2017-2018北京市东城区高三数学文科一模试题及答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(一)
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）一、1-8 BBDA CCDD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【答案】3π 【解析】2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,3B π∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，()2211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示：设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =.12.【答案】23+12【解析】该几何体如图所示：可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形,所以12332ABCS=⨯⨯=,所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S=⨯=,所以11232312ABCACC A S SS=+=+表.13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ，所以若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。
14.【答案】334；①③④ 【解析】内接正n 边形可拆解为n 个等腰三角形，腰长为单位长度1，顶角为2nπ.每个三角形的面积为12sin 2nπ，所以正n 边形面积为 2()sin 2n f n n π=.323333(3)sin 23224==f π=⋅，①正确； 正n 边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；随着n 的值增大，正n 边形面积也越来越大，所以③正确；当且仅当3n =时，有2(3)(6)f f =，由几何图形可知其他情况下都有(2)2()f n f n <，所以④正确.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明. 15. 【解析】(Ⅰ)由题意得：()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=-=-,22T ππ∴== (Ⅱ)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 当242x ππ-=时,即38x π=时,()f x 取得最大值2. 当244x ππ-=-时,即0x =时,()f x 取得最小值1-.所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是2和1-.16. 【解析】（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为9100. （Ⅱ）由题可知,ξ的可能取值为0,1,226210151(0)=453C P C ξ===1164210248(1)4515C C P C ξ⋅==== 2421062(2)=4515C P C ξ===1824()012315155E ξ=⨯+⨯+⨯=ξ0 1 2()P ξ13 815 215（Ⅲ）a b > 17.【解析】（Ⅰ）由图1知,PD AD PC CB ⊥⊥由图2知,C D 重合于点O .则,PO AO PO BO ⊥⊥AO BO O = AO ⊂面AOB BO ⊂面AOBPO ∴⊥面AOB ,又AB ⊂面AOB PO AB ∴⊥（Ⅱ）由题知1OP = 2OA OB AB === ABO ∆为等边三角形过O 取1OF = 延长作OF AO ⊥ 建立如图空间直角坐标系则()()()()0,0,02,0,0,0,0,11,3,0O A P B ，，易知面POA 的法向量为()0,1,0OF = ()13,1BP =--， 设BP 与平面POA 夹角为θ则315sin cos ,515OF BP OF BP OF BPθ⋅-====⨯⋅∴ 直线BP 与平面POA 所成角正弦值为155（Ⅲ）由（Ⅱ）知面POA 的法向量为()0,1,0OF = 设面EOA 法向量为(,,)m x y z =易知E 为PB 中点 131()222E ∴，，，131()222OE =，，，(200)OA =，，00OE m OA m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ 即3022220x z y x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令1y =- 则(0,1,3)m =-则11cos ,212m OF m OF m OF⋅-===-⨯⋅ 由图知二面角为锐角，∴ 二面角P AO E --为3π 18．【解析】（Ⅰ）32e =，32c a ∴=， 过()2,0，2a ∴=，3c =，2221b a c =-=，2214x y ∴+=（Ⅱ）①当MN 斜率不存在时，设()00,M x y ，则()00,N x y -，00001224AM AN y y k k x x -⋅=⋅=---，()2200124y x =-， 又()00,M x y 在椭圆上，220014x y ∴+=，解得00x =，01y =±，:0MN l x ∴=．②当MN 斜率存在时，设:MN l y kx m =+，与椭圆联立，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k xkmx m +++-=，0∆>，即22410k m +->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()2212122414m k y y kx m kx m k -=++=+， ()12121212122224AM AN y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅=---++ 222222222222441144416416416164141414m k m k k m km k m km k k k k --+===--++++++++， 2222444m k m km k ∴-=---， 220m km +=，0m ∴=或2m k =-，当2m k =-时，():2MN l y k x =-， 恒过()2,0不符合①， 当0m =时，:MN l y kx =， 结合①，恒过()0,0， 综上，直线MN 恒过()0,0． 19. 【解析】（Ⅰ）()x f x e a '=-，由题可得(0)0f '=，即10a -=，故1a = （Ⅱ）()x f x e a '=-①当0a =时，()0x f x e =>恒成立，符合题意。
2017-2018学年东城区一模(文)数学试卷及答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则AB =（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数i1iz =-在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为（A ）2- （B ）1-（C ）2（D ）4（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是（A ）2n ≤ （B ）3n ≤错误!未找到引用源。
（C ）4n ≤ （D ）5n ≤（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A ）2 （B ）22 （C ）32 （D ） 4 （6）函数4()2x f x x=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）3(1,)2 （D ）3(,2)2（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件输出S结束是开始否 0,0n S ==1n n =+2nS S =+（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三【一模】数学文科试卷答案
北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5 （11）34（12）12，38（13）-6（14）810注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解:(Ⅰ) 点π(,1)4在函数()f x 的图象上， ()=2sin cos cos 14442ππππf a ∴+=.∴ 1.a =()2sin cos cos 2sin 2cos 2)4f x x x x x x πx ∴=+=+=+ T π∴=.------------------6分(Ⅱ)由3222242k x k πππ+π++π≤≤, 得 522244k x k +π+π≤≤ππ, 588k x k ∴+π+π.≤≤ππ ∴函数()f x 的单调减区间为 5,().88k k k Z ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ππ ∴函数()f x 在(0,π)上的单调减区间为5,.88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ------------------ 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ） 等差数列}{n a 中，139,21a S ==,13321a d ∴+=.97d ∴+=.2.d ∴=-∴数列}{n a 的通项公式为211n a n =-+.------------------6分（Ⅱ） 数列}{n a 是等差数列,1=92a d =-，,∴210n S n n =-+. ∴2-k 10k S k =+. 211n a n =-+ ,∴15=a ，85a =-． 58k a a S ，，成等比数列， ∴285k a a S =⋅．∴22510k k -=-+（）. 即210250k k -+=， 解得5k =.------------------13分（17）（共14分）解：（I ） 因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点，所以//OE PA因为OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//OE 平面PAB ……………………5分（II ） 因为PO ABCD ⊥面，所以PO AD ⊥又BD AD ⊥，BD PO O ⋂=，所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面，所以PAD PBD ⊥面面 ……………………10分（III ）因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点又PD PB ⊥，2AD BD ==，可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面，所以13P ABCD ABCD V S PO -=1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯= 四边形 ……………………14分（18）（共13分）解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，404000.20.5a ==；1204000.60.5b == ……………………4分（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ，那么20408012060()0.8400P A ++++== ……………………8分（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为10.1 1.50.1520.25 2.50.330.1 3.50.0540.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2.25 2.5=<所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y +=，离心率c e a ==. ……………………4分（Ⅱ）由题意可知12EF EF ⊥，由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然E 点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=四边形 当直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直时，例如AC 为长轴，BD x ⊥轴时 把1x =代入椭圆方程，可求得y =||BD =||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD == 当直线12,l l 的斜率都存在时，设直线1:1,(0)l x my m =-≠，设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.221)23m AC m +==+ 同理，由21:1l x x m =-+可求得221)23m BD m +=+2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +===++++++===-<++++++ 四边形综上，四边形ABCD 面积的最大值为4，此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直.……………………13分（20）（共14分）解析：(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ，代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ，12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时，0)('>x f ，)(x f 单调递增；)2,1(-∈x 当时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时，当)1,0(∈x 时，0)('>x g 恒成立，)(x g 单调递增，又032)0(>=g此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点；当10<<a 时，当),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增；当)1,(a x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减． 又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有0)1(<g ．10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g 无解当0≤a 时，当)1,0(∈x 时，0)('<x g 恒成立，)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有10)1(-<⇒<a g ．综上，a 的取值范围为)1,(--∞．……………………9分(Ⅲ)不能．原因如下：设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆，且1x ，2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴ a x a x f 61)6132()(11+-=∴ 同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-= 若直线过点)1,1(，则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a 前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点，则41<a ，显然不合题意．综上，过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(．……………………14分。
北京市东城区2017 — 2018学年度第一学期期末数学试卷及答案
