2017-2018北京市东城区高三数学文科一模试题及答案

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北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学(理科)一、1-8 BBDA CCDD第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【答案】3π 【解析】2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,3B π∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离,()2211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示:设2+z x y =即2y z x =-,当2y z x =-过(2,2)B 时,z 取最大值,所以6z =.12.【答案】23+12【解析】该几何体如图所示:可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形,所以12332ABCS=⨯⨯=,所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S=⨯=,所以11232312ABCACC A S SS=+=+表.13.【答案】(1,1)a =,(1,2)b =,(2,1)c =(答案不唯一) 【解析】设(1,1)a =,(1,2)b =,(2,1)c =,则3⋅a b =,3⋅a c =,所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ,所以若⋅⋅a b =a c ,则b =c 为假命题。

14.【答案】334;①③④ 【解析】内接正n 边形可拆解为n 个等腰三角形,腰长为单位长度1,顶角为2nπ.每个三角形的面积为12sin 2nπ,所以正n 边形面积为 2()sin 2n f n n π=.323333(3)sin 23224==f π=⋅,①正确; 正n 边形面积无法等于圆的面积,所以②不对;随着n 的值增大,正n 边形面积也越来越大,所以③正确;当且仅当3n =时,有2(3)(6)f f =,由几何图形可知其他情况下都有(2)2()f n f n <,所以④正确.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明. 15. 【解析】(Ⅰ)由题意得:()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=-=-,22T ππ∴== (Ⅱ)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 当242x ππ-=时,即38x π=时,()f x 取得最大值2. 当244x ππ-=-时,即0x =时,()f x 取得最小值1-.所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是2和1-.16. 【解析】(Ⅰ)由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为9100. (Ⅱ)由题可知,ξ的可能取值为0,1,226210151(0)=453C P C ξ===1164210248(1)4515C C P C ξ⋅==== 2421062(2)=4515C P C ξ===1824()012315155E ξ=⨯+⨯+⨯=ξ0 1 2()P ξ13 815 215(Ⅲ)a b > 17.【解析】(Ⅰ)由图1知,PD AD PC CB ⊥⊥由图2知,C D 重合于点O .则,PO AO PO BO ⊥⊥AO BO O = AO ⊂面AOB BO ⊂面AOBPO ∴⊥面AOB ,又AB ⊂面AOB PO AB ∴⊥(Ⅱ)由题知1OP = 2OA OB AB === ABO ∆为等边三角形过O 取1OF = 延长作OF AO ⊥ 建立如图空间直角坐标系则()()()()0,0,02,0,0,0,0,11,3,0O A P B ,,易知面POA 的法向量为()0,1,0OF = ()13,1BP =--, 设BP 与平面POA 夹角为θ则315sin cos ,515OF BP OF BP OF BPθ⋅-====⨯⋅∴ 直线BP 与平面POA 所成角正弦值为155(Ⅲ)由(Ⅱ)知面POA 的法向量为()0,1,0OF = 设面EOA 法向量为(,,)m x y z =易知E 为PB 中点 131()222E ∴,,,131()222OE =,,,(200)OA =,,00OE m OA m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即3022220x z y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令1y =- 则(0,1,3)m =-则11cos ,212m OF m OF m OF⋅-===-⨯⋅ 由图知二面角为锐角,∴ 二面角P AO E --为3π 18.【解析】(Ⅰ)32e =,32c a ∴=, 过()2,0,2a ∴=,3c =,2221b a c =-=,2214x y ∴+=(Ⅱ)①当MN 斜率不存在时,设()00,M x y ,则()00,N x y -,00001224AM AN y y k k x x -⋅=⋅=---,()2200124y x =-, 又()00,M x y 在椭圆上,220014x y ∴+=,解得00x =,01y =±,:0MN l x ∴=.②当MN 斜率存在时,设:MN l y kx m =+,与椭圆联立,由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k xkmx m +++-=,0∆>,即22410k m +->,设()11,M x y ,()22,N x y ,则12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,()()2212122414m k y y kx m kx m k -=++=+, ()12121212122224AM AN y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅=---++ 222222222222441144416416416164141414m k m k k m km k m km k k k k --+===--++++++++, 2222444m k m km k ∴-=---, 220m km +=,0m ∴=或2m k =-,当2m k =-时,():2MN l y k x =-, 恒过()2,0不符合①, 当0m =时,:MN l y kx =, 结合①,恒过()0,0, 综上,直线MN 恒过()0,0. 19. 【解析】(Ⅰ)()x f x e a '=-,由题可得(0)0f '=,即10a -=,故1a = (Ⅱ)()x f x e a '=-①当0a =时,()0x f x e =>恒成立,符合题意。

2017-2018学年东城区一模(文)数学试卷及答案

2017-2018学年东城区一模(文)数学试卷及答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学 (文科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{|31}A x x =-<<,{|1B x x =<-或2}x >,则AB =(A ){|31}x x -<<- (B ){|32}x x -<< (C ){|11}x x -<< (D ){|12}x x <<(2)复数i1iz =-在复平面内对应的点位于(A )第一象限 (B )第二象限(C )第三象限 (D )第四象限(3)若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为(A )2- (B )1-(C )2(D )4(4)执行如图所示的程序框图,如果输出的S 值为30,那么空白的判断框中应填入的条件是(A )2n ≤ (B )3n ≤错误!未找到引用源。

(C )4n ≤ (D )5n ≤(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为(A )2 (B )22 (C )32 (D ) 4 (6)函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 (A )1(0,)2 (B )1(,1)2(C )3(1,)2 (D )3(,2)2(7)已知平面向量,,a b c 均为非零向量,则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件输出S结束是开始否 0,0n S ==1n n =+2nS S =+(8)为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学.在某景区,由于时间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览.高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选.据了解,在甲、乙两个景点中有18人会选择甲,在乙、丙两个景点中有18人会选择乙.那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览;②乙景点的得票数可能会超过9;③丙景点的得票数不会比甲景点高; ④三个景点的得票数可能会相等.(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三【一模】数学文科试卷答案

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三【一模】数学文科试卷答案

北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习(一)数学(文科)参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) (1)D (2)C (3)A (4)B (5)B (6)A (7)D (8)D二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (9)-1 (10)5 (11)34(12)12,38(13)-6(14)810注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(共13分)解:(Ⅰ) 点π(,1)4在函数()f x 的图象上, ()=2sin cos cos 14442ππππf a ∴+=.∴ 1.a =()2sin cos cos 2sin 2cos 2)4f x x x x x x πx ∴=+=+=+ T π∴=.------------------6分(Ⅱ)由3222242k x k πππ+π++π≤≤, 得 522244k x k +π+π≤≤ππ, 588k x k ∴+π+π.≤≤ππ ∴函数()f x 的单调减区间为 5,().88k k k Z ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ππ ∴函数()f x 在(0,π)上的单调减区间为5,.88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ------------------ 13分(16)(共13分)解:(Ⅰ) 等差数列}{n a 中,139,21a S ==,13321a d ∴+=.97d ∴+=.2.d ∴=-∴数列}{n a 的通项公式为211n a n =-+.------------------6分(Ⅱ) 数列}{n a 是等差数列,1=92a d =-,,∴210n S n n =-+. ∴2-k 10k S k =+. 211n a n =-+ ,∴15=a ,85a =-. 58k a a S ,,成等比数列, ∴285k a a S =⋅.∴22510k k -=-+(). 即210250k k -+=, 解得5k =.------------------13分(17)(共14分)解:(I ) 因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点,所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点,所以//OE PA因为OE ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB ,所以//OE 平面PAB ……………………5分(II ) 因为PO ABCD ⊥面,所以PO AD ⊥又BD AD ⊥,BD PO O ⋂=,所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面,所以PAD PBD ⊥面面 ……………………10分(III )因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点,所以O 为BD 中点又PD PB ⊥,2AD BD ==,可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面,所以13P ABCD ABCD V S PO -=1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯= 四边形 ……………………14分(18)(共13分)解答:(Ⅰ)由数据分组及频数分布表可知,404000.20.5a ==;1204000.60.5b == ……………………4分(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ,那么20408012060()0.8400P A ++++== ……………………8分(Ⅲ)因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%,所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米,则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知,三个月后的该小区人均月用水量为10.1 1.50.1520.25 2.50.330.1 3.50.0540.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2.25 2.5=<所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分(19)(共13分)解:(Ⅰ)由已知,222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y +=,离心率c e a ==. ……………………4分(Ⅱ)由题意可知12EF EF ⊥,由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心,半径为1的圆,显然E 点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=四边形 当直线12,l l 一条为椭圆的长轴,一条与x 轴垂直时,例如AC 为长轴,BD x ⊥轴时 把1x =代入椭圆方程,可求得y =||BD =||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD == 当直线12,l l 的斜率都存在时,设直线1:1,(0)l x my m =-≠,设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.221)23m AC m +==+ 同理,由21:1l x x m =-+可求得221)23m BD m +=+2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +===++++++===-<++++++ 四边形综上,四边形ABCD 面积的最大值为4,此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴,一条与x 轴垂直.……………………13分(20)(共14分)解析:(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ,代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ,12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时,0)('>x f ,)(x f 单调递增;)2,1(-∈x 当时,0)('<x f ,)(x f 单调递减.……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时,当)1,0(∈x 时,0)('>x g 恒成立,)(x g 单调递增,又032)0(>=g此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点;当10<<a 时,当),0(a x ∈时,0)('>x g ,)(x g 单调递增;当)1,(a x ∈时,0)('<x g ,)(x g 单调递减. 又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点,必有0)1(<g .10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g 无解当0≤a 时,当)1,0(∈x 时,0)('<x g 恒成立,)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点,必有10)1(-<⇒<a g .综上,a 的取值范围为)1,(--∞.……………………9分(Ⅲ)不能.原因如下:设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆,且1x ,2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴ a x a x f 61)6132()(11+-=∴ 同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-= 若直线过点)1,1(,则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a 前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点,则41<a ,显然不合题意.综上,过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(.……………………14分。

