第八章 平面解析几何椭圆
椭圆 解析几何-高中数学课件-第5节
第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第5节 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升知识诊断基础夯实Z H I S H I Z H E N D U A N J I C H U H A N G S H I知识诊断 基础夯实11.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若________，则集合P 为椭圆；②若________，则集合P 为线段；③若________，则集合P 为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a ＞c a ＝c a ＜c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2－b2[常用结论]诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(选修一P 115习题3.1T6改编)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆解析 连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2考点一 椭圆的定义及应用C(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.(2)若△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为_______________________.解析 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三点不能共线，考点二 椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；解 若焦点在x轴上，∵椭圆过点A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，若焦点在y轴上，∵椭圆过点A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，解 设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.BCD解析 依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶点，则|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，考点三 椭圆的简单几何性质角度1 离心率A易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，解析 ∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2 与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，D解析 设左焦点F0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.解析 由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升31.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析 动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离,则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.B 【A级 基础巩固】DBB所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，C由题可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，CCD△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件
基
础
·
自
主 学
第八章 平面解析几何
课
习
时
分
第五节 椭 圆层明 考 Nhomakorabea训 练
向
·
题
型
突
破
1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. ①当 2a>|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2； ③当 2a<|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，
则 C 的方程是( ) A.x32＋y42＝1
C.x42＋y22＝1 D [椭圆的焦点在 x 轴上，c＝1.
B.x42＋
y2 ＝1 3
D.x42＋y32＝1
又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x42＋y32＝1.]
2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量， 即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组，若焦点 位置不确定，可把椭圆方程设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
[变式训练 1] (1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.
高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课件理北师大版
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
题型一 椭圆的定义与标准方程 1．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦
点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( C )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析：由椭圆的方程得 a＝ 3．设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定 义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA| ＝ |BA|＋ |BF|＋ |CF|＋ |CA|＝ (|BA|＋ |BF|)＋ (|CF|＋ |CA|)＝ 2a＋ 2a＝ 4a＝ 4 3．
第八章 平面解析几何 第五节 椭圆
命题义、标准方程、本节主要考查考生的
几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的 数学运算、直观想象
命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、 核心素养及考生对数
三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现， 形结合思想、转化与
1．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于
点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( D )
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
第8章平面解析几何第5节 椭圆课件 高考数学一轮复习
又因为 0＜e＜1，所以13≤e＜1，
故椭圆的离心率的取值范围为13，1.
内容索引
2 若例 4 的条件变为“∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且 cos α＝ 55，
cos(α＋β)＝－45”，则椭圆的离心率为________. 【解析】 因为 α，β 是△PF1F2 的内角，所以 0<α<π，0<α＋β<π.由
【答案】 C
内容索引
2. (2023 全国高三专题练习)已知△PQF 的顶点 P，Q 在椭圆1x62 ＋1y22 ＝
1 上，顶点 F 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边 PQ 上，则
△PQF 的周长是( )
A. 12
B. 4 3
C. 16
D. 10
【分析】 利用椭圆的定义求解即可．
内容索引
【答案】
3 3
内容索引
1 在例4中，若将条件变为“点P到两焦点的距离之比为2∶1”， 试求椭圆的离心率的取值范围．
【解析】 设点 P 到两个焦点的距离分别是 2k，k.根据椭圆定义，得
3k＝2a.
又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为
2c，即 k≤2c，
所以 2a≤6c，即 e≥13.
【解析】椭圆方程化为x92＋y52＝1，设 F1 是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)， 所以 AF1＝ 2，所以 PA＋PF＝PA－PF1＋6.又－AF1≤PA－PF1≤AF1(当点 P，A，F1 共线时，等号成立)，所以 PA＋PF 的最大值为 6＋ 2，最小值 为 6－ 2.
【答案】 6＋ 2 6－ 2
内容索引
活动二 典型例题
题组一 椭圆的定义及标准方程 1 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1) 经过 P(－2 3，0)，Q(0,2)两点； (2) 与椭圆x42＋y32＝1 有相同的焦点且经过点(2，－ 3)．
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 85 椭圆课件
率)．
相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线
2．了解椭圆的简单应用．
与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，
3．理解数形结合的思想.
转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指
导作用，对运算能力的培养.
考点多维探究
考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为( )
A.x82＋y22＝1
B.1x22 ＋y62＝1
解析 ∵椭圆的离心率为 23，
C.1x62 ＋y42＝1
D.2x02 ＋y52＝1
∴ca＝ a2a－b2＝ 23，∴a＝2b.∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，
解析 由 x2＋my2＝1⇒y12＋x12＝1. m
m1 ＝2 1得 m＝14.
典例1
(1)[2013·广东高考]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程
是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件
∴P 点坐标为
215，1或
215，－1.
1 23 45
解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 椭圆定义的应用
例1 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上
一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD
与OM交于点P，则点P的轨迹是( A )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( A )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析 ∵△AF1B 的周长为 4 3，∴4a＝4 3，
∴a＝ ∴b＝
3a，2－∵c2离＝心2率，为∴3椭3，圆∴Cc的＝方1，程为x32＋y22＝1.