东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学 2018.1本试卷共4页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题 共39分)一、 选择题：本大题共13小题,每小题3分,共39分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 设全集x x U {=是小于9的正整数}，A=}3,2,1{，则U A ð等于（ ）A.}8,7,6,5,4{B.}8,7,6,5,4,0{C.}9,8,7,6,5,4{D.}9,8,7,6,5,3{ 2. 函数sin 2y x π⎛⎫=+⎪4⎝⎭的周期是（ ） A.πB. 2πC.2π D.4π 3. 已知函数)(x f 是奇函数，它的定义域为{ 1 <<2-1 }x x a ，则a 的值为（ ）A.1-B. 0C.21D. 14. 在同一平面直角坐标系内，2x y =与2log ()y x =-的图象可能是（ ）A .B. C. D.5. 函数32()f x x x =+的零点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36.如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，已知点P 的坐标为(－35，45)， 则tan 2α=（ ）A.2425 B.2425-C.247D.247- 7．函数[]cos ,，y x x π⎛⎫=+∈-ππ ⎪2⎝⎭是（ ）A.增函数B. 减函数C. 偶函数D.奇函数8．把ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为（ ）x B.x C. x D.x9. 函数113sin(),[0,]66y x x ππ=+∈的单调递减区间是（ ） A. ]611,6[ππB . ]6,0[πC.566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. ]34,3[ππ10.若)3cos ()x x x ϕϕ+-∈-ππ，，，则ϕ等于（ ）A. 3π-B.3π C.5π6D.5π-611.已知 220.2log 0.3,log 3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系为（ ） A.a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 12.已知()(2),,(1,)()当时，为增函数f x f x x R x f x =-∈∈+∞(1),(2设，a f b f ==(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>13. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．若不及时处理，打上来的鱼会很快地失去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度. 三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物，它是由细菌分解作用产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）. 已知某种鱼失去的新鲜度h 与时间t （分）满足的函数关系为t a m t h ⋅=)(，若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼会失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始全部失去全部新鲜度（已知lg 2=0.3，结果取整数）（ ） A ．33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟第二部分(非选择题 共61分)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.14. 函数()2f x x =的最小值是．15．已知幂函数)(x f ，它的图象过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么)8(f 的值为 ． 16．函数y =的定义域用集合可表示为 .17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课, 要求学生至少选修一门．某班40名学生均已选课， 班主任统计选课情况如下表，由统计结果分析该班三科都 选报学生有 人.三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分10分)已知函数2,10(),01,1 2.≤，≤，≤≤x x f x x x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩（Ⅰ）求23f ⎛⎫-⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）作出函数的简图；（Ⅲ）由简图指出函数的值域．19. (本题满分10分)已知函数()sin()4f x x π=-.（Ⅰ）若()f α=，求sin cos αα-的值； （Ⅱ）设函数2()2[()]cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的值域.20. (本题满分10分)已知函数()2sin 2,0.63f x x x ππ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭. （Ⅰ）列表，描点，画函数()f x 的简图，并由图象写出函数()f x 的单调区间及最值； （Ⅱ）若()()1212,(),f x f x x x =≠，求()12f x x +的值.21. (本题满分10分)珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工. 单件首饰的原材料成本为25（百元）. 单件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就）与其售价间的关系满足越多，售价也就越高，单件首饰加工时间t（单位：时，t N图1（由射线AB上离散的点构成）. 首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间t （时）与预计订单数的关系满足图2（由线段MN和射线NP上离散的点组成），原则上，单价首饰的加工时间不能超过55小时. 贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的5%，其他成本概不计算.图1 图2（Ⅰ）如果贾某每件首饰加工12小时，预计会有多少件订单；（Ⅱ）设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为S，请写出加工时间t（小时）与利润S之间的函数关系式，并求利润S最大时，预计的订单数.注：利润S =（单件售价材料成本）订单件数贾某工资毛利润=总销售额-材料成本22. (本题满分9分) 已知函数21()11x x xf x x x x --=++-+，()()3g x f x =- . （Ⅰ）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()g x 在(1,)+∞上单调性；（Ⅲ）若22(27)(244)f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 取值范围.东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学参考答案及评分标准 2018.1三、解答题：本大题共5小题，共49分.18. 解：（Ⅰ）2233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；2111224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；-------------------------------------6分 （Ⅱ） 简图如下图所示：-------------------------------------------8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）的图象知，函数的值域是[-2，1]． ------------------------------10分 19．解：（Ⅰ）∵()3f α=. ∴sin()43πα-=. αα=∴ 2sincos 3αα-=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）2()2sin ()cos(2)46g x x x ππ=-++1cos(2)cos(2)26x x ππ=--++11sin 22sin 22x x x =--32sin 212x x =-+ 13(cos 22)12x x =+)13x π=++. ∵ 1cos(2)13，x π-≤+≤∴1)113x π≤++≤∴ 函数()g x的值域为[11.--------------------------------10分20.解：（I ）作出函数f （ 由图象可知，函数f （x ）的单调递增区间是0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦π；单调递减区间是2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ；当6x =π时，()f x 取得最大值1；当23x =π时，()f x 取得最小值-1. ----------------7分 （II ） 若()()1212()f x f x x x =≠，由（I ）中简图知，点()()11,x f x 与点()()22,x f x 关于直线6x =π对称，123x x π∴+=.于是()121sin 2.3362f x x f ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ---------------------------------------10分 21.解：（I ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ ∴(12)125543f =-+=. ----------------------------------------6分（II ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ 售价函数为()2550g t t =+ ∴利润函数为(2550-25)(45)(15%),010;()(2550-25)(55)(15%),1055.t t t S t t t t ⎧++-≤≤=⎨+-+-<≤⎩95(1)(45),010;495(1)(55),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩2295(495),010;495(5455),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪---<≤⎪⎩ 故利润最大时，t =27,此时预计的订单数为28件. ----------------------------------------10分22.解：（I ）函数g (x )为奇函数.证明如下：函数g (x )的定义域:{0,且1,且1},x x x x ≠≠≠-111()()3,11g x f x x x x ---=-=++-+； 111111111(),(),111111g x g x x x x x x x x x x ----=++=++-=++----++--+； ()()g x g x ∴-=-，故()g x 为奇函数. ------------------------------------------------3分（II ）()g x 在(1,)+∞上单调递增.1212+任取，（1，），且x x x x ∈∞<，12111222111111()()()1111则g x g x x x x x x x -------=++-++-+-+1212121111111111x x x x x x ------=-+-+---++121212121212(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ---=++--++ 12121212111()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎣⎦.1212+，（1，）,x x x x ∈∞<12()0,x x ∴-<1210(1)(1)x x >--，1210x x >，1210(1)(1)x x >++， 12()()0,g x g x ∴-<即12()()g x g x <，故()g x 在(1,)+∞上单调递增. ----------6分（III ） 由()()3f x g x =+，故()f x 在(1,)+∞上单调递增.又2276m m -+≥， 22442m m -+≥恒成立，故2227244m m m m -+≥-+，即2230m m --≤，解得13m -≤≤. -----------------------------------9分注：若学生有其他解法，可参考给分.。
2017-2018学年东城区一模(理)数学试卷及答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =- ,{}12B x x x =- 或，则A B = (A) {}32x x - (B) {}31x x -- (C) {}11x x -(D){}11x x - (2）复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b - (C)110a b- (D) 0a b e e --- (4)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则 tan()θπ+的值为 (A)43 (B) 34 (C) 43- (D) 34- (5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是 (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 (A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A ）充分而不必要条件 （B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 (8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理-(27660)
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x x x =-或，则A B =(A) {}32x x - (B) {}31x x --(C) {}11x x - (D) {}11x x -(2）复数1i z i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限(3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C) 110a b - (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则tan()θπ+的值为(A)43(B)34(C)43-(D) 34-(5)设抛物线24y x=上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有(A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}na是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，则“d>0”是“{}nS为递增数列”的(A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为(A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2017届高三上学期期末考试数学文试题
东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）集合{}11Αx x =-<<，{}|(2)0Βx x x =->，那么ΑΒ=（A ）{}|10x x -<< （B ）{}|12x x -<< （C ）{|01}x x << （D ）{|0x x <或2}x > （2）在复平面内，复数i(1i)z =+，那么||z = （A ）1 （B（C ）（D ）2（3）已知实数,x y 满足3,2,2.x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩那么2z x y =+的最小值为（A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5（4）已知函数()sin(),R f x x x ωϕ=+∈ (其中0,ωπϕπ>-<<)的部分图象,如图所示.那么)(x f 的解析式为（A ）()sin()2f x x π=+ （B ）()sin()2f x x π=-（C ）()sin(2)2f x x π=+ （D ）()sin(2)2f x x π=- （5）下列四个命题：①0x ∃∈R ，使200230x x ++=；②命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ，0lg <x ”；③如果,a b ∈R ，且a b >，那么22a b >；④“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是（A ）① （B ）②（C ）③ （D ）④（6）过抛物线24yx =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的 直线（A ）有且仅有一条 （B ）有且仅有两条 （C ）有无穷多条 （D ）不存在（7）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图， 下面三个结论：① 估计样本的中位数为4800元； ② 如果个税起征点调整至5000元，估 计有%50的当地职工会被征税； ③ 根据此次调查，为使%60以上的职 工不用缴纳个人所得税，起征点应 调整至5200元. 其中正确结论的个数有（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（8）对于给定的正整数数列{}n a ，满足1n n n a a b +=+，其中n b 是n a 的末位数字，下列关于数列{}n a 的说法正确的是（A ）如果1a 是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n 必有相同的项； （B ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n 必没有相同的项； （C ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n 只有有限个相同的项； （D ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n 有无穷多个相同的项.