西北工业大学矩阵论课件PPT第四章例题矩阵分解

取
c
3 5
,
s
54，则
1 T23 0
0
3 5
0
4 5
且
T23 AT2T3
1 5
4 5
1
3 5
2
0
4 5
3 5
0
2
1
2 0 0 1
例
化矩阵
A
0 0
1 2
2 1
4 3
正交相似于三对角阵。
1 4 3 1
解 法1. 用Householder变换
对 a3 (0,0,1)T，取1 a3 2 1，则
A
In
det
Im
1
B
AB
O
In
det(Im
1
AB) det(I n
)
1
m
det(I
m
AB)n
nm det(Im AB)
§2 QR分解
例 设A是n阶Householder矩阵，则
cos(2A) I ； sin(2A) O 。
分析 因为 A2 I，所以
cos(2A)
I
(2 )2
2!
A2
1 0 1 0
2 5
1
0
4 5
2
1
例
求正定矩阵
A
5 2
2 3
0 1
的Cholesky分解。
0 1 1
解
5
2 5
11 5
0
5 11
6 11
所以
5
A
2 5
0
11 5
5 11
5
2
5
0
6 11
11 5
5 11
6
11
例 设 A, B 为同阶方阵，证明
det A B det(A B)det(A B) B A
(2 )4
4!
A4
(2 )6
6!
A6
I (1
(2 )2
2!
(2 )4
4!
(2 )6
6!
)
I cos(2 ) I
sin(
2A)
2A
(2 )3
3!
A3
(2 )5
5!
A5
(2 )7
7!
A7
A(2
(2 )3
3!
(2 )5
5!
(2 )7
7!
)
Asin(2 ) O
例 设 H m和Hn分别是m阶和n阶Householder矩阵， 问 Hm O 是否 m n阶Householder矩阵?为什么?
1 2
1 0 1
于是
H1
I
2u1u1T
0 0 1
0 1 0
1 0
使
2 H1A 0
0
0
1 4 3
2 2 1
又由于 b2 (4,3)T，取2 b2 2 5，则
u2
b2 5e~1 b2 5e~1 2
1 1 10 3
于是
H~ 2
I
2u2u2T
1 4 53
3 ，令
H
2 w
2( H w u)( H w u)H
由于
I 2(Hwu)(Hwu)H
( H w u)H
( H w u)
uH
H
H w
Hwu
uHu
1
故 Hw HuHw 也是Householder矩阵。
例 试用Householder变换化向量 x (i, 2i0, 0, 2)T
与 e1 同方向。
解 x 2 3，(因为 x1 i，且要求 x1为实数) 取 3i 或 3i，则
的QR分解。
0 1 0 1
A
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0 1 0
解
取 c1
0 02 12
0,
s1
1，则
0 1 0 0
1 0 1 0
T12
1 0
0 0
0 1
0 0
且
T12
A
0 0
1 1
0 0
1 1
0 0 0 1
1 0 1 0
又取 c2
1 2
,
s2
12，则
1 2
0
T14
0
1 2
4
H2 1
H~
2
1 0 0
0
4 5 3 5
0
3 5
则
4 5
2
H
2
(
H1A)
0 0
1 5 0
2 1 2
故
0
A
( H1H 2
)R
0
1
3 5 4 5
0
4 5
3
5
2 0
0 0
1 5 0
2 1 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解 取 c1 0, s1 1，则
对 a2 (3,4)T，取1 a2 2 5，则
u1
a2 5e~1 a2 5e~1 2
1 1 5 2
于是
H~1
I
2u1u1T
1 3 54
4 ，令
3
1 0 0
H1
1 0
0T H~1
0 0
3 5
4 5
4 5
3 5
1
4 5
3 5
则
H1AH1 5 1 2
0
2
1
法2. 利用Givens变换
u1
a3 e~1 a3 e~1 2
1 2
1 0 1
于是
0 0 1
H~1
I
2u1u1T
0
1
0
1 0 0
令
H1
1 0
0T H~1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
2 1 0 0
则
H1AH1
