全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间：9月11日上午8：00～10：30

一、选择题：每题6分，满分36分

1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2

,2(π

π-

∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B

2

1 C 2

2 D 1

2、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1

291112

===++-=--a a n a a a a a n n

n n n 则5a 的值为（ ）

A 3

B 4

C 3或4

D 8

3、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则2

2

y x +等于（ ）

A 1 B

26 C 35 D 12

7 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知

n

m

x =

50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若2

6cos cos ,22sin sin =+=

+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A

22 B 23 C 2

6

D 1

6、P 为椭圆19

1622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ） A

29 B 329 C 427 D 34

27 二、填空题：每小题9分，满分54分

7、实数z y x ,,满足,146,74,722

2

2

-=+-=+=+x z z y y x 则2

2

2

z y x ++＝.

8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为. 9、对于

12

1

≤≤x ，当25)21)(1()1(x x x --+取得最大值时，x ＝.

10、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有23

)

()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f .

11、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心.正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对称，

则这两个正四面体的公共部分的体积为. 12、在双曲线xy ＝1上，横坐标为

1+n n 的点为n A ，横坐标为n

n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为（1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x .

三、解答题：每小题20分，满分60分

13、如图，已知三角形ABC 的内心为I ，AC≠BC ，内切圆与边AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F ，EF CI S =，连结CD 与内切圆的另一个交点为M ，过M 的切线交AB 的延长线于点G .求证： （1）CDI ∆∽DSI ∆；（2）CI GS ⊥ 14、设c b a ,,是正整数，关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 的两实数根的绝对值均小于

3

1

，求c b a ++的最小值. 15、设集合A 和B 都是由正整数组成的集合，|A|＝10，|B|＝9，并且集合A 满足如下条件：若

v

u y x A v u y x +=+∈,,,,，则}

,{},{v u y x =.

令

},|{B b A a b a B A ∈∈+=+

求证：|A+B|≥50. （|X|表示集合X 的元素个数） 全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案 1、D 由x x x f 2tan 1tan 2)(tan +=，知212)(x x x f +=，所以1sin 41sin 4)sin 2(2

≤+=x

x

x f ， 当2

1

sin =

x 时，等号成立.故)sin 2(x f 的最大值为1. 2、A 设1+=n n a b ，则112

1

21121,11-+---+=∴-=-=-n n n n n n n n n b b b b b b b b b ，

故4,165912

5===b b b b ，（4舍去）所以35=a .

3、D 点E 到边AB,BC,CA 的距离之和就是△ABC 的高，即为23，故2

3

=x ， 又DCA E DBC E DAB E ABCD V V V V ---++=，即

3213

1

313131y S y S y S h S DCA DBC DAB ABC ∆∆∆∆++=， 这里的h 是正四面体的高，321,,y y y 点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离，于是3

6

=

h ，

y y y y =++321，所以y 4331364331⋅=⋅⋅，36=y ，于是12

172

2=+y x

4、D 设10021x x x S +++= ，则S x k k x S x k k k =+--=2,，对k 求和得

S S 1002)10021(=++++ ，所以492525=

S ，于是98

75

25050=-=S x ，故m+n ＝173 5、B 把两个式子分别平方相加得0)cos(=-y x

把两个式子相乘得2

3

)cos sin cos (sin )cos sin cos (sin =

+++y y x x x y y x 所以23)cos()sin()sin(=-+++y x y x y x ，即2

3)sin(=+y x 6、C 设)2

,0(,)sin 3,cos 4(π

θθθ∈P ，则直线AB 的方程为9sin 3cos 4=+θθy x ，

故θθsin 3,cos 49==

ON OM ，4

27

2sin 42721≥

=⋅=∆θON OM S MON ， 当4

π

θ=，即点P 为)2

2

3,

22(时等号成立。 7、14

把三个式子相加得：0)2()1()3(2

2

2

=+++++z y x 即得

8、12

213⋅ 只要找出，对每个n 有多少集合，使得n 是模范数，再关于n 求和即可. 若n 是S 的一个模范数，S 含有k 个元素，则;2,,≥∴∈+∈k S k n S n 又n k -≤15.

S 的其他2-k 个元素有2

13-k C 种取法，故n 为模范数时，共有n C C C -+++1313113013 个. 当n ＝1，2，…，13，模范数的总数为12

131130131213C C C A +++= ，故

13

13

1311301313

13121321311312

13

113013213)(131312212132⋅=+++=++++++++=C C C C C C C C C C A

所以对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S ，模范数的个数之和为12

213⋅ 9、

8

7 我们考虑2

5)]12()][1([)]1([--+x x x γβα的最大值，这里γ

βα,,是正整数，满足

)12()1()1(,045-=-=+=+-x x x γβαγβα，后者即

β

γγ

βαβαβ++=+-2，代入γαβ45+=得 ))(25(2)253(2022γαγαγααγ+-=-+=，取)5,30,2(),,(=γβα，由均值不等式得：