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(全优试卷)北京市东城区高三下学期综合练习(一)文科数学Word版含答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1（A（B（C（D（2 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3（A（B（C（D（4是（A （B（C（D（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（A）2（B（C（D） 4（6（A（B（C（D（7同向”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是①该班选择去甲景点游览；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等.（A）①②（B）①③（C）②④（D）③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9_________．（10．（11）在平面直角坐标，始边的终边经过则．（12（13的最大值为．（14）定义：；________.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）（16）（本小题13分）（17）（本小题13分）率；（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．（18）（本小题14分）（19）（本小题共14分）（20）（本小题13分）.东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B（5）C （6）C （7）B （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9（10（11（12（13（14三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）……………6分13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）……………6分（Ⅱ）………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）………5分所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40………10分（Ⅲ）根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为. ………13分CA（18）（共14分）解：（Ⅰ）………5分………10分（Ⅲ）………14分（19）（共13分）………5分………14分（20）（共13分）解：………4分………8分………13分。
北京市东城区2017届高考数学一模试卷(文科) 有答案
2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（ ）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（ ）A．200B．100C．80D．753．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（ ）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（ ）A．B．C．y=2xD．y=﹣2x5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（ ）A．1B．2C．3D．48．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣1，0）D ． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x 2﹣1）+（x﹣1）i 是纯虚数，那么实数x= ．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k= ．11．如果直线l ：y=kx﹣1（k ＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k= ．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是 ；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 ．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC= ， = ．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 公里．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：组号分组频数1[0.5，1）202[1，1.5）403[1.5，2）804[2，2.5）1205[2.5，3）606[3，3.5）407[3.5，4）208[4，4.5）20（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（ ）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：D．2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（ ）A．200B．100C．80D．75【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=，∴x=80．故选：C．3．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（ ）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，∴c＞b＞a．故选：A．4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（ ）A．B．C．y=2xD．y=﹣2x【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心坐标为（0，4），半径长为2．因为直线斜率存在．设直线方程为y=kx，根据圆心到直线的距离等于半径，确定k的值，从而求出直线方程【解答】解：圆心坐标为（0，4），半径长为2．由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意，设直线方程为；y=kx，即kx﹣y=0．则圆心到直线的距离d==r=2化简得：k2=3又∵切点在第二象限，∴∴直线方程为；y=﹣x故选：B．5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（ ）A．（0，2）B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】分别讨论2a﹣3＞1，与＞1，求出a的范围即可．【解答】解：若2a﹣3＞1，解得：a＞2，与a＜0矛盾，若＞1，解得：a＞0，故a的范围是（0，+∞），故选：B．6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，即可判断出结论．【解答】解：cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，即可得出结论．【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故选D．8．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（ ）A．B．C．（﹣1，0）D．【考点】函数的值．【分析】由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得，可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为y2﹣y﹣m=0（其中y=e x），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得﹣＜m＜0；∴满足条件的m的范围是（﹣，0）；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k= 5 ．【考点】程序框图．【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；第二次运行k=3，m=；第三次运行k=4，m=；第四次运行k=5，m=；退出循环．故答案为：5．11．如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，可得k=．故答案为：．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示编码方式1编码方式2码元0码元1信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是 ；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率；进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率．【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，∴发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p1==．发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率p2==．故答案为：，．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC= 2 ， = ﹣6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴BC=2，∴=（﹣）•（﹣）=﹣+•=﹣22+2×2×cos120°=﹣6．故答案为：2，﹣6．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 900 公里．【考点】进行简单的合情推理．【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象过点（，1），可得a的值．利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；根据k的取值，即可得x在（0，π）的减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x．化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．∵图象过点（，1），即1=asin+cos可得：a=1．∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）∴函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由2kπ+2x+，k∈Z．可得：≤x≤，k∈Z．函数f（x）的单调减区间为[，]，k∈Z．∵x∈（0，π）．当k=0时，可得单调减区间为[，]．函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为[，]．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a5，a8，S k成等比数列，得，由此能求出k．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1=9，S3=21．∴，解得d=﹣2，∴a n=9+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+11．（Ⅱ）∵a5，a8，S k成等比数列，∴，即（﹣2×8+11）2=（﹣2×5+11）•[9k+]，解得k=5．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD是平行四边形，可得O为AC中点，又E为PC中点，由三角形中位线定理可得OE∥PA，再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB；（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，再由AD⊥BD，可得AD⊥平面PBD，进一步得到平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）由已知求出平行四边形ABCD的面积，进一步求出高PO，再由体积公式得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC中点，又E为PC中点，∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA，而OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OE∥平面PAB；（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，又AD⊥BD，且BD∩PO=O，∴AD⊥平面PBD，而AD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）由AD⊥BD，且AD=BD，AD=2，∴S四边形ABCD=2×2=4，又PD⊥PB，PO⊥BD，可得PO=，∴．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：组号分组频数1[0.5，1）202[1，1.5）403[1.5，2）804[2，2.5）1205[2.5，3）606[3，3.5）407[3.5，4）208[4，4.5）20（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据分组及频数分布表能求出a，b的值．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率．（Ⅲ）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图求出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．【解答】解：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表知：a==0.2，b==0.6．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8．（Ⅲ）∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%，∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，∴三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义及焦距|F1F2|=2c=2，求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的方程及离心率．（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由S=丨AC丨•丨BD丨=4，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC丨，丨BD丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：|F1F2|=2c=2，c=1，2a=|PF1|+|PF2|=2，a=，b2=a2﹣c2=2，离心率e==，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）当直线l2⊥l1，当斜率不存在时，EF1⊥EF2，此时求得丨EO丨=丨F1F2丨=1，∴E点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E在椭圆W上内部，∴四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ADC=丨AC丨•丨BE丨+丨AC丨•丨DE丨=丨AC丨•丨BD 丨，将x=﹣1代入椭圆方程，求得y=±，此时丨BD丨=，丨AC丨=2，则四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=4，当直线l2，l1都存在时，设直线l1，x=my﹣1，（m≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，则丨AC丨=•=，同理直线l1，x=﹣x+1，同理求得丨BD丨=，∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××，=，==4×，=4（1﹣）＜4，综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l2，l1一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直． 20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）进而得出单调性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．△＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．进而判断出结论．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）时单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递减．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，又g（0）=＞0，因此此时函数g（x）在区间（0，1）内没有零点．②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③当a≤0时，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，解得a＜﹣1．满足条件．综上可得：a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．若上述直线过点（1，1），则：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有两个极值点x1，x2，则a＜，而a=，不合题意，舍去．因此过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线不能过点（1，1）．。
