人教A版《空间直线、平面的平行》完美版PPT1
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8.5空间直线、平面的平行课件(人教版)(1)
论：过直线a的平面β与平面α相交于b，则a∥b.
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
【解析】 已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b⊂α.
因为a∥α，
所以a与b无公共点．
又a⊂β，b⊂β，
所以a∥b.
解析
表示定理
直线与平面
平行的
性质定理
图形
文字
符号
一条直线与一个平面平
解析
思考2►►►
如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么
位置关系？
【解析】 无数个，a∥b.
解析
思考3►►►
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平
面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结
D的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解：(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
1
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=2DC.
因为AB∥DC,CD=,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,所以AE∥平面PBC.
MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,
C.四边形MNEF为平行四边形
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.
D.A1B1∥NE
故选B.
变式
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
【解析】 已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b⊂α.
因为a∥α，
所以a与b无公共点．
又a⊂β，b⊂β，
所以a∥b.
解析
表示定理
直线与平面
平行的
性质定理
图形
文字
符号
一条直线与一个平面平
解析
思考2►►►
如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么
位置关系？
【解析】 无数个，a∥b.
解析
思考3►►►
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平
面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结
D的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解：(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
1
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=2DC.
因为AB∥DC,CD=,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,所以AE∥平面PBC.
MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,
C.四边形MNEF为平行四边形
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.
D.A1B1∥NE
故选B.
变式
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：
《直线、平面平行的判定及其性质》PPT课件人教版1
2 . 2 . 2 平 面 与平面 平行的 判定2. 2 直 线 、平面 平行的 判定及 其性质 第二章 点 、直 线、平 面之间 的位置 关系
问题3
平面α内有两条相交直线 a , b 平行平
面β, 则α∥ β吗?
模型 验证
2 . 2 . 2 平 面 与平面 平行的 判定2. 2 直 线 、平面 平行的 判定及 其性质 第二章 点 、直 线、平 面之间 的位置 关系
则α∥ β 吗? 请举例说明。
问题2 平面α内有两条直线 a , b 平行平面
β, 则α∥ β 吗? 请举例说明。
模型２
a // β
α
b// β
a
a // b
b
β
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
2 . 2 . 2 平 面 与平面 平行的 判定2. 2 直 线 、平面 平行的 判定及 其性质 第二章 点 、直 线、平 面之间 的位置 关系
符号语言
//
a
b
a'
b'
图形语言
2 . 2 . 2 平 面 与平面 平行的 判定2. 2 直 线 、平面 平行的 判定及 其性质 第二章 点 、直 线、平 面之间 的位置 关系
线面平行 转 化 线线平行？
2 . 2 . 2 平 面 与平面 平行的 判定2. 2 直 线 、平面 平行的 判定及 其性质 第二章 点 、直 线、平 面之间 的位置 关系
1.线面平行是否可用其它条件代替？ 变式探究
推论 如果一个平面内有两条 相交 直线分别 平行于另一个平面，内那的么两这直两线个，平那面么平这行两。
a
//
b
a'
可用什么 条件代替？
新教材高中数学第一章第2课时空间中直线平面的平行pptx课件新人教A版选择性必修第一册
证明：方法一 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.
方法二 RS＝RC + CS
1
1
＝ DC − DA + DD1 ，
2
2
1பைடு நூலகம்
2
1
2
PQ＝PA1 ＋A1 Q＝ DD1 ＋ DC − DA，
∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.
2
3
－ )，则l1，l2的位置关系是(
)
2
A．垂直
C．平行
B．重合
D．平行或重合
答案：D
1
3
解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝ − ， − 1， − ，
2
2
所以v1＝－2v2，即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，
种，应进一步考查．
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，
AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的
中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3 利用空间向量证明面面平行
例3 已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BC
＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，
C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.
方法二 RS＝RC + CS
1
1
＝ DC − DA + DD1 ，
2
2
1பைடு நூலகம்
2
1
2
PQ＝PA1 ＋A1 Q＝ DD1 ＋ DC − DA，
∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.
