多目标决策

单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。

从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这 类问题进行合理分析的方法和程序。

但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。

这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策 问题变得非常复杂。

总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和 运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。

13.1基本概念多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。

单目标决策，只要比较各待选方案的期望效 用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。

例13.1房屋设计某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要 求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：低造价（每平方米造价不低于 抗震性能 建造时间 结构合理造型美观 这三个方案的具体评价表如下。

表13.1三种房屋设计方案的目标值具体目标方案1 (A 1)方案2 (A 2)方案3 (A 3)低造价（元/平方米） 500 700 600 抗震性能（里氏级） 6.5 5.5 6.5 建造时间（年） 21.51结构合理（定性）中 优 良 造型美观（定性）良优中由表中可见，可供选择的三个方案各有优缺点。

某一个方案对其中一个目标来说是最优者，从另一个目标角度来看就不见得是最优，可能是次优。

比如从造价低这个具体目标出发，则方案 1较好；如从合理美观的目标出发，方案 2就不错；但如果从牢固性看，显然方案3最可靠等等。

1. 多目标决策问题的基本特点例13.1就是一个多目标决策问题。

类似的例子可以举出很多。

多目标决策问题除了目标不至一个 这一明显的特点外，最显着的有以下两点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。

目标间的不可公度性 是指各个目标没有统一的度量标准，因而难以直接进行比较。

例如房屋设计 问题中，造价的单位是元/平方米，建造时间的单位是年，而结构、造型等则为定性指标。

500元，不高于 700元）； （抗震能力不低于里氏 5级不高于7级）；（越快越好）；（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；（评价越高越好） 1) 2) 3) 4)5)f i (x *) f i (x)i 1,2, ,n(13.1.1)目标间的矛盾性 是指如果选择一种方案以改进某一目标的值，可能会使另一目标的值变坏。

如房 屋设计中造型、抗震性能的提高可能会使房屋建造成本提高。

2. 多目标问题的三个基本要素一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。

目标体系一是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构;备选方案一是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。

有的被选方案是明确的、有限的, 而有的备选方案不是明确的，还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。

决策准则一是指用于选择的方案的标准。

通常有两类，一类是最优准则，可以把所有方案依某个准 则排序。

另一类是满意准则，它牺牲了最优性使问题简化，把所有方案分为几个有序的子集。

如“可接 受”与“不可接受”；“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。

3. 几个基本概念1）劣解和非劣解劣解：如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。

这种通过比较可直接舍弃的方 案称为劣解。

非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。

非劣解在多目标决策中起非 常重要的作用。

单目标决策问题中的任意两个方案都 可比较优劣，但在多目标时任何两个解不一 定都可以比较出其优劣。

如图13.1 ,希望f 1 和f 2两个目标越大越好，则方案 之。

如果是非劣解，因为没有别的解比它优， 就无法简单淘汰。

倘若非劣解只有一个，当 然就选它。

问题是在一般情况下非劣解远不止一个，对于m 个目标，一般用m 个目标函数f 1（x ）, f 2（x ）,L , f m （x ）刻划，其中x 表示方案，而x 的约束就 是备选方案范围。

最优解：设最优解为x ，它满足f 2（第二目标值）方案D 和E 相比就无法简单定出其优劣。

但是方案E 和方案I 比较，显然E 比I 劣。

而对方案I 和H 来说，没有其它方案比它们 更好。

而其它的解，有的两对之间无法比较， 但总能找到令一个解比它们优。

类解就叫非劣解，而 A 、B 、C 、 G 叫作劣解。

如果能够判别某一解是劣解，I 、H 这一 D 、E 、F 、f i （第一目标值）则可淘汰图13.1 劣解与非劣解这就有待于决策者选择，选出来的解叫选好解。

2）选好解在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非 劣解，从中找出一个比较满意的方案。

这个比较满意的方案就称为选好解。

单目标决策主要是通过对各方案两两比较，即通过辨优的方法求得最优方案。

而多目标决策除了需 要辩优以确定哪些方案是劣解或非劣解外，还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。

权 衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图。

13.2 决策方法解决多目标决策问题的方法目前已有不少，本节主要介绍以下三种：化多目标为单目标的方法、重 排次序法、分层序列法。

决策的一般步骤为，第一步，判断各个方案的非劣性，从所有方案中找出全部 非劣方案，即满意方案。

第二步，在全部非劣方案中寻找最优解或选好解。

13.2.1化多目标为单目标的方法由于直接求多目标决策问题比较困难，而单目标决策问题又较易求解，因此就出现了先把多目标问 题转换成单目标问题然后再进行求解的许多方法。

