(转)高二数学选修2-1、2-2、2-3知识点小结

2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥 曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在 求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用 几何意义去解决。
(± a2 b2 ,0)
(±a,0) x 轴，实轴长 2a y 轴，虚轴长 2b
(± a2 b2 ,0)
离心率 c a
ec a
1
b2 a2
0
e
1
e c a
1
b2 a2
e
1
准线 渐近线 焦半径 a,b,c,e，p
x a2 c
| PF1 | a ex0 | PF2 | a ex0
知二 求二
① 直线具有斜率 k ，两个交点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2 )
AB
1 k2 x1 x2
(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
1 1 k2
y1 y2
② 直线斜率不存在,则 AB y1 y2 .
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
6. 立体几何解题一般步骤 坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量
的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。
基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④ 将向量形式的结果转化为最终结果。
几何法：作、证、求 异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）； 线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决； 二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.
⑦ (ln x) 1 ； x
(2)导数的运算法则：
⑧ (loga
x)
1 x ln a
(a＞0，且
a≠1)．
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③ [ u( x) ] v(x)
u(x)v(x) u(x) v2 ( x)
选修 2－3 第一章 计数原理 知识点： 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在 第二类办法中有 M2 种不同的方法，……，在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法，那么完成这件事情 共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N 个步骤，做第一 步有 m1种不同的方法，做
二是建立不等式，通过解不等式求范围。 4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等） （4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利
用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点的距离差的绝对
求单调性的步骤：
① 确定函数 y f (x) 的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式 f '(x) 0或f '(x) 0 ；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不 能用“ ”连结。
8. 极值与最值
对于可导函数 f (x) ，在 x a 处取得极值，则 f '(a) 0 .
3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”
原命题 若p则q
互逆
互
否
互
为逆
否
为
逆
互 逆否命题
若 q 则 p
否 互逆
逆命题 若q则p
互 否
逆否命题
若 q 则 p
4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.
第二章 圆锥曲线与方程
1. 三种圆锥曲线的性质（以焦点在 x 轴为例）
（最后一定说明当 n=k+1 时，结论成立，根据（1）（2），结论对于 n N*(或者其他)成立，必不可
少）
第三章 数系的扩充与复数的引入
1. 复数的概念 三种表示形式：代数形式： z a bi ，复平面内点 Z(a,b)，向量 OZ .
2. 区分实数，虚数，纯虚数，复数 3. 复数的四则运算及其几何意义 4. 复数的模
3. 直线与圆锥曲线的位置关系 （1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、
相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线
方程联立时二次项系数是否为 0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 0 、 0、 0.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的 位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等； ②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：x1 x2 2
2x0 ,
y1 2
y2
2 y0,
y2 x2
y1 x1
k
）
（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
v( x)
(v(x)
0)
.
5. 设函数 u (x) 在点 x 处有导数 ux (x) ，函数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导 数
yu f u ， 则 复 合 函 数 y f ((x)) 在 点 x 处 也 有 导 数 ， 且 y'x y'u u'x 或
f x ((x)) f (u) (x) 。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
中间变量对自变量的导数。
6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的
选取，以及区间的分割.微积分基本定理
b a
f (x)dx F (x) |ba F (b) F(a) .
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。
7. 函数的单调性
（1）设函数 y f (x) 在某个区间（a，b）可导，如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为增函数；
的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号 Anm 表示。
Am n(n 1)(n m 1) n! (m n, n, m N) (n m)!
最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若 f (x) 在开区间 (a, b) 有唯一的极值点，则是最值点。
求极值步骤：
① 确定函数 y f (x) 的定义域（不可或缺，否则易致错）；
② 解不等式 f '(x)=0 ；
③ 检验 f '(x)=0 的根的两侧的 f '(x) 符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（ k1k2 1）
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟
练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；
四点共面 MP xMA yMB(x, y R)
④ 空间向量基本定理 p xa yb zc(x, y, z R) （不共面的三个向量 a, b, c 构成一组基
底，任意两个向量都共面）
2. 平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（ a, b 是 a,b 的方向向量， n 是平面 的法向量）
线线平行： a / /b a / /b 线面平行： a / / a n 或 a / /b ， b 或 a xb yc(b，c 是 内不共线向量）
面面平行： // n1 / /n2
3. 垂直
线线垂直： a b a b a b 0
线面垂直： a a / /n 或 a b, a c (b，c 是 内不共线向量）
x a2 c
ybx a
(0,0) x轴
( p ,0) 2
e＝1
x p 2
|
PF
|
x0
Fra Baidu bibliotek
p 2
第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量及其运算
①
a
aa
x12
y12
z12
d
,
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
② 共线向量定理： a / /b a b (b 0) ③ 共面向量定理： p, a,b共面 p xa yb(x, y R) ；
选修 2-1、2-2、2-2 知识点（转载）
选修 2-1
第一章 常用逻辑用语
1. 命题及其关系 ① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假
2. 充分条件与必要条件
p 是 q 的充要条件： p q p 是 q 的充分不必要条件： p q, q p p 是 q 的必要不充分条件： q p, p q p 是 q 的既充分不必要条件： p q, q p
选修 2-2 第一章 导数及其应用
1. 平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
2. 导数（或瞬时变化率） 导函数(导数)：
f (x0)
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
3. 导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切
| |
（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；
③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无
需说明理由））
5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P 到平面 的距离 d | PA n | （其中 A 是平面 内任一点， n 为平面 的法向量） |n|
与两个定点的距离和等于
值等于常数
与一个定点和一条
定义
常数 2a (2a | F1F2 |)
2a (2a | F1F2 |)
定直线的距离相等
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0)
y2 2 px( p 0)
图形
顶点坐标 对称轴 焦点坐标
(±a,0),(0,±b) x 轴，长轴长 2a y 轴，短轴长 2b
如果 f ' (x) 0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数；
（2）如果在某区间内恒有 f ' (x) 0 ，则 f (x) 为常数。
★★★反之，若已知可导函数 y f (x) 在某个区间上单调递增，则 f '(x) 0 ，且不恒为零；
可导函数 y f (x) 在某个区间上单调递减，则 f '(x) 0 ，且不恒为零.
线的斜率，即 k＝ f (x0)．
应用：求切线方程，分清所给点是否为切点 4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C 为常数)； ②( x )′＝ x 1 (x＞0， Q )； ③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex；
⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且 a≠1)；
第二步有 M2不同的方法，……，做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种
不同的方法。 3、排列：从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按．照．一．定．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列
4、排列数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素
值点. 求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某 某就是最大或者最小。
9. 恒成立问题 “ f (x) a f (x)max a ”和“ f (x) a f (x)min a ”，注意参数的取值中
“=”能否取到。
第二章 推理与证明 1. 分清概念：合情推理与演绎推理 2. 综合法 分析法的步骤规范 3. 反证法 步骤：①提出反设；②推出矛盾 ；③肯定结论 4. 数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤
面面垂直： n1 n2
4. 夹角问题
线线角 cos | cos a,b | | a b | （注意异面直线夹角范围 0 ）
| a || b |
2
线面角 sin | cos a, n | | a n | | a || n |
二面角
|
cos
||
cos
n1, n2
|
| n1 n2 | n1 || n2