2
3
－ )，则l1，l2的位置关系是(
)
2
A．垂直
C．平行
B．重合
D．平行或重合
答案：D
1
3
解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝ − ， − 1， − ，
2
2
所以v1＝－2v2，即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，
种，应进一步考查．
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，
AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的
中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3 利用空间向量证明面面平行
例3 已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BC
＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，
C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
数学人教A版(2019)必修第二册8.5.2直线与平面平行(共24张ppt)
公共点
有无数个公共点
没有公共点
有且只有一个公共点
符号表示
图形表示
如何判定直线与平面平行？ 利用定义判断直线与平面平行容易吗？
根据定义，只需判定直
线与平面有没有公共点.
你能想到更简单的判断方法吗？
直观感知
观察1 门扇的两边是平行的. 当门扇绕着
一边转动时，另一边与墙面有公共点吗?
此时门扇转动的一边与墙面平行吗?
E
连接BD，交AC于点O，连接EO.
∵点E，O分别是DD1，DB的中点，
∴BD1//EO，
又BD1 平面AEC，BD1⊂平面AEC，
∴BD1//平面AEC.
B1
A1
D
C
O
A
B
巩固练习
3. 四棱锥S—ABCDE中，O为底面正方形ABCD对角线的交点, M为SC的
中点. 求证: SA//平面BDM.
没有公共点，因此平行
在门扇的旋转过程中:
• 直线a在门框所在的平面α外
a
α
b
• 直线b在门框所在的平面α内
• 直线a与b始终是平行的
推出：直线a与平面α平行
追问 若将门扇再次关上，门扇转动的一边与墙面平行吗？
不平行
直观感知
观察2 将一块矩形硬纸板ABCD平放在
桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在
转动的过程中（AB离开桌面），DC的
a
b
α
简述为：线线平行线面平行
空间问题
平面问题
新知讲解
直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行的依据.
定理告诉我们，可以通过直线间的平行，可以得到直线与平面平行. 这
是处理空间位置关系的一种常用方法.定理的实质就是将直线与平面的平
1.4空间中直线、平面的平行课件(人教版)
跟踪训练 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 梯 形 ，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA₁=2,F
中，底面ABCD 为等腰 是棱AB的中点.
求证：平面AA₁D₁D//平面FCC₁ .
证 明 因 为AB=4,BC=CD=2,F
是棱AB 的中点，
所以BF=BC=CF,
所以△BCF 为正三角形.
所在直线为x轴 ，y轴 ，
则AE,FCi,EC,AF
分别为直线 AE,FC,EC₁,AF
的方向向量，
不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),
,C₁(0,1,1),
■
∴AE=FC₁,EC₁=AF, ∴AE//FC₁,EC₁//AF,
又∵FEAE,F∈EC₁,
∴AE//FC1,EC₁//AF,
∴四边形AEC₁F是平行四边形.
轴建立空间
设 E(0,y,z), 则PE=(0,y,z-1),PD=(0,2,
一1).
∵PE//PD,
∴—y-2(z—1)=0.
①
∵AD=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，CE=(-1,y-1,z), ∴由CE// 平面PAB, 可得CE⊥AD.
∴(一1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y—1)=0. ∴y=1, 代入①式得
BC的中点.求证：MN//RS.
证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得
N(0,2,2),R(3,2,0),
则MN,RS 分别为MN,RS 的方向向量，
所
,2,2),
7
所以MN=RS, 所以MN//RS, 因 为M≠RS, 所以MN//RS.
方法二设 AB=a,AD=b,AA₁=c,
所以MN=Rs, 所以MN//RS.
8.5空间直线、平面的平行(1)PPT课件(人教版)
形,BD∩AC=G,∴G是BD的中点.又∵E是
BB1的中点,∴DB1∥GE.又DB1⊄平面
ACE,GE⊂平面ACE,∴B1D∥平面ACE.
变式 (1)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,M为棱PC的中点.
求证:(1)BC∥平面PAD;
(2)AP∥平面MBD.
证明:(1)因为四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面
意可知四边形ABC1D1为平行四边形,则AD1∥BC1.又AD1∥EF,所以EF∥BC1.因
为EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.显然正方体的其
余4个面都不与EF平行.故选B.