北京市东城区2018届高三第二学期综合练习(一)数学(理)试卷(含答案)
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =-p p ,{}12B x x x =-f f 或，则A B =I (A) {}32x x -p p (B) {}31x x --p p (C) {}11x x -p p (D){}11x x -p p(2）复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈，且a b f ，则下列不等式一定成立的是 (A) 220a b -f (B) cos cos 0a b -f (C)110a b-p (D) 0a b e e ---p (4)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则 tan()θπ+的值为 (A)43 (B) 34(C) 43- (D) 34-(5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有(A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A ）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件(C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(全优试卷)北京市东城区高三4月综合练习(一)(一模)数学(理)试题Word版含答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）,..考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.4.在平面直角坐标,始边,终边与单位圆交于则5.6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。
某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有7.的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.,则10._____.11._____.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.13.a,b,c 为非零向量，能够说明若“⋅⋅a b =a c ，则b =c ”是假命题的一组向的坐标依次为______.14.单位圆的内接正n (3n ≥)边形的面积记为()f n ，则(3)=f ________；的描述：其中正确结论的序号为________（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.15.(本题满分13分)(Ⅰ);(Ⅱ).16.（本小题满分13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率; （Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数（Ⅲ）试判断这100.（只需写出结论）17.（本小题14分）如图1，在边长为2如图2. .所成角的正弦值；.18．（本小题13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，且过点()2,0A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于-19. （本小题满分14分）;.20.（本小题13分）.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）,..考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.{|B x =-2.在第二象限,3.,,b a e e --∴-4.【解析】由正切函数定义可知5.【解析】在抛物线中准线 1.x =-|||||| 1.PF PH PM ==+P 点到|1 3.PM+=故选C6.【答案】C.故选C7.【答案】D不成立..故选D.8.【答案】D【解析】..故选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10.11.【解析】可行域如右图所示：时，z 取最大值，所以6z =.12.【解析】该几何体如图所示：,ABCS= 11ACC A S1132ABCACC A SS+=13.【解析】14.每个三角以④正确.四、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.17.【解析】(Ⅰ)(Ⅱ),,18.【解析】（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60（Ⅱ）由题可知0,1,217.【解析】（Ⅰ）由图1由图2建立如图空间直角坐标系)()()2,0,0,0,0,11,3,0P B ，的法向量为()0,1,0OF = ()13,1BP =--，夹角为θ1OF BP BP OF BP⋅-==⨯⋅21OF m OF=⨯⋅由图知二面角为锐角，∴ 二面角全优试卷1832 =2，3c=22xy+=②当斜率存在时，设，与椭圆联立，由得全优试卷19. 【解析】②成立，单调递增，，.则，因为，所以，所以，当且仅当时取等，因为)，故2的上方.20.【解析】（Ⅰ）..,所以无解..,.。
北京2016-2017东城区一模文科数学试卷与答案
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) （1）如果{}|0R =∈>A x x ，{}0,1,2,3B =，那么集合=B A IA.空集B.{}0C.{}0,1D.{}1,2,3（2）某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为A.200B.100C.80D.75（3）如果4log 1a =，2log 3b =，2log c π=，那么三个数的大小关系是 A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >>D.b c a >>（4）如果过原点的直线l 与圆22(4)4x y +-= 切于第二象限，那么直线l 的方程是A.y =B.y =C.2y x =D.2y x =-（5）设函数30()0.2x x f x x -<=≥⎧，，若()1f a >，则实数a 的取值范围是A.(0,2)B.(0,)+∞C.(2,)+∞D.(,0)-∞∪(2,+)∞ （6） “0cos sin =+αα”是 “cos20α=”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有 A.1 B.2C.3D.4（8）如果函数)(x f y =在定义域内存在区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，那么称)(x f 为“倍增函数”．若函数)ln()(m e x f x+=为“倍增函数”，则实数m 的取值范围是A.),41(+∞-B.)0,21(-C.)0,1(-D.)0,41(-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)（9）如果2(1)(1)i x x -+-是纯虚数，那么实数x = ．（10）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k =___．（11）如果直线l ： 1 (0)y kx k =->与双曲线221169x y -=的一条渐近线平 行，那么k = __ ．（12）“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如下图所示开始结束是 输出 否信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是____；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是____.（13）已知ABC ∆中，=120A ∠︒，且2AB AC ==，那么BC =_______，BC CA =u u u r u u u rg____ ．（14）已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回. 若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠_________公里.三、解答题(共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) （15）（本小题13分） 已知点)1,4(π在函数()2sin cos cos 2f x a x x x =+的图象上.(Ⅰ) 求a 的值和()f x 最小正周期； (Ⅱ) 求函数()f x 在(0,π)上的单调减区间.（16）（本小题13分）已知数列}{n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若139,21a S ==． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若58,k a a S ，成等比数列，求k 的值．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥且=AD BD ，AC BD O =I ,PO ⊥平面ABCD .（I ）E 为棱PC 的中点，求证：//OE 平面PAB ； （II ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；(III) 若PD PB ⊥，=2AD ,求四棱锥P ABCD -的体积.（18）（本小题13分）某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 组号 分组 频数1 [0.5,1） 202 [1,1.5） 403 [1.5,2） 804 [2,2.5） 1205 [2.5,3） 606 [3,3.5） 407 [3.5,4） 20 8[4,4.5） 20（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率； （Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”.假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如右图所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由.ABCDPOAB CDO F 1xy F 2E 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y W a b a b的左右两个焦点为12,F F ，且122F F =，椭圆上一动点P 满足1223PF PF +=（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点1F 作直线1l 与椭圆W 交于点,A C ，过点2F 作直线21l l ⊥，且2l 与椭圆W 交于点,B D ，1l 与2l 交于点E ，试求四边形ABCD 面积的最大值.（20）（本小题14分） 设函数ax x x x f +-=232131)(，R a ∈． (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ，若)(x g 在区间)1,0(内有零点，求a 的取值范围； (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，试讨论过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(，若能，求a 的值；若不能，说明理由．北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5 （11）34 （12）12，38（13）-6（14）810注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解:(Ⅰ) Q 点π(,1)4在函数()f x 的图象上，()=2sin cos cos 14442ππππf a ∴+=.∴ 1.a =()2sin cos cos 2sin 2cos 2)4f x x x x x x πx ∴=+=+=+T π∴=.------------------6分(Ⅱ)由3222242k x k πππ+π++π≤≤, 得 522244k x k +π+π≤≤ππ,588k x k ∴+π+π.≤≤ππ ∴函数()f x 的单调减区间为 5,().88k k k Z ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦ππ∴函数()f x 在(0,π)上的单调减区间为5,.88⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ ------------------ 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）Q 等差数列}{n a 中，139,21a S ==,13321a d ∴+=.97d ∴+=.2.d ∴=-∴数列}{n a 的通项公式为211n a n =-+.------------------6分（Ⅱ）Q 数列}{n a 是等差数列,1=92a d =-，,∴210n S n n =-+. ∴2-k 10k S k =+.211n a n =-+Q , ∴15=a ，85a =-． Q 58k a a S ，，成等比数列， ∴285k a a S =⋅．∴22510k k -=-+（）.即210250k k -+=， 解得5k =.------------------13分（17）（共14分）解：（I ） 因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点，所以//OE PA因为OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//OE 平面PAB ……………………5分（II ） 因为PO ABCD ⊥面，所以PO AD ⊥又BD AD ⊥，BD PO O ⋂=， 所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面，所以PAD PBD ⊥面面 ……………………10分（III ）因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点又PD PB ⊥，2AD BD ==，可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面，所以13P ABCD ABCD V S PO -=g 1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯=g 四边形 ……………………14分（18）（共13分）解答：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表可知，404000.20.5a ==；1204000.60.5b == ……………………4分（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A ，那么20408012060()0.8400P A ++++== ……………………8分（Ⅲ）因为该小区居民月用水量低于这一标准的比例为35%，所以由图可知,小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”. ……………………10分 由图可知，三个月后的该小区人均月用水量为10.1 1.50.1520.25 2.50.330.1 3.50.0540.