1 0
1 3
3 1
4 2
0 4 2 1
对 a2 (3,4)T，取 2 a2 2 5，则
0 3 1 4
A
0 2
4 1
2 2
3 4
0 0 0 5
解 取 a1 (0,0,2,0)T，则 1 a1 2 2，且
2
1
u1
a1 2e1 a1 2e1 2
1 2 2
0 2 0
1 0 2 1
0
0 0 1 0
2 1 2 4
于是
H1
I4
2u1u1T
0 1
0
1 0 0
u
x3i e1
x3i e1 2
1 12
(2i,2
i,0,2)T
1 3
(
i,
i,0,1)T
(或
u
x3i e1 x3i e1 2
1 (4i,2i,0,2)T
24
1 (2i,i,0,1)T )
6
1
从而
H
I
2uu
H
1 3
2 0
2i
2 1 0 2i
0 0 3 0
2i 2i 0 1
或
1 3
1 2 0 2i
2 2 0 i
0 0 3 0
2i i 0 2
使得
Hx 3i e1 (或Hx 3i e1)
例 设T是n阶Given矩阵，Hu是n阶Householder
矩阵，则 THuT 1也是Householder矩阵。
()
分析 对。因为
THuT 1 T（I 2uuH）T H TT H 2(Tu)(Tu)H
R
于是
0 1 1 0 2 0 2 0
A QR T1T2T1T4T2T3R
1 1 20
1
0 1 0
0 1 0
1 0
0 1
0 0
20 00 00
2
0 0
例 设 Hu和 H w 都是n阶Householder矩阵，则
Hw HuHw 也是Householder矩阵。
()
分析 对。因为
Hw HuHw Hw（I 2uuH）Hw
q2
1 5
p2
3 5
4 5
，
0
q3
1 2
p3
4 5
3 5
0
于是 故
a1 p1 2q1
a2
1 2
p1
p2
q1
5q2
a3
p1
1 5
p2
p3
2q1
q2
2q3
0 A 0
3 5
4 5
4
5
3 5
2 0
1 5
2 1
1 0 0 0 0 2
例 用Householder变换求矩阵
的QR分解。
det(Im AB) mn det(In BA)
(即AB和BA的非零特征值相同)。
证 构造矩阵 Im A ，因为
B In
Im O Im A Im
A
B In B In O In BA
Im O
1
A
In
Im B
A
In
Im
1
B
AB
O
In
所以
det(In
BA)
det
Im B
0 T13 0
0 1
1 0
2
使
T13
A
0
1 4
2 2
1 0 0
0 3 1
又取
c2
4 5
,
s2
53，则
1
T23 0
0
0
4 5 3 5
0
3 5
4
5
2
使
T23T13
A
0
0
1 5 0
2 1
R
2
故
A T1T3T2T3R
0 0
3 5
4 5
4 5
3
5
2 0
1 5
2 1
证 因为
I O A B I O A B B I I B A I I O A B 取行列式即得。
例 设A, B, C, D为同阶方阵，A可逆, 且AC = CA。
证明 证 因为
det A C
B det(AD CB) D
I CA1
O A I C
B A D O
00 10 01 00
1 2
2 0
0
0
1 2
且
T14
(T12
A)
0 0 0
1 1 0
2 0
0 1
0 0
1 0
再取 c3
1 2
, s3
1 ，则
2
1
T23
0 0
0
0
1 2
1 2
0
0
1
2
1 2
0
0
2
0 0 1
且 T23(T14T12
A)
0 0 0
0 2 0 0
2 0 0 0
0
2
0 0
4 0 0 3
使
Hx 5e1
例 试用Givens变换化向量 x (0, 3, 0, 4)T 与 e1 同方向。
解
取 c1
0 02 32
0，s1
3 1，则
02 32
0
T12
1 0
0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3
使
T12
x
0 0
4
又取 c2
3 32 (4)2
0
0
i 5
0
0
0 1 0
0 0 1
使
T12 x
0 0 2
又取 c2 35，s2 32，则
5 3
0
0
0 1 0
T14
0
01
2 3
0
0
2 3
0 0
使
T14T12 x
3e1
5 3
例
化矩阵
A
1 3
0 1