北京市东城区2017 — 2018学年度第一学期期末数学试卷及答案

北京市东城区2017 — 2018学年度第一学期期末数学试卷及答案

东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学 2018.1本试卷共4页,共100分,考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共39分)一、 选择题:本大题共13小题,每小题3分,共39分.在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1. 设全集x x U {=是小于9的正整数},A=}3,2,1{,则U A ð等于( )A.}8,7,6,5,4{B.}8,7,6,5,4,0{C.}9,8,7,6,5,4{D.}9,8,7,6,5,3{ 2. 函数sin 2y x π⎛⎫=+⎪4⎝⎭的周期是( ) A.πB. 2πC.2π D.4π 3. 已知函数)(x f 是奇函数,它的定义域为{ 1 <<2-1 }x x a ,则a 的值为( )A.1-B. 0C.21D. 14. 在同一平面直角坐标系内,2x y =与2log ()y x =-的图象可能是( )A .B. C. D.5. 函数32()f x x x =+的零点的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 36.如图所示,角α的终边与单位圆交于点P ,已知点P 的坐标为(-35,45), 则tan 2α=( )A.2425 B.2425-C.247D.247- 7.函数[]cos ,,y x x π⎛⎫=+∈-ππ ⎪2⎝⎭是( )A.增函数B. 减函数C. 偶函数D.奇函数8.把ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为( )x B.x C. x D.x9. 函数113sin(),[0,]66y x x ππ=+∈的单调递减区间是( ) A. ]611,6[ππB . ]6,0[πC.566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, D. ]34,3[ππ10.若)3cos ()x x x ϕϕ+-∈-ππ,,,则ϕ等于( )A. 3π-B.3π C.5π6D.5π-611.已知 220.2log 0.3,log 3,log 0.3a b c ===,则c b a ,,的大小关系为( ) A.a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 12.已知()(2),,(1,)()当时,为增函数f x f x x R x f x =-∈∈+∞(1),(2设,a f b f ==(1)c f =-,则a ,b ,c 的大小关系是( )A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>13. 渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏.若不及时处理,打上来的鱼会很快地失去新鲜度(以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度. 三甲胺是一种挥发性碱性氨,是胺的类似物,它是由细菌分解作用产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质进而腐败). 已知某种鱼失去的新鲜度h 与时间t (分)满足的函数关系为t a m t h ⋅=)(,若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海后20分钟,这种鱼会失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼会在多长时间后开始全部失去全部新鲜度(已知lg 2=0.3,结果取整数)( ) A .33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟第二部分(非选择题 共61分)二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分.14. 函数()2f x x =的最小值是.15.已知幂函数)(x f ,它的图象过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么)8(f 的值为 . 16.函数y =的定义域用集合可表示为 .17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课, 要求学生至少选修一门.某班40名学生均已选课, 班主任统计选课情况如下表,由统计结果分析该班三科都 选报学生有 人.三、解答题:本大题共5小题,共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分10分)已知函数2,10(),01,1 2.≤,≤,≤≤x x f x x x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩(Ⅰ)求23f ⎛⎫-⎪⎝⎭,12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值; (Ⅱ)作出函数的简图;(Ⅲ)由简图指出函数的值域.19. (本题满分10分)已知函数()sin()4f x x π=-.(Ⅰ)若()f α=,求sin cos αα-的值; (Ⅱ)设函数2()2[()]cos(2)6g x f x x π=++,求函数()g x 的值域.20. (本题满分10分)已知函数()2sin 2,0.63f x x x ππ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭. (Ⅰ)列表,描点,画函数()f x 的简图,并由图象写出函数()f x 的单调区间及最值; (Ⅱ)若()()1212,(),f x f x x x =≠,求()12f x x +的值.21. (本题满分10分)珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件,要求每件首饰都按统一规格加工. 单件首饰的原材料成本为25(百元). 单件首饰设计的越精致,做工要求就越高,耗时也就)与其售价间的关系满足越多,售价也就越高,单件首饰加工时间t(单位:时,t N图1(由射线AB上离散的点构成). 首饰设计得越精致,就越受到顾客喜爱,理应获得的订单就越多,但同时,价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素,单件首饰加工时间t (时)与预计订单数的关系满足图2(由线段MN和射线NP上离散的点组成),原则上,单价首饰的加工时间不能超过55小时. 贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的5%,其他成本概不计算.图1 图2(Ⅰ)如果贾某每件首饰加工12小时,预计会有多少件订单;(Ⅱ)设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为S,请写出加工时间t(小时)与利润S之间的函数关系式,并求利润S最大时,预计的订单数.注:利润S =(单件售价材料成本)订单件数贾某工资毛利润=总销售额-材料成本22. (本题满分9分) 已知函数21()11x x xf x x x x --=++-+,()()3g x f x =- . (Ⅰ)判断并证明函数()g x 的奇偶性;(Ⅱ)判断并证明函数()g x 在(1,)+∞上单调性;(Ⅲ)若22(27)(244)f m m f m m -+≥-+成立,求实数m 取值范围.东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学参考答案及评分标准 2018.1三、解答题:本大题共5小题,共49分.18. 解:(Ⅰ)2233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭;2111224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;-------------------------------------6分 (Ⅱ) 简图如下图所示:-------------------------------------------8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)的图象知,函数的值域是[-2,1]. ------------------------------10分 19.解:(Ⅰ)∵()3f α=. ∴sin()43πα-=. αα=∴ 2sincos 3αα-=. ---------------------------------------6分 (Ⅱ)2()2sin ()cos(2)46g x x x ππ=-++1cos(2)cos(2)26x x ππ=--++11sin 22sin 22x x x =--32sin 212x x =-+ 13(cos 22)12x x =+)13x π=++. ∵ 1cos(2)13,x π-≤+≤∴1)113x π≤++≤∴ 函数()g x的值域为[11.--------------------------------10分20.解:(I )作出函数f ( 由图象可知,函数f (x )的单调递增区间是0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦π;单调递减区间是2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ;当6x =π时,()f x 取得最大值1;当23x =π时,()f x 取得最小值-1. ----------------7分 (II ) 若()()1212()f x f x x x =≠,由(I )中简图知,点()()11,x f x 与点()()22,x f x 关于直线6x =π对称,123x x π∴+=.于是()121sin 2.3362f x x f ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ---------------------------------------10分 21.解:(I )预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ ∴(12)125543f =-+=. ----------------------------------------6分(II )预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ 售价函数为()2550g t t =+ ∴利润函数为(2550-25)(45)(15%),010;()(2550-25)(55)(15%),1055.t t t S t t t t ⎧++-≤≤=⎨+-+-<≤⎩95(1)(45),010;495(1)(55),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩2295(495),010;495(5455),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪---<≤⎪⎩ 故利润最大时,t =27,此时预计的订单数为28件. ----------------------------------------10分22.解:(I )函数g (x )为奇函数.证明如下:函数g (x )的定义域:{0,且1,且1},x x x x ≠≠≠-111()()3,11g x f x x x x ---=-=++-+; 111111111(),(),111111g x g x x x x x x x x x x ----=++=++-=++----++--+; ()()g x g x ∴-=-,故()g x 为奇函数. ------------------------------------------------3分(II )()g x 在(1,)+∞上单调递增.1212+任取,(1,),且x x x x ∈∞<,12111222111111()()()1111则g x g x x x x x x x -------=++-++-+-+1212121111111111x x x x x x ------=-+-+---++121212121212(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ---=++--++ 12121212111()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎣⎦.1212+,(1,),x x x x ∈∞<12()0,x x ∴-<1210(1)(1)x x >--,1210x x >,1210(1)(1)x x >++, 12()()0,g x g x ∴-<即12()()g x g x <,故()g x 在(1,)+∞上单调递增. ----------6分(III ) 由()()3f x g x =+,故()f x 在(1,)+∞上单调递增.又2276m m -+≥, 22442m m -+≥恒成立,故2227244m m m m -+≥-+,即2230m m --≤,解得13m -≤≤. -----------------------------------9分注:若学生有其他解法,可参考给分.。

2017-2018学年东城区一模(理)数学试卷及答案

2017-2018学年东城区一模(理)数学试卷及答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学(理科) 2018. 4本试卷共4页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31A x x =- ,{}12B x x x =- 或,则A B = (A) {}32x x - (B) {}31x x -- (C) {}11x x -(D){}11x x - (2)复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈,且a b ,则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b - (C)110a b- (D) 0a b e e --- (4)在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点(35,45),则 tan()θπ+的值为 (A)43 (B) 34 (C) 43- (D) 34- (5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是 (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有 (A)6种(B) 8种(C) 10种(D) 12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和,则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A )充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (8)某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”,则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理-(27660)

2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理-(27660)

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学(理科) 2018. 4本试卷共4页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x x x =-或,则A B =(A) {}32x x - (B) {}31x x --(C) {}11x x - (D) {}11x x -(2)复数1i z i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限(3)已知,a b R ∈,且a b ,则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C) 110a b - (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点(35,45),则tan()θπ+的值为(A)43(B)34(C)43-(D) 34-(5)设抛物线24y x=上一点P到y轴的距离是2,则P到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有(A)6种(B) 8种(C) 10种(D) 12种(7)设{}na是公差为d的等差数列,n S为其前n项和,则“d>0”是“{}nS为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”,则“难题”的个数最多为(A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

北京市东城区2017届高三上学期期末考试数学文试题

北京市东城区2017届高三上学期期末考试数学文试题

东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学 (文科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)集合{}11Αx x =-<<,{}|(2)0Βx x x =->,那么ΑΒ=(A ){}|10x x -<< (B ){}|12x x -<< (C ){|01}x x << (D ){|0x x <或2}x > (2)在复平面内,复数i(1i)z =+,那么||z = (A )1 (B(C )(D )2(3)已知实数,x y 满足3,2,2.x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩那么2z x y =+的最小值为(A )2 (B )3(C )4(D )5(4)已知函数()sin(),R f x x x ωϕ=+∈ (其中0,ωπϕπ>-<<)的部分图象,如图所示.那么)(x f 的解析式为(A )()sin()2f x x π=+ (B )()sin()2f x x π=-(C )()sin(2)2f x x π=+ (D )()sin(2)2f x x π=- (5)下列四个命题:①0x ∃∈R ,使200230x x ++=;②命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ,0lg <x ”;③如果,a b ∈R ,且a b >,那么22a b >;④“若βα=,则βαsin sin =”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是(A )① (B )②(C )③ (D )④(6)过抛物线24yx =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点,它们的横坐标之和等于3,则这样的 直线(A )有且仅有一条 (B )有且仅有两条 (C )有无穷多条 (D )不存在(7)为征求个人所得税法修改建议,某机构调查了10000名当地职工的月收入情况,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图, 下面三个结论:① 估计样本的中位数为4800元; ② 如果个税起征点调整至5000元,估 计有%50的当地职工会被征税; ③ 根据此次调查,为使%60以上的职 工不用缴纳个人所得税,起征点应 调整至5200元. 其中正确结论的个数有(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(8)对于给定的正整数数列{}n a ,满足1n n n a a b +=+,其中n b 是n a 的末位数字,下列关于数列{}n a 的说法正确的是(A )如果1a 是5的倍数,那么数列{}n a 与数列{}2n 必有相同的项; (B )如果1a 不是5的倍数,那么数列{}n a 与数列{}2n 必没有相同的项; (C )如果1a 不是5的倍数,那么数列{}n a 与数列{}2n 只有有限个相同的项; (D )如果1a 不是5的倍数,那么数列{}n a 与数列{}2n 有无穷多个相同的项.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(全优试卷)北京市东城区高三下学期综合练习(一)文科数学Word版含答案

(全优试卷)北京市东城区高三下学期综合练习(一)文科数学Word版含答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学 (文科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1(A(B(C(D(2 (A )第一象限 (B )第二象限(C )第三象限 (D )第四象限(3(A(B(C(D(4是(A (B(C(D(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为(A)2(B(C(D) 4(6(A(B(C(D(7同向”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(8)为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学.在某景区,由于时间定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选择乙.那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是①该班选择去甲景点游览;③丙景点的得票数不会比甲景点高;④三个景点的得票数可能会相等.(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9_________.(10.(11)在平面直角坐标,始边的终边经过则.(12(13的最大值为.(14)定义:;________.三、解答题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)(16)(本小题13分)(17)(本小题13分)率;(Ⅲ)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.(18)(本小题14分)(19)(本小题共14分)(20)(本小题13分).东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)高三数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)A (2)B (3)C (4)B(5)C (6)C (7)B (8)D二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9(10(11(12(13(14三、解答题(共6小题,共80分)(15)(共13分)……………6分13分(16)(共13分)解:(Ⅰ)……………6分(Ⅱ)………13分(17)(共14分)解:(Ⅰ)………5分所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于40………10分(Ⅲ)根据题意,春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为. ………13分CA(18)(共14分)解:(Ⅰ)………5分………10分(Ⅲ)………14分(19)(共13分)………5分………14分(20)(共13分)解:………4分………8分………13分。