变式 (3)如图所示,四棱锥S - ABCD的底面是平行四边
形,M,N分别是SA,BD上的点,且 = .求证:MN∥平面
SBC.
证明:连接AN并延长,使之交BC于点P,连接SP.因为AD∥BC,所以 = .又
= ,所以 = ,所以MN∥SP.
因为MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC,所以MN∥平面SBC.
小结
1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的一般步骤
解析
思考►►►
如何判定一条直线与一个平面平行？
【解析】 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面
平行．
解析
直线与平面平行的判定定理：
表示定理
直线与平面
平行的
判定定理
图形
文字
符号
如果平面外一条直线
a⊄α，
与此平面内的一条直
b⊂α，
线平行，那么该直线
1-4-1第二课时 空间中直线、平面的平行(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.面面平行的向量表示
n1
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
α
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2．
n2
β
1．直线的方向向量不是唯一的，解题时，最好选取坐标 较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互 相平行．
2．用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重 合；证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；证明面面 平行时，必须说明两个平面不重合．
Pz
[证明] 因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为
EF
正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，
A
Dy
所A所D以示，A的ABP空，所间A在P直，直角A线坐D分两标别两系为垂，x直轴则，、A(以0y轴,0A,为、0)，坐z轴B标，(2原,建0点,0立)，，如A图B，所以x BP→B＝(2,0C，G－2)，
因此 －－xy－＋y＋(1z－＝m0，) z＝0，取z＝1，则n2＝(m,1－m,1)．
因此m1 ＝1－1 m
要使平面D1BQ∥平面PAO， 需满足n1∥n2，
因此m1 ＝1－1 m＝21，解得
m＝1，这时 2
Q(0,1,12
)．
故当Q为CC这1的时中Q点(0时,1，,1 平)．面D1BQ∥平面PAO． 2
，)
B(1,1,0)
，
z
D1(D01,0,1)
，
则C1
AP(1(0,0,0,0,1)
， )
B(1,1,0)
，
D1(0,0,1)
，
则
方QA法((01,1,10，：,0m)因，)．为BO(→1P,1＝,0()－，A112D1,P(－0,120,1,12) ，B)，1则Q
空间向量研究直线、平面的平行(18张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
所以AEl/FG.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
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2024课件
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解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
8.5.1空间直线、平面的平行课件(人教版)
那么该直线与交线平行.
符号表示 // , ⊂ ， ∩ = //.
简记：线面平行，则线线平行.
作用：判定线线平行的重要依据.
关键：寻找面面交线.
β
α
a
b
应用举例
如图所示的一块木料中，棱平行于面A′C′.
（1）要经过面A′C′内的一点 和棱 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
动.在转动的过程中（ 离开桌面）， 的对边与桌面有公共点吗？
边与桌面平行吗？
无论门扇转动到什么位置，因为
转动的一边与固定的一边总是平
行的，所以它与墙面是平行的；
（1）
（2）
硬纸板的边与 平行，只要
边 紧贴着桌面，边转动时
就不可能与桌面有公共点，所以
它与桌面平行.
新知探究
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
a
此平面平行.
符号表示
⊄α， ⸦，且//
//.
处理空间位置关系常用方法：
直线间的平行
空间几何问题
转
化
转
化
直线与平面的平行
平面几何问题
α
b
新知探究
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
求证：过直线的平面与平面相交于 ，则//.
已知： // , ⊂ ， ∩ = .
求证： //.
证明：∵ ∩ = ，
β
a
∴ ⊂ .
又//，
∴ 与无公共点.
又 ⊂ ， ⊂ ，
∴//.
α
b
新知探究
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，
符号表示 // , ⊂ ， ∩ = //.
简记：线面平行，则线线平行.
作用：判定线线平行的重要依据.
关键：寻找面面交线.
β
α
a
b
应用举例
如图所示的一块木料中，棱平行于面A′C′.
