21.巩固练习_对数及对数运算_基础
(完整版)对数的运算经典习题
（完整版）对数的运算经典习题1. 对数的定义根据定义，若幂运算 $a^x=b$，则 $x$ 称为以 $a$ 为底 $b$ 的对数，记作 $\log_a b=x$。
其中，$a$ 叫做对数的底数，$b$ 叫做真数。
2. 对数的运算规律对数具有一些运算规律，以下是常见的对数运算规律：2.1 对数的乘法规律$\log_a (b\times c)=\log_a b+\log_a c$2.2 对数的除法规律$\log_a \frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c$2.3 对数的幂运算规律$\log_a b^c=c\times \log_a b$3. 经典题3.1 题一已知 $\log_2 3\approx 1.59$，求 $\log_8 27$3.2 题二设 $a>1$，若 $\log_a 8=x$，求 $\log_{\sqrt{a}} 32$。
3.3 题三求证：$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=1$3.4 题四已知 $\log_2\sqrt{a}=k$，求 $\log_4 a$。
参考答案3.1 答案由对数的换底公式可知：$$\log_8 27=\frac{\log_2 27}{\log_2 8}=\frac{\log_2 (3^3)}{3}=\frac{3\log_2 3}{3}=\log_2 3\approx1.59$$3.2 答案由对数的换底公式可知：$$\log_{\sqrt{a}} 32=\frac{\log_2 32}{\log_2\sqrt{a}}=\frac{5}{\frac{1}{2}\log_2 a}=\frac{10}{\log_2 a}=\frac{10}{x}$$3.3 答案根据对数的定义可知：$$\log_2 5+\frac{1}{\log_5 2}=\frac{\log_2 5\times\log_2 2}{\log_2 2}+1=1$$3.4 答案由对数的性质可知：$$\log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{k}{2}$$。
对数运算练习题
对数运算练习题一、基础练习1. 计算以下对数：(1) $\log_3{9}$(2) $\log_5{1}$(3) $\log_2{16}$(4) $\log_{10}{1000}$(5) $\log_4{\frac{1}{64}}$2. 计算以下对数的近似值（保留两位小数）：(1) $\log_2{5}$(2) $\log_3{7}$(3) $\log_{10}{2}$(4) $\log_5{2}$(5) $\log_6{49}$3. 求解以下方程：(1) $2^x = 16$(2) $3^{2x} = 9$(3) $10^x = 100$(4) $5^{3x} = 25$(5) $2^{4x} = \frac{1}{16}$二、进阶练习1. 已知 $\log_2{3} \approx 1.585$，计算以下近似值（保留三位小数）：(1) $\log_2{12}$(2) $\log_4{9}$(3) $\log_{16}{4}$(4) $\log_2{27}$(5) $\log_{\frac{1}{2}}{8}$2. 求解以下方程组：$\begin{cases} \log_2{x} + \log_3{y} = 3 \\ \log_5{x} - \log_3{y} = 1\end{cases}$3. 已知 $\log_a{p} = m$，$\log_a{q} = n$，求证 $\log_a{\frac{p}{q}} = m - n$。
四、挑战练习1. 已知 $a^2 + b^2 = 25$，且 $\log_2{a} - \log_4{b} = 1$，求解$a$ 和 $b$。
2. $\log_2{p} = \frac{1}{3}$，$\log_p{q} = \frac{4}{5}$，求证$\log_q{\sqrt{p}} = -\frac{1}{2}$。
3. 计算 $\left(\log_3{2}\right)^4 - \left(\log_2{3}\right)^6$。
(完整版)对数与对数的运算练习题及答案
对数与对数运算练习题及答案一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3 B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6B ．5C ．1D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C.ab 2c 3 D.2ab 3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－15． 的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52 D ．1＋526．Log 22的值为( )A ．－ 2 B. 2C ．－12 D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a <2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19 B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为() A ．9 B ．8C ．7D ．610．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15B ．lg5C ．2lg5D ．2lg 1511．计算log 89·log 932的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74二．填空题1． 2log 510＋log 50.25＝____.2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______.3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______.4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示)7．log 6[log 4(log 381)]＝_______.8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______三.计算题1．计算：(1)2log 210＋log 20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2(3)log 6112－2log 63＋13log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；2．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．对数与对数运算练习题答案一．选择题1． C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8 A 9. A 10. B11.B 12.D二．填空题1. 22. 23. e4. x ＝log 375. 96. m ＋2n7. 08. 1<x <3且x ≠2三．计算题1.解： (1)2log 210＋log 20.04＝log 2(100×0.04)＝log 24＝2(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1 (3)log 6112－2log 63＋13log 627＝log 6112－log 69＋log 63 ＝log 6(112×19×3)＝log 6136＝－2. (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)＝log 2(2＋3)(2－3)＝log 21＝0.2. [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2，∴m ＝9.。
新教材高中数学第4章对数运算与对数函数2 1对数的运算性质巩固练习含解析北师大版必修第一册
2.1对数的运算性质课后训练·巩固提升1.log242+log243+log244等于()A.1B.2C.24D.12242+log243+log244=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.2.化简12log612-2log6√2的结果为()A.6√2B.12√2C.log6√3D.12=log6√12-log62=log6√122=log6√3.故选C.3.方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根的积x1x2等于()A.lg 2+lg 3B.lg 2lg 3C.16D.-6lg x1+lg x2=-(lg2+lg3),∴lg(x1x2)=-lg6=lg6-1=lg16,∴x1x2=16.故选C.4.21+12log25的值等于()A.2+√5B.2√5C.2+√52D.1+√521+12log25=2×212log25=2×2log2√5=2√5,选B.5.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为()A.a-2B.5a-2+a)2 D.3a-a2-1log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.6.已知a 23=49(a>0),则lo g23a=.a 23=49,∴a2=64729,∴a=827=(23)3,∴lo g23a=lo g23(23)3=3.7.计算(lg 14-lg25)÷100-12= .14-lg25)÷100-12=(lg 1100)÷10-1=-2×10=-20.208.lg 0.01+log 216的值是 ..01+log 216=lg 1100+log 224=-2+4=2.(lg x )2+lg x 5-6=0.(lg x )2+5lg x-6=0,即(lg x+6)(lg x-1)=0,所以lg x=-6或lg x=1,解得x=10-6或x=10.经检验x=10-6和x=10都是原方程的解,所以原方程的解为x=10-6或x=10.1.