北京市东城区2017届高考数学一模试卷(文科) 有答案

北京市东城区2017届高考数学一模试卷(文科) 有答案

2017年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.如果A={x∈R|x>0},B={0,1,2,3},那么集合A∩B=( )A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}2.某高校共有学生3000人,新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽样方法在全校抽取300人,那么应在大一抽取的人数为( )A.200B.100C.80D.753.如果a=log41,b=log23,c=log2π,那么三个数的大小关系是( )A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a4.如果过原点的直线l与圆x2+(y﹣4)2=4切于第二象限,那么直线l的方程是( )A.B.C.y=2xD.y=﹣2x5.设函数若f(a)>1,则实数a的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)6.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件7.如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有( )A.1B.2C.3D.48.如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称f(x)为“倍增函数”.若函数f(x)=ln(e x+m)为“倍增函数”,则实数m的取值范围是( )A .B .C .(﹣1,0)D . 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.如果(x 2﹣1)+(x﹣1)i 是纯虚数,那么实数x= .10.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的k= .11.如果直线l :y=kx﹣1(k >0)与双曲线的一条渐近线平行,那么k= .12.“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是 ;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 .13.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,那么BC= , = .14.已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30公里,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠 公里.三、解答题(共6小题,共80分.答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.已知点(,1)在函数f(x)=2asinxcosx+cos2x的图象上.(Ⅰ)求a的值和f(x)最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.16.已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1=9,S3=21.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a5,a8,S k成等比数列,求k的值.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,AD⊥BD且AD=BD,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD.(I)E为棱PC的中点,求证:OE∥平面PAB;(II)求证:平面PAD⊥平面PBD;(III)若PD⊥PB,AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积.18.某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中,对某居民小区进行用水情况随机抽样调查,获得了该小区400位居民某月的用水量数据(单位:立方米),整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图(图1):组号分组频数1[0.5,1)202[1,1.5)403[1.5,2)804[2,2.5)1205[2.5,3)606[3,3.5)407[3.5,4)208[4,4.5)20(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率;(Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同等规模的随机抽样调查,数据如图2所示,估计这时小区是否达到“节水小区”的标准?并说明理由.19.已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(Ⅰ)求椭圆W的标准方程及离心率;(Ⅱ)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.20.设函数,a∈R.(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)已知函数,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围;(Ⅲ)设f(x)有两个极值点x1,x2,试讨论过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线能否过点(1,1),若能,求a的值;若不能,说明理由.2017年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.如果A={x∈R|x>0},B={0,1,2,3},那么集合A∩B=( )A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵A={x∈R|x>0},B={0,1,2,3},∴集合A∩B={1,2,3}.故选:D.2.某高校共有学生3000人,新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽样方法在全校抽取300人,那么应在大一抽取的人数为( )A.200B.100C.80D.75【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【解答】解:设大一抽取的人数为n人,则用分层抽样的方法可得=,∴x=80.故选:C.3.如果a=log41,b=log23,c=log2π,那么三个数的大小关系是( )A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a【考点】对数值大小的比较.【分析】利用对数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵a=log41=0,1<b=log23<c=log2π,∴c>b>a.故选:A.4.如果过原点的直线l与圆x2+(y﹣4)2=4切于第二象限,那么直线l的方程是( )A.B.C.y=2xD.y=﹣2x【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由已知得圆心坐标为(0,4),半径长为2.因为直线斜率存在.设直线方程为y=kx,根据圆心到直线的距离等于半径,确定k的值,从而求出直线方程【解答】解:圆心坐标为(0,4),半径长为2.由直线过原点,当直线斜率不存在时,不合题意,设直线方程为;y=kx,即kx﹣y=0.则圆心到直线的距离d==r=2化简得:k2=3又∵切点在第二象限,∴∴直线方程为;y=﹣x故选:B.5.设函数若f(a)>1,则实数a的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】分别讨论2a﹣3>1,与>1,求出a的范围即可.【解答】解:若2a﹣3>1,解得:a>2,与a<0矛盾,若>1,解得:a>0,故a的范围是(0,+∞),故选:B.6.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】cos2α=0⇔(cosα+sinα)(cosα﹣sinα)=0⇔(cosα+sinα)=0或(cosα﹣sinα)=0,即可判断出结论.【解答】解:cos2α=0⇔(cosα+sinα)(cosα﹣sinα)=0⇔(cosα+sinα)=0或(cosα﹣sinα)=0,∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件.故选:A.7.如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有( )A.1B.2C.3D.4【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图,可得直观图是四棱锥,底面是正方形,有一侧棱垂直于底面,即可得出结论.【解答】解:由三视图,可得直观图是四棱锥,底面是正方形,有一侧棱垂直于底面,则四棱锥的四个侧面都是直角三角形,故选D.8.如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称f(x)为“倍增函数”.若函数f(x)=ln(e x+m)为“倍增函数”,则实数m的取值范围是( )A.B.C.(﹣1,0)D.【考点】函数的值.【分析】由题意,函数f(x)在[a,b]上的值域且是增函数;可得,可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根,且两根都大于0的问题,从而求出t的范围.【解答】解:∵函数f(x)=ln(e x+m)为“倍增函数”,且满足存在[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],∴f(x)在[a,b]上是增函数;∴,即;∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为y2﹣y﹣m=0(其中y=e x),∴该方程有两个不等的实根,且两根都大于0;即,解得﹣<m<0;∴满足条件的m的范围是(﹣,0);故选:D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.如果(x2﹣1)+(x﹣1)i是纯虚数,那么实数x= ﹣1 .【考点】复数的基本概念.【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解.【解答】解:∵(x2﹣1)+(x﹣1)i是纯虚数,∴,解得:x=﹣1.故答案为:﹣1.10.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的k= 5 .【考点】程序框图.【分析】由程序框图,运行操作,直到条件满足为止,即可得出结论.【解答】解:由程序框图知第一次运行k=2,m=;第二次运行k=3,m=;第三次运行k=4,m=;第四次运行k=5,m=;退出循环.故答案为:5.11.如果直线l:y=kx﹣1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行,那么k= .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的渐近线方程,由两直线平行的条件:斜率相等,即可得到所求k的值.【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,由直线l:y=kx﹣1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行,可得k=.故答案为:.12.“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是 ;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 .【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,由此能求出发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率;进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率.【解答】解:发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,∴发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率p1==.发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率p2==.故答案为:,.13.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,那么BC= 2 , = ﹣6 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用余弦定理求出BC的值,根据平面向量数量积的定义求出的值.【解答】解:△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12,∴BC=2,∴=(﹣)•(﹣)=﹣+•=﹣22+2×2×cos120°=﹣6.故答案为:2,﹣6.14.已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30公里,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠 900 公里.【考点】进行简单的合情推理.【分析】因为要求最远,所以3人同去耗食物,即只一人去,另2人中途返回,3人一起出发.12天后两人都只剩24天的食物.乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回;甲独自前进18天后返回,甲一共走了30天,他们每天向沙漠深处走30千米,据此解答即可.【解答】解:因为要求最远,所以3人同去耗水和食物,即只一人去,3人一起出发.12天后两人都只剩24天的食物.乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回.则甲有的食物:36﹣12+12+12=48(天)甲再走:(48﹣12)÷2=18(天)30×(12+18)=900公里.故答案为900.三、解答题(共6小题,共80分.答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.已知点(,1)在函数f(x)=2asinxcosx+cos2x的图象上.(Ⅰ)求a的值和f(x)最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】(Ⅰ)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,图象过点(,1),可得a的值.利用周期公式求函数的最小正周期.(Ⅱ)将内层函数看作整体,放到正弦函数的减区间上,解不等式得函数的单调递减区间;根据k的取值,即可得x在(0,π)的减区间.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x.化解可得:f(x)=asin2x+cos2x.∵图象过点(,1),即1=asin+cos可得:a=1.∴f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)∴函数的最小正周期T=.(Ⅱ)由2kπ+2x+,k∈Z.可得:≤x≤,k∈Z.函数f(x)的单调减区间为[,],k∈Z.∵x∈(0,π).当k=0时,可得单调减区间为[,].函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为[,].16.已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1=9,S3=21.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a5,a8,S k成等比数列,求k的值.【考点】等比数列的通项公式;数列递推式.【分析】(Ⅰ)利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2,由此能求出数列{a n}的通项公式.(Ⅱ)由a5,a8,S k成等比数列,得,由此能求出k.【解答】解:(Ⅰ)∵数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,a1=9,S3=21.∴,解得d=﹣2,∴a n=9+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+11.(Ⅱ)∵a5,a8,S k成等比数列,∴,即(﹣2×8+11)2=(﹣2×5+11)•[9k+],解得k=5.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,AD⊥BD且AD=BD,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD.(I)E为棱PC的中点,求证:OE∥平面PAB;(II)求证:平面PAD⊥平面PBD;(III)若PD⊥PB,AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)由四边形ABCD是平行四边形,可得O为AC中点,又E为PC中点,由三角形中位线定理可得OE∥PA,再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB;(Ⅱ)由PO⊥平面ABCD,得PO⊥AD,再由AD⊥BD,可得AD⊥平面PBD,进一步得到平面PAD⊥平面PBD;(Ⅲ)由已知求出平行四边形ABCD的面积,进一步求出高PO,再由体积公式得答案.【解答】(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC中点,又E为PC中点,∴OE是△PAC的中位线.∴OE∥PA,而OE⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴OE∥平面PAB;(Ⅱ)证明:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AD,又AD⊥BD,且BD∩PO=O,∴AD⊥平面PBD,而AD⊂平面PBD,∴平面PAD⊥平面PBD;(Ⅲ)由AD⊥BD,且AD=BD,AD=2,∴S四边形ABCD=2×2=4,又PD⊥PB,PO⊥BD,可得PO=,∴.18.某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中,对某居民小区进行用水情况随机抽样调查,获得了该小区400位居民某月的用水量数据(单位:立方米),整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图(图1):组号分组频数1[0.5,1)202[1,1.5)403[1.5,2)804[2,2.5)1205[2.5,3)606[3,3.5)407[3.5,4)208[4,4.5)20(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率;(Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同等规模的随机抽样调查,数据如图2所示,估计这时小区是否达到“节水小区”的标准?并说明理由.【考点】频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(Ⅰ)由数据分组及频数分布表能求出a,b的值.(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率.(Ⅲ)由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米,则称为“节水小区”,由图求出三个月后的该小区人均用水量,由此得到三个月后,估计小区能达到“节水小区”的标准.【解答】解:(Ⅰ)由数据分组及频数分布表知:a==0.2,b==0.6.(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A,则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P(A)==0.8.(Ⅲ)∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%,∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米,则称为“节水小区”,由图可知,三个月后的该小区人均用水量为:1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25<2.5,∴三个月后,估计小区能达到“节水小区”的标准.19.已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(Ⅰ)求椭圆W的标准方程及离心率;(Ⅱ)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)由椭圆的定义及焦距|F1F2|=2c=2,求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=2,即可求得椭圆的方程及离心率.(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,由S=丨AC丨•丨BD丨=4,当直线斜率存在时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC丨,丨BD丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:|F1F2|=2c=2,c=1,2a=|PF1|+|PF2|=2,a=,b2=a2﹣c2=2,离心率e==,∴椭圆的标准方程为:;(Ⅱ)当直线l2⊥l1,当斜率不存在时,EF1⊥EF2,此时求得丨EO丨=丨F1F2丨=1,∴E点轨迹为以原点为圆心,半径为1的圆,显然点E在椭圆W上内部,∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=丨AC丨•丨BE丨+丨AC丨•丨DE丨=丨AC丨•丨BD 丨,将x=﹣1代入椭圆方程,求得y=±,此时丨BD丨=,丨AC丨=2,则四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=4,当直线l2,l1都存在时,设直线l1,x=my﹣1,(m≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),,整理得:(2m2+3)y2﹣4my﹣4=0,则y1+y2=,y1y2=﹣,则丨AC丨=•=,同理直线l1,x=﹣x+1,同理求得丨BD丨=,∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××,=,==4×,=4(1﹣)<4,综上可知四边形ABCD面积的最大值4,此时直线l2,l1一条为椭圆的长轴,一条与x轴垂直. 20.设函数,a∈R.(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)已知函数,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围;(Ⅲ)设f(x)有两个极值点x1,x2,试讨论过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线能否过点(1,1),若能,求a的值;若不能,说明理由.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)f′(x)=x2﹣x+a,由x=2是f(x)的极值点,可得f′(2)=0,解得a=﹣2.代入f′(x)进而得出单调性.(II)=﹣+ax+,g′(x)=x2﹣(1+a)x+a=(x﹣1)(x﹣a).对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围.(III)不能,原因如下:设f(x)有两个极值点x1,x2,则f′(x)=x2﹣x+a有两个不同的零点.△>0,解得a<,且x1,x2,为方程x2﹣x+a=0的两根.则﹣x1+a=0,可得=x1﹣a,可得f(x1)=x1+a,同理可得:f(x2)=x2+a.由此可得:过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线方程为:y=x+a.进而判断出结论.【解答】解:(I),a∈R.f′(x)=x2﹣x+a,∵x=2是f(x)的极值点,∴f′(2)=4﹣2+a=0,解得a=﹣2.代入f′(x)=x2﹣x﹣2=(x+1)(x﹣2),令f′(x)=0,解得x=﹣1,或x=2.令f′(x)>0,解得x>2或x<﹣1,∴f(x)在x∈(﹣∞,﹣1),(2,+∞)时单调递增;令f′(x)<0,解得﹣1<x<2,∴f(x)在x∈(﹣1,2)时单调递减.(II)=﹣+ax+,g′(x)=x2﹣(1+a)x+a=(x﹣1)(x﹣a).①当a≥1时,x∈(0,1)时,g′(x)>0恒成立,g(x)单调递增,又g(0)=>0,因此此时函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当0<a<1时,x∈(0,a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,x∈(a,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点.必有g(1)<0,∴(1+a)+a+<0,解得a<﹣1.舍去.③当a≤0时,x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点.必有g(1)<0,解得a<﹣1.满足条件.综上可得:a的取值范围是(﹣∞,﹣1).(III)不能,原因如下:设f(x)有两个极值点x1,x2,则f′(x)=x2﹣x+a有两个不同的零点.∴△=1﹣4a>0,解得a<,且x1,x2,为方程x2﹣x+a=0的两根.则﹣x1+a=0,可得=x1﹣a,∴f(x1)=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣(x1﹣a)+=x1+a,同理可得:f(x2)=x2+a.由此可得:过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线方程为:y=x+a.若上述直线过点(1,1),则:1=+a.解得a=.上述已知得出:若f(x)有两个极值点x1,x2,则a<,而a=,不合题意,舍去.因此过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线不能过点(1,1).。