（1）要经过面A′C′内的一点 和棱 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
动.在转动的过程中（ 离开桌面）， 的对边与桌面有公共点吗？
边与桌面平行吗？
无论门扇转动到什么位置，因为
转动的一边与固定的一边总是平
行的，所以它与墙面是平行的；
（1）
（2）
硬纸板的边与 平行，只要
边 紧贴着桌面，边转动时
就不可能与桌面有公共点，所以
它与桌面平行.
新知探究
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
a
此平面平行.
符号表示
⊄α， ⸦，且//
//.
处理空间位置关系常用方法：
直线间的平行
空间几何问题
转
化
转
化
直线与平面的平行
平面几何问题
α
b
新知探究
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
求证：过直线的平面与平面相交于 ，则//.
已知： // , ⊂ ， ∩ = .
求证： //.
证明：∵ ∩ = ，
β
a
∴ ⊂ .
又//，
∴ 与无公共点.
又 ⊂ ， ⊂ ，
∴//.
α
b
新知探究
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，
《空间直线、平面的平行》立体几何初步PPT课件(直线与平面平行)-人教高中数学A版必修二
科 学 课 件 ： /kejian/kexue/ 物 理 课 件 ： /kejian/wuli/
化 学 课 件 ： /kejian/huaxue/ 生 物 课 件 ： /kejian/shengwu/
地 理 课 件 ： /kejian/dili/
必修第二册·人教数学A版
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PPT模 板 ： /moban/
PPT素 材 ： /sucai/
PPT背 景 ： /beijing/
PPT图 表 ： /tubiao/
PPT下 载 ： /xiazai/
历 史 课 件 ： /kejian/lishi/
8.5空间直线、平面的平行 8.5．2直线与平面平行
必修第二册·人教数学A版
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内容标准
学科素养
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化 学 课 件 ： /kejian/huaxue/ 生 物 课 件 ： /kejian/shengwu/
地 理 课 件 ： /kejian/dili/
历 史 课 件 ： /kejian/lishi/
1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理
1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行 课件(54张)高中数学新人教A版选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
空间向量的应用
用空间向量研究直线、平面的向量表示 第2课时 空间中直线、平面的平行
课标要求
素养要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线
课 与平面、平面与平面的平行关系.
1.逻辑推理——能够推理出直
标
线、平面平行关系.
解 读
2.能用向量方法证明必修内容中有关直
线、平面平行关系的判定定理.
C
D
C
B D
D A
A
0或2
ACD
B
[答案] 证明 设正方体的棱长为1，建立如以下图的空间直角坐标系，
命题分析 此题考查了立体几何中异面直线所成的角、存在性问题的求解， 重点考查了利用空间向量求解立体几何中的角度和位置关系问题.
解题感悟 处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于 直线与平面的法向量垂直来构造方程求解.
2.数学运算——会用空间向量
的坐标运算，证明直线、平面
3.能用向量方法证明空间中直线、平面 的平行关系.
的平行关系.
提示 不可以，还要说明两直线不重合. 提示 不可以，还要说明两个平面不重合.
探究点一 证明线线平行
探究点二 证明线面平行
探究点三 证明面面平行
证明 建立如以下图的空间直角坐标系，
空间向量的应用
用空间向量研究直线、平面的向量表示 第2课时 空间中直线、平面的平行
课标要求
素养要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线
课 与平面、平面与平面的平行关系.
1.逻辑推理——能够推理出直
标
线、平面平行关系.
解 读
2.能用向量方法证明必修内容中有关直
线、平面平行关系的判定定理.
C
D
C
B D
D A
A
0或2
ACD
B
[答案] 证明 设正方体的棱长为1，建立如以下图的空间直角坐标系，
命题分析 此题考查了立体几何中异面直线所成的角、存在性问题的求解， 重点考查了利用空间向量求解立体几何中的角度和位置关系问题.
解题感悟 处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于 直线与平面的法向量垂直来构造方程求解.
2.数学运算——会用空间向量
的坐标运算，证明直线、平面
3.能用向量方法证明空间中直线、平面 的平行关系.
的平行关系.
提示 不可以，还要说明两直线不重合. 提示 不可以，还要说明两个平面不重合.