计算log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72的值为( ) A.-14B.4C.-154D.154=log 3√274-log 33+lg52+lg22+2=14log 333-1+2lg5+2lg2+2=34-1+2+2=154.2.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=( ) A.124 B.112 C.18 D.382+log 23<2+log 24=4,3+log 23>3+log 22=4,故f (2+log 23)=f (2+log 23+1)=f (3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3·12log 23=18×13=124.3.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根,则(lg a b )2的值为( ) A.2B.12C.4D.14a b )2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a lg b=22-4×12=2.4.若lg 2=a ,lg 3=b ,则用a ,b 表示lg √45= .√45=12lg45=12lg(5×9)=12lg5+12lg9=12(1-lg2)+lg3=-12lg2+lg3+12=-12a+b+12. -12a+b+125.已知2x =9,log 283=y ,则x+2y 的值为 .2x =9,得log 29=x ,所以x+2y=log 29+2log 283=log 29+log 2649=log 264=6.6.求下列各式的值:(1)log 535+2log 5√2-log 515-log 514; (2)〖(1-log 63)2+log 62·log 618〗÷log 64;(3)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2√3)2+lg 0.06+lg 16.原式=log 535+log 52-log 515-log 514=log 535×215×14=log 535014=log 525=2. (2)原式=[(log 663)2+log 62·log 6362]÷log 64=〖(log 62)2+log 62(log 636-log 62)〗÷log 64=〖(log 62)2+2log 62-(log 62)2〗÷log 64=2log 62÷log 64=log 64÷log 64=1.(3)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg 6100-lg6=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg6-2-lg6=3·lg5·lg2+3lg5+3·(lg2)2-2=3lg2(lg2+lg5)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1. f (x )=x 2+(lg a+2)x+lg b ,f (-1)=-2,方程f (x )=2x 至多有一个实根,求实数a ,b 的值.f (-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg b a =-1=lg 110,所以b a =110,即a=10b.又因为方程f (x )=2x 至多有一个实根,即方程x 2+(lg a )x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a )2-4lg b ≤0,即〖lg(10b )〗2-4lg b ≤0,所以(1-lg b )2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100. 故实数a ,b 的值分别为100,10.a>1,若对于任意的x ∈〖a ,2a 〗,都有y ∈〖a ,a 2〗满足方程log a x+log a y=3,求a 的取值范围.log a x+log a y=3,∴log a (xy )=3.∴xy=a 3.∴y=a 3x . ∵函数y=a 3x (a>1)在(0,+∞)上是减函数,又当x=a 时,y=a 2,当x=2a 时,y=a 32a =a 22,∴[a 22,a 2]⊆〖a ,a 2〗.∴a 22≥a.又a>1,∴a ≥2.∴a的取值范围为〖2,+∞).。
对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）lg 0.001； （2）4log 8； （3）第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6l g 0.1= . ※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）. A.12B. 1C. 24．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）y （2）y【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.AC3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy a a a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4．函数y ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2]5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =++； （2）y9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.B. 2C.D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a的值为43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.43，15，310B. 43，310，15C. 15，310，43D. 43，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+B. 2log y = C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6．函数())f x x =是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留24am 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则(1)na x -=，即110211()()22n =，解得n =5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数.第※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点 A. 16 B. 2 C. 116 2．下列函数在区间(0,3) A. 1y x= B. 12y x = C. y 3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7= A. c <b <a B. c <a <b C. a <b 4．如图的曲线是幂函数n y x =4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 12,,2- C. 11,2,2,22-- D. 12,2--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1) A.12y x = B. 4y x = C. y =6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)27．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a ++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x x e af x a e=+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a -=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =-- ∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%.由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8，解得1001) 1.1x ≤⨯≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）. A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数2()lg(31)f x x =++的定义域是（ ）. A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4).（1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；1 () 2x m恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式()f x>。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。
2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。
自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
对数与对数运算练习题
对数与对数运算练习题在数学中，对数是解决指数问题的一种重要工具。
对数运算是指对数之间的各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
本文将提供一些对数与对数运算的练习题，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：基础对数运算1. 计算 log₄ 16。
