
受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与 其轴线重合的外力F作用。
变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压 杆。
整理ppt
4
§2-2 内力·截面法·轴力及轴 力图
F
F
FN图
F
FN图
整理ppt
10
注意：
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前， 作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静 力等效的相当力系替代。
F
F
(a)
(b) F
F
整理ppt
11
n
m
C nB m (a)
F
A
FN=F m
F
m
A
(b)
n Fm
C nB m
A
(d)
FN=0 m
m
材料力学02(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)
F 1＝ A1 sin F 2＝A2 tan
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
FN 2
A
F
1.校核强度
已知F， ，A1，A2， t ， c
校核结构是否安全？ 解：
F 1＝ t ？ A1 sin F 2 ＝ c ？ A2 tan
2
L
FN ,max max [ ] （1）强度校核 A FN ,max A （2）截面选择 [ ] （3）计算许可荷载 FN,max A[ ]
强度条件的应用举例
1 2
L
(1) 求内力（节点A平衡） FN1＝ F sin
A
FN2＝ - F tan
FN1
F
(2) 求应力（A1，A2横截面积）
C 1m
B
A F
C y 1m
FN1
B A F
A F
x
FN2
解： （1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：
F F
x y
0 0
FN2 FN1 cos 30 0 FN1 sin 30 F 0
得 FN1 2F (拉） FN 2 1.732F (压）
（2）查型钢表得两杆的面积 杆AC 杆AB
例题2 . 钢板冲孔，已知t=5mm，d=18mm，剪切极限应力 τ0=400MPa，求冲力P的大小。
• 解:（1）内力分析: • 剪力： Fs=P • 剪切面面积：A=πd t
• (2)应力分析与强度计算： • τ= Fs/ A ≥τ0 • 由上解得： P ≥ τ0 πd t =113kN
例3 、一铆钉接头如图所示，铆钉和板用同一种材料制成， 铆钉的直径d=18mm，板厚t=10mm，其[τ]=80MPa， [σbs]=200MPa，[σ]=120MPa，试校核此接头部分的强度。
材料力学-第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
• •
为了便于试验结果的相互比较，材料的力学性 能试验试件应按国家标准《金属拉力试验法》 （GB228-76）制成标准试件 标准试件尺寸 – 拉伸圆截面试件
直径d
工作段长度 l l=5d 或 l=10d
48
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
– 拉伸矩形截面试件
P
A
P B
370
P
3000
240
4000
C
所以，砖柱横截面上的最大应力为压应力，其值为1.1MPa。
36
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
斜截面上的应力
F F
F
FN
F
利用截面法，斜截面 上轴力需和左侧外力F 平衡，所以，斜截面 上轴力 F 大小仍为F 即： F F
F
l 11.3 A
或 l 5.65 A
压缩试件——圆形截面或方形截面的短柱体
d
b
l/d=1~3 或 l/b=1~3
l
l
49
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
•
试验仪器
变形传感器
50
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
拉伸试验装置与拉伸图 ( F-Dl 曲线 )
23
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
轴力与应力：
轴力仅仅是横截面上分布内力系的总体的度量（内力的合 力），不能用来描述、判断杆件截面受力的详细情况 所谓应力就是截面上单位面积的内力，即内力的集度 在国际单位制中，应力单位为牛顿/米2（N/m2）（帕 （Pa） ）或兆牛顿/米2（MN/m2）、兆帕（MPa） 1 MN/m2=1 MPa=106Pa=1N/mm2
• •
为了便于试验结果的相互比较，材料的力学性 能试验试件应按国家标准《金属拉力试验法》 （GB228-76）制成标准试件 标准试件尺寸 – 拉伸圆截面试件
直径d
工作段长度 l l=5d 或 l=10d
48
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
– 拉伸矩形截面试件
P
A
P B
370
P
3000
240
4000
C
所以，砖柱横截面上的最大应力为压应力，其值为1.1MPa。
36
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
斜截面上的应力
F F
F
FN
F
利用截面法，斜截面 上轴力需和左侧外力F 平衡，所以，斜截面 上轴力 F 大小仍为F 即： F F
F
l 11.3 A
或 l 5.65 A
压缩试件——圆形截面或方形截面的短柱体
d
b
l/d=1~3 或 l/b=1~3
l
l
49
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
•
试验仪器
变形传感器
50
材料力学－第2章 轴向拉压
材料拉伸和压缩时的力学性能
拉伸试验装置与拉伸图 ( F-Dl 曲线 )
23
材料力学－第2章 轴向拉压
拉压杆的应力和圣维南原理
轴力与应力：
轴力仅仅是横截面上分布内力系的总体的度量（内力的合 力），不能用来描述、判断杆件截面受力的详细情况 所谓应力就是截面上单位面积的内力，即内力的集度 在国际单位制中，应力单位为牛顿/米2（N/m2）（帕 （Pa） ）或兆牛顿/米2（MN/m2）、兆帕（MPa） 1 MN/m2=1 MPa=106Pa=1N/mm2
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变横相截同面，上 即变形是m均a 匀x0 的 。因此内0力0 均匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia n可xp9s i分0AAn 4α45解——A59 ——为d0 2c 斜正 横Ao20 截截应s面面p力面面9 和积积A0 44 切550 应2F2力