探究点一 证明线线平行
探究点二 证明线面平行
探究点三 证明面面平行
证明 建立如以下图的空间直角坐标系，
人教A版高中数学必修二 《空间直线、平面的平行》立体几何初步PPT课件(直线与平面平行)
探究一 直线与平面平行的判定 [例 1] 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM＝DN.求证：MN∥平面 AA1B1B.
[证明] 如图，作 ME∥BC，交 BB1 于点 E，作 NF∥AD，交 AB 于点 F，连接 EF，
则 EF⊂平面 AA1B1B， 且MBCE＝BB11MC ，NADF＝BBND. ∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 CM＝DN，B1C＝BD，∴B1M＝NB.
[证明] (1)∵BC∥AD，BC⊄平面 PAD， ∴BC∥平面 PAD. 又∵平面 PBC∩平面 PAD＝l， ∴BC∥l. (2)如图，取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，则 NE∥CD，且 NE＝12 CD， 又 AM∥CD，且 AM＝12 CD，
∴NE∥AM，且 NE＝AM. ∴四边形 AMNE 是平行四边形． ∴MN∥AE. 又∵AE⊂平面 PAD，MN⊄平面 PAD， ∴MN∥平面 PAD.
[错解] 如图，AB∩AC＝A，由 AB，AC 确定平面 β，所以 BC ⊂β，α∩β＝EG.因为 BC∥平面 α，所以 BC∥EG. 在△AEG 中，AADF＝AAGC＝EBGC， 所以AADF＝EBGC，即b＋b c＝EaG. 所以 EG＝abb＋c.
[错因分析] 点 A 的位置有三种情况：BC 在 A 与 α 之间；A 在 BC 与 α 之间；α 在 A 与 BC 之间，错解中只考虑了第一种情况．
证明：∵四边形 EFGH 为平行四边形，∴EF∥GH. ∵GH⊂平面 ABD，EF⊄平面 ABD， ∴EF∥平面 ABD. ∵EF⊂平面 ABC，平面 ABC∩平面 ABD＝AB， ∴EF∥AB. ∵AB⊄平面 EFGH，EF⊂平面 EFGH， ∴AB∥平面 EFGH.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：空间直线、平面的平行
(2)DF∥l.
由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果平面外一条直线与_此__平__面__ 判定
_内___的一条直线平行，那么该 定理
直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，如 性质
果过该直线的平面与此平面_相__ 定理
_交__，那么该直线与交线平行
符号语言 _a_⊄__α_
_b_⊂__α_ ⇒a∥α _a_∥__b_
思维升华
(1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要 经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练3 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1 上的点.
(1)当DA11DC11等于何值时，BC1∥平面 AB1D1?
当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1. 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点. 在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1. 又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1. ∴当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1.
《空间直线、平面的平行》立体几何初步PPT(平面与平面平行)-人教高中数学A版必修二
图形语言
栏目 导引
第八章 立体几何初步
■名师点拨
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P P T图表：www.1ppt.c om /tubia o/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
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P P T课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/
文字语言 历史课件：/kejian/lishi/
符号语言
如果一个平面内的__两__条__相___交__直__线___与另一个 平面平行，那么这两个平面平行 _a_⊂__β_，__b_⊂_β_，__a_∩__b_＝__P_，__a_∥__α_，__b_∥__α__________ ⇒β∥α
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人教A版《空间直线、平面的平行》精 美版1
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训练题
1.［ 2019 · 山 东 潍 坊 高 一 联 考 ］ 如 图 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体
ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中 点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1. （2）求证：EF∥平面BB1D1D.
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常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
证明：如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接 MP，PN，BE，ED，AC. ∵ AE∥CD，∴ AE，CD确定平面AEDC. ∴ 平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵ α∥β，∴ AC∥DE. 又∵ P，N分别为AE，CD的中点， ∴ PN∥DE.
∵ PN α，DE α，∴ PN∥α.
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又∵ M，P分别为AB，AE的中点，∴ MP∥BE.
又∵ MP α，BE α，∴ MP∥α. ∵ MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，∴ 平面MPN∥α. 又∵ MN 平面MPN，∴ MN∥α.
