材料力学 第十章 动荷载
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Chapter 10 Dynamic Load
(Dynamic Loading)
第十章 动载荷(Dynamic loading)
§10-1 概述 (Instruction)
§10-2 动静法的应用 (The application for method of dynamic equilibrium) §10-3 构件受冲击时的应力和变形 （Stress and deformation by impact loading)
动荷因数Kd = 动响应 静响应
四、动荷载的分类 （Classification of dynamic load）
1.惯性力（Inertia force） 3.振动问题（Vibration problem） 2.冲击荷载（Impact load） 4.交变应力（Alternate stress）
(Dynamic Loading)
2018/1/13
(Dynamic Loading)
§10-1 概述（Instruction）
一、基本概念 （Basic concepts）
1、静荷载（Static load） 荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点加 速度很小,可略去不计. 2、动荷载 （Dynamic load） 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括大 小、方向）,构件内各质点加速度较大.
FNst l D st EA FNd l Dd EA
P
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
D d K d D st FNd D d d Kd FNst D st st
P
P a g
结论:只要将静载下的内力，应力,变形,乘以动荷系数Kd即 得动载下的应力与变形.
惯性力（Inertia force）: 大小等于
质点的质量m与加速度a 的乘积,方向与 a 的方向相反,即 FI= -ma
F ＋ FI ＝0
(Dynamic Loading) 一、直线运动构件的动应力（Dynamic stress of the body in the Βιβλιοθήκη Baidutraight-line motion）
其中 K d 1 1
说明：
D st
h为冲击物由静止自由下落的高度
Dst 为冲击物以静载方式作用在冲击点时, 冲击点的静位移.
Fd K d P
D d =K d D st d K d st
(Dynamic Loading) 讨 论
（1）当载荷突然全部加到被冲击物上,即 h=0 时
的质点,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度 与质点质量的乘积.只要在质点上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作 为静力学问题来处理,这就是动静法 （Method of kineto static）.
根据牛顿定律
ma ＝ F
-ma=FI
a
F
F － ma ＝0
FI ＝－ ma
r
O
(Dynamic Loading)
D 2 Ar D qd (1 A r )( ) 2 2
2
y
qd ( D d ) 2
D Fd qd ( d ) sin 0 2 2 2 Ar D π sin d 0 4 Ar 2 D 2 2
π
(Dynamic Loading) 二、转动构件的动应力
（Dynamic stress of the rotating member）
例题3 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的轴 作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的单位 体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
(Dynamic Loading)
原理（Principle） 能量法（Energy method）
机械能守恒定律
T V Vεd
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能.
Vεd是被冲击物所增加的应变能.
(Dynamic Loading) 一、自由落体冲击问题（Impact problem about the free falling body） 假设 (Assumption)
例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升 一重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为 A,绳索单位体积的质量r,求距绳索下端为 x 处的 m-m 截面上的应力. a
F
m
m
x
P
(Dynamic Loading)
F F’ F
FNst
m m
FNd
m m
rAg
x
m
m
rAg
a
rAa
a
rAg
x
r Ag r Aa
1 P 2 1 Δd v P Δd 2g 2 Δ st
(Dynamic Loading)
二、动响应 （Dynamic response）
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等）,称为动响应（dynamic response）. 实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过 比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.
三、动荷因数 （Dynamic factor）
(Dynamic Loading)
(Dynamic Loading)
(Dynamic Loading)
(Dynamic Loading)
§10-2 动静法的应用 （The application for method of dynamic equilibrium）
达朗伯原理（D’Alembert’s Principle）: 达朗伯原理认为处于不平衡状态
qd
Fd
d
O
FNd FNd
FNd
Fd Ar D 2 4
2
2
FNd r 2 D 2 d A 4
(Dynamic Loading)
Fd r 2 D 2 d A 4 D 圆环轴线上点的 v 2
线速度
y
D qd ( d ) 2
qd
Fd
d
d rv
强度条件
当运动着的物体碰撞到一静止的构件时,前者的运动将受阻 而在短时间停止运动,这时构件就受到了冲击作用.
在冲击过程中,运动中的物体称为冲击物 （impacting body）
阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物 （impacted body）
冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其 加速度a很难测出,无法计算惯性力, 故无法使用动静法.在实用计 算中,一般采用能量法. 即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律 对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算.