北京市东城区2018届高三第二学期综合练习(一)数学(理)试卷(含答案)

北京市东城区2018届高三第二学期综合练习(一)数学(理)试卷(含答案)

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学(理科) 2018. 4本试卷共4页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{}31A x x =-p p ,{}12B x x x =-f f 或,则A B =I (A) {}32x x -p p (B) {}31x x --p p (C) {}11x x -p p (D){}11x x -p p(2)复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈,且a b f ,则下列不等式一定成立的是 (A) 220a b -f (B) cos cos 0a b -f (C)110a b-p (D) 0a b e e ---p (4)在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点(35,45),则 tan()θπ+的值为 (A)43 (B) 34(C) 43- (D) 34-(5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有(A)6种(B) 8种(C) 10种(D) 12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和,则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A )充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”,则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(全优试卷)北京市东城区高三4月综合练习(一)(一模)数学(理)试题Word版含答案

(全优试卷)北京市东城区高三4月综合练习(一)(一模)数学(理)试题Word版含答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学(理科),..考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.4.在平面直角坐标,始边,终边与单位圆交于则5.6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。

某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有7.的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该第二部分(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.,则10._____.11._____.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_____.13.a,b,c 为非零向量,能够说明若“⋅⋅a b =a c ,则b =c ”是假命题的一组向的坐标依次为______.14.单位圆的内接正n (3n ≥)边形的面积记为()f n ,则(3)=f ________;的描述:其中正确结论的序号为________(注:请写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明.15.(本题满分13分)(Ⅰ);(Ⅱ).16.(本小题满分13分)从高一年级随机选取100名学生,对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率; (Ⅱ)从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数(Ⅲ)试判断这100.(只需写出结论)17.(本小题14分)如图1,在边长为2如图2. .所成角的正弦值;.18.(本小题13分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32,且过点()2,0A .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设M ,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点,且直线AM ,AN 的斜率之积等于-19. (本小题满分14分);.20.(本小题13分).北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)数学(理科),..考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.{|B x =-2.在第二象限,3.,,b a e e --∴-4.【解析】由正切函数定义可知5.【解析】在抛物线中准线 1.x =-|||||| 1.PF PH PM ==+P 点到|1 3.PM+=故选C6.【答案】C.故选C7.【答案】D不成立..故选D.8.【答案】D【解析】..故选D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10.11.【解析】可行域如右图所示:时,z 取最大值,所以6z =.12.【解析】该几何体如图所示:,ABCS= 11ACC A S1132ABCACC A SS+=13.【解析】14.每个三角以④正确.四、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,验算步骤或证明.17.【解析】(Ⅰ)(Ⅱ),,18.【解析】(Ⅰ)由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60(Ⅱ)由题可知0,1,217.【解析】(Ⅰ)由图1由图2建立如图空间直角坐标系)()()2,0,0,0,0,11,3,0P B ,的法向量为()0,1,0OF = ()13,1BP =--,夹角为θ1OF BP BP OF BP⋅-==⨯⋅21OF m OF=⨯⋅由图知二面角为锐角,∴ 二面角全优试卷1832 =2,3c=22xy+=②当斜率存在时,设,与椭圆联立,由得全优试卷19. 【解析】②成立,单调递增,,.则,因为,所以,所以,当且仅当时取等,因为),故2的上方.20.【解析】(Ⅰ)..,所以无解..,.。

北京2016-2017东城区一模文科数学试卷与答案

北京2016-2017东城区一模文科数学试卷与答案

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习(一)数学 (文科)本试卷共5页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1)如果{}|0R =∈>A x x ,{}0,1,2,3B =,那么集合=B A IA.空集B.{}0C.{}0,1D.{}1,2,3(2)某高校共有学生3000人,新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽样方法在全校抽取300人,那么应在大一抽取的人数为A.200B.100C.80D.75(3)如果4log 1a =,2log 3b =,2log c π=,那么三个数的大小关系是 A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >>D.b c a >>(4)如果过原点的直线l 与圆22(4)4x y +-= 切于第二象限,那么直线l 的方程是A.y =B.y =C.2y x =D.2y x =-(5)设函数30()0.2x x f x x -<=≥⎧,,若()1f a >,则实数a 的取值范围是A.(0,2)B.(0,)+∞C.(2,)+∞D.(,0)-∞∪(2,+)∞ (6) “0cos sin =+αα”是 “cos20α=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件(7)如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有 A.1 B.2C.3D.4(8)如果函数)(x f y =在定义域内存在区间],[b a ,使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ,那么称)(x f 为“倍增函数”.若函数)ln()(m e x f x+=为“倍增函数”,则实数m 的取值范围是A.),41(+∞-B.)0,21(-C.)0,1(-D.)0,41(-第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9)如果2(1)(1)i x x -+-是纯虚数,那么实数x = .(10)如果执行如图所示的程序框图,那么输出的k =___.(11)如果直线l : 1 (0)y kx k =->与双曲线221169x y -=的一条渐近线平 行,那么k = __ .(12)“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示开始结束是 输出 否信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是____;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.(13)已知ABC ∆中,=120A ∠︒,且2AB AC ==,那么BC =_______,BC CA =u u u r u u u rg____ .(14)已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30公里,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠_________公里.三、解答题(共6小题,共80分.答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15)(本小题13分) 已知点)1,4(π在函数()2sin cos cos 2f x a x x x =+的图象上.(Ⅰ) 求a 的值和()f x 最小正周期; (Ⅱ) 求函数()f x 在(0,π)上的单调减区间.(16)(本小题13分)已知数列}{n a 是等差数列,前n 项和为n S ,若139,21a S ==. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)若58,k a a S ,成等比数列,求k 的值.如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是平行四边形,AD BD ⊥且=AD BD ,AC BD O =I ,PO ⊥平面ABCD .(I )E 为棱PC 的中点,求证://OE 平面PAB ; (II )求证:平面PAD ⊥平面PBD ;(III) 若PD PB ⊥,=2AD ,求四棱锥P ABCD -的体积.(18)(本小题13分)某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中,对某居民小区进行用水情况随机抽样调查,获得了该小区400位居民某月的用水量数据(单位:立方米),整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 分组 频数1 [0.5,1) 202 [1,1.5) 403 [1.5,2) 804 [2,2.5) 1205 [2.5,3) 606 [3,3.5) 407 [3.5,4) 20 8[4,4.5) 20(Ⅰ)求a ,b 的值;(Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率; (Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同等规模的随机抽样调查,数据如右图所示,估计这时小区是否达到“节水小区”的标准?并说明理由.ABCDPOAB CDO F 1xy F 2E 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y W a b a b的左右两个焦点为12,F F ,且122F F =,椭圆上一动点P 满足1223PF PF +=(Ⅰ)求椭圆W 的标准方程及离心率;(Ⅱ)如图,过点1F 作直线1l 与椭圆W 交于点,A C ,过点2F 作直线21l l ⊥,且2l 与椭圆W 交于点,B D ,1l 与2l 交于点E ,试求四边形ABCD 面积的最大值.(20)(本小题14分) 设函数ax x x x f +-=232131)(,R a ∈. (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围; (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由.北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习(一)数学(文科)参考答案一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) (1)D (2)C (3)A (4)B (5)B (6)A (7)D (8)D二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (9)-1 (10)5 (11)34 (12)12,38(13)-6(14)810注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(共13分)解:(Ⅰ) Q 点π(,1)4在函数()f x 的图象上,()=2sin cos cos 14442ππππf a ∴+=.∴ 1.a =()2sin cos cos 2sin 2cos 2)4f x x x x x x πx ∴=+=+=+T π∴=.------------------6分(Ⅱ)由3222242k x k πππ+π++π≤≤, 得 522244k x k +π+π≤≤ππ,588k x k ∴+π+π.≤≤ππ ∴函数()f x 的单调减区间为 5,().88k k k Z ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ππ∴函数()f x 在(0,π)上的单调减区间为5,.88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ ------------------ 13分(16)(共13分)解:(Ⅰ)Q 等差数列}{n a 中,139,21a S ==,13321a d ∴+=.97d ∴+=.2.d ∴=-∴数列}{n a 的通项公式为211n a n =-+.------------------6分(Ⅱ)Q 数列}{n a 是等差数列,1=92a d =-,,∴210n S n n =-+. ∴2-k 10k S k =+.211n a n =-+Q , ∴15=a ,85a =-. Q 58k a a S ,,成等比数列, ∴285k a a S =⋅.∴22510k k -=-+().即210250k k -+=, 解得5k =.------------------13分(17)(共14分)解:(I ) 因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点,所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点,所以//OE PA因为OE ⊄平面PAB ,PA ⊂平面PAB ,所以//OE 平面PAB ……………………5分(II ) 因为PO ABCD ⊥面,所以PO AD ⊥又BD AD ⊥,BD PO O ⋂=, 所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面,所以PAD PBD ⊥面面 ……………………10分(III )因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点,所以O 为BD 中点又PD PB ⊥,2AD BD ==,可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面,所以13P ABCD ABCD V S PO -=g 1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯=g 四边形 ……………………14分(18)(共13分)解答:(Ⅰ)由数据分组及频数分布表可知,404000.20.5a ==;1204000.60.5b == ……………………4分(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ,那么20408012060()0.8400P A ++++== ……………………8分(Ⅲ)因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%,所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米,则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知,三个月后的该小区人均月用水量为10.1 1.50.1520.25 2.50.330.1 3.50.0540.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2.25 2.5=<所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分(19)(共13分)解:(Ⅰ)由已知,222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y +=,离心率c e a == . ……………………4分(Ⅱ)由题意可知12EF EF ⊥,由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心,半径为1的圆,显然E 点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=g g g 四边形当直线12,l l 一条为椭圆的长轴,一条与x 轴垂直时,例如AC 为长轴,BD x ⊥轴时 把1x =代入椭圆方程,可求得3y =±||3BD =,又||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD ==g 当直线12,l l 的斜率都存在时,设直线1:1,(0)l x my m =-≠,设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.AC ==同理,由21:1l x x m=-+可求得BD =2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +===++++++===-<++++++g 四边形综上,四边形ABCD 面积的最大值为4,此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴,一条与x 轴垂直.……………………13分(20)(共14分)解析:(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ,代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ,12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时,0)('>x f ,)(x f 单调递增; )2,1(-∈x 当时,0)('<x f ,)(x f 单调递减.……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时,当)1,0(∈x 时,0)('>x g 恒成立,)(x g 单调递增,又032)0(>=g此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点;当10<<a 时,当),0(a x ∈时,0)('>x g ,)(x g 单调递增;当)1,(a x ∈时,0)('<x g ,)(x g 单调递减.又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点,必有0)1(<g .10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g无解当0≤a 时,当)1,0(∈x 时,0)('<x g 恒成立,)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点,必有10)1(-<⇒<a g .综上,a 的取值范围为)1,(--∞.……………………9分(Ⅲ)不能.原因如下:设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆,且1x ,2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴ a x a x f 61)6132()(11+-=∴ 同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-=若直线过点)1,1(,则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点,则41<a ,显然不合题意.综上,过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(.……………………14分。