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3. ［2019·广东深圳高一检测］如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1
所以AN＝C
1M＝
1 2
A1C1＝
1 2
AC，
所以N为AC的中点.
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三 平行关系的综合与探究问题
1.线面、面面平行的综合应用
例3［2019·天津高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
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训练题
1.［2019·安徽黄山高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O
为底面ABCD的中心，P，Q分别为DD1，CC1的中点. 求证：平面D1BQ∥平面PAO.
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（1）定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.
（3）线面平行的性质定理：a
a∥b.
b
∥
（4）面面平行的性质定理：
a
a∥b.
b
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◆常用的面面平行的其他几个性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面. （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平 行.
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2. ［2019·湖南长沙高一联考］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H.
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证明：（1）如图，取BD中点O，连接OE，OD1，
则OE平行且等于 1 DC，
2
∴
OE平行且等于D1G.
∴ 四边形OEGD1是平行四边形.∴ GE∥D1O. 又D1O 平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1， ∴ EG∥平面BDD1B1. （2）取BB1中点M，连接HM，C1M，则HM∥AB∥C1D1，且HM＝ D1C1.∴ 四边形HMC1D1是平行四边形，∴ HD1∥MC1. 又MC1∥BF，∴ BF∥HD1.又BD∥B1D1，B1D1，HD1 平面HB1D1， BF，BD 平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B， ∴ 平面BDF∥平面HB1D1.
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证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM.
的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点.
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证明：因为平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， 所以C1N∥AM. 又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，
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【证明】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP.
∵
MP∥BB1，∴
CM ＝ CP .
MB1 PB
∵ BD＝B1C，DN＝CM，∴ B1M＝BN，
∴ CM ＝ DN ，∴ CP ＝ DN ，∴ NP∥CD∥AB.
文字
符号
一个平面内的_两_条__ _相__交__直__线___与另一 个平面平行，则这 两个平面平行
a⊂β b⊂β _a_∩__b_＝__P_ ⇒β∥α a∥α b∥α
注意
1.用该定理判定平面α和平面β平行时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面； （2）这两条直线必须相交. 2.平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. 该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行的问题. 3.要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内 寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直 线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线
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平面ABC ＝AC
【证明】 平面ABC ∥
＝EG
AC
∥
EG
.
同理AC∥HF.
AC ∥ EG
AC
∥
HF
EG∥HF.
同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
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◆证明线线平行的四种常用方法
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二 面面平行性质的应用 例2 ［2019·河南郑州高一检测］如图，两条异面直线AB，CD与三个平行
平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的 交点为H，G.
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注意 空间三种平行的关系 1.由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 2.由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； 3.由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 4.由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与 直线平行. 5.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想 方法.
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训练题
1.［2019·山东济南联考］如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分
别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的 交点，连接NF，求证：NF∥CM.
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8.5.3 平面与平面平行
学习目标 1.理解平面与平面平行的判定定理. 2.理解平面与平面平行的性质定理. 3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用. 难点：两个定理的应用..
知识梳理 一、面面平行的判定定理
表示 定理
图形
平面与平面平 行的判定定理
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2. ［2019·山东临沂联考］如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平
面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点.求证： MN∥α.
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◆三种平行关系的转化 要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化. 在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化 思想是解决这类问题的最有效的方法.
◆利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向 关键：过直线作平面与已知平面相交. 思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条 件；若条件中含有线面平行，可考虑由线面平行的性质定理得线线平 行.
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【名师点拨】 1.用面面平行的判定定理时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面. （2）这两条直线必须相交. 2.该定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. ◆平面与平面平行的四种判定方法 （1）定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. （2）利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另 一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相 交直线分别平行，则α∥β. （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
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训练题
1.［ 2019 · 山 东 潍 坊 高 一 联 考 ］ 如 图 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体
ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中 点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1. （2）求证：EF∥平面BB1D1D.
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常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
证明：如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接 MP，PN，BE，ED，AC. ∵ AE∥CD，∴ AE，CD确定平面AEDC. ∴ 平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵ α∥β，∴ AC∥DE. 又∵ P，N分别为AE，CD的中点， ∴ PN∥DE.
∵ PN α，DE α，∴ PN∥α.