2. 计算 log₂ 8 + log₄ 2。
3. 计算 log₃ 9 - log₅ 125。
4. 计算 log₁₀ 100 - log₁₀ 10。
练习题二：对数的性质运用1. 若logₓ y = 3，计算logₓ √y 的值。
2. 若logₓ y = a，logₓ z = b，求logₓ (yz) 的值。
3. 若logₐ b = x，logₓ b = y，求logₐ x 的值。
4. 若 log₂ a = m，log₂ b = n，求logₐ (ab) 的值。
练习题三：对数方程的求解1. 解方程logₓ (x - 2) = 1。
2. 解方程 log₂ (3x + 1) = log₂ (2x - 4)。
3. 解方程 log₄ (x² - 5x + 4) = 2。
练习题四：对数运算的应用1. 在化学实验中，若酸的浓度 c 可以表示为 pH = -log₁₀ c，若某酸的浓度为 10⁻⁴ mol/L，求其 pH 值。
2. 若一座大楼的高度 H 可以表示为 H = log₂ (t + 5) + 10，其中 t 为某物体从大楼顶部自由下落所需时间（单位：秒），求当 t = 2 时，大楼的高度 H。
以上是对数与对数运算的练习题，通过解题的过程，我们可以更好地理解对数的概念及其运算规律。
希望这些练习题能够帮助读者提高对数的应用能力，并在数学学习中取得更好的成绩。
对数的运算及练习(带解析)
4.3.2 对数的运算1．对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 2．换底公式若a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1， 则有log a b ＝log c blog c a．1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6D ．1D 解析：log 84＋log 82＝log 88＝1. 2．计算log 510－log 52等于( ) A ．log 58 B ．lg 5 C ．1D ．2 C 解析：log 510－log 52＝log 55＝1. 3．计算2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 C 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 4．计算log 23·log 32＝________． 1 解析：log 23·log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1. 5．计算log 225·log 322·log 59＝________． 6 解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.【例1】(1)若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 45lg 12＝( ) A.a ＋2b 2a ＋b B.1－a ＋2b 2a ＋bC.1－b ＋2a 2a ＋bD.1－a ＋2b a ＋2b(2)计算：lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________．(1)B (2)－1 解析：(1)lg 45lg 12＝lg 5＋lg 9lg 3＋lg 4＝1－lg 2＋2lg 3lg 3＋2lg 2＝1－a ＋2b2a ＋b .(2)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.【例2】计算：(1)log 345－log 35； (2)log 2(23×45)；(3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(4)log 29·log 38.解：(1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213) ＝13log 22＝13. (3)原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg⎝⎛⎭⎫3×41032lg 1210＝32lg1210lg 1210＝32.(4)log 29·log 38＝log 232·log 323 ＝2log 23·3log 32＝6log 23·1log 23＝6.利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理；②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．提醒：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.解：(1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12（lg 2＋lg 9－lg 10）lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.【例3】已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645. 解：因为18b ＝5，所以log 185＝b . (方法一)log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.(方法二)因为lg 9lg 18＝log 189＝a ， 所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18， 所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．1．已知2x ＝3y ＝a ，且1x ＋1y ＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6D 解析：因为2x ＝3y ＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝±6.又a ＞0，所以a ＝ 6. 2．求值：(1)log 23·log 35·log 516； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.探究题1 若log 23＝a ，log 25＝b ，则用a ，b 表示log 415＝________． a ＋b 2 解析：log 415＝log 215log 24＝log 23＋log 252＝a ＋b2.探究题2 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．解：∵3a ＝5b ＝c ， ∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5， ∴1a ＋1b ＝logc 3＋log c 5＝log c 15＝2. 得c 2＝15， 即c ＝15.解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有： (1)将真数化为“底数”；(2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p 的值； (2)证明：1z －1x ＝12y.解析：设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32. (2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y .对数的运算练习(30分钟60分)1.(5分)计算：log153－log62＋log155－log63＝()A．－2B．0C．1 D．2B解析：原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.2．(5分)设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．ab D．a＋bB解析：∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a＋ba.3．(5分)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．logab•logcb＝logcaB．logab•logca＝logcbC．loga(bc)＝logab•logacD．loga(b＋c)＝logab＋logacB解析：由logab•logcb＝lg blg a•lg blg c≠logca，故A错；由logab•logca＝lg blg a•lg alg c ＝lg blg c＝logcb；loga(bc)＝logab＋logac，故C，D错．故选B.4．(5分)如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么()A．x＝ab3c5 B．x＝3ab5cC．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3A解析：lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgab3c5，由lg x＝lgab3c5，可得x＝ab3c5. 5．(5分)log2 4等于()A.12B.14C．2 D．4D解析：log2 4＝log2 (2)4＝4.6．(5分)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为()A．b－a＋1B．b(a－1)C．b－a－1D．b(1－a)A解析：lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg 102＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.7.(5分)方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________．2解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1，∴x>0，x＋3>0，x2＋3x－10＝0，解得x＝2.8.(5分)若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝________．1解析：3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，2y＝log64，即1y＝log62，故2x＋1y＝log63＋log62＝1.9.(5分)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝________(用a，b表示)．3＋ab1＋ab解析：由log23＝a，log37＝b，得log27＝ab，则log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab. 10.(15分)计算．(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－23＝－32.。