pcosco2s22co2s psincossin2sin2
公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。 一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌) 称为一点处的应力状态。
例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm， t=10mm，α=30o。试求焊缝内的应力。
cos
(受压)
F
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
F N ma xl2 F r2/l23 32k7N 3 47k8 N
FN
θ
B
F
确定连杆截面尺寸：
AF [N m ]axbh 1.4b2F [N m ]ax
FB
b 3781003(mm )17m3m
1.490
h1.4b24 m2m
1m
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚 为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应 力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
B
解：采用解析方法求节点位移
F N 1 1.1 4k4N F N 2 1k0N
1
l1F E N 1 A 1 l1 1 0 .7m 07 m l2F E N 22 A l2 2 0 .4m 04 m
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
在小变形下，节点位移与杆件变形的关系
AiA li A`A cois () A`c Ao sco isA`sAinsin i
三、材料在压缩时的力学性能
塑性材料
压缩试件
屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限 脆性材料
压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极 限
F/A
F/A
O
l /l
O
l /l
2.5 拉压杆的强度计算
一、许用应力
失效条件： u 工作应力达到材料的极限应力
us orub
许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力
x
查表得：
A1272.88m2m145.6m 7 2m A22143m02m286m02m
AC杆：
FN1 A1
2AF1 [t
]
FA1[t]145.67160N11.66kN
许的。
m ax[]
2.确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截 面尺寸。
AF [Nm ]a xA mindmi nfd(A m)in
3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷 的最大许用值。
F N m [ a ] A x [ F N ] F m [ F a ] x f F ( F N ] [)
颈缩阶段
l1 l 1% 00 A 1A 1% 00
l
A
l1
伸长率(延伸率)
断面收缩率
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
二、其他材料在拉伸时的力学性能
塑性材料
F/A
p 0.2 名义屈服极限或屈服强度
p0.2 b
O
p 0.2%
脆性材料
直到拉断也没有明显的残余变形， 断口为横截面。
l /l
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
C 1
F 解y： F 求N 1 各s 杆3 内i 力n 0 与F 载 0 荷 F 的关F 系N 1 sF 3 i n 0 2 F (拉)
F x F N 2 F N 1 c3 o 0 s F N 2 3 F (压)
根据强度条件确定许用载荷
2 B
FN1
30o
FN2
30o
y
A F
A F
• 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全 貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉 压杆内各点为单向应力状态。
2.3 拉压杆的变形
b b1
F FN
F
l l1
FN
dx
dxd
F/ A
l
F 一、拉压杆的轴向变形
ll1l
l
l
轴向变形 轴向线应变 拉为正
d d(l)
dx dx
实验表明，当 F 在一定的范围时，有：
A1A l1F EN 1A 1l1 12011 0 .4 19 0 41 13 0 0 1 1 0 06m 7.07 1 04m0.70m 7m
小变形
A2 A l2F E N 22 A l2 21 7 1 1 0 03 9 0 0 1 2 c 5 1 o 4 0 6 0 s m 5 0 .4m 04 m
[ ] u n
n为大于1的系数，称安全系数
二、强度条件
m ax[]
maxFAN max[]
maxFNAmax[]
2.5 拉压杆的强度计算
三、强度计算
如果最大工作应力超过了许用应力，但超
1.强度校核：给定构件形式、材过料量、在尺5寸%和以载内荷，工在况工，程校设核计构中件仍是然否是满允足强
度条件。
解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程
A
l/2
FN(x)FW l (lx)
杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,
C
而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段
l/2
的伸长量。
B
(x)lAx
x 0
FN(x)dx 1
xW [F (lx)]dx
EA EA0 l
F
x
FxW(xlx22) EA l EA
i
2 0 Ax l2 0.404mm ()
1 45
Ay
l1 sin(45
)
l2 tan(45
)
(sin4l15
l2 tan45
)
1.404m m
()
拉压杆的变形
• 拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。
• 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的 关系，即泊松效应。