(Dynamic Loading)
Fl F EA EA / l Fl 3 F EI 48 EI / l 3 Ml Me e GI P GI P / l Dl
P h
v P
h
承受各种变形的弹性杆件，都可 以看作是一个弹簧。变形与所受的力
成正比。 重物P从高度为h处自由落下,冲击到
a 作匀加速直线运动的构件的动荷系数 K d 1 g
(Dynamic Loading)
例题2 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 9cm2 ,单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa, 以a=2m/s2的加速度 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 解：（1）受力分析如图
弹簧顶面上,然后随弹簧一起向下运动.当 重物P的速度逐渐降低到零时,弹簧的变形 达到最大值Δd,与之相应的冲击载荷即为 Fd.
(Dynamic Loading)
根据能量守恒定律可知,冲击物 所减少的动能T和势能V,应全部转换 为弹簧的变形能 Vεd ,即 T V V εd 其中
P
T 0 V P (h D d ) 1 Vεd Fd D d F 2 Fd 所以 P ( h D ) 1 F D d d d 2 Fd D d Dd Fd P P D st D st O 1 Δd P ( h Δd ) P Δd 2 Δ st
1.冲击物视为刚体,不考虑其变形 （The impacting body is rigid）; 2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计 （The mass of the impacted deformable body is negligible in comparison with the impacting mass）;
m
FNst
m m
FNd
m
FNd K d FNst
绳索中的动应力为
rAg
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P
P a g
(Dynamic Loading)
Dd表示动变形 Dst表示静变形 当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
v2 h 2g
v 2 v0 2 2 gh
2 v2 v 2 gh Kd 1 1 1 1 0 g D st g D st
(Dynamic Loading) 二、水平冲击问题
假设 (Assumption) ：与自由落体相同
由能量守恒：T V Vεd 其中：
V 0 1P 2 T v 2 g
x
P
P a g
P
P a g
绳索的重力集度为 rAg
P
P
FNst P rAgx
P
物体的惯性力为
P a g
绳索每单位长度的惯性力rAa
a FNd (1 )( P rAgx ) g
(Dynamic Loading)
FNst P rAgx
FNd a (1 )( P rAgx ) g
h
Δd
Dd
D
(Dynamic Loading)
D d 2 2D st D d 2hD st 0
2D st 4D2st 8hD st 2h Dd D st (1 1 ) 2 D st
D d D st ( 1 1
2h
D st
2h
) K d D st
为动荷因数
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动 （The impact body do not rebound）; 4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能的转化 （The loss of energy of sound light heat ect. in the process of impact is lost in the impact）.
FNst
FNd
a (G ql )(1 ) g
（2）动应力
lq
FNd 1 a d (G ql )(1 ) A A g
214MPa [ ] 300MPa
1 2 3 ) 4 ( 50 10 25.5 60)(1 9.8 2.9 10
G
Kd 1 1
2h
D st
2
P
h
由此可见,突加载荷的动荷因数是2,这时所引起的应力和 变形皆为静载时的2倍. （2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为v,则
2h v2 Kd 1 1 1 1 Δst g D st （3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 v0 下落,则
O
l
FG man 2 Rm 2 lG/g
（2）强度条件
FG / A
FG 2Gl A [ ] (g[ ])
(Dynamic Loading)
§10-3 构件受冲击时的应力和变形 （Stress and deformation by impact loading)
O r
(Dynamic Loading)
解：
O r
因圆环很薄,可认为圆环上各 点的向心加速度相同,等于圆环中 线上各点的向心加速度.
D 2 an 2
qd
因为环是等截面的,所以相同长度 的任一段质量相等. 其上的惯性力集度为
2
D 2 Ar D qd (1 A r )( ) 2 2
2
o
FNd
FNd
d rv 2 [ ]
环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.
(Dynamic Loading)
例题4 重为G的球装在长L的转臂端部,以等角速度在光滑水平 面上绕O点旋转,已知许用应力[],求转臂的截面面积（不计转 臂自重） 解:
FG
（1）受力分析如图 惯性力为
(Dynamic Loading)
第十章 动载荷(Dynamic loading)
§10-1 概述 (Instruction)
§10-2 动静法的应用 (The application for method of dynamic equilibrium) §10-3 构件受冲击时的应力和变形 （Stress and deformation by impact loading)
动荷因数Kd = 动响应 静响应
四、动荷载的分类 （Classification of dynamic load）
1.惯性力（Inertia force） 3.振动问题（Vibration problem） 2.冲击荷载（Impact load） 4.交变应力（Alternate stress）
(Dynamic Loading)
2018/1/13
(Dynamic Loading)
§10-1 概述（Instruction）
一、基本概念 （Basic concepts）
1、静荷载（Static load） 荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各质点加 速度很小,可略去不计. 2、动荷载 （Dynamic load） 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定（包括大 小、方向）,构件内各质点加速度较大.