对数及其运算练习题含答案
对数及其运算练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知2x=3y=m，且1x +1y=2，则m的值为( )A.√2B.√6C.√22D.62. lg25−2lg12+log2(log2256)=( )A.3B.4C.5D.63. 计算lg2−lg15−e ln2−(14)−12+√(−2)2的值为（）A.−1B.−5C.32D.−524. 函数f(x)=lg(x2−1)−lg(x−1)在[2,9]上的最大值为()A.0B.1C.2D.35. 若函数f(x)=|ln x|满足f(a)=f(b)，且0<a<b，则4a2+b2−44a+2b的最小值是( )A.0B.1C.32D.2√26. 已知函数f(x)={2x,x≥4,f(x+1),x<4,则f(2+log23)的值为()A.8B.12C.16D.247. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为( )（结果精确到0.1．参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771．）A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天8. 碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：log 20.7719≈−0.3735，log 20.7674≈−0.3820，log 20.7628≈−0.3906）( ) A.75.42% B.76.28% C.76.74% D.77.19%9. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n+2=a n+1+a n (n ∈N ∗)故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a n =√5[(1+√52)n−(1−√52)n]．设n是不等式log √2[(1+√5)x −(1−√5)x ]>2x +11的正整数解，则n 的最小值为( ) A.11 B.10 C.9 D.810. 若b >a >1且3log a b +6log b a =11，则a 3+2b−1的最小值为________．11. 计算： log 26−log 23−3log 312+(14)12=________.12. 若函数f(x)=1+|x|+cos x x ，则f(lg 2)+f (lg 12)+f(lg 5)+f (lg 15)=_______.13. 正数x ，y 满足x +4y =2，则log 2x +log 2y 的最大值是________.14. 已知b >a >1，若log a b −log b a =32，且a b =b a ，则a −b =_______.15. 计算：e ln 12+π0−4−12+lg 4+lg 25=_________.16. 已知函数f(x)=log 2(3+x)+log 2(3−x)． (1)当x =1时，求函数f(x)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(3)若f(x)<0，求实数x 的取值范围．17.(1)化简：4x 14(−3x 14y −13)÷(−6x −12y −23)3；(2)计算：(log 43+log 83)(log 32+log 92).18. 计算下列各题.(1)log 2√748+log 212−12log 242−21+log 23 ；(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0；(3)已知log 23=a ，3b =7，求log 1256.19. 已知函数f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为−2，求a 的值．20. 已知函数f (x )=lg (2x−1+a) ，a ∈R ． (1)若函数f (x )是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数y =f (x )与函数y =lg (2x )的图像的公共点的个数，并说明理由；(3)当x ∈[1,2)时，函数y =f (2x )的图像始终在函数y =lg (4−2x )的图象上方，求实数a 的取值范围．21. 已知f(x)=log a x ，g(x)=2log a (2x +t −2)(a >0, a ≠1, t ∈R)． (1)若f(1)=g(2)，求t 的值；(2)当t =4，x ∈[1, 2]，且F(x)=g(x)−f(x)有最小值2时，求a 的值；(3)当0<a<1，x∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析对数及其运算练习题含答案一、选择题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）1.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】2x=3y=m>0，可得x=log2m，y=log3m．代入利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵2x=3y=m>0，∴x=log2m，y=log3m．∴2=1x +1y=1log2m+1log3m=logm 2+logm3=logm 6，∴m2=6，解得m=√6．故选B．2.【答案】C【考点】对数及其运算【解析】本题考查对数式四则运算等基本知识，考查运算求解等数学能力．【解答】解：lg25−2lg12+log2(log2256)=lg100+log2(log228)=2+log28=5.故选C.3.【答案】A【考点】对数的运算性质对数及其运算【解析】利用指数，对数的性质和运算法则求解．【解答】解：原式=lg2+lg5−2−2+2 =lg10−2=1−2=−1．故选A.4.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=lg x 2−1x−1=lg(x+1)在[2,9]上单调递增，所以f(x)max=f(9)=lg10=1．故选B．5.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数及其运算函数的最值及其几何意义【解析】利用对数函数的性质可知ab＝1，进而目标式可转化为2a+b2−42a+b，通过换元令t=2a+b(t≥2√2)，进一步转化为t2−4t，利用函数y=t2−4t在[2√2,+∞)上的单调性，即可求得最值．【解答】解：依题意，|ln a|=|ln b|，又0<a<b，∴ln a+ln b=0，即ab=1，且0<a<1<b，又4a 2+b2−44a+2b =(2a+b)2−8ab2(2a+b)=2a+b2−42a+b，令t=2a+b≥2√2ab=2√2，当且仅当“2a=b”时取等号，则4a 2+b2−44a+2b =t2−4t，又函数y=t2−4t在[2√2,+∞)上单调递增，故y min=2√222√2=0，即4a2+b2−44a+2b的最小值为0．故选A.6.【答案】 D【考点】指数式与对数式的互化 对数及其运算 函数的求值【解析】本题考查指数式、对数式的运算． 【解答】解：因为3<2+log 23<4，所以f(2+log 23)=f(3+log 23)=23+log 23=8×3=24． 故选D ． 7.【答案】 A【考点】等比数列的前n 项和 数列的应用 对数及其运算 【解析】由题设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为12，其前n 项和为A n ，莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ，由题意可得：3(1−12n )1−12=2n −12−1，整理后求解即可．【解答】解：由题设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为12，其前n 项和为A n ，莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n , 则A n =3(1−12n )1−12，B n =2n −12−1， 由题意可得：3(1−12n )1−12=2n −12−1，整理得(2n )2−7×2n +6=0， 即(2n −1)(2n −6)=0，解得n =0（舍去）或n =log 26， 故n =log 26=lg 6lg 2=lg 2+lg 3lg 2≈0.3010+0.47710.3010≈2.6，即蒲、莞长度相等，所需时间为2.6天． 故选A ． 8. 【答案】 C【考点】对数及其运算指数式与对数式的互化【解析】 无【解答】解：∵ 每经过5730年衰减为原来的一半，∴ 生物体内碳14的含量y 与死亡年数t 之间的函数关系式为y =(12)t 5730．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有2021+168=2189年， 由题意可得，y =(12)21895730≈(12)0.3820=2−0.3820．因为log 20.7674≈−0.3820，所以y ≈2−0.3820≈0.7674=76.74%． 故选C ． 9.【答案】 D【考点】 对数及其运算 数列的函数特性 数列与不等式的综合 【解析】首先对不等式进行化简得出a n >√2)11√5，即a n 2>2115，根据数列的单调性，求出满足不等式成立的n 的最小值即可. 