2018东城区高中数学理一模及答案

2018东城区高中数学理一模及答案

市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习高三数学〔理科〕2018.4本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.〔1〕若集合{|31}A x x =-<<,{|1B x x =<-或2}x >,则A B =〔A 〕{|32}x x -<< 〔B 〕{|31}x x -<<- 〔C 〕{|11}x x -<< 〔D 〕{|12}x x <<〔2〕复数i1iz =-在复平面上对应的点位于 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限 〔3〕已知,a b R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是〔A 〕220a b ->〔B 〕cos cos 0a b -> 〔C 〕110a b-< 〔D 〕0a b e e ---< 〔4〕在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55,则tan()θπ+的值为〔A 〕43 〔B 〕34〔C 〕43- 〔D 〕34- 〔5〕设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是 〔A 〕1 〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4〔6〕故宫博物院五一期间同时举办"戏曲文化展"、"明代御窑瓷器展"、"历代青绿山水画展"、"赵孟頫书画展".某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有〔A 〕6种 〔B 〕8种 〔C 〕10种 〔D 〕12种 〔7〕设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和,则"0d>"是"{}n S 为递增数列"的〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔8〕某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为"学习能手",对于某个题目,如果答对该题的"学习能手"不到全部"学习能手"的一半,则称该题为"难题".已知这次测试共有5个"学习能手",则"难题"的个数最多为〔A 〕4 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕1第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.〔 9 〕在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若222a c b ac +=+,则B =. 〔10〕在极坐标系中,圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为. 〔11〕若,x y 满足410,,,x y x y x ≤≤≥-⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为.〔12〕某几何体的三视图如图所示,该几何体 的表面积为____________.〔13〕设平面向量,,a b c 为非零向量.能够说明"若a b =a c ,则b =c "是假命题的一组向量,,a b c 的坐标依次为.〔14〕单位圆的内接正(3)n n ≥边形的面积记为()f n ,则(3)f =_________;下面是关于()f n 的描述:①2()sin2n f n nπ=; ②()f n 的最大值为π;③()(1)f n f n <+;④()(2)2()f n f n f n <≤.其中正确结论的序号为__________.〔注:请写出所有正确结论的序号〕 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题13分〕已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-. <Ⅰ> 求()f x 的最小正周期;<Ⅱ>求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值. 〔16〕〔本小题13分〕从高一年级随机选取100名学生,对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.〔Ⅰ〕从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;〔Ⅱ〕从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为,求的分布列和数学期望()E ;〔Ⅲ〕试判断这100名学生数学成绩的方差a 与语文成绩的方差b 的大小.〔只需写出结论〕 〔17〕〔本小题14分〕如图1,在边长为2的正方形ABCD 中,P 为CD 中点,分别将PAD ,PBC 沿PA ,PB 所在直线折叠,使点C 与点D 重合于点O ,如图2.在三棱锥P OAB -中,E 为PB 的中点. 〔Ⅰ〕求证:PO AB ⊥;〔Ⅱ〕求直线PB 与平面POA 所成角的正弦值; 〔Ⅲ〕求二面角P AO E --的大小.图1 图2 〔18〕〔本小题13分〕已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>:的离心率为2,且过点A <2,0>.<Ⅰ> 求椭圆C 的方程;<Ⅱ> 设M ,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点,且直线AM ,AN 的斜率之积等于-错误!.试问直线MN 是否过定点?若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.〔19〕〔本小题14分〕 已知函数()e (1)xf x a x =-+.〔I 〕若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0,求a 的值; 〔II 〕若()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围;〔III 〕证明:当0a =时,曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 〔20〕〔本小题13分〕在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的数表中,ij a 表示第i 行第j 列的数,记12i i i in r a a a =+++(1)in ,12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤.若{1,0,1}ij a ∈-(1,)i jn .且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等,则称此表为"n 阶H 表".记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =.〔I 〕请写出一个"2阶H 表";〔II 〕对任意一个"n 阶H 表",若整数[,]n n λ∈-,且n H λ∉,求证:λ为偶数; 〔III 〕求证:不存在"5阶H 表".市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习〔一〕高三数学参考答案与评分标准 〔理科〕一、选择题〔共8小题,每小题5分,共40分〕 〔1〕B 〔2〕B 〔3〕D 〔4〕A〔5〕C 〔6〕C 〔7〕D 〔8〕D 二、填空题〔共6小题,每小题5分,共30分〕 〔9〕3π〔10〕1〔11〕6 〔12〕12+〔13〕(1,0),(0,1),(0,-1)〔答案不唯一〕 〔14〕4;①③④ 三、解答题〔共6小题,共80分〕 〔15〕〔共13分〕解:〔Ⅰ〕因为22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-)4x π=-.所以()f x 的最小正周期为22π=π. ……………………………………7分 <Ⅱ>因为02x .所以32444x.当242x ,即38x 时,()f x 当244x,即0x时,()f x 取得最小值1.所以()f x 在[0,]2π,最小值为1.………………………13分〔16〕〔共13分〕解:〔I 〕由图知,在被选取的100名学生中,数学和语文成绩均低于60分的有9人,所以从100名学生中随机选取一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为90.09100=. ……………………………………………………………………………………3分〔Ⅱ〕由图知,语文成绩大于80分的学生优10人,这10人中数学成绩高于80分的有4人,所以的所有可能取值为0,1,2.262101(0)3C P C ,11462108(1)15C C P C ,242102(2)15C P C ,所以的分布列为故的数学期望1824()012315155E .……………………………10分 〔Ⅲ〕由图判断,a b . …………………………………………13分〔17〕〔共14分〕证明:〔Ⅰ〕在正方形ABCD 中,P 为CD 中点,PD AD ⊥,PC BC ⊥, 所以在三棱锥P OAB -中,PO OA ⊥,PO OB ⊥. 因为OA OB O =,所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥.……………………4分 〔Ⅱ〕取AB 中点F ,连接OF ,取AO 中点M ,连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ,所以PO ⊥OF ,PO ⊥OG . 因为OA =OB ,F 为AB 的中点, 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG . 如图所示,建立空间直角坐标系O -xyz . A 错误!,B 错误!,P 错误!,M <错误!,错误!,0>. 因为BO =BA ,M 为OA 的中点,所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ,PO ⊂平面POA ,所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB =OA ,BM ⊂平面OAB , 所以BM ⊥平面POA .因为BM =<错误!,-错误!,0>.所以平面POA 的法向量m =错误!.BP =<1,-错误!,1>.设直线BP 与平面POA 所成角为α,则15sin cos 5BP BPBPm m,m .所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为错误!.………………10分 〔Ⅲ〕由<Ⅱ>知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,OA =. 设平面OAE 的法向量为n ,则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1y =-,则x =z =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P -AO -E 为锐角,所以它的大小为3.……………………………14分〔18〕〔共13分〕解:〔I〕由已知有2,2a a =⎧=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 椭圆C 的方程为2214x y +=.……………………………4分 〔II 〕若直线MN 斜率存在,设直线MN 方程为y kx n =+.由22,1,4y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得222(14)8440k x knx n +++-=. 当0∆>,设1122(,),(,)M x y N x y ,则122814kn x x k +=-+………..①,21224414n x x k -=+………..②.由12121224AM AN y y k k x x ⋅=⋅=---以与11y kx n =+,22y kx n =+整理,得 221212(14)(42)()(44)0k x x nk x x n ++-+++=.将①,②代入上式,整理,得220n kn +=,解得0n =或2n k =-.当0n =时,直线y kx n =+过(0,0);当2n k =-时,直线y kx n =+过(2,0)〔舍〕. 若直线MN 斜率不存在,则直线,AM AN 斜率互为相反数.不妨设11,22AM AN k k =-=,于是直线1:(2)2AM y x =--与椭圆交于(0,1)M , 由对称性可知直线AN 与椭圆交于(0,1)N -. 所以直线MN 也过(0,0).综上,直线MN 过定点(0,0).……………………………13分19〕〔共14分〕解:〔I 〕函数()e (1)xf x a x =-+的定义域为R . 因为()e (1)xf x a x =-+,所以'()e xf x a =-.由'(0)10f a =-=得1a =.……………………………4分 〔II 〕'()e (R)x f x a x =-∈. ①当0a >时,令'()0f x =得ln x a =.ln x a <时,'()0f x <;ln x a >时,'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减,在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时,()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. "()0f x ≥恒成立"等价于"()f x 最小值大于等于0",即ln 0a a -≥. 因为0a >,所以01a <≤.②当0a =时,()e 0xf x =>符合题意;③当0a <时,取011x a=-+,则111101()e (11)e 10a a f x a a -+-+=--++=-<,不符合题意.综上,若()0f x ≥对x R ∈恒成立,则a 的取值范围为[0,1].……………………9分 〔III 〕当0a =时,令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->,可求1'()e xh x x=-. 因为121'()e 1002h =-<,'(1)e 10h =->,且1'()e xh x x=-在(0,)+∞上单调递增,所以在〔0,〕上存在唯一的0x ,使得0001'()e 0xh x x =-=,即001e x x =,且112x .当x 变化时,()h x 与'()h x 在〔0,〕上的情况如下:则当0x x =时,()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22xh x x x x =--=+-. 因为01(,1)2x ∈,所以0001()220h x x x =+->=. 所以当0a =时,()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时,曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分 〔20〕〔共13分〕解:〔I 〕……………………3分 〔II 〕对任意一个"n 阶H 表",i r 表示第i行所有数的和,j c 表示第j 列所有数的和〔1,i j n ≤≤〕.1nii r=∑与1njj c=∑均表示数表中所有数的和,所以1n i i r =∑1njj c==∑.1212,,,,,,,n n r r r c c c 只能取[,]n n -内的整数.因为{1,0,1}ij a ∈-,所以又因为1212,,,,,,,n n r r r c c c 互不相等,[,]n n λ∈-且n H λ∉, 所以1212{,,,,,,,,}{,1,,1,0,1,,1,}n n r r r c c c n n n n λ=--+--,所以λ+1ni i r =∑1njj c=+∑(1)(1)01++(1)0n n n n =-+-+++-++-+=.所以λ12ni i r ==-∑为偶数.………………………………………8分〔III 〕假设存在一个"5阶H 表",则由〔II 〕知55,5,3,3H --∈,且54H ∈和54H -∈至少〔答案不唯一〕有一个成立,不妨设54H ∈.设125,5r r ==-,则121,1(15)j j a a j ==-≤≤,于是3(15)j c j ≤≤≤,因而可设34r =,313233341a a a a ====,350a =.①若3是某列的和,由于52c ≤,故只能是前四列某列的和,不妨设是第一列,即41511a a ==.现考虑3-,只能是4r 或5r ,不妨设43r =-,即424344451a a a a ====-,由234,,c c c 两两不等知525354,,a a a 两两不等,不妨设5253541,0,1a a a =-==,若551a =-则530r c ==;若550a =则541r c ==;若551a =则530c c ==,均与已知矛盾.②若3是某行的和,不妨设43r =,则第4行至少有3个1,若这3个1是前四个中某三个数,不妨设4142431a a a ===,则第五行前三个数只能是3个不同的数,不妨设5152531,0,1a a a =-==,则343c r ==矛盾,故第四行只能前四个数有2个1,第五个数为1,不妨设41424344450,1a a a a a =====,所以53r =-,第五行只能是2个0,3个1-或1个1,4个1-.则515255,,a a a 至少有两个数相同,不妨设5152a a =,则12c c =与已知矛盾. 综上,不存在"5阶H 表".………………………………………13分。