1 2
正交相似于Hessenberg阵。
4 2 1
解 法1. 利用Householder变换
80
5
从而
3 0 0 4
H
I
2uuT
1 5
0 0
5 0 0 0 5 0
4 0 0 3
使
Hx 5e1
法2. 取 x 2 5，则
u
x 5e1 x5e1 2
1 (2, 0, 0, 4)T 1 (1, 0, 0, 2)T
20
5
从而
3 0 0 4
H
I
2uuT
1 5
0 0
50 05
0 0
O Hn
解 不是。因为
det Hm O
O Hn
det
H
m
det
H
n
(1)
(1)
1
例 试用Householder变换化向量 x (3, 0, 0, 4)T
与 e1 同方向。
解 法1. 取 x 2 5，则
u
x 5e1 x5e1 2
1 (8, 0, 0, 4)T 1 (2, 0, 0, 1)T
B In
Im O Im A Im
A
B In B In O In BA
Im A Im A Im AB O O In B In B In 所以
det(
I
n
BA)
det
I
m
B
A In
det(Im
AB)
例 设 ACmn，B Cnm，且 0。证明
0 0 0
0 0 1
使得
H1A
0 0 0
4 3 0
2 1 0
3 4 5
又取 b2 (4,3,0)T，则 2 b2 2 5，且
u2
b2 5e~1 b2 5e~1 2
1 10
1 3 0
于是
H~ 2
I3
2u2u2T
4 5
3 5
3
5
4 5
0 0
0
0
1
令
H2
1 0
0T H~ 2
1 0 0 0
0
4 5 3 5
0
0
3 5
4 5
0
0 0 0 1
2 1 2 4
则
H2 (H1A)
0 0
5 0
1 2
0 5
R
0 0 0 5
故
0
3 5
4 5
0 2
1
2
4
A
QR
(H1H2 )
0
1 0
4 5
0
0
3 5
0
0
0 0 5 1 0
0 1
0 0
0 0
2 0
5 5
例 用Givens变换求矩阵
1
0
0 0 0 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解
将列向量
a1
0
0
，a2
3 4 ，a3
1 2
正交化得
2
1
2
p1
a1
0
0
，
p2
2
a2
2 4
p1
3 4
，p3
0
a3
4 4
p1
5 25
p2
8 5
6 5
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单位化得
0
q1
1 2
p1
0 ， 1
D
B CA1B
取行列式得
det A C
B det A det(D CA1B) D
det[A(D CA1B)] det(AD ACA1B) det(AD CAA1B)
det(AD CB)
例 设 ACmn，B Cnm，证明
det(Im AB) det(In BA) 证 构造矩阵 Im A ，因为
由于
I 2(Tu)(Tu)H (Tu)H (Tu) uHT HTu uHu 1
故 THuT 1 也是Householder矩阵。
例 试用Givens变换化向量 x (i, 2i, 0, 2)T与 e1 同方向。
解
取
c1
i，
5
s1
2i ，则
5
i 5
2i 5
0
0
5
T12
2i 5
53，s2
4 4，则
32 (4)2
5
3 5
0
0
4 5
T14
0 0
4
5
1 0 0
0 1 0
0 0
3
使 T14T12 x 5e1
5
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解 由于 a1 (0,0,2)T，取1 a1 2 2，则
u1
a1 2e1 a1 2e1 2
u2
a2 5eˆ1 a2 5eˆ1 2
1 1 5 2
从而
Hˆ 2
I
2u2u2T
1 5
3 4
4 3
1 0 0 0
令
H2
I2 O
O Hˆ 2
0 0 0
第四章 矩阵分解
§1 三角分解介绍
例
求矩阵
A
5 2
2 1
4 2
的Doolittle分解和
4 2 5
LDU分解。
解 5 2 4
2 5
1 5
2 5
4 5
2
1
故 1
A
2 5
4 5
0 1 2
0 5 0 0 1 0
2
1 5
0
4
2 5
1
1
2
5
4 5
0 1 2
0 5 0 1
1 5