【解答】解：∵ n 是不等式log √2[(1+√5)x−(1−√5)x]>2x +11的正整数解， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n ]>2n +11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−2n >11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−log √2(√2)2n>11，∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n]−log √22n >11， ∴ log √2[(1+√5)n−(1−√5)n2n]>11， ∴ log √2[(1+√52)n−(1−√52)n]>11，∴ (1+√52)n−(1−√52)n>(√2)11，∴√5[(1+√52)n −(1−√52)n]>√2)11√5.令a n=√5[(1+√52)n−(1−√52)n]，则数列{a n}即为斐波那契数列，∴a n>√2)11√5，即a n2>2115.∵{a n}为递增数列，∴{a n2}也为递增数列.∵a7=13，a8=21，a72<2115，a82>2115，∴使得a n2>2115成立的n的最小值为8.故选D．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）10.【答案】2√2+1【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数及其运算【解析】本题考查对数的运算、基本不等式的应用．【解答】解：由b>a>1，得logab>1，b−1>0，又∵logb a=1log a b，∴3loga b+6log a b=11，解得loga b=3或logab=23（舍去），则a3=b，a3+2b−1=b+2b−1=(b−1)+2b−1+1≥2√2+1（当且仅当b−1=√2，即b=√2+1时，取等号），故a3+2b−1的最小值为2√2+1．故答案为：2√2+1．11.【答案】1【考点】有理数指数幂的化简求值对数及其运算【解析】无【解答】解：原式=1+log23−log23−12+12=1.故答案为：1．12.【答案】6【考点】对数及其运算函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(x)=1+|x|+cos xx，∴ f(−x)+f(x)=2+2|x|，∵lg12=−lg2,lg15=−lg5，∴ f(lg2)+f(lg 12)+f(lg5)+f(lg15)=2×2+2(lg2+lg5)=6，故答案为：6.13.【答案】−2【考点】基本不等式在最值问题中的应用对数及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为log2x+log2y=log2x+log2y+2−2=log2x+log2y+log24−2=log2(4xy)−2，因为x+4y=2，所以log2(4xy)−2≤log2(x+4y2)2−2=−2，当且仅当x=4y，即x=1，y=14时取等号，故log2x+log2y的最大值是−2.故答案为：−2．14.【答案】−2【考点】对数及其运算 【解析】 无【解答】解： 令log a b =t ，则log b a =1t .∵ b >a >1，则t >0，∴ t −1t =32，解得t =2，或t =−12（舍去）， ∴ log b a =12，即b =a 2.∵ a b =b a ，∴ a a 2=(a 2)a ，即a 2=2a ， ∴ a =2，b =4， ∴ a −b =−2． 故答案为：−2． 15.【答案】 3【考点】对数的运算性质 对数及其运算【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可. 【解答】解：e ln 12+π0−4−12+lg 4+lg 25 =12+1−12+lg (4×25)=1+2=3 .故答案为：3.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 16.【答案】解：(1)f(1)=log 2(3+1)+log 2(3−1)=3； (2)由{3+x >03−x >0，解得：−3<x <3，定义域关于原点对称，而f(−x)=log 2(3−x)+log 2(3+x)=f(x)， 故函数f(x)是偶函数； (3)若f(x)<0，则log 2(3+x)+log 2(3−x) =log 2(3+x)(3−x)<0， 即0<9−x 2<1，解得：−3<x <−2√2或2√2<x <3． 【考点】对数函数的图象与性质对数值大小的比较 对数及其运算 函数奇偶性的判断【解析】（1）将x =1的值带入f(x)，求出f(1)的值即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）根据对数函数的性质，问题转化为0<9−x 2<1，解出即可． 【解答】解：(1)f(1)=log 2(3+1)+log 2(3−1)=3； (2)由{3+x >03−x >0，解得：−3<x <3，定义域关于原点对称，而f(−x)=log 2(3−x)+log 2(3+x)=f(x)， 故函数f(x)是偶函数； (3)若f(x)<0，则log 2(3+x)+log 2(3−x) =log 2(3+x)(3−x)<0， 即0<9−x 2<1，解得：−3<x <−2√2或2√2<x <3． 17. 【答案】 解：(1)原式=−12x 12y −13−216x−32y−2=x 12y −1318x−32y−2=x 12y −1318(x −2y −53)x 12y −13=118x −2y −53=1181x 21y 53=x 2y 5318.(2)原式=(lg 32lg 2+lg 33lg 2)(lg 2lg 3+lg 22lg 3) =12+14+13+16=54.【考点】 对数及其运算 分数指数幂【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用换底公式、对数的运算性质即可得出． 【解答】解：(1)原式=−12x 12y −13−216x−32y−2=x 12y−1318x −32y −2=x 12y −1318(x −2y −53)x 12y −13=118x −2y −53=1181x 21y 53=x 2y 5318.(2)原式=(lg 32lg 2+lg 33lg 2)(lg 2lg 3+lg 22lg 3) =12+14+13+16=54. 18. 【答案】解：(1)log 2√748+log 212−12log 242−21+log 23 =log 2√748+log 212−log 2√42−2⋅2log 23=log √748×12√42−2×3=log 22−12−6=−12−6=−132.(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0=4×(47)−1−214×234+1=7−2+1 =6.(3)∵ log 23=a ，3b =7， ∴ log 32=1a ， b =log 37，∴ log 1256=log 356log312=log 3(23×7)log 3(22×3)=3log 32+log 372log 32+1=3a +b 2a+1=3+ab 2+a.【考点】对数的运算性质根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值对数及其运算【解析】(1)利用对数的运算法则求解即可； (2)利用有理指数幂的运算求解即可；(3)由题意得到log 32=1a ， b =log 37，所以log 1256=log 356log 312=log 3(23×7)log 3(22×3)=3log 32+log 372log 32+1，代入即可. 【解答】解：(1)log 2√748+log 212−12log 242−21+log 23 =log 2√748+log 212−log 2√42−2⋅2log 23=log √748×12√42−2×3=log 22−12−6=−12−6=−132.(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0=4×(47)−1−214×234+1=7−2+1 =6.(3)∵ log 23=a ，3b =7， ∴ log 32=1a ，b =log 37， ∴ log 1256=log 356log 312=log 3(23×7)log 3(22×3)=3log 32+log 372log 32+1=3a +b 2a+1=3+ab 2+a.19. 【答案】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)． (2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3) =log a [(1−x )(x +3)] =log a (−x 2−2x +3) =log a [−(x +1)2+4]， ∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4． ∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4， 即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2， ∴ log a 4=−2， ∴ a −2=4， ∴ a =12. 【考点】对数函数的定义域 对数及其运算 对数函数的值域与最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)． (2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3) =log a [(1−x )(x +3)] =log a (−x 2−2x +3) =log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4． ∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4， 即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2， ∴ log a 4=−2， ∴ a −2=4， ∴ a =12. 20.