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2.25 2.5=<所以三个月后该小区达到了“节水小区”标准. ……………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得1c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆W 的标准方程为22132x y +=，离心率c e a == . ……………………4分（Ⅱ）由题意可知12EF EF ⊥，由此可求得121||||12EO F F == 所以E 点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然E 点在椭圆W 的内部所以111||||||||||||222ABC ADC ABCD S S S AC BE AC DE AC BD ∆∆=+=+=g g g 四边形当直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直时，例如AC 为长轴，BD x ⊥轴时 把1x =代入椭圆方程，可求得3y =±||3BD =，又||AC =所以此时1||||42ABCD S AC BD ==g 当直线12,l l 的斜率都存在时，设直线1:1,(0)l x my m =-≠，设1122(,),(,)A x y B x y联立221132x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得22(23)440m y my +--=所以122122423423m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.AC ==同理，由21:1l x x m=-+可求得BD =2222424224242421124(1)||||22(23)(32)24(21)4(6126)4(1)4613661366136ABCDm S AC BD m m m m m m mm m m m m m +===++++++===-<++++++g 四边形综上，四边形ABCD 面积的最大值为4，此时直线12,l l 一条为椭圆的长轴，一条与x 轴垂直.……………………13分（20）（共14分）解析：(Ⅰ) 由ax x x x f +-=232131)(求得a x x x f +-=2)(' 2024)2('-=⇒=+-=∴a a f ，代入)1)(2(2)('2+-=--=x x x x x f令0)('=x f 得21=x ，12-=x),2(),1,(+∞--∞∈∴x 当时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； )2,1(-∈x 当时，0)('<x f ，)(x f 单调递减．……………………4分(Ⅱ) 由32)2121(313221)()(232+++-=+-=ax x a x ax x f x g 求得))(1()1()('2a x x a x a x x g --=++-=1≥∴a 当时，当)1,0(∈x 时，0)('>x g 恒成立，)(x g 单调递增，又032)0(>=g此时)(x g 在区间)1,0(内没有零点；当10<<a 时，当),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增；当)1,(a x ∈时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．又032)0(>=g 此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有0)1(<g ．10212132)2121(310)1(-<⇒<+=+++-⇒<a a a a g无解当0≤a 时，当)1,0(∈x 时，0)('<x g 恒成立，)(x g 单调递减此时欲使)(x g 在区间)1,0(内有零点，必有10)1(-<⇒<a g ．综上，a 的取值范围为)1,(--∞．……………………9分(Ⅲ)不能．原因如下：设)(x f 有两个极值点1x ，2x ，则导函数a x x x f +-=2)('有两个不同的零点410410<⇒>-⇒>∴a a ∆，且1x ，2x 为方程02=+-a x x 的两根 a x x a x x -=⇒=+-1211210111211211112131132)(61326121)(312131)(ax a x ax x ax x a x x ax x x x f +--=+-=+--=+-=∴ a x a x f 61)6132()(11+-=∴ 同理a x a x f 61)6132()(22+-=由此可知过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线方程为a x a y 61)6132(+-=若直线过点)1,1(，则57676561)6132(1=⇒=⇒+-=a a a a前面已经讨论过若)(x f 有两个极值点，则41<a ，显然不合题意．综上，过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线不能过点)1,1(．……………………14分。
2018东城区高中数学理一模及答案
市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习高三数学〔理科〕2018.4本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.〔1〕若集合{|31}A x x =-<<,{|1B x x =<-或2}x >,则A B =〔A 〕{|32}x x -<< 〔B 〕{|31}x x -<<- 〔C 〕{|11}x x -<< 〔D 〕{|12}x x <<〔2〕复数i1iz =-在复平面上对应的点位于 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限〔D 〕第四象限 〔3〕已知,a b R ∈,且a b >,则下列不等式一定成立的是〔A 〕220a b ->〔B 〕cos cos 0a b -> 〔C 〕110a b-< 〔D 〕0a b e e ---< 〔4〕在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55,则tan()θπ+的值为〔A 〕43 〔B 〕34〔C 〕43- 〔D 〕34- 〔5〕设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是 〔A 〕1 〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4〔6〕故宫博物院五一期间同时举办"戏曲文化展"、"明代御窑瓷器展"、"历代青绿山水画展"、"赵孟頫书画展".某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有〔A 〕6种 〔B 〕8种 〔C 〕10种 〔D 〕12种 〔7〕设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和,则"0d>"是"{}n S 为递增数列"的〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔8〕某次数学测试共有4道题目,若某考生答对的题大于全部题的一半,则称他为"学习能手",对于某个题目,如果答对该题的"学习能手"不到全部"学习能手"的一半,则称该题为"难题".已知这次测试共有5个"学习能手",则"难题"的个数最多为〔A 〕4 〔B 〕3 〔C 〕2 〔D 〕1第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.〔 9 〕在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若222a c b ac +=+,则B =． 〔10〕在极坐标系中,圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为． 〔11〕若,x y 满足410,,,x y x y x ≤≤≥-⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =+的最大值为．〔12〕某几何体的三视图如图所示,该几何体 的表面积为____________.〔13〕设平面向量,,a b c 为非零向量．能够说明"若a b =a c ,则b =c "是假命题的一组向量,,a b c 的坐标依次为．〔14〕单位圆的内接正(3)n n ≥边形的面积记为()f n ,则(3)f =_________；下面是关于()f n 的描述:①2()sin2n f n nπ=； ②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤.其中正确结论的序号为__________.〔注：请写出所有正确结论的序号〕 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 〔15〕〔本小题13分〕已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-. <Ⅰ> 求()f x 的最小正周期；<Ⅱ>求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值. 〔16〕〔本小题13分〕从高一年级随机选取100名学生,对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.〔Ⅰ〕从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；〔Ⅱ〕从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为,求的分布列和数学期望()E ；〔Ⅲ〕试判断这100名学生数学成绩的方差a 与语文成绩的方差b 的大小.〔只需写出结论〕 〔17〕〔本小题14分〕如图1,在边长为2的正方形ABCD 中,P 为CD 中点,分别将PAD ,PBC 沿PA ,PB 所在直线折叠,使点C 与点D 重合于点O ,如图2.在三棱锥P OAB -中,E 为PB 的中点． 〔Ⅰ〕求证：PO AB ⊥；〔Ⅱ〕求直线PB 与平面POA 所成角的正弦值； 〔Ⅲ〕求二面角P AO E --的大小.图1 图2 〔18〕〔本小题13分〕已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为2,且过点A <2,0>．<Ⅰ> 求椭圆C 的方程；<Ⅱ> 设M ,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点,且直线AM ,AN 的斜率之积等于－错误!.试问直线MN 是否过定点？若是,求出该点的坐标；若不是,请说明理由．〔19〕〔本小题14分〕 已知函数()e (1)xf x a x =-+.〔I 〕若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0,求a 的值； 〔II 〕若()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围；〔III 〕证明：当0a =时,曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 〔20〕〔本小题13分〕在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的数表中,ij a 表示第i 行第j 列的数,记12i i i in r a a a =+++(1)in ,12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤.若{1,0,1}ij a ∈-(1,)i jn .且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等,则称此表为"n 阶H 表".记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =.〔I 〕请写出一个"2阶H 表"；〔II 〕对任意一个"n 阶H 表",若整数[,]n n λ∈-,且n H λ∉,求证：λ为偶数； 〔III 〕求证：不存在"5阶H 表".市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习〔一〕高三数学参考答案与评分标准 〔理科〕一、选择题〔共8小题,每小题5分,共40分〕 〔1〕B 〔2〕B 〔3〕D 〔4〕A〔5〕C 〔6〕C 〔7〕D 〔8〕D 二、填空题〔共6小题,每小题5分,共30分〕 〔9〕3π〔10〕1〔11〕6 〔12〕12+〔13〕(1,0),(0,1),(0,-1)〔答案不唯一〕 〔14〕4；①③④ 三、解答题〔共6小题,共80分〕 〔15〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕因为22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-)4x π=-.所以()f x 的最小正周期为22π=π. ……………………………………7分 <Ⅱ>因为02x .所以32444x.当242x ,即38x 时,()f x 当244x,即0x时,()f x 取得最小值1.所以()f x 在[0,]2π,最小值为1.………………………13分〔16〕〔共13分〕解：〔I 〕由图知,在被选取的100名学生中,数学和语文成绩均低于60分的有9人,所以从100名学生中随机选取一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为90.09100=. ……………………………………………………………………………………3分〔Ⅱ〕由图知,语文成绩大于80分的学生优10人,这10人中数学成绩高于80分的有4人,所以的所有可能取值为0,1,2.262101(0)3C P C ,11462108(1)15C C P C ,242102(2)15C P C ,所以的分布列为故的数学期望1824()012315155E .……………………………10分 〔Ⅲ〕由图判断,a b . …………………………………………13分〔17〕〔共14分〕证明：〔Ⅰ〕在正方形ABCD 中,P 为CD 中点,PD AD ⊥,PC BC ⊥, 所以在三棱锥P OAB -中,PO OA ⊥,PO OB ⊥. 因为OA OB O =,所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥.……………………4分 〔Ⅱ〕取AB 中点F ,连接OF ,取AO 中点M ,连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ,所以PO ⊥OF ,PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ,F 为AB 的中点, 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG . 如图所示,建立空间直角坐标系O －xyz . A 错误!,B 错误!,P 错误!,M <错误!,错误!,0>． 因为BO ＝BA ,M 为OA 的中点,所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ,PO ⊂平面POA ,所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ,BM ⊂平面OAB , 所以BM ⊥平面POA .因为BM ＝<错误!,－错误!,0>．所以平面POA 的法向量m ＝错误!.BP ＝<1,－错误!,1>．设直线BP 与平面POA 所成角为α,则15sin cos 5BP BPBPm m,m .所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为错误!.………………10分 〔Ⅲ〕由<Ⅱ>知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,OA =. 设平面OAE 的法向量为n ,则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩令1y =-,则x =z =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角,所以它的大小为3.……………………………14分〔18〕〔共13分〕解：〔I〕由已知有2,2a a =⎧=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 椭圆C 的方程为2214x y +=.……………………………4分 〔II 〕若直线MN 斜率存在,设直线MN 方程为y kx n =+.由22,1,4y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得222(14)8440k x knx n +++-=. 当0∆>,设1122(,),(,)M x y N x y ,则122814kn x x k +=-+………..①,21224414n x x k -=+………..②.由12121224AM AN y y k k x x ⋅=⋅=---以与11y kx n =+,22y kx n =+整理,得 221212(14)(42)()(44)0k x x nk x x n ++-+++=.将①,②代入上式,整理,得220n kn +=,解得0n =或2n k =-.当0n =时,直线y kx n =+过(0,0)；当2n k =-时,直线y kx n =+过(2,0)〔舍〕. 若直线MN 斜率不存在,则直线,AM AN 斜率互为相反数.不妨设11,22AM AN k k =-=,于是直线1:(2)2AM y x =--与椭圆交于(0,1)M , 由对称性可知直线AN 与椭圆交于(0,1)N -. 所以直线MN 也过(0,0).综上,直线MN 过定点(0,0).……………………………13分19〕〔共14分〕解：〔I 〕函数()e (1)xf x a x =-+的定义域为R . 因为()e (1)xf x a x =-+,所以'()e xf x a =-.由'(0)10f a =-=得1a =.……………………………4分 〔II 〕'()e (R)x f x a x =-∈. ①当0a >时,令'()0f x =得ln x a =.ln x a <时,'()0f x <；ln x a >时,'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减,在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时,()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. "()0f x ≥恒成立"等价于"()f x 最小值大于等于0",即ln 0a a -≥. 因为0a >,所以01a <≤.②当0a =时,()e 0xf x =>符合题意；③当0a <时,取011x a=-+,则111101()e (11)e 10a a f x a a -+-+=--++=-<,不符合题意.