FNst l D st EA FNd l Dd EA
P
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
D d K d D st FNd D d d Kd FNst D st st
P
P a g
结论:只要将静载下的内力，应力,变形,乘以动荷系数Kd即 得动载下的应力与变形.
惯性力（Inertia force）: 大小等于
质点的质量m与加速度a 的乘积,方向与 a 的方向相反,即 FI= -ma
F ＋ FI ＝0
(Dynamic Loading) 一、直线运动构件的动应力（Dynamic stress of the body in the Βιβλιοθήκη Baidutraight-line motion）
其中 K d 1 1
说明：
D st
h为冲击物由静止自由下落的高度
Dst 为冲击物以静载方式作用在冲击点时, 冲击点的静位移.
Fd K d P
D d =K d D st d K d st
(Dynamic Loading) 讨 论
（1）当载荷突然全部加到被冲击物上,即 h=0 时
的质点,存在惯性力,惯性力的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度 与质点质量的乘积.只要在质点上加上惯性力,就可以把动力学问题在形式上作 为静力学问题来处理,这就是动静法 （Method of kineto static）.
根据牛顿定律
ma ＝ F
-ma=FI
a
F
F － ma ＝0
FI ＝－ ma
r
O
(Dynamic Loading)
D 2 Ar D qd (1 A r )( ) 2 2
2
y
qd ( D d ) 2
D Fd qd ( d ) sin 0 2 2 2 Ar D π sin d 0 4 Ar 2 D 2 2
π
(Dynamic Loading) 二、转动构件的动应力
（Dynamic stress of the rotating member）
例题3 一平均直径为D的薄圆环,绕通过其圆心且垂于环平面的轴 作等速转动.已知环的角速度为 ,环的横截面面积为A,材料的单位 体积质量为r.求圆环横截面上的正应力.
(Dynamic Loading)
原理（Principle） 能量法（Energy method）
机械能守恒定律
T V Vεd
T,V 是 冲击物 在冲击过程中所 减少的 动能和势能.
Vεd是被冲击物所增加的应变能.
(Dynamic Loading) 一、自由落体冲击问题（Impact problem about the free falling body） 假设 (Assumption)
例题1 一起重机绳索以加速度 a 提升 一重为 P 的物体,设绳索的横截面面积为 A,绳索单位体积的质量r,求距绳索下端为 x 处的 m-m 截面上的应力. a
F
m
m
x
P
(Dynamic Loading)
F F’ F
FNst
m m
FNd
m m
rAg
x
m
m
rAg
a
rAa
a
rAg
x
r Ag r Aa
1 P 2 1 Δd v P Δd 2g 2 Δ st
(Dynamic Loading)
二、动响应 （Dynamic response）
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等）,称为动响应（dynamic response）. 实验表明 在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超过 比例极限,在动载荷下胡克定律仍成立且E静=E动.
三、动荷因数 （Dynamic factor）
(Dynamic Loading)
(Dynamic Loading)
(Dynamic Loading)
(Dynamic Loading)
§10-2 动静法的应用 （The application for method of dynamic equilibrium）
达朗伯原理（D’Alembert’s Principle）: 达朗伯原理认为处于不平衡状态
qd
Fd
d
O
FNd FNd
FNd
Fd Ar D 2 4
2
2
FNd r 2 D 2 d A 4
(Dynamic Loading)
Fd r 2 D 2 d A 4 D 圆环轴线上点的 v 2
线速度
y
D qd ( d ) 2
qd
Fd
d
d rv
强度条件
当运动着的物体碰撞到一静止的构件时,前者的运动将受阻 而在短时间停止运动,这时构件就受到了冲击作用.
在冲击过程中,运动中的物体称为冲击物 （impacting body）
阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物 （impacted body）
冲击时,冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其 加速度a很难测出,无法计算惯性力, 故无法使用动静法.在实用计 算中,一般采用能量法. 即在若干假设的基础上,根据能量守恒定律 对受冲击构件的应力与变形进行偏于安全的简化计算.