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又∵ M，P分别为AB，AE的中点，∴ MP∥BE.
又∵ MP α，BE α，∴ MP∥α. ∵ MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，∴ 平面MPN∥α. 又∵ MN 平面MPN，∴ MN∥α.
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3. ［2019·广东深圳高一检测］如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1
所以AN＝C
1M＝
1 2
A1C1＝
1 2
AC，
所以N为AC的中点.
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三 平行关系的综合与探究问题
1.线面、面面平行的综合应用
例3［2019·天津高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点 N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
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训练题
1.［2019·安徽黄山高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O
为底面ABCD的中心，P，Q分别为DD1，CC1的中点. 求证：平面D1BQ∥平面PAO.
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（1）定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.
（3）线面平行的性质定理：a
a∥b.
b
∥
（4）面面平行的性质定理：
a
a∥b.
b
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◆常用的面面平行的其他几个性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面. （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平 行.
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2. ［2019·湖南长沙高一联考］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H.
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证明：（1）如图，取BD中点O，连接OE，OD1，
则OE平行且等于 1 DC，
2
∴
OE平行且等于D1G.
∴ 四边形OEGD1是平行四边形.∴ GE∥D1O. 又D1O 平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1， ∴ EG∥平面BDD1B1. （2）取BB1中点M，连接HM，C1M，则HM∥AB∥C1D1，且HM＝ D1C1.∴ 四边形HMC1D1是平行四边形，∴ HD1∥MC1. 又MC1∥BF，∴ BF∥HD1.又BD∥B1D1，B1D1，HD1 平面HB1D1， BF，BD 平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B， ∴ 平面BDF∥平面HB1D1.
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证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM.
的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. 求证：N为AC的中点.
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证明：因为平面AB1M∥平面BC1N， 平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM， 平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N， 所以C1N∥AM. 又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，
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【证明】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP.
∵
MP∥BB1，∴
CM ＝ CP .
MB1 PB
∵ BD＝B1C，DN＝CM，∴ B1M＝BN，
∴ CM ＝ DN ，∴ CP ＝ DN ，∴ NP∥CD∥AB.
文字
符号
一个平面内的_两_条__ _相__交__直__线___与另一 个平面平行，则这 两个平面平行
a⊂β b⊂β _a_∩__b_＝__P_ ⇒β∥α a∥α b∥α
注意
1.用该定理判定平面α和平面β平行时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面； （2）这两条直线必须相交. 2.平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. 该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行的问题. 3.要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内 寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直 线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线
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平面ABC ＝AC
【证明】 平面ABC ∥
＝EG
AC
∥
EG
.
同理AC∥HF.
AC ∥ EG
AC
∥
HF
EG∥HF.
同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
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◆证明线线平行的四种常用方法
人教A版《空间直线、平面的平行》精 美版1
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二 面面平行性质的应用 例2 ［2019·河南郑州高一检测］如图，两条异面直线AB，CD与三个平行
平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的 交点为H，G.
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注意 空间三种平行的关系 1.由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 2.由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； 3.由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 4.由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与 直线平行. 5.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想 方法.
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训练题
1.［2019·山东济南联考］如图所示，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分
别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的 交点，连接NF，求证：NF∥CM.
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8.5.3 平面与平面平行
学习目标 1.理解平面与平面平行的判定定理. 2.理解平面与平面平行的性质定理. 3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用. 难点：两个定理的应用..
知识梳理 一、面面平行的判定定理
表示 定理
图形
平面与平面平 行的判定定理
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2. ［2019·山东临沂联考］如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平
面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点.求证： MN∥α.
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◆三种平行关系的转化 要灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化. 在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化 思想是解决这类问题的最有效的方法.
◆利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向 关键：过直线作平面与已知平面相交. 思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条 件；若条件中含有线面平行，可考虑由线面平行的性质定理得线线平 行.
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【名师点拨】 1.用面面平行的判定定理时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面. （2）这两条直线必须相交. 2.该定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. ◆平面与平面平行的四种判定方法 （1）定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. （2）利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另 一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相 交直线分别平行，则α∥β. （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.