2017-2018北京市东城区高三数学理科一模试题及答案

2017-2018北京市东城区高三数学理科一模试题及答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)高三数学 (理科)本试卷共4页第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合{|31}A x x =-<<,{|1B x x =<-或2}x >,则A B =(A ){|32}x x -<< (B ){|31}x x -<<- (C ){|11}x x -<< (D ){|12}x x <<(2)复数i1iz =-在复平面上对应的点位于 (A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限 (3)已知,a b R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是(A )220a b ->(B )cos cos 0a b ->(C )110a b-< (D )0a b e e ---<(4)在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55,则tan()θπ+的值为(A )43(B )34(C )43- (D )34-(5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有(A )6种(B )8种(C )10种(D )12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和,则“0d>”是“{}n S 为递增数列”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为“学习能手”,对于某个题目,如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半,则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”,则“难题”的个数最多为 (A )4(B )3(C )2(D )1第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(全优试卷)北京市东城区高三数学一模试卷(文科) Word版含解析

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2017年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.如果A={x∈R|x>0},B={0,1,2,3},那么集合A∩B=()A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}2.某高校共有学生3000人,新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽样方法在全校抽取300人,那么应在大一抽取的人数为()A.200 B.100 C.80 D.753.如果a=log41,b=log23,c=log2π,那么三个数的大小关系是()A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a4.如果过原点的直线l与圆x2+(y﹣4)2=4切于第二象限,那么直线l的方程是()A.B. C.y=2x D.y=﹣2x5.设函数若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2) B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)6.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有()A .1B .2C .3D .48.如果函数y=f (x )在定义域内存在区间[a ,b ],使f (x )在[a ,b ]上的值域是[2a ,2b ],那么称f (x )为“倍增函数”.若函数f (x )=ln (e x +m )为“倍增函数”,则实数m 的取值范围是( )A .B .C .(﹣1,0)D .二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.如果(x 2﹣1)+(x ﹣1)i 是纯虚数,那么实数x= . 10.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的k= .11.如果直线l :y=kx ﹣1(k >0)与双曲线的一条渐近线平行,那么k= .12.“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是 ;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 .13.已知△ABC 中,∠A=120°,且AB=AC=2,那么BC= ,= .14.已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30公里,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠 公里.三、解答题(共6小题,共80分.答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15.已知点(,1)在函数f (x )=2asinxcosx +cos2x 的图象上.(Ⅰ) 求a 的值和f (x )最小正周期;(Ⅱ) 求函数f (x )在(0,π)上的单调减区间.16.已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,若a 1=9,S 3=21. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若a 5,a 8,S k 成等比数列,求k 的值.17.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,四边形ABCD 是平行四边形,AD ⊥BD 且AD=BD ,AC ∩BD=O ,PO ⊥平面ABCD .(I)E为棱PC的中点,求证:OE∥平面PAB;(II)求证:平面PAD⊥平面PBD;(III)若PD⊥PB,AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积.18.某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中,对某居民小区进行用水情况随机抽样调查,获得了该小区400位居民某月的用水量数据(单位:立方米),整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图(图1):(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率;(Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同等规模的随机抽样调查,数据如图2所示,估计这时小区是否达到“节水小区”的标准?并说明理由.19.已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(Ⅰ)求椭圆W的标准方程及离心率;(Ⅱ)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD面积的最大值.20.设函数,a∈R.(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)已知函数,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围;(Ⅲ)设f(x)有两个极值点x1,x2,试讨论过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线能否过点(1,1),若能,求a的值;若不能,说明理由.2017年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.如果A={x∈R|x>0},B={0,1,2,3},那么集合A∩B=()A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵A={x∈R|x>0},B={0,1,2,3},∴集合A∩B={1,2,3}.故选:D.2.某高校共有学生3000人,新进大一学生有800人.现对大学生社团活动情况进行抽样调查,用分层抽样方法在全校抽取300人,那么应在大一抽取的人数为()A.200 B.100 C.80 D.75【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【解答】解:设大一抽取的人数为n人,则用分层抽样的方法可得=,∴x=80.故选:C.3.如果a=log41,b=log23,c=log2π,那么三个数的大小关系是()A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a【考点】对数值大小的比较.【分析】利用对数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵a=log41=0,1<b=log23<c=log2π,∴c>b>a.故选:A.4.如果过原点的直线l与圆x2+(y﹣4)2=4切于第二象限,那么直线l的方程是()A.B. C.y=2x D.y=﹣2x【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由已知得圆心坐标为(0,4),半径长为2.因为直线斜率存在.设直线方程为y=kx,根据圆心到直线的距离等于半径,确定k的值,从而求出直线方程【解答】解:圆心坐标为(0,4),半径长为2.由直线过原点,当直线斜率不存在时,不合题意,设直线方程为;y=kx,即kx﹣y=0.则圆心到直线的距离d==r=2化简得:k2=3又∵切点在第二象限,∴∴直线方程为;y=﹣x故选:B.5.设函数若f(a)>1,则实数a的取值范围是()A.(0,2) B.(0,+∞)C.(2,+∞)D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】分别讨论2a﹣3>1,与>1,求出a的范围即可.【解答】解:若2a﹣3>1,解得:a>2,与a<0矛盾,若>1,解得:a>0,故a的范围是(0,+∞),故选:B.6.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】cos2α=0⇔(cosα+sinα)(cosα﹣sinα)=0⇔(cosα+sinα)=0或(cosα﹣sinα)=0,即可判断出结论.【解答】解:cos2α=0⇔(cosα+sinα)(cosα﹣sinα)=0⇔(cosα+sinα)=0或(cosα﹣sinα)=0,∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件.故选:A.7.如果某四棱锥的三视图如图所示,那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有()A.1 B.2 C.3 D.4【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图,可得直观图是四棱锥,底面是正方形,有一侧棱垂直于底面,即可得出结论.【解答】解:由三视图,可得直观图是四棱锥,底面是正方形,有一侧棱垂直于底面,则四棱锥的四个侧面都是直角三角形,故选D.8.如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],那么称f(x)为“倍增函数”.若函数f(x)=ln(e x+m)为“倍增函数”,则实数m的取值范围是()A.B.C.(﹣1,0)D.【考点】函数的值.【分析】由题意,函数f(x)在[a,b]上的值域且是增函数;可得,可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根,且两根都大于0的问题,从而求出t的范围.【解答】解:∵函数f(x)=ln(e x+m)为“倍增函数”,且满足存在[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],∴f(x)在[a,b]上是增函数;∴,即;∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为y2﹣y﹣m=0(其中y=e x),∴该方程有两个不等的实根,且两根都大于0;即,解得﹣<m<0;∴满足条件的m的范围是(﹣,0);故选:D.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.如果(x2﹣1)+(x﹣1)i是纯虚数,那么实数x=﹣1.【考点】复数的基本概念.【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解.【解答】解:∵(x2﹣1)+(x﹣1)i是纯虚数,∴,解得:x=﹣1.故答案为:﹣1.10.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的k=5.【考点】程序框图.【分析】由程序框图,运行操作,直到条件满足为止,即可得出结论.【解答】解:由程序框图知第一次运行k=2,m=;第二次运行k=3,m=;第三次运行k=4,m=;第四次运行k=5,m=;退出循环.故答案为:5.11.如果直线l:y=kx﹣1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行,那么k=.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的渐近线方程,由两直线平行的条件:斜率相等,即可得到所求k的值.【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,由直线l:y=kx﹣1(k>0)与双曲线的一条渐近线平行,可得k=.故答案为:.12.“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,由此能求出发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率;进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率.【解答】解:发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,∴发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率p1==.发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率p2==.故答案为:,.13.已知△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,那么BC=2,=﹣6.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用余弦定理求出BC的值,根据平面向量数量积的定义求出的值.【解答】解:△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12,∴BC=2,∴=(﹣)•(﹣)=﹣+•=﹣22+2×2×cos120°=﹣6.故答案为:2,﹣6.14.已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30公里,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠900公里.【考点】进行简单的合情推理.【分析】因为要求最远,所以3人同去耗食物,即只一人去,另2人中途返回,3人一起出发.12天后两人都只剩24天的食物.乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回;甲独自前进18天后返回,甲一共走了30天,他们每天向沙漠深处走30千米,据此解答即可.【解答】解:因为要求最远,所以3人同去耗水和食物,即只一人去,3人一起出发.12天后两人都只剩24天的食物.乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回.则甲有的食物:36﹣12+12+12=48(天)甲再走:(48﹣12)÷2=18(天)30×(12+18)=900公里.故答案为900.三、解答题(共6小题,共80分.答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.已知点(,1)在函数f(x)=2asinxcosx+cos2x的图象上.(Ⅰ)求a的值和f(x)最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)在(0,π)上的单调减区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】(Ⅰ)利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,图象过点(,1),可得a的值.利用周期公式求函数的最小正周期.(Ⅱ)将内层函数看作整体,放到正弦函数的减区间上,解不等式得函数的单调递减区间;根据k的取值,即可得x在(0,π)的减区间.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x.化解可得:f(x)=asin2x+cos2x.∵图象过点(,1),即1=asin+cos可得:a=1.∴f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)∴函数的最小正周期T=.(Ⅱ)由2kπ+2x+,k∈Z.可得:≤x≤,k∈Z.函数f(x)的单调减区间为[,],k∈Z.∵x∈(0,π).当k=0时,可得单调减区间为[,].函数f(x)在(0,π)上的单调减区间为[,].16.已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1=9,S3=21.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若a5,a8,S k成等比数列,求k的值.【考点】等比数列的通项公式;数列递推式.【分析】(Ⅰ)利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2,由此能求出数列{a n}的通项公式.(Ⅱ)由a5,a8,S k成等比数列,得,由此能求出k.【解答】解:(Ⅰ)∵数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,a1=9,S3=21.∴,解得d=﹣2,∴a n=9+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+11.(Ⅱ)∵a5,a8,S k成等比数列,∴,即(﹣2×8+11)2=(﹣2×5+11)•[9k+],解得k=5.17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,AD⊥BD且AD=BD,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD.(I)E为棱PC的中点,求证:OE∥平面PAB;(II)求证:平面PAD⊥平面PBD;(III)若PD⊥PB,AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)由四边形ABCD是平行四边形,可得O为AC中点,又E为PC中点,由三角形中位线定理可得OE∥PA,再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB;(Ⅱ)由PO⊥平面ABCD,得PO⊥AD,再由AD⊥BD,可得AD⊥平面PBD,进一步得到平面PAD⊥平面PBD;(Ⅲ)由已知求出平行四边形ABCD的面积,进一步求出高PO,再由体积公式得答案.【解答】(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴O为AC中点,又E为PC中点,∴OE是△PAC的中位线.∴OE∥PA,而OE⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,∴OE∥平面PAB;(Ⅱ)证明:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AD,又AD⊥BD,且BD∩PO=O,∴AD⊥平面PBD,而AD⊂平面PBD,∴平面PAD⊥平面PBD;=2×2=4,(Ⅲ)由AD⊥BD,且AD=BD,AD=2,∴S四边形ABCD又PD⊥PB,PO⊥BD,可得PO=,∴.18.某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中,对某居民小区进行用水情况随机抽样调查,获得了该小区400位居民某月的用水量数据(单位:立方米),整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图(图1):(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)从该小区随机选取一名住户,试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率;(Ⅲ)若小区人均月用水量低于某一标准,则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,经过估算,该小区未达到“节水小区”标准,而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%,经过同学们的节水宣传,三个月后,又进行一次同等规模的随机抽样调查,数据如图2所示,估计这时小区是否达到“节水小区”的标准?并说明理由.【考点】频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(Ⅰ)由数据分组及频数分布表能求出a,b的值.(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率.(Ⅲ)由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米,则称为“节水小区”,由图求出三个月后的该小区人均用水量,由此得到三个月后,估计小区能达到“节水小区”的标准.【解答】解:(Ⅰ)由数据分组及频数分布表知:a==0.2,b==0.6.(Ⅱ)设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A,则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P(A)==0.8.(Ⅲ)∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%,∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米,则称为“节水小区”,由图可知,三个月后的该小区人均用水量为:1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25<2.5,∴三个月后,估计小区能达到“节水小区”的标准.19.已知椭圆W:=1(a>b>0)的左右两个焦点为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2.(Ⅰ)求椭圆W 的标准方程及离心率;(Ⅱ)如图,过点F 1作直线l 1与椭圆W 交于点A ,C ,过点F 2作直线l 2⊥l 1,且l 2与椭圆W 交于点B ,D ,l 1与l 2交于点E ,试求四边形ABCD 面积的最大值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)由椭圆的定义及焦距|F 1F 2|=2c=2,求得a 和c 的值,则b 2=a 2﹣c 2=2,即可求得椭圆的方程及离心率.(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,由S=丨AC 丨•丨BD 丨=4,当直线斜率存在时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC 丨,丨BD 丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD 面积的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:|F 1F 2|=2c=2,c=1,2a=|PF 1|+|PF 2|=2,a=,b 2=a 2﹣c 2=2,离心率e==,∴椭圆的标准方程为:;(Ⅱ)当直线l 2⊥l 1,当斜率不存在时,EF 1⊥EF 2,此时求得丨EO 丨=丨F 1F 2丨=1,∴E 点轨迹为以原点为圆心,半径为1的圆,显然点E 在椭圆W 上内部,∴四边形ABCD 面积S=S △ABC +S △ADC =丨AC 丨•丨BE 丨+丨AC 丨•丨DE 丨=丨AC 丨•丨BD 丨,将x=﹣1代入椭圆方程,求得y=±,此时丨BD 丨=,丨AC 丨=2,则四边形ABCD 面积S=丨AC 丨•丨BD 丨=4,当直线l 2,l 1都存在时,设直线l 1,x=my ﹣1,(m ≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),,整理得:(2m2+3)y2﹣4my﹣4=0,则y1+y2=,y1y2=﹣,则丨AC丨=•=,同理直线l1,x=﹣x+1,同理求得丨BD丨=,∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××,=,==4×,=4(1﹣)<4,综上可知四边形ABCD面积的最大值4,此时直线l2,l1一条为椭圆的长轴,一条与x轴垂直.20.设函数,a∈R.(Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)已知函数,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围;(Ⅲ)设f(x)有两个极值点x1,x2,试讨论过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线能否过点(1,1),若能,求a的值;若不能,说明理由.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)f′(x)=x2﹣x+a,由x=2是f(x)的极值点,可得f′(2)=0,解得a=﹣2.代入f′(x)进而得出单调性.(II)=﹣+ax+,g′(x)=x2﹣(1+a)x+a=(x﹣1)(x﹣a).对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围.(III)不能,原因如下:设f(x)有两个极值点x1,x2,则f′(x)=x2﹣x+a有两个不同的零点.△>0,解得a<,且x1,x2,为方程x2﹣x+a=0的两根.则﹣x1+a=0,可得=x1﹣a,可得f(x1)=x1+a,同理可得:f(x2)=x2+a.由此可得:过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线方程为:y=x+a.进而判断出结论.【解答】解:(I),a∈R.f′(x)=x2﹣x+a,∵x=2是f(x)的极值点,∴f′(2)=4﹣2+a=0,解得a=﹣2.代入f′(x)=x2﹣x﹣2=(x+1)(x﹣2),令f′(x)=0,解得x=﹣1,或x=2.令f′(x)>0,解得x>2或x<﹣1,∴f(x)在x∈(﹣∞,﹣1),(2,+∞)时单调递增;令f′(x)<0,解得﹣1<x<2,∴f(x)在x∈(﹣1,2)时单调递减.(II)=﹣+ax+,g′(x)=x2﹣(1+a)x+a=(x﹣1)(x﹣a).①当a≥1时,x∈(0,1)时,g′(x)>0恒成立,g(x)单调递增,又g(0)=>0,因此此时函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当0<a<1时,x∈(0,a)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,x∈(a,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点.必有g(1)<0,∴(1+a)+a+<0,解得a<﹣1.舍去.③当a≤0时,x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点.必有g(1)<0,解得a<﹣1.满足条件.综上可得:a的取值范围是(﹣∞,﹣1).(III)不能,原因如下:设f(x)有两个极值点x1,x2,则f′(x)=x2﹣x+a有两个不同的零点.∴△=1﹣4a>0,解得a<,且x1,x2,为方程x2﹣x+a=0的两根.则﹣x1+a=0,可得=x1﹣a,∴f(x1)=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣(x1﹣a)+=x1+a,同理可得:f(x2)=x2+a.由此可得:过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线方程为:y=x+a.若上述直线过点(1,1),则:1=+a.解得a=.上述已知得出:若f(x)有两个极值点x1,x2,则a<,而a=,不合题意,舍去.因此过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线不能过点(1,1).2017年4月25日。