(Dynamic Loading)
Fl F EA EA / l Fl 3 F EI 48 EI / l 3 Ml Me e GI P GI P / l Dl
P h
v P
h
承受各种变形的弹性杆件，都可 以看作是一个弹簧。变形与所受的力
成正比。 重物P从高度为h处自由落下,冲击到
a 作匀加速直线运动的构件的动荷系数 K d 1 g
(Dynamic Loading)
例题2 起重机钢丝绳长60m,名义直径28cm,有效横截面面积A=2. 9cm2 ,单位长重量q=25. 5N/m , [] =300MPa, 以a=2m/s2的加速度 提起重50kN 的物体,试校核钢丝绳的强度. 解：（1）受力分析如图
弹簧顶面上,然后随弹簧一起向下运动.当 重物P的速度逐渐降低到零时,弹簧的变形 达到最大值Δd,与之相应的冲击载荷即为 Fd.
(Dynamic Loading)
根据能量守恒定律可知,冲击物 所减少的动能T和势能V,应全部转换 为弹簧的变形能 Vεd ,即 T V V εd 其中
P
T 0 V P (h D d ) 1 Vεd Fd D d F 2 Fd 所以 P ( h D ) 1 F D d d d 2 Fd D d Dd Fd P P D st D st O 1 Δd P ( h Δd ) P Δd 2 Δ st
1.冲击物视为刚体,不考虑其变形 （The impacting body is rigid）; 2.被冲击物的质量远小于冲击物的质量,可忽略不计 （The mass of the impacted deformable body is negligible in comparison with the impacting mass）;
m
FNst
m m
FNd
m
FNd K d FNst
绳索中的动应力为
rAg
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P
P a g
(Dynamic Loading)
Dd表示动变形 Dst表示静变形 当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
v2 h 2g
v 2 v0 2 2 gh
2 v2 v 2 gh Kd 1 1 1 1 0 g D st g D st
(Dynamic Loading) 二、水平冲击问题
假设 (Assumption) ：与自由落体相同
由能量守恒：T V Vεd 其中：
V 0 1P 2 T v 2 g
x
P
P a g
P
P a g
绳索的重力集度为 rAg
P
P
FNst P rAgx
P
物体的惯性力为
P a g
绳索每单位长度的惯性力rAa
a FNd (1 )( P rAgx ) g
(Dynamic Loading)
FNst P rAgx
FNd a (1 )( P rAgx ) g
h
Δd
Dd
D
(Dynamic Loading)
D d 2 2D st D d 2hD st 0
2D st 4D2st 8hD st 2h Dd D st (1 1 ) 2 D st
D d D st ( 1 1
2h
D st
2h
) K d D st
为动荷因数
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动 （The impact body do not rebound）; 4.不考虑冲击时热能的损失,即认为只有系统动能与势能的转化 （The loss of energy of sound light heat ect. in the process of impact is lost in the impact）.
FNst
FNd
a (G ql )(1 ) g
（2）动应力
lq
FNd 1 a d (G ql )(1 ) A A g
214MPa [ ] 300MPa
1 2 3 ) 4 ( 50 10 25.5 60)(1 9.8 2.9 10
G
Kd 1 1
2h
D st
2
P
h
由此可见,突加载荷的动荷因数是2,这时所引起的应力和 变形皆为静载时的2倍. （2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为v,则
2h v2 Kd 1 1 1 1 Δst g D st （3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 v0 下落,则
O
l
FG man 2 Rm 2 lG/g
（2）强度条件
FG / A
FG 2Gl A [ ] (g[ ])
(Dynamic Loading)
§10-3 构件受冲击时的应力和变形 （Stress and deformation by impact loading)
O r
(Dynamic Loading)
解：
O r
因圆环很薄,可认为圆环上各 点的向心加速度相同,等于圆环中 线上各点的向心加速度.
D 2 an 2
qd
因为环是等截面的,所以相同长度 的任一段质量相等. 其上的惯性力集度为
2
D 2 Ar D qd (1 A r )( ) 2 2
2
o
FNd
FNd
d rv 2 [ ]
环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.
(Dynamic Loading)
例题4 重为G的球装在长L的转臂端部,以等角速度在光滑水平 面上绕O点旋转,已知许用应力[],求转臂的截面面积（不计转 臂自重） 解:
FG
（1）受力分析如图 惯性力为