【答案】解：(1)因为f (x )为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有f (x )+f (−x )=0， 即lg (2x−1+a)+lg (2−x−1+a)=0， 所以(a +2x−1)⋅(a −2x+1)=1，显然x ≠1，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x ≠−1．上面等式左右两边同时乘以(x −1)(x +1)得： [a (x −1)+2]⋅[a (x +1)−2]=x 2−1，化简得： (a 2−1)x 2−(a 2−4a +3)=0，上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有{a 2−1=0a 2−4a +3=0，解得a =1． (2)由(1)知a =1， 所以f (x )=lg (1+2x−1)， 即f (x )=lgx+1x−1，由x+1x−1>0得x <−1或x >1，所以函数f (x )定义域D =(−∞,−1)∪(1,+∞)，由题意，要求方程lg x+1x−1=lg 2x 解的个数，即求方程： 2x −2x−1−1=0在定义域D 上的解的个数． 令F (x )=2x −2x−1−1，显然F (x )在区间(−∞,−1)和(1,+∞)均单调递增，又F (−2)=2−2−2−3−1=14−13<0，F (−32)=2−32−2−52−1=2√215>0 ， 且F (32)=232−212−1=2√2−5<0, F (2)=22−21−1=1>0，所以函数F (x )在区间(−2,−32)和(32,2)上各有一个零点，即方程2x −2x−1−1=0在定义域D 上有2个解，所以函数y =f (x )与函数y =lg 2x 的图象有2个公共点．(3)要使x ∈[1,2）时，函数y =f (2x )的图象始终在函数y =lg (4−2x )的图象的上方， 必须使22x −1+a >4−2x 在x ∈[1,2)上恒成立，令t =2x ，则t ∈[2,4)，上式整理得t 2+(a −5)t +6−a >0在t ∈[2,4)恒成立， 分离参数得：a >−t 2+5t−6t−1=−(t−1)2+3(t−1)−2t−1=−(t −1+2t−1)+3, t −1∈[1,3)，因为t −1∈[1,3)，所以t −1+2t−1∈[2√2,113)，所以−(t −1+2t−1)+3∈(−23,3−2√2]，所以a >3−2√2，即实数a 的取值范围为(3−2√2,+∞)． 【考点】函数奇偶性的性质对数函数图象与性质的综合应用 对数及其运算 函数零点的判定定理 函数的单调性及单调区间 函数的最值及其几何意义 基本不等式在最值问题中的应用 函数恒成立问题 【解析】此题暂无解析 【解答】解：(1)因为f (x )为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有f (x )+f (−x )=0， 即lg (2x−1+a)+lg (2−x−1+a)=0， 所以(a +2x−1)⋅(a −2x+1)=1，显然x ≠1， 由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x ≠−1．上面等式左右两边同时乘以(x −1)(x +1)得： [a (x −1)+2]⋅[a (x +1)−2]=x 2−1， 化简得： (a 2−1)x 2−(a 2−4a +3)=0，上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有{a 2−1=0a 2−4a +3=0，解得a =1．(2)由(1)知a =1， 所以f (x )=lg (1+2x−1)，即f (x )=lg x+1x−1， 由x+1x−1>0得x <−1或x >1，所以函数f (x )定义域D =(−∞,−1)∪(1,+∞)，由题意，要求方程lg x+1x−1=lg 2x 解的个数，即求方程： 2x −2x−1−1=0在定义域D 上的解的个数． 令F (x )=2x −2x−1−1，显然F (x )在区间(−∞,−1)和(1,+∞)均单调递增，又F (−2)=2−2−2−3−1=14−13<0，F (−32)=2−32−2−52−1=2√215>0 ， 且F (32)=232−212−1=2√2−5<0, F (2)=22−21−1=1>0，所以函数F (x )在区间(−2,−32)和(32,2)上各有一个零点，即方程2x −2x−1−1=0在定义域D 上有2个解，所以函数y =f (x )与函数y =lg 2x 的图象有2个公共点．(3)要使x ∈[1,2）时，函数y =f (2x )的图象始终在函数y =lg (4−2x )的图象的上方， 必须使22x −1+a >4−2x 在x ∈[1,2)上恒成立，令t =2x ，则t ∈[2,4)，上式整理得t 2+(a −5)t +6−a >0在t ∈[2,4)恒成立， 分离参数得：a >−t 2+5t−6t−1=−(t−1)2+3(t−1)−2t−1=−(t −1+2t−1)+3, t −1∈[1,3)，因为t −1∈[1,3)，所以t −1+2t−1∈[2√2,113)，所以−(t −1+2t−1)+3∈(−23,3−2√2]，所以a >3−2√2，即实数a 的取值范围为(3−2√2,+∞)． 21. 【答案】解：(1)∵ f(1)=g(2)， ∴ 0=2log a (4+t −2)， 解得t =−1.(2)当t =4时，F(x)=g(x)−f(x)=log a (2x+2)2x，x ∈[1, 2].令ℎ(x)=(2x+2)2x =4(x +1x +2)，x ∈[1, 2].设u =x +1x ，x ∈[1, 2]，易知u(x)=x +1x 在[1, 2]上为单调增函数．∴ ℎ(x)在[1, 2]上是单调增函数， ∴ ℎ(x)min =16，ℎ(x)max =18． 当0<a <1时，有F(x)min =log a 18， 令log a 18=2，解得a =3√2>1（舍去）； 当a >1时，有F(x)min =log a 16， 令log a 16=2，解得a =4>1， ∴ a =4．(3)当0<a <1，x ∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a <1，x ∈[1, 2]时，log a x ≥2log a (2x +t −2)恒成立， 由log a x ≥2log a (2x +t −2)可得log a √x ≥log a (2x +t −2)， ∴ √x ≤2x +t −2， ∴ t ≥−2x +√x +2． 设u(x)=−2x +√x +2 =−2(√x)2+√x +2 =−2(√x −14)2+178.∵ x ∈[1, 2]，∴ √x ∈[1, √2]．∴ u(x)max =u(1)=1，∴ 实数t 的取值范围为t ≥1． 【考点】 对数及其运算函数的最值及其几何意义 函数恒成立问题【解析】（1）当t =4，x ∈[1, 2]，且F(x)=g(x)−f(x)有最小值2时，求a 的值；（2）当0<a <1，x ∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ f(1)=g(2)， ∴ 0=2log a (4+t −2)， 解得t =−1.(2)当t =4时，F(x)=g(x)−f(x)=log a (2x+2)2x，x ∈[1, 2].令ℎ(x)=(2x+2)2x=4(x +1x +2)，x ∈[1, 2].设u =x +1x ，x ∈[1, 2]，易知u(x)=x +1x 在[1, 2]上为单调增函数． ∴ ℎ(x)在[1, 2]上是单调增函数， ∴ ℎ(x)min =16，ℎ(x)max =18． 当0<a <1时，有F(x)min =log a 18， 令log a 18=2，解得a =3√2>1（舍去）； 当a >1时，有F(x)min =log a 16， 令log a 16=2，解得a =4>1， ∴ a =4．(3)当0<a <1，x ∈[1, 2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a <1，x ∈[1, 2]时，log a x ≥2log a (2x +t −2)恒成立， 由log a x ≥2log a (2x +t −2)可得log a √x ≥log a (2x +t −2)， ∴ √x ≤2x +t −2， ∴ t ≥−2x +√x +2． 设u(x)=−2x +√x +2 =−2(√x)2+√x +2 =−2(√x −14)2+178.∵ x ∈[1, 2]，∴ √x ∈[1, √2]．∴ u(x)max =u(1)=1，∴ 实数t 的取值范围为t ≥1．。
对数与对数运算练习题
对数与对数运算练习题对数与对数运算练习题数学是一门既抽象又具有深度的学科，其中对数是数学中的一个重要概念。
对数可以帮助我们解决各种问题，从科学计算到金融投资都离不开它。
在本文中，我们将通过一些对数运算练习题来加深对对数的理解。
1. 计算下列对数的值：a) log2(8)b) log5(125)c) log10(1000)d) log3(1/9)解析：对数的定义是指数运算的逆运算。
例如，log2(8)表示以2为底，结果为8的对数。
因此，log2(8)的值是3，因为2的3次方等于8。
同样地，log5(125)的值是3，因为5的3次方等于125。
log10(1000)的值是3，因为10的3次方等于1000。
最后，log3(1/9)的值是-2，因为3的-2次方等于1/9。
2. 计算下列对数运算：a) log2(16) + log2(4)b) log3(27) - log3(9)c) log5(25) × log5(125)d) log6(36) ÷ log6(6)解析：对数运算的性质包括加法、减法、乘法和除法。
a) log2(16) + log2(4)可以化简为log2(16 × 4)，即log2(64)。
log2(64)的值是6，因为2的6次方等于64。
同样地，b) log3(27) - log3(9)可以化简为log3(27 ÷ 9)，即log3(3)。
log3(3)的值是1，因为3的1次方等于3。
c) log5(25) × log5(125)可以化简为log5(25× 125)，即log5(3125)。
log5(3125)的值是5，因为5的5次方等于3125。
最后，d) log6(36) ÷ log6(6)可以化简为log6(36 ÷ 6)，即log6(6)。
log6(6)的值是1，因为6的1次方等于6。
3. 解决下列方程：a) log2(x) = 4b) log3(x) = 2c) log5(x) + log5(2) = 3d) logx(64) = 2解析：解决对数方程的关键是将其转化为指数方程。