综上,若()0f x ≥对x R ∈恒成立,则a 的取值范围为[0,1].……………………9分 〔III 〕当0a =时,令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->,可求1'()e xh x x=-. 因为121'()e 1002h =-<,'(1)e 10h =->,且1'()e xh x x=-在(0,)+∞上单调递增,所以在〔0,〕上存在唯一的0x ,使得0001'()e 0xh x x =-=,即001e x x =,且112x .当x 变化时,()h x 与'()h x 在〔0,〕上的情况如下：则当0x x =时,()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22xh x x x x =--=+-. 因为01(,1)2x ∈,所以0001()220h x x x =+->=. 所以当0a =时,()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时,曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分 〔20〕〔共13分〕解：〔I 〕……………………3分 〔II 〕对任意一个"n 阶H 表",i r 表示第i行所有数的和,j c 表示第j 列所有数的和〔1,i j n ≤≤〕.1nii r=∑与1njj c=∑均表示数表中所有数的和,所以1n i i r =∑1njj c==∑.1212,,,,,,,n n r r r c c c 只能取[,]n n -内的整数.因为{1,0,1}ij a ∈-,所以又因为1212,,,,,,,n n r r r c c c 互不相等,[,]n n λ∈-且n H λ∉, 所以1212{,,,,,,,,}{,1,,1,0,1,,1,}n n r r r c c c n n n n λ=--+--,所以λ+1ni i r =∑1njj c=+∑(1)(1)01++(1)0n n n n =-+-+++-++-+=.所以λ12ni i r ==-∑为偶数.………………………………………8分〔III 〕假设存在一个"5阶H 表",则由〔II 〕知55,5,3,3H --∈,且54H ∈和54H -∈至少〔答案不唯一〕有一个成立,不妨设54H ∈.设125,5r r ==-,则121,1(15)j j a a j ==-≤≤,于是3(15)j c j ≤≤≤,因而可设34r =,313233341a a a a ====,350a =.①若3是某列的和,由于52c ≤,故只能是前四列某列的和,不妨设是第一列,即41511a a ==.现考虑3-,只能是4r 或5r ,不妨设43r =-,即424344451a a a a ====-,由234,,c c c 两两不等知525354,,a a a 两两不等,不妨设5253541,0,1a a a =-==,若551a =-则530r c ==；若550a =则541r c ==；若551a =则530c c ==,均与已知矛盾.②若3是某行的和,不妨设43r =,则第4行至少有3个1,若这3个1是前四个中某三个数,不妨设4142431a a a ===,则第五行前三个数只能是3个不同的数,不妨设5152531,0,1a a a =-==,则343c r ==矛盾,故第四行只能前四个数有2个1,第五个数为1,不妨设41424344450,1a a a a a =====,所以53r =-,第五行只能是2个0,3个1-或1个1,4个1-.则515255,,a a a 至少有两个数相同,不妨设5152a a =,则12c c =与已知矛盾. 综上,不存在"5阶H 表".………………………………………13分。
2017-2018北京市东城区高三数学理科一模试题及答案
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学 （理科）本试卷共4页第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则A B =（A ）{|32}x x -<< （B ）{|31}x x -<<- （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数i1iz =-在复平面上对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 （3）已知,a b R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）220a b ->（B ）cos cos 0a b ->（C ）110a b-< （D ）0a b e e ---<（4）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()θπ+的值为（A ）43（B ）34（C ）43- （D ）34-（5）设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有（A ）6种（B ）8种（C ）10种（D ）12种（7）设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d>”是“{}n S 为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 （A ）4（B ）3（C ）2（D ）1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(全优试卷)北京市东城区高三数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（）A．200 B．100 C．80 D．753．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（）A．B． C．y=2x D．y=﹣2x5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如果函数y=f （x ）在定义域内存在区间[a ，b ]，使f （x ）在[a ，b ]上的值域是[2a ，2b ]，那么称f （x ）为“倍增函数”．若函数f （x ）=ln （e x +m ）为“倍增函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣1，0）D ．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x 2﹣1）+（x ﹣1）i 是纯虚数，那么实数x= ． 10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k= ．11．如果直线l ：y=kx ﹣1（k ＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k= ．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是 ；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是 ．13．已知△ABC 中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC= ，= ．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠 公里．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．已知点（，1）在函数f （x ）=2asinxcosx +cos2x 的图象上．（Ⅰ） 求a 的值和f （x ）最小正周期；（Ⅱ） 求函数f （x ）在（0，π）上的单调减区间．16．已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，若a 1=9，S 3=21． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 5，a 8，S k 成等比数列，求k 的值．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，AD ⊥BD 且AD=BD ，AC ∩BD=O ，PO ⊥平面ABCD ．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F1作直线l1与椭圆W交于点A，C，过点F2作直线l2⊥l1，且l2与椭圆W交于点B，D，l1与l2交于点E，试求四边形ABCD面积的最大值．20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．2017年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．如果A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，那么集合A∩B=（）A．空集B．{0}C．{0，1}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={x∈R|x＞0}，B={0，1，2，3}，∴集合A∩B={1，2，3}．故选：D．2．某高校共有学生3000人，新进大一学生有800人．现对大学生社团活动情况进行抽样调查，用分层抽样方法在全校抽取300人，那么应在大一抽取的人数为（）A．200 B．100 C．80 D．75【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：设大一抽取的人数为n人，则用分层抽样的方法可得=，∴x=80．故选：C．3．如果a=log41，b=log23，c=log2π，那么三个数的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log41=0，1＜b=log23＜c=log2π，∴c＞b＞a．故选：A．4．如果过原点的直线l与圆x2+（y﹣4）2=4切于第二象限，那么直线l的方程是（）A．B． C．y=2x D．y=﹣2x【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心坐标为（0，4），半径长为2．因为直线斜率存在．设直线方程为y=kx，根据圆心到直线的距离等于半径，确定k的值，从而求出直线方程【解答】解：圆心坐标为（0，4），半径长为2．由直线过原点，当直线斜率不存在时，不合题意，设直线方程为；y=kx，即kx﹣y=0．则圆心到直线的距离d==r=2化简得：k2=3又∵切点在第二象限，∴∴直线方程为；y=﹣x故选：B．5．设函数若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】分别讨论2a﹣3＞1，与＞1，求出a的范围即可．【解答】解：若2a﹣3＞1，解得：a＞2，与a＜0矛盾，若＞1，解得：a＞0，故a的范围是（0，+∞），故选：B．6．“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，即可判断出结论．【解答】解：cos2α=0⇔（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0⇔（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．7．如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，即可得出结论．【解答】解：由三视图，可得直观图是四棱锥，底面是正方形，有一侧棱垂直于底面，则四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故选D．8．如果函数y=f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f（x）为“倍增函数”．若函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，0）D．【考点】函数的值．【分析】由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域且是增函数；可得，可以转化为方程e2x﹣e x﹣m=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+m）为“倍增函数”，且满足存在[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即；∴方程e2x﹣e x﹣m=0可化为y2﹣y﹣m=0（其中y=e x），∴该方程有两个不等的实根，且两根都大于0；即，解得﹣＜m＜0；∴满足条件的m的范围是（﹣，0）；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．如果（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，那么实数x=﹣1．【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵（x2﹣1）+（x﹣1）i是纯虚数，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．10．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=5．【考点】程序框图．【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；第二次运行k=3，m=；第三次运行k=4，m=；第四次运行k=5，m=；退出循环．故答案为：5．11．如果直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，那么k=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线l：y=kx﹣1（k＞0）与双曲线的一条渐近线平行，可得k=．故答案为：．12．“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率；进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率．【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，∴发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p1==．发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率p2==．故答案为：，．13．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC=2，=﹣6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴BC=2，∴=（﹣）•（﹣）=﹣+•=﹣22+2×2×cos120°=﹣6．故答案为：2，﹣6．14．已知甲、乙、丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回．若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠900公里．【考点】进行简单的合情推理．【分析】因为要求最远，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的食物返回；甲独自前进18天后返回，甲一共走了30天，他们每天向沙漠深处走30千米，据此解答即可．【解答】解：因为要求最远，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，3人一起出发．12天后两人都只剩24天的食物．乙、丙分给甲12+12=24天的食物后独自带12天的水和食物返回．则甲有的食物：36﹣12+12+12=48（天）甲再走：（48﹣12）÷2=18（天）30×（12+18）=900公里．故答案为900．三、解答题（共6小题，共80分.答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．已知点（，1）在函数f（x）=2asinxcosx+cos2x的图象上．（Ⅰ）求a的值和f（x）最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在（0，π）上的单调减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，图象过点（，1），可得a的值．利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；根据k的取值，即可得x在（0，π）的减区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2asinxcosx+cos2x．化解可得：f（x）=asin2x+cos2x．∵图象过点（，1），即1=asin+cos可得：a=1．∴f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）∴函数的最小正周期T=．（Ⅱ）由2kπ+2x+，k∈Z．可得：≤x≤，k∈Z．函数f（x）的单调减区间为[，]，k∈Z．∵x∈（0，π）．当k=0时，可得单调减区间为[，]．函数f（x）在（0，π）上的单调减区间为[，]．16．已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，若a1=9，S3=21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a5，a8，S k成等比数列，求k的值．【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列前n项和公式求出d=﹣2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a5，a8，S k成等比数列，得，由此能求出k．