答案
(5)ay22＋bx22＝1 (a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( × ) (6)ax22＋by22＝1 (a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
答案
2
考点自测
C
1 23 45
解析答案
B
1 23 45
高考数学大一轮复习-第八章 平面解析几何 第5课时 椭圆课件 北师大版
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的左、
右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且| P→F1 |·| P→F2 |的最大 值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝ a2－b2 .则椭圆M的离心率e的
取值范围是( )
A.
33，
2 2
C. 33，1
B. 22，1 D.13，12
解析：∵|PF1||PF2|≤
1．(2015·高考广东卷)已知椭圆
x2 25
＋
y2 m2
＝1(m>0)的左焦点为
F1(－4,0)，则m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．9
解析：由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，
解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.
答案：B
2．(2016·辽宁五校联考)椭圆M：
x2 a2
x2 25
＋
1y62 ＝1或1x62 ＋2y52 ＝1.
答案：C
3．(2016·渭南五校联考)椭圆
x2 9
＋
y2 4＋k
＝1的离心率为
4 5
，则k
的值为( )
A．－21
B．21
C．－1295或21
D.1295或21
解析：当9＞4＋k即k＜5时a＝3，c2＝9－(4＋k)＝5－k，∴ 53－k＝45，解得k＝－1295.当9＜4＋k即k＞5时a＝ 4＋k，c2＝k－5.
点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为
60°，F1到直线l的距离为2 3.
①求椭圆C的焦距；
②如果A→F2＝2F→2B，求椭圆C的方程．
审题视点 (1)由|AF1|＋|AF2|＝10，|BF1|＋|BF2|＝10，且|AF1| ＋|F1B|＝|AB|，再结合题设可得出结论；
第八章 平面解析几何第五节 椭圆1
c 3 (|MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋|NF2|)＝2a＋2a＝8，解得 a＝2，又 e＝a＝ 2 ，故 c ＝ 3，即椭圆 C 的焦距为 2 3，故选 C。 答案 C
x2 y2 2．(考向 2)已知 F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点， → → 点 P 在椭圆上且满足PF1· PF2＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是(
解析
r1＋r2＝2a， (1)设|PF1|＝r1， |PF2|＝r2， 则 2 2 所以 2r1r2＝(r1＋r2)2 2 r1＋r2＝4c ，
2 2 2 2 －(r2 1＋r2)＝4a －4c ＝4b ，所以
1 S△PF1F2＝2r1r2＝b2＝9，所以 b＝3。
答案
(1)3
x2 y2 (2)已知椭圆 4 ＋b2＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为点 F1，F2，过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， 若|BF2|＋|AF2|的最大值为 5， 则 b＝_________。
3 A． ，1 3 3 2 B． ， 2 3 2 D． 0， 2
)
1 1 C． 3，2
x2 y2 b2 2 → 2 2 解析 设 P(x，y)，则a2＋b2＝1(a>b>0)，y ＝b －a2x ，－a≤x≤a，PF1
2 2 2 2
答案
y2 x2 (2)20＋ 4 ＝1
y2 x2 解析：设所求椭圆方程为 ＋ ＝1(k<9)，将点( 3，－ 5)的坐 25－k 9－k － 52 32 标代入可得 ＋ ＝1，解得 k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标 25－k 9－k y2 x2 准方程为20＋ 4 ＝1。
椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在 轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在 轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 ；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用 ， ， 表示，利用 ， ， 自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面成 角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点， 是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为 的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为 的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或 （舍去）.故选C.
第八章----平面解析几何第五节----椭圆2
所以 S△PAB＝21d|AB|＝12×2|m5|× 54－m2＝ m24－m2
≤m2＋24－m2＝2。
当且仅当 m2＝2，即 m＝± 2时取得最大值。
最值与范围问题的解题思路 1．构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解。 2．构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解。在解题 过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等。
y＝2x＋m，① 得方程组x42＋y22＝1，②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0。③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144。
(1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原 方程组有两组不同的实数解。这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点。
【变式训练】 直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为(
)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析 直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆 内部，故直线与椭圆相交。故选 A。
答案 A
考点二 弦长问题 【典例 2】 椭圆两顶点 A(－1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l 与椭 圆交于 C，D 两点。当|CD|＝32 2时，求 l 的方程。 解 由题意，知 b＝1，c＝1。 所以 a2＝b2＋c2＝1＋1＝2。 所以椭圆方程为y22＋x2＝1。 若直线 l 斜率不存在时，|CD|＝2 2，不合题意。 若直线 l 斜率存在时，设 l 的方程为 y＝kx＋1，
Q→C＝Q→A＋Q→B＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝－4kk22＋＋21，k－2＋2k2， 所以|Q→C|2＝|Q→A＋Q→B|2＝16－k22＋8 2＋k2＋8 22， 由此可知，|Q→C|2 的大小与 k2 的取值有关。 由F→2A＝λF→2B可得 y1＝λy2，λ＝yy12，1λ＝yy21(y1y2≠0)。 从而 λ＋1λ＝yy12＋yy21＝y1＋yy212y－2 2y1y2＝－k62k＋2－2 4， 由 λ∈[－2，－1]得λ＋1λ∈－52，－2，
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解法二：设 P(2cosθ，sinθ)，依题意得点 F1(－ 3， 0)，F2( 3，0)，P→F1·P→F2＝(－ 3－2cosθ)( 3－2cosθ)＝ 4cos2θ＋sin2θ－3＝3cos2θ－2，，因为－2≤3cos2θ－2≤1， 所以|P→F1·P→F2|的最大值是 2，选 C.