巩固练习_对数及对数运算_基础
【巩固练习】1．下列说法中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可化为对数式C ．以10为底的对数叫做常用对数D ．以e 为底的对数叫做自然对数2．有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．下列等式成立的有（ ）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=； A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 4．对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞5．若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =；③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =．A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④6．若lg lg x y a -=，则33lg()lg()22x y -=（ ）A ． 3aB ． 32aC ．aD ．2a 7．（2016春 福建期末）已知52a =，则52log 803log 10-=（ ）A ．432a a --B ．432a a --C ．a ―2D ．342a a-- 8．若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈9．计算662log 3log 4+的结果是（ ）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3 10．若312log 19x -=，则x = ． 11．若2log 2,log 3,m n a a m n a+=== ； 12．若2510a b ==，则11a b+= ．13．（2015 河南源汇区一模）设21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48m =---+；7l o g 23log lg 25lg 47n =+++． 求m +n 的值．14．计算下列各式的值：（1）4log 200.59(ln 5)()24++（2）23log 1lg 3log 2lg 5-⋅-．【答案与解析】1．【答案】B【解析】由对数的概念知，指数式x a 中，只有0a >，且1a ≠的指数式才可以化为对数式．2．【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．3．【答案】B 【解析】21lg lg102100-==-； 4．【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．5．【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．6．分析：直接利用对数的性质化简表达式，然后把lg lg x y a -=代入即可．【答案】A 【解析】33lg()lg()3(lg lg 2)3(lg lg 2)3(lg lg )322x y x y x y a -=---=-=故选A ．7．【答案】D【解析】∵52a =，∴5log 2a =，525522log 803log 10log 5log 163(log 2log 5)∴-=+-+5255314log 233log 54log 22log 2=+--=-- 342a a=-- 故选：D ．8．【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．9．【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ．10．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得1239x -=，解得13x =-． 11．【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．12．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．13．【答案】174【解析】∵210232133441(2)(9.6)(3)(1.5)1482992m =---+=--+=，7log 23315log lg 25lg 47122344n =+++=-++=， ∴11517244m n +=+=． 14．分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出，（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．【答案】（1）32；（2）－1【解析】（1）4log 200.5933(ln 5)()211422++=++-=， （2）23lg 2log 1lg 3log 2lg 50lg 3lg 5lg 2lg 5lg101lg 3-⋅-=-⋅-=--=-=-。
对数与对数的运算习题(经典)
对数与对数的运算一、选择题1、 25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ）A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a 2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x等于（ ） A 、31 B 、321C 、221D 、3313、 n n ++1log （n n －＋1）等于（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－2 4、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a -5、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 6、 若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<n<m<1D 、0<m<n<17、 若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ）A 、a<b<cB 、 a<c<bC 、c<b<aD 、c<a<b二、填空题8、 若log a x ＝log b y ＝－21log c 2，a ，b ，c 均为不等于1的正数，且x ＞0，y ＞0，c ＝ab ，则xy ＝________ 9 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________10、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________11、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===___________________12、 lg25+lg2lg50+(lg2)2=三、解答题13、 222522122(lg )lg lg (lg )lg +⋅+-+14、 若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(ba ab ⋅的值。
基本初等函数之对数与对数函数,附练习题
对数与对数函数（讲义）知识点睛一、对数与对数的运算1.对数（1）如果x a N =(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =⇔log a x N =．（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．2.对数的运算性质（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么①log ()log log a a a M N M N ⋅=+；②log log log aa a MM N N=-；③log log ()n a a M n M n =∈R ．（2）换底公式：log log log c a c bb a=(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．（3）log (010)a b a b a a b =>≠>，；．二、对数函数及其性质1.定义：一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．2.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质：0<a <1a >1图象定义域(0，+∞)值域R性质①过定点(1，0)，即x =1时，y =0②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数3.对数函数底数变化与图象分布规律1log a y x =；②log b y x =；③log c y x =；④log d y x =，则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<；x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>．4.反函数对数函数与指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．精讲精练1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）32=8_______________；（2）415625-=_______________；（3）13127=3-_______________；（4）lg 0.0013=-_____________；（5）0.3log 2=a _____________；（6）ln x =_____________．2.求下列各式的值．（1）43log (927)⨯（2）1lg lg 4lg 52++（3）661log 12log 2-（4）22333399(log 2)(log )log log 422++⋅（5）2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅（6）48525(log 5log 5)(log 2log 2)++3.