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1=9，S3=21．∴，解得d=﹣2，∴a n=9+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+11．（Ⅱ）∵a5，a8，S k成等比数列，∴，即（﹣2×8+11）2=（﹣2×5+11）•[9k+]，解得k=5．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD⊥BD且AD=BD，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD．（I）E为棱PC的中点，求证：OE∥平面PAB；（II）求证：平面PAD⊥平面PBD；（III）若PD⊥PB，AD=2求四棱锥P﹣ABCD体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由四边形ABCD是平行四边形，可得O为AC中点，又E为PC中点，由三角形中位线定理可得OE∥PA，再由线面平行的判定可得OE∥平面PAB；（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，再由AD⊥BD，可得AD⊥平面PBD，进一步得到平面PAD⊥平面PBD；（Ⅲ）由已知求出平行四边形ABCD的面积，进一步求出高PO，再由体积公式得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC中点，又E为PC中点，∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA，而OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OE∥平面PAB；（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD，又AD⊥BD，且BD∩PO=O，∴AD⊥平面PBD，而AD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD；=2×2=4，（Ⅲ）由AD⊥BD，且AD=BD，AD=2，∴S四边形ABCD又PD⊥PB，PO⊥BD，可得PO=，∴．18．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据分组及频数分布表能求出a，b的值．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率．（Ⅲ）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图求出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．【解答】解：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表知：a==0.2，b==0.6．（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8．（Ⅲ）∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%，∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，∴三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．19．已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆上一动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程及离心率；（Ⅱ）如图，过点F 1作直线l 1与椭圆W 交于点A ，C ，过点F 2作直线l 2⊥l 1，且l 2与椭圆W 交于点B ，D ，l 1与l 2交于点E ，试求四边形ABCD 面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义及焦距|F 1F 2|=2c=2，求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=2，即可求得椭圆的方程及离心率．（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由S=丨AC 丨•丨BD 丨=4，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式分别求得丨AC 丨，丨BD 丨根据函数的单调性即可求得四边形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：|F 1F 2|=2c=2，c=1，2a=|PF 1|+|PF 2|=2，a=，b 2=a 2﹣c 2=2，离心率e==，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）当直线l 2⊥l 1，当斜率不存在时，EF 1⊥EF 2，此时求得丨EO 丨=丨F 1F 2丨=1，∴E 点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点E 在椭圆W 上内部，∴四边形ABCD 面积S=S △ABC +S △ADC =丨AC 丨•丨BE 丨+丨AC 丨•丨DE 丨=丨AC 丨•丨BD 丨，将x=﹣1代入椭圆方程，求得y=±，此时丨BD 丨=，丨AC 丨=2，则四边形ABCD 面积S=丨AC 丨•丨BD 丨=4，当直线l 2，l 1都存在时，设直线l 1，x=my ﹣1，（m ≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（2m2+3）y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，则丨AC丨=•=，同理直线l1，x=﹣x+1，同理求得丨BD丨=，∴四边形ABCD面积S=丨AC丨•丨BD丨=××，=，==4×，=4（1﹣）＜4，综上可知四边形ABCD面积的最大值4，此时直线l2，l1一条为椭圆的长轴，一条与x轴垂直．20．设函数，a∈R．（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）已知函数，若g（x）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设f（x）有两个极值点x1，x2，试讨论过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线能否过点（1，1），若能，求a的值；若不能，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）f′（x）=x2﹣x+a，由x=2是f（x）的极值点，可得f′（2）=0，解得a=﹣2．代入f′（x）进而得出单调性．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．对a与1的大小关系分类讨论可得a的取值范围．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．△＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，可得f（x1）=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．进而判断出结论．【解答】解：（I），a∈R．f′（x）=x2﹣x+a，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=4﹣2+a=0，解得a=﹣2．代入f′（x）=x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），令f′（x）=0，解得x=﹣1，或x=2．令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，∴f（x）在x∈（﹣∞，﹣1），（2，+∞）时单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2，∴f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递减．（II）=﹣+ax+，g′（x）=x2﹣（1+a）x+a=（x﹣1）（x﹣a）．①当a≥1时，x∈（0，1）时，g′（x）＞0恒成立，g（x）单调递增，又g（0）=＞0，因此此时函数g（x）在区间（0，1）内没有零点．②当0＜a＜1时，x∈（0，a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，∴（1+a）+a+＜0，解得a＜﹣1．舍去．③当a≤0时，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（0）=＞0，因此要使函数g（x）在区间（0，1）内有零点．必有g（1）＜0，解得a＜﹣1．满足条件．综上可得：a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．（III）不能，原因如下：设f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=x2﹣x+a有两个不同的零点．∴△=1﹣4a＞0，解得a＜，且x1，x2，为方程x2﹣x+a=0的两根．则﹣x1+a=0，可得=x1﹣a，∴f（x1）=﹣+ax1=﹣+ax1=+=﹣（x1﹣a）+=x1+a，同理可得：f（x2）=x2+a．由此可得：过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线方程为：y=x+a．若上述直线过点（1，1），则：1=+a．解得a=．上述已知得出：若f（x）有两个极值点x1，x2，则a＜，而a=，不合题意，舍去．因此过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线不能过点（1，1）．2017年4月25日。
北京市东城区2017-2018学年高三数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜43．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，54．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．45．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B． C．3 D．7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3 B．6 C．9 D．128．已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为______．（用数字作答）10．已知等比数列{a n}中，a2=2，a3•a4=32，那么a8的值为______．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA=______；AP=______．12．若，且，则sin2α的值为______．14．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是______；当时，c的值是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．20．数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i=1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n=1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0求得a的值．【解答】解：∵i•（1+ai）=﹣a+i为纯虚数，∴﹣a=0，即a=0．故选：B．2．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（）A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由x2﹣5x＜0，可得B=（0，5），再利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5，∴B=（0，5），∵A∩B=B，∴a≥5．则a的取值范围是a≥5．故选：A．3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×=9，中级职称人数为30×=18，初级职称人数为30×=3．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=1，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，故S=2，k=4，当k=4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C5．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（）A．B．1 C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】分别得出直角坐标方程，求出圆心（0，0）到直线的距离d．即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2．【解答】解：直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程：x﹣y+1=0．曲线ρ=1即x2+y2=1．∴圆心（0，0）到直线的距离d=．∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=．故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2 B． C．3 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．∴最长的棱为PD，PD==3．故选：C．7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|，可得b=．【解答】解：设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），可得：c=6，2a=|PF1|+|PF2|=+=6，解得a=3．∴b===3．∴椭圆的短轴长为6．故选：B．8．已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，1与2夹角为．平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成，其中，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，写出、的坐标，根据=λ+μ写出的坐标表示，利用向量相等列出方程组，求出点P的坐标满足的约束条件，画出对应的平面区域，计算平面区域的面积即可．【解答】解：以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，则=（1，0），=（cos，sin）=（，），又=λ+μ=（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设=（x，y），则（x，y）=（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A（，），B（1，0）；所以阴影部分区域D的面积为S=×1×=．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在的展开式中，x3的系数值为20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：T r+1=（2x）5﹣r=25﹣3r x5﹣2r．令5﹣2r=3，解得r=1．∴T4=x3=20x3．故答案为：20．10．已知等比数列{a n}中，a2=2，a3•a4=32，那么a8的值为128．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a3•a4=32，∴a1q=2，=32，解得a1=1，q=2．那么a8=27=128．故答案为：128．11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA=；AP=．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明△OAC是等边三角形，得到∠COA=，利用OA=1，可求AP．【解答】解：由题意，OA⊥AP．∵CP=AC，∴∠P=∠CAP，∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC，∴∠AOP=∠OAC，∴AC=OC，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA=，∵OA=1∴AP=故答案为：，12．若，且，则sin2α的值为．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可解得sin2α的值．【解答】解：∵=（cosα﹣sinα），∴cosα﹣sinα=＞0，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴sin2α=．故答案为：．在最合理的安排下，获得的最大利润的值为62．【考点】简单线性规划．【分析】运送甲x件，乙y件，利润为z，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z=8x+10y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x+10y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z=8×4+10×3=32+30=62，故答案为：6214．