二、焦点三角形问题
椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角 形．习惯上，称作焦点三角形，在焦点三角 形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三 角形问题经常从以下几个方面入手：
①定义 ②正、余弦定理 ③三角形面积．
[例1] 已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在 定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切， 则动圆圆心P的轨迹方程为__________．
答案：8
[例 2] 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2 作椭
圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角
形，则椭圆的离心率是( )
2 A. 2
2－1 B. 2
C．2－ 2
D. 2－1
解析：由已知得：ba2＝2c，∴b2＝2ac
即 a2－c2＝2ac 变形为 e2＋2e－1＝0
重点难点 重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质． 难点：椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程
的求法． 知识归纳 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常
数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
2．椭圆的标准方程与几何性质
误区警示
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正 确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常 数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不 存在的情况．
答案：C
(文)(09·浙江)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P，若A→P＝2P→B，则椭圆的离心率是( )
3 211 A. 2 B. 2 C.3 D.2
解析：由题意知：F(－c,0)，A(a,0)． ∵BF⊥x 轴，∴APPB＝ac.又∵A→P＝2P→B， ∴ac＝2，∴e＝ac＝12.故选 D.
故aa＋－cc＝＝94 ，∴ac＝＝52123
，∴e＝ac＝153.
答案：A
[例 3] 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形
面积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1B. 2C．2D．2 2解析：设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，则使三角形面积最 大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，
解得 e＝ 2－1，故选 D.
答案：D 点评：椭圆中有“两轴六点”，准确把握它
们之间的相互位置关系和a、b、c、e各量之 间的关系，才能结合题目条件形成简捷的解 题思路．
(文)(2010·广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长
度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
4
3
2
1
A.5
B.5
C.5
[例 4] (2010·福建文)若点 O 和点 F 分别为椭圆x42＋y32
＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则O→P·F→P
的最大值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
解析：由题易知 F(－1,0)，设 P(x，y)，其中－2≤x≤2， 则
O→P·F→P＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2 ＝x2＋x＋3－34x2＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2 当 x＝2 时，(O→P·F→P)max＝6.
D.5
解析：由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋ c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两 边都除以a2)⇒e＝ 或e＝－1(舍)，故选B.
答案：B
解析：设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为 a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9 或 a－c＝9，
又 b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，
答案：C
一、选择题
1．(文)若椭圆x22＋ym2＝1 的离心率为12，则 m＝(
分析：相切两圆连心线必过两圆的切点，设 切点为M，则B、P、M三点共线，∴|PB|＋ |PM|＝|BM|＝8，又A在⊙P上，∴|PA|＝ |PM|，从而|PB|＋|PA|＝8.
解析：如图，设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M，动圆 圆心 P 到两定点，即定点 A(－3,0)和定圆圆心 B(3,0)的距 离 之 和 恰 好 等 于 定 圆 半 径 ， 即 |PA| ＋ |PB| ＝ |PM| ＋ |PB| ＝ |BM|＝8.
所以点 P 的轨迹是以 A、B 为两焦点，长半轴长为 4， 短半轴长为 b＝ 42－32＝ 7的椭圆，方程为：
1x62 ＋y72＝1.
已知F1、F2为椭圆
＝1的两个焦点，
过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋
|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB| ＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8.
∴S＝12×2c×b＝bc＝1≤b2＋2 c2＝a22. ∴a2≥2. ∴a≥ 2.∴长轴长 2a≥2 2，故选 D.
答案：D
椭圆x92＋2y52 ＝1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时，点 P 的坐标是________．
解析：设椭圆上点 P 到两焦点的距离分别 为 u、v，则 u＋v＝10，uv＝m；设∠F1PF2＝θ， 由余弦定理可知 cosθ＝u2＋v22u－v 2c2，即 u2＋ v2－2uvcosθ＝64⇒m＝1＋1c8osθ，显然，当 P 与 A 或 B 重合时，m 最大． 答案：(－3,0)或(3,0)
一、函数与方程的思想、待定系数法
在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题 中，常将所求量表达为其它量的函数，运用 函数的方法解决．求圆锥曲线方程时，往往 是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其 几何特征，确定形状，设出其标准方程，然 后设法列出关于待定系数的方程或方程组求 待定系数．要注意解题过程中，设而不求、 整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根 与系数的关系求解．