北京市东城区2017-2018学年高三数学一模试卷(理科) Word版含解析

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2017-2018学年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知复数i•(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为()A.﹣1 B.0 C.1 D.22.集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是()A.a≥5 B.a≥4 C.a<5 D.a<43.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为()A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,54.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.B.1 C.2 D.45.在极坐标系中,直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为()A.B.1 C.D.6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为()A.2 B. C.3 D.7.已知三点P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0)那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为()A.3 B.6 C.9 D.128.已知1,2为平面上的单位向量,1与2的起点均为坐标原点O,1与2夹角为.平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中,那么平面区域D的面积为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在的展开式中,x3的系数值为______.(用数字作答)10.已知等比数列{a n}中,a2=2,a3•a4=32,那么a8的值为______.11.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA=______;AP=______.12.若,且,则sin2α的值为______.14.已知函数f(x)=|lnx|,关于x的不等式f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)的解集为(0,+∞),其中x0∈(0,+∞),c为常数.当x0=1时,c的取值范围是______;当时,c的值是______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.在△ABC中,,AC=2,且.(Ⅰ)求AB的长度;(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)与直线相邻交点间的最小距离.16.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠BAC=90°,A1A=1,,AC=2,E、F分别为棱C1C、BC的中点.(Ⅰ)求证AC⊥A1B;(Ⅱ)求直线EF与A1B所成的角;(Ⅲ)若G为线段A1A的中点,A1在平面EFG内的射影为H,求∠HA1A.17.现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间(Ⅱ)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行;(Ⅲ)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).18.设函数f(x)=ae x﹣x﹣1,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln>.19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为﹣p.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:.20.数列{a n}中,给定正整数m(m>1),.定义:数列{a n}满足a i+1≤a i(i=1,2,…,m﹣1),称数列{a n}的前m项单调不增.(Ⅰ)若数列{a n}通项公式为:,求V(5).(Ⅱ)若数列{a n}满足:,求证V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增.(Ⅲ)给定正整数m(m>1),若数列{a n}满足:a n≥0,(n=1,2,…,m),且数列{a n}的前m项和m2,求V(m)的最大值与最小值.(写出答案即可)2016年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知复数i•(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为()A.﹣1 B.0 C.1 D.2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部为0求得a的值.【解答】解:∵i•(1+ai)=﹣a+i为纯虚数,∴﹣a=0,即a=0.故选:B.2.集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是()A.a≥5 B.a≥4 C.a<5 D.a<4【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】由x2﹣5x<0,可得B=(0,5),再利用集合的运算性质即可得出.【解答】解:由x2﹣5x<0,解得0<x<5,∴B=(0,5),∵A∩B=B,∴a≥5.则a的取值范围是a≥5.故选:A.3.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为()A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,5【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系,即可求出各职称分别抽取的人数.【解答】解:用分层抽样方法抽取容量为30的样本,则样本中的高级职称人数为30×=9,中级职称人数为30×=18,初级职称人数为30×=3.故选:A.4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.B.1 C.2 D.4【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=,k=1,当k=1时,满足进行循环的条件,故S=,k=2,当k=2时,满足进行循环的条件,故S=1,k=3,当k=3时,满足进行循环的条件,故S=2,k=4,当k=4时,不满足进行循环的条件,故输出的S值为2,故选:C5.在极坐标系中,直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为()A.B.1 C.D.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】分别得出直角坐标方程,求出圆心(0,0)到直线的距离d.即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2.【解答】解:直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程:x﹣y+1=0.曲线ρ=1即x2+y2=1.∴圆心(0,0)到直线的距离d=.∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=.故选:D.6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为()A.2 B. C.3 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥P﹣ABCD,其中底面ABCD为直角梯形,侧棱PB⊥底面ABCD.即可得出.【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥P﹣ABCD,其中底面ABCD为直角梯形,侧棱PB⊥底面ABCD.∴最长的棱为PD,PD==3.故选:C.7.已知三点P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0)那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为()A.3 B.6 C.9 D.12【考点】椭圆的简单性质.【分析】设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0),可得:c=6,2a=|PF1|+|PF2|,可得b=.【解答】解:设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0),可得:c=6,2a=|PF1|+|PF2|=+=6,解得a=3.∴b===3.∴椭圆的短轴长为6.故选:B.8.已知1,2为平面上的单位向量,1与2的起点均为坐标原点O,1与2夹角为.平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中,那么平面区域D的面积为()A.B.C.D.【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】以O为原点,以方向为x轴正方向,建立坐标系xOy,写出、的坐标,根据=λ+μ写出的坐标表示,利用向量相等列出方程组,求出点P的坐标满足的约束条件,画出对应的平面区域,计算平面区域的面积即可.【解答】解:以O为原点,以方向为x轴正方向,建立坐标系xOy,则=(1,0),=(cos,sin)=(,),又=λ+μ=(λ+μ,μ),其中λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1;设=(x,y),则(x,y)=(λ+μ,μ),∴,解得;由于λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1,∴,它表示的平面区域如图所示:由图知A(,),B(1,0);所以阴影部分区域D的面积为S=×1×=.故选:D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在的展开式中,x3的系数值为20.(用数字作答)【考点】二项式系数的性质.【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.【解答】解:T r+1=(2x)5﹣r=25﹣3r x5﹣2r.令5﹣2r=3,解得r=1.∴T4=x3=20x3.故答案为:20.10.已知等比数列{a n}中,a2=2,a3•a4=32,那么a8的值为128.【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,∵a2=2,a3•a4=32,∴a1q=2,=32,解得a1=1,q=2.那么a8=27=128.故答案为:128.11.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA=;AP=.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】证明△OAC是等边三角形,得到∠COA=,利用OA=1,可求AP.【解答】解:由题意,OA⊥AP.∵CP=AC,∴∠P=∠CAP,∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC,∴∠AOP=∠OAC,∴AC=OC,∵OA=OC,∴△OAC是等边三角形,∴∠COA=,∵OA=1∴AP=故答案为:,12.若,且,则sin2α的值为.【考点】二倍角的正弦.【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=,两边平方,利用二倍角公式即可解得sin2α的值.【解答】解:∵=(cosα﹣sinα),∴cosα﹣sinα=>0,∴两边平方可得:1﹣sin2α=,∴sin2α=.故答案为:.在最合理的安排下,获得的最大利润的值为62.【考点】简单线性规划.【分析】运送甲x件,乙y件,利润为z,建立约束条件和目标函数,利用线性规划的知识进行求解即可.【解答】解:设运送甲x件,乙y件,利润为z,则由题意得,即,且z=8x+10y,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=8x+10y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,由图象知当直线y=﹣x+经过点B时,直线的截距最大,此时z最大,由,得,即B(4,3),此时z=8×4+10×3=32+30=62,故答案为:6214.已知函数f(x)=|lnx|,关于x的不等式f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)的解集为(0,+∞),其中x0∈(0,+∞),c为常数.当x0=1时,c的取值范围是[﹣1,1] ;当时,c的值是﹣2.【考点】分段函数的应用;对数函数的图象与性质.【分析】当0<x<1时,f(x)=﹣lnx,f′(x)=﹣∈(﹣∞,﹣1),当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=∈(0,1),进而将x0=1和代入,结果斜率公式分类讨论可得答案.【解答】解:∵函数f(x)=|lnx|,当0<x<1时,f(x)=﹣lnx,f′(x)=﹣∈(﹣∞,﹣1),当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=∈(0,1),①当x0=1时,f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)可化为:f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)当0<x<1时,f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)可化为:≤c,则c≥﹣1,当x>1时,f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)可化为:≥c,则c≤1,故c∈[﹣1,1];②当x0=时,f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)可化为:f(x)﹣f()≥c(x﹣)当0<x<时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≤c,则c≥f′()=﹣2,当<x<1时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≥c,则c≤f′()=﹣2,当x>1时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≥c,则c≤1,故c=﹣2,故答案为:[﹣1,1],﹣2三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.在△ABC中,,AC=2,且.(Ⅰ)求AB的长度;(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)与直线相邻交点间的最小距离.【考点】两角和与差的余弦函数;正弦函数的图象.【分析】(Ⅰ)利用诱导公式求得cosC,可得C的值,咋利用余弦定理求得AB的长度.(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+C),求得x1、x2的值,可得|x1﹣x2|的最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵,∴C=45°.∵,AC=2,∴=4,∴AB=2.(Ⅱ)由,解得或,k∈Z,解得,或,k1,k2∈Z.因为,当k1=k2时取等号,所以当时,相邻两交点间最小的距离为.16.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠BAC=90°,A1A=1,,AC=2,E、F分别为棱C1C、BC的中点.(Ⅰ)求证AC⊥A1B;(Ⅱ)求直线EF与A1B所成的角;(Ⅲ)若G为线段A1A的中点,A1在平面EFG内的射影为H,求∠HA1A.【考点】直线与平面所成的角;棱柱的结构特征.【分析】(I)由AC⊥AB,AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1,于是AC⊥A1B;(II)以A为原点建立坐标系,求出和的坐标,计算cos<>即可得出直线EF与A1B所成的角;(III)求出和平面EFG的法向量,则sin∠HA1A=|cos<,>|.【解答】证明:(Ⅰ)∵AA1⊥底面ABC,AC⊂平面ABC,∴AC⊥AA1.∵∠BAC=90°,∴AC⊥AB.