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是[﹣1，1] ；当时，c的值是﹣2．【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质．【分析】当0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=∈（0，1），进而将x0=1和代入，结果斜率公式分类讨论可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=|lnx|，当0＜x＜1时，f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣∈（﹣∞，﹣1），当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=∈（0，1），①当x0=1时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）当0＜x＜1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≤c，则c≥﹣1，当x＞1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≥c，则c≤1，故c∈[﹣1，1]；②当x0=时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（）≥c（x﹣）当0＜x＜时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≤c，则c≥f′（）=﹣2，当＜x＜1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤f′（）=﹣2，当x＞1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤1，故c=﹣2，故答案为：[﹣1，1]，﹣2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在△ABC中，，AC=2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离．【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用诱导公式求得cosC，可得C的值，咋利用余弦定理求得AB的长度．（Ⅱ）由f（x）=sin（2x+C），求得x1、x2的值，可得|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴C=45°．∵，AC=2，∴=4，∴AB=2．（Ⅱ）由，解得或，k∈Z，解得，或，k1，k2∈Z．因为，当k1=k2时取等号，所以当时，相邻两交点间最小的距离为．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC=90°，A1A=1，，AC=2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】（I）由AC⊥AB，AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1，于是AC⊥A1B；（II）以A为原点建立坐标系，求出和的坐标，计算cos＜＞即可得出直线EF与A1B所成的角；（III）求出和平面EFG的法向量，则sin∠HA1A=|cos＜，＞|．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥AA1．∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB．又A1A⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB=A，∴AC⊥平面A1ABB1．∵A1B⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1B．（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz，如图所示：则A1（0，0，1），，，．∴，．∴．直线EF与A1B所成的角为45°．（Ⅲ），，．=（0，0，1）．设平面GEF的法向量为=（x，y，z），则，∴令，则．∴cos＜＞==．∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角，∴sin∠HA1A=|cos＜＞|=．∴∠HA1A=．17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【考点】计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）求出三场比赛的种数，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛，分别求出按不同顺序比赛时，第三场比赛等待的时间，再根据平均数的定义即可求出，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18．设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）a=1时得出f（x），进而得到f′（x）=e x﹣1，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可以由f（x）＞0恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断g（x）在（0，+∞）上单调递减，这便可得到g（x）＜1，从而便可得出a的取值范围；（Ⅲ）容易得到等价于e x﹣xe x﹣1＞0，可设h（x）=e x﹣xe x﹣1，求导数，并根据上面的f（x）＞0可判断出导数h′（x）＞0，从而得到h（x）＞h（0）=0，这样即可得出要证明的结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=e x﹣x﹣1，f'（x）=e x﹣1；令f'（x）=0，得x=0；∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；即a=1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调赠区间为[0，+∞）；（Ⅱ）∵e x＞0；∴f（x）＞0恒成立，等价于恒成立；设，x∈（0，+∞），；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=1；∴a≥1；∴a的取值范围为[1，+∞）；（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，等价于e x﹣xe x﹣1＞0；设h（x）=e x﹣xe x﹣1，x∈（0，+∞），；由（Ⅱ）知，x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立；∴；∴h′（x）＞0；∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；∴x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0；因此当x∈（0，+∞）时，．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．与抛物线方程联立可得：，由直线OA与OB的斜率之积为﹣p，即．可得：x1x2=4．利用根与系数的关系即可得出．（II）利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：直线OD的方程为，代入抛物线C：y2=8x的方程，解出即可得出．【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得x1x2=4．由，化为，其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x1+x2=，x1x2=．∴p=4，抛物线C：y2=8x．（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，∴，．∴直线OD的斜率为．直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，得．∴．∵k2＞0，∴．20．数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i=1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n=1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由数列{a n}通项公式分别气的前5项，代入即可求得V（5），（Ⅱ）充分性：由，数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，去掉绝对值求得V（m）=a﹣b，再证明必要性，采用反证法，假设数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，求得=|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b，与已知矛盾，即可证明V（m）=a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）由当丨a i+1﹣a i丨=0时，即数列{a n}为常数列，V（m）=0，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4，当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4=m2．【解答】解（Ⅰ），a1=﹣1，a2=1，a3=﹣1，a4=1，a5=﹣1，V（5）=丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨=2+2+2+2=8，V（5）=8．…（Ⅱ）充分性：若数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，﹣a m）此时有：=（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+（a3﹣a4）+…+（a m﹣1=a1﹣a m=a﹣b．必要性：反证法，若数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，那么：=丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨≥丨a i﹣a1丨+（a i+1﹣a i）+丨a m﹣a i+1丨，=丨a m﹣a i+a i﹣a i+1丨+（a i+1﹣a i），=丨a﹣b+a i+′﹣a i丨+（a i+1﹣a i），由于a i+1＞a i，a＞b，∴|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b．与已知矛盾．…（III）最小值为0．此时{a n}为常数列．…最大值为，当m=2时的最大值：此时a1+a2=4，（a1，a2≥0），…11分|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4．当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4=m2．由|x﹣y|≤|x|+|y|易证，{a n}的值的只有是大小交替出现时，才能让V（m）取最大值．不妨设：a i+1≤a i，i为奇数，a i+1≥a i，i为偶数．当m为奇数时有：，=a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+a m﹣a m，﹣1=a1﹣a m+2a i﹣4a2i≤2a i=2m2，当m为偶数时同理可证．…2016年9月20日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （文科）
学校_____________班级_____________________________考号___________
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若集合{|31}A x x =-<<，{|1B x x =<-或2}x >，则A
B =
（A ）{|31}x x -<<- （B ）{|32}x x -<< （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << （2）复数i
1i
z =
-在复平面对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
则y x -的最大值为
（A ）2- （B ）1-
（C ）2
（D ）4
（4）执行如图所示的程序框图，如果输出的S 值为30，那么空白的判断框中应填入的条件
是
（A ）2n ≤ （B ）3n ≤ （C ）4n ≤ （D ）5n ≤
（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
（A ）2
（B ）22
（C ）32
（D ） 4
（6）函数4
()2x f x x
=-的零点所在区间是 （A ）1(0,)2
（B ）1(,1)2
（C ）3(1,)2
（D ）3(,2)2
（7）已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()⋅=⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（8）为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都游学．在某景区，由于时间关
系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说确的是 ①该班选择去甲景点游览； ②乙景点的得票数可能会超过9；
③丙景点的得票数不会比甲景点高； ④三个景点的得票数可能会相等.
（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）命题“x ∀∈R ，e 0x
>”的否定是_________．
（10）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点坐标为1(,0)4
，则p =_______．
（11）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边的角θ的终边经过点34(,)55
，则
sin θ=_______，tan 2θ=_________．
（12）已知圆2
2
(1)1x y -+=上的点到直线2y kx =-的距离的最小值为1，则实数
k = ．
（13）已知实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为 ．
（14）定义：函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的差为()f x 在区间[,]a b 上的极
差，记作(,)d a b .
①若2
()22f x =x x -+，则(1,2)d =________； ②若()m
f x =x+
x
，且(1,2)|(2)(1)|d f f ≠-，则实数m 的取值围是________.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且36a =-，56S S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足12b a =，23b S =，求{}n b 的前n 项和．
（16）（本小题13分）
函数()sin()(0,)22
f x x ωϕωϕππ
=+>-<<的部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象， 令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的单调递增区间．
A
某从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的
概率；
（Ⅲ）估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．
（18）（本小题14分）
如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=，ED ⊥平面ABCD ，
22ED AD EF ===，EF ∥AB ，M 为BC 中点．
（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：AC BE ⊥；
（Ⅲ）若G 为线段
BE 上的点，当三棱锥G BCD -时，求BG
BE
的值．
频率
组距年龄
a 0.005
0.030.02
0.01
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴长为
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N ．
求证：过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点．
（20）（本小题13分）
已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R .
（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当2a=时，求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2
π上有唯一解，求a 的取值围.。