• 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变 形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得 到简化。
• 小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同 时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加 结果。
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
应力-应拉变伸图 σ-ε曲线
F/A G
一、低碳钢在拉伸时的力学性能
弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失
H
线弹性阶段 OA
d
l
DBC A
e
es
强度指标： E
则有： li Ac x oi s Asyin i
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
i
Axcolisi Aytani (i 90)
Aysilni i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 ) 0
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l =2r。工作压力 F=3274kN，连杆 AB
横截面为矩形，高与宽之比 h/b =1.4，材料为45号钢，许用应力[σ]=90MPa。试设
计截面尺寸h和b。
解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用
h Ab
r
l
ω
θmax θ
B
计算 AB 杆的轴力：
FN
F
B
解：采用解析方法求节点位移
1
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
Axcolisi Aytani (i 90)
Aysilni i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 ) 0
代入各杆参数：
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
B 1
解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力
F y F N 1 c4 o F 5 s 0 F N 1 2 F 1 .1 k 4 4 N
F x 0 F N 2 F 1k0 N (压缩)
(拉伸)
45o
C2
A2 A
F A1
45o A2Δl2
A``
A`
FN1
A
A
Δl1
FN 2
A1
F
节点 A 变形后的新位置 A``
lFl lFl
A
EA
orE
E
l FN l EA
胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应 力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。
d(l)FNdx l FNdx
EA
l EA
l /l
lF N d xn
EA l
i 1li
F E N d iiA xi n 1 lii n 1F E N liiiA
在小变形下，可用切线代替弧线，则A` 可视为A的新位置
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia n可xp9s i分0AAn 4α45解——A59 ——为d0 2c 斜正 横Ao20 截截应s面面p力面面9 和积积A0 44 切550 应2F2力
pcosco2s22co2s psincossin2sin2
公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。 一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌) 称为一点处的应力状态。
例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm， t=10mm，α=30o。试求焊缝内的应力。
cos
(受压)
F
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
F N ma xl2 F r2/l23 32k7N 3 47k8 N
FN
θ
B
F
确定连杆截面尺寸：
AF [N m ]axbh 1.4b2F [N m ]ax
FB
b 3781003(mm )17m3m
1.490
h1.4b24 m2m
1m
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚 为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应 力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
B
解：采用解析方法求节点位移
F N 1 1.1 4k4N F N 2 1k0N
1
l1F E N 1 A 1 l1 1 0 .7m 07 m l2F E N 22 A l2 2 0 .4m 04 m
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
在小变形下，节点位移与杆件变形的关系
AiA li A`A cois () A`c Ao sco isA`sAinsin i
三、材料在压缩时的力学性能
塑性材料
压缩试件
屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限 脆性材料
压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极 限
F/A
F/A
O
l /l
O
l /l
2.5 拉压杆的强度计算
一、许用应力
失效条件： u 工作应力达到材料的极限应力
us orub
许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力
x
查表得：
A1272.88m2m145.6m 7 2m A22143m02m286m02m
AC杆：
FN1 A1
2AF1 [t
]
FA1[t]145.67160N11.66kN
许的。
m ax[]
2.确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截 面尺寸。
AF [Nm ]a xA mindmi nfd(A m)in
3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷 的最大许用值。
F N m [ a ] A x [ F N ] F m [ F a ] x f F ( F N ] [)