又A1A⊂平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,A1A∩AB=A,∴AC⊥平面A1ABB1.∵A1B⊂平面A1ABB1,∴AC⊥A1B.(Ⅱ)以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz,如图所示:则A1(0,0,1),,,.∴,.∴.直线EF与A1B所成的角为45°.(Ⅲ),,.=(0,0,1).设平面GEF的法向量为=(x,y,z),则,∴令,则.∴cos<>==.∵A1在平面EFG内的射影为H,∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角,∴sin∠HA1A=|cos<>|=.∴∠HA1A=.17.现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间(Ⅱ)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行;(Ⅲ)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).【考点】计数原理的应用.【分析】(Ⅰ)求出三场比赛的种数,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,根据概率公式计算即可,(Ⅱ)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛,分别求出按不同顺序比赛时,第三场比赛等待的时间,再根据平均数的定义即可求出,(Ⅲ)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少.【解答】解:(I)三场比赛共有种方式,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为.(Ⅱ)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛.按ABC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t1=20+25=45(分钟).按ACB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t2=20+35=55(分钟).按BAC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t3=20+25=45(分钟).按BCA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t4=35+25=60(分钟).按CAB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t5=35+20=55(分钟).按CBA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t6=35+25=60(分钟).且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生概率为,所以平均等待时间为,(Ⅲ)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少18.设函数f(x)=ae x﹣x﹣1,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln>.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)a=1时得出f(x),进而得到f′(x)=e x﹣1,这样便可判断导数符号,根据符号即可得出f(x)的单调区间;(Ⅱ)可以由f(x)>0恒成立得到恒成立,这样设,求导,根据导数符号便可判断g(x)在(0,+∞)上单调递减,这便可得到g(x)<1,从而便可得出a的取值范围;(Ⅲ)容易得到等价于e x﹣xe x﹣1>0,可设h(x)=e x﹣xe x﹣1,求导数,并根据上面的f(x)>0可判断出导数h′(x)>0,从而得到h(x)>h(0)=0,这样即可得出要证明的结论.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,则f(x)=e x﹣x﹣1,f'(x)=e x﹣1;令f'(x)=0,得x=0;∴当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;当x≥0时,f'(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;即a=1时,f(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调赠区间为[0,+∞);(Ⅱ)∵e x>0;∴f(x)>0恒成立,等价于恒成立;设,x∈(0,+∞),;当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0;∴g(x)在(0,+∞)上单调递减;∴x∈(0,+∞)时,g(x)<g(0)=1;∴a≥1;∴a的取值范围为[1,+∞);(Ⅲ)证明:当x∈(0,+∞)时,等价于e x﹣xe x﹣1>0;设h(x)=e x﹣xe x﹣1,x∈(0,+∞),;由(Ⅱ)知,x∈(0,+∞)时,e x﹣x﹣1>0恒成立;∴;∴h′(x)>0;∴h(x)在(0,+∞)上单调递增;∴x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0;因此当x∈(0,+∞)时,.19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为﹣p.(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(I)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直x轴)的方程可设为.与抛物线方程联立可得:,由直线OA与OB的斜率之积为﹣p,即.可得:x1x2=4.利用根与系数的关系即可得出.(II)利用中点坐标公式、斜率计算公式可得:直线OD的方程为,代入抛物线C:y2=8x的方程,解出即可得出.【解答】(I)解:∵直线AB过点F且与抛物线C交于A,B两点,,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直x轴)的方程可设为.∴,.∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p,∴.∴,得x1x2=4.由,化为,其中△=(k2p+2p)2﹣k2p2k2>0∴x1+x2=,x1x2=.∴p=4,抛物线C:y2=8x.(Ⅱ)证明:设M(x0,y0),P(x3,y3),∵M为线段AB的中点,∴,.∴直线OD的斜率为.直线OD的方程为代入抛物线C:y2=8x的方程,得.∴.∵k2>0,∴.20.数列{a n}中,给定正整数m(m>1),.定义:数列{a n}满足a i+1≤a i(i=1,2,…,m﹣1),称数列{a n}的前m项单调不增.(Ⅰ)若数列{a n}通项公式为:,求V(5).(Ⅱ)若数列{a n}满足:,求证V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增.(Ⅲ)给定正整数m(m>1),若数列{a n}满足:a n≥0,(n=1,2,…,m),且数列{a n}的前m项和m2,求V(m)的最大值与最小值.(写出答案即可)【考点】数列的应用.【分析】(Ⅰ)由数列{a n}通项公式分别气的前5项,代入即可求得V(5),(Ⅱ)充分性:由,数列{a n}的前m项单调不增,即a m≤…≤a2≤a1,去掉绝对值求得V(m)=a﹣b,再证明必要性,采用反证法,假设数列{a n}的前m项不是单调不增,则存在i(1≤i≤m﹣1)使得a i+1>a i,求得=|a﹣b+a i+1﹣a i|+(a i+1﹣a i)>a﹣b,与已知矛盾,即可证明V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增.(Ⅲ)由当丨a i+1﹣a i丨=0时,即数列{a n}为常数列,V(m)=0,当m=2时的最大值:此时a1+a2=4,|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4,当m>2时的最大值:此时a1+a2+a3+…+a4=m2.【解答】解(Ⅰ),a1=﹣1,a2=1,a3=﹣1,a4=1,a5=﹣1,V(5)=丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨=2+2+2+2=8,V(5)=8.…(Ⅱ)充分性:若数列{a n}的前m项单调不增,即a m≤…≤a2≤a1,﹣a m)此时有:=(a1﹣a2)+(a2﹣a3)+(a3﹣a4)+…+(a m﹣1=a1﹣a m=a﹣b.必要性:反证法,若数列{a n}的前m项不是单调不增,则存在i(1≤i≤m﹣1)使得a i+1>a i,那么:=丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨≥丨a i﹣a1丨+(a i+1﹣a i)+丨a m﹣a i+1丨,=丨a m﹣a i+a i﹣a i+1丨+(a i+1﹣a i),=丨a﹣b+a i+′﹣a i丨+(a i+1﹣a i),由于a i+1>a i,a>b,∴|a﹣b+a i+1﹣a i|+(a i+1﹣a i)>a﹣b.与已知矛盾.…(III)最小值为0.此时{a n}为常数列.…最大值为,当m=2时的最大值:此时a1+a2=4,(a1,a2≥0),…11分|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4.当m>2时的最大值:此时a1+a2+a3+…+a4=m2.由|x﹣y|≤|x|+|y|易证,{a n}的值的只有是大小交替出现时,才能让V(m)取最大值.不妨设:a i+1≤a i,i为奇数,a i+1≥a i,i为偶数.当m为奇数时有:,=a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+a m﹣a m,﹣1=a1﹣a m+2a i﹣4a2i≤2a i=2m2,当m为偶数时同理可证.…2016年9月20日。

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市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)
数学 (文科)
学校_____________班级_____________________________考号___________
本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。

(1)若集合{|31}A x x =-<<,{|1B x x =<-或2}x >,则A
B =
(A ){|31}x x -<<- (B ){|32}x x -<< (C ){|11}x x -<< (D ){|12}x x << (2)复数i
1i
z =
-在复平面对应的点位于 (A )第一象限 (B )第二象限
(C )第三象限 (D )第四象限
(3)若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
则y x -的最大值为
(A )2- (B )1-
(C )2
(D )4
(4)执行如图所示的程序框图,如果输出的S 值为30,那么空白的判断框中应填入的条件

(A )2n ≤ (B )3n ≤ (C )4n ≤ (D )5n ≤
(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为
(A )2
(B )22
(C )32
(D ) 4
(6)函数4
()2x f x x
=-的零点所在区间是 (A )1(0,)2
(B )1(,1)2
(C )3(1,)2
(D )3(,2)2
(7)已知平面向量,,a b c 均为非零向量,则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件
(D )既不充分也不必要条件
(8)为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都游学.在某景区,由于时间关
系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览.高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选.据了解,在甲、乙两个景点中有18人会选择甲,在乙、丙两个景点中有18人会选择乙.那么关于这轮投票结果,下列说确的是 ①该班选择去甲景点游览; ②乙景点的得票数可能会超过9;
③丙景点的得票数不会比甲景点高; ④三个景点的得票数可能会相等.
(A )①② (B )①③ (C )②④ (D )③④
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)命题“x ∀∈R ,e 0x
>”的否定是_________.
(10)已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点坐标为1(,0)4
,则p =_______.
(11)在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55
,则
sin θ=_______,tan 2θ=_________.
(12)已知圆2
2
(1)1x y -+=上的点到直线2y kx =-的距离的最小值为1,则实数
k = .
(13)已知实数,x y 满足21x y +=,则xy 的最大值为 .
(14)定义:函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的差为()f x 在区间[,]a b 上的极
差,记作(,)d a b .
①若2
()22f x =x x -+,则(1,2)d =________; ②若()m
f x =x+
x
,且(1,2)|(2)(1)|d f f ≠-,则实数m 的取值围是________.
三、解答题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)
已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且36a =-,56S S =. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列{}n b 满足12b a =,23b S =,求{}n b 的前n 项和.
(16)(本小题13分)
函数()sin()(0,)22
f x x ωϕωϕππ
=+>-<<的部分图象如图所示. (Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位长度,得到函数()y g x =的图象, 令()()()F x f x g x =+,求函数()F x 的单调递增区间.
A
某从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查,将受访用户按年龄分成5组:[10,20),[20,30),…,[50,60],并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于40岁的
概率;
(Ⅲ)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.
(18)(本小题14分)
如图,四边形ABCD 为菱形,60DAB ∠=,ED ⊥平面ABCD ,
22ED AD EF ===,EF ∥AB ,M 为BC 中点.
(Ⅰ)求证:FM ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:AC BE ⊥;
(Ⅲ)若G 为线段
BE 上的点,当三棱锥G BCD -时,求BG
BE
的值.
频率
组距年龄
a 0.005
0.030.02
0.01
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,长轴长为
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点M 是以长轴为直径的圆O 上一点,圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N .
求证:过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点.
(20)(本小题13分)
已知函数()sin cos f x x x a x x =++,a ∈R .
(Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当2a=时,求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当2a >时,若方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解,求a 的取值围.。

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