下面介绍几种较为常见的方法。

1）主要目标优化兼顾其它目标的方法设有m个目标f1（x ）, f 2（x ）,….,f m （x ）, x R 均要求为最优，但在这 m 个目标中有一个是主要目标, 例如为f 1（x ），并要求其为最大。

在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即 就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：max f 1(x)x R{x f i f i (x) f i ,i 2,3,..., m; x R}例13.2 设某厂生产A 、B 两种产品以供应市场的需要。

生产两种产品所需的设备台时、原料等消13.2所示。

在制定生产计划时工厂决策者考虑了如下三个目标： A 的产量必 11个单位。

问题，今若将利润最大作为主要目标，则后面两个目标只要符合要求即可。

这样，上述问题就可变换成 单目标决策问题，并可用线性规戈甌行求解。

设X 1为产品A 的产量，X 2为产品B 的产量，则上述利润最大作为主要目标，其它两个目标可作为约束条件，其数学模型如下：max z 4x 1 3.2x 2(13.2.1)耗定额及其质量和单位产品利润等如表第一，计划期内生产产品所获得的利润为最大；第二，为满足市场对不同产品的需要，产品 须为产品B 的产量的1.5倍；第三，为充分利用设备台时，设备台时的使用时间不得少于13.2产品消耗、利润然，上述 题是一 标决策显 决策问 个多目max F(x)=mi f i(x)i 1(13.2.3)计算所有方案的F(X )值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。

在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可 首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决 定方案取舍。

3)平方和加权法设有m 个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f 1(x), f 2(x),…，f m (x)与规定的m 个满意值f 1* ,f 2* ,…，f m *的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：mF(x)= i (f i (x) f i )2i 1(13.2.4)并要求min F(x)，其中j 是第i(i=l,2,…)个目标的权重系数。

f k+1 (x),4)乘除法当有m个目标f1(x) ,f 2(x),…，f m (x)时，其中目标f 1(x) , f 2(x),…，f k (x)的值要求越小越好，目标f k (x),…，f m (X)的值要求越大越好，并假定 f k (x), f k+1(x),…，f m (X)都大于0。

于是可以采用如下目标函F(x)=f 1(X) f 2(x)f k (X) f k1(X)f k 2(X)f m (x)(13.2.5)并要求 min F(x)。

功效系数法5) 设有m 个目标f 1(x) , f 2(x),…，f m (x)，其中k 1个目标要求最大,k 2个目标要求最小。

赋予这些目标f i (x), f 2(x),…，f m (x)以一定的功效系数d i (i=1,2,…,m), 0 d i当第i 个目标达到最满意时 d i =1,最不满意时d i =o ，其它情形d i 则为0,1之间的某个值。

描述d i 与f i (x)关系的函数叫作功效函数， 表示。

不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数，如线性功效函数、指数型功效函数等。

图13.2所示为线性功效函数的两种类型。

图13.2a 所示为要求目标值越大越好的一种类型，即f i 值越大,d i 也越大。

图13.2b 为要求目标值越小越好的一种类型，即f i 越小，d i 越大。

用 d i =F(f i )2X 1 4X 2 12(设备台式约束)3x 13x 212(原料约束)st. X 1 1.5X 20(目标约束)(13.2.2)2x 1 4x 2 11(目标约束)X 1,X 2(线性规划问题及后面所介绍的目标规划问题的求解过程请参阅《运筹学》有关部分。

2)线性加权和法设有一多目标决策问题，共有f 1(x), f 2(x),…，f m (x)等m 个目标，则可以对目标 系数i (i=1, 2,…，m ),然后构成一个新的目标函数如下：f i (x)分别给以权重记max f i(x)= f imax，min f i (x)=f imin，若要求个目标的功效系数d i的值为d i(f i(x)) yx) ：iminf i max f i min若要求f i(X)越小越好，则可设d i(f imin) 1, d i(f imax) 0,第i个目标的功效系数f i mina)目标值愈大愈好的类型b) 目标值愈小愈好的类型d i(f i(x)) 1 単(13.2.7)i max ' i min同理，对于指数型功效函数的两种类型，亦可类似地确定d i的取值。

当求出n个目标的功效系数后，即可设计一个总的功效系数，设以D m d1d2d m (13.2.8)max D。

作为总的目标函数，并使从上述计算D的公式可知，D的数值介于0、1之间。

当D = 1时，方案为最满意，为最差。