颈缩阶段
l1 l 1% 00 A 1A 1% 00
l
A
l1
伸长率(延伸率)
断面收缩率
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
二、其他材料在拉伸时的力学性能
塑性材料
F/A
p 0.2 名义屈服极限或屈服强度
p0.2 b
O
p 0.2%
脆性材料
直到拉断也没有明显的残余变形， 断口为横截面。
l /l
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
C 1
F 解y： F 求N 1 各s 杆3 内i 力n 0 与F 载 0 荷 F 的关F 系N 1 sF 3 i n 0 2 F (拉)
F x F N 2 F N 1 c3 o 0 s F N 2 3 F (压)
根据强度条件确定许用载荷
2 B
FN1
30o
FN2
30o
y
A F
A F
• 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全 貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉 压杆内各点为单向应力状态。
2.3 拉压杆的变形
b b1
F FN
F
l l1
FN
dx
dxd
F/ A
l
F 一、拉压杆的轴向变形
ll1l
l
l
轴向变形 轴向线应变 拉为正
d d(l)
dx dx
实验表明，当 F 在一定的范围时，有：
A1A l1F EN 1A 1l1 12011 0 .4 19 0 41 13 0 0 1 1 0 06m 7.07 1 04m0.70m 7m
小变形
A2 A l2F E N 22 A l2 21 7 1 1 0 03 9 0 0 1 2 c 5 1 o 4 0 6 0 s m 5 0 .4m 04 m
[ ] u n
n为大于1的系数，称安全系数
二、强度条件
m ax[]
maxFAN max[]
maxFNAmax[]
2.5 拉压杆的强度计算
三、强度计算
如果最大工作应力超过了许用应力，但超
1.强度校核：给定构件形式、材过料量、在尺5寸%和以载内荷，工在况工，程校设核计构中件仍是然否是满允足强
度条件。
解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程
A
l/2
FN(x)FW l (lx)
杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,
C
而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段
l/2
的伸长量。
B
(x)lAx
x 0
FN(x)dx 1
xW [F (lx)]dx
EA EA0 l
F
x
FxW(xlx22) EA l EA
i
2 0 Ax l2 0.404mm ()
1 45
Ay
l1 sin(45
)
l2 tan(45
)
(sin4l15
l2 tan45
)
1.404m m
()
拉压杆的变形
• 拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。
• 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的 关系，即泊松效应。
• 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变 形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得 到简化。
• 小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同 时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加 结果。
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
应力-应拉变伸图 σ-ε曲线
F/A G
一、低碳钢在拉伸时的力学性能
弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失
H
线弹性阶段 OA
d
l
DBC A
e
es
强度指标： E
则有： li Ac x oi s Asyin i
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
i
Axcolisi Aytani (i 90)
Aysilni i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 ) 0
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l =2r。工作压力 F=3274kN，连杆 AB
横截面为矩形，高与宽之比 h/b =1.4，材料为45号钢，许用应力[σ]=90MPa。试设
计截面尺寸h和b。
解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用
h Ab
r
l
ω
θmax θ
B
计算 AB 杆的轴力：
FN
F
B
解：采用解析方法求节点位移
1
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
Axcolisi Aytani (i 90)
Aysilni i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 ) 0
代入各杆参数：
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
B 1
解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力
F y F N 1 c4 o F 5 s 0 F N 1 2 F 1 .1 k 4 4 N
F x 0 F N 2 F 1k0 N (压缩)
(拉伸)
45o
C2
A2 A
F A1
45o A2Δl2
A``
A`
FN1
A
A
Δl1
FN 2
A1
F
节点 A 变形后的新位置 A``
lFl lFl
A
EA
orE
E
l FN l EA
胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应 力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。
d(l)FNdx l FNdx
EA
l EA
l /l
lF N d xn
EA l
i 1li
F E N d iiA xi n 1 lii n 1F E N liiiA
在小变形下，可用切线代替弧线，则A` 可视为A的新位置