已知234log [log (log )]0x =，则x 的值为_________．4.已知3485log 4log 8log log 25m ⋅⋅=，那么m 的值为（）A ．9B ．18C ．12D ．275.已知4823log 3x y ==，，则x +2y 的值为（）A ．3B ．8C ．4D ．log 486.已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =（）A ．17B ．72C ．108D ．317.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy的值为_________．8.设lg a ，lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个实根，则2(lg )ab的值等于（）A ．2B ．12C ．4D ．149.已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b +=_____．10.下列函数表达式中是对数函数的是（）A ．0.01log (0)y x x =>B ．22log y x =C ．2log (2)(2)y x x =+>-D ．2ln(1)y x =+11.若点(a ，b )在lg y x =图象上，且a ≠1，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ，B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )12.若函数log ()a y x b =+(a >0，a ≠1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2，b =2B ．2a b ==C ．a =2，b =1D ．a b ==13.直接写出下列函数的定义域：311log (2)_______________2345log (3)_______________16_______________ln(1)x y x y y y y x y x -=-====-=+=+（）；（）；（）；（）；（）；（）．14.已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12[log (3)]y f x =-的定义域是_____________．15.函数212log (613)y x x =++的值域为（）A ．RB ．[8，+∞)C ．(-∞，-2]D ．[-3，+∞)16.函数log a y x =在区间[2，π]上最大值比最小值大1，则a =__________．17.下列判断不正确的是（）A ．22log 3.4log 4.3<B ．0.20.3log 0.4log 0.4<C ．67log 7log 6>D ．30.3log log 4π<18.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度19.函数21log (01)1a x y a a x +=>≠-，的图象过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．(1，0)B ．(-2，0)C ．(2，0)D ．(-1，0)20.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-(a >0，且a ≠1)．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．21.设a ，b ∈R 且a ≠2，定义在区间(-b ，b )上的函数1()lg12axf x x+=+满足：()()0f x f x +-=．（1）求实数a 的值；（2）求b 的取值范围．22.已知关于x 的方程212log 210x a x ⋅--=有实数根，求a 的取值范围．23.已知函数2log [(21)]a y x a x a =--+的定义域为R ，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．（1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33=-；（4）3100.001-=；（5）0.32a =；（6）e x =2．（1）11；（2）1；（3）12；（4）4；（5）1；（6）543．644．A 5．A 6．B 7．48．A 9．210．A 11．D 12．A13．（1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(0；（5）(12)(23)⋃，，；（6）(10)(02]-⋃，，14．5[22，15．C16．2π或2π17．D18．C 19．B20．（1）(-1，1)；（2）偶函数，证明()()()()f x g x f x g x -+-=+21．（1）2a =-；（2）102b ≤<22．02a ≤<23．33(11)(1122，-⋃+对数与对数函数（随堂测试）1.函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0，+∞)，则正实数a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．42.求函数2log (4)(01)a y x x a a =->≠，且的单调递减区间．【参考答案】1.B2.当01a <<时，f (x )的单调递减区间为(0，2]；当1a >时，f (x )的单调递减区间为[2，4)对数与对数函数（作业）1.求下列各式的值．（1）lg +（2）553log 10log 0.125+（3）22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅（4）22lg 5lg83+（5）20321log log ()52-+-（6）231lg 25lg 2lg log 9log 22+-⨯2.下列对数运算中，一定正确的是（）A ．lg()lg lg M N M N +=⋅B ．ln ln n M n M =C ．lg()lg lg M N M N⋅=+D ．lg log lg a b b a=3.已知3log 2a =，那么33log 22log 6-用a 表示是（）A ．5a -2B ．-a -2C ．3a -(1+a )2D ．3-a 2-14.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c+=+5.已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y⋅=+D ．lg()lg lg 222x y x y⋅=⋅6.设方程22(lg )lg 30x x --=的两实根是a ，b ，则log log a b b a +等于（）A ．1B ．-2C ．-4D ．103-7.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．5a >或2a <B ．23a <<或35a <<C ．25a <<D ．34a <<8.函数()ln1xf x x =+-的定义域为（）A ．(0，+∞)B ．(1，+∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)9.已知函数12()2log f x x =的值域为[-1，1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．22B ．[11]-，C ．1[2]2，D ．2(])2-∞⋃∞，+10.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>11.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>12.函数12log 2y x =+的单调增区间为（）A ．()-∞∞，+B ．(2)-∞-，C ．(2)-∞+，D ．(2)(2)-∞-⋃∞，，+13.若函数log (01)a y x a =<<在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A ．22B ．24C ．12D ．1414.函数log (2)5a y x =-+过定点（）A ．(1，0)B ．(3，1)C ．(3，5)D ．(1，5)15.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．16.设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠，在()-∞+∞，上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．17.已知函数e 1(1)()ln (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则(ln 2)f 的值为_________．18.函数12log (1)()2(1)x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域是_________________．19.已知13log 2a =，0.62b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为_____________．20.给出下列命题：12log 2log a a x x =；2函数2log (1)y x =+是对数函数；3函数1ln1xy x+=-与ln(1)ln(1)y x x =+--的定义域相同；4若log log a a m n <，则m n <．其中正确的命题是_________．21.已知函数()f x 在[0)+∞，上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，求x 的取值范围．22.设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，求实数a 的取值范围．23.已知函数3()2log f x x =+(1≤x ≤9)，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值．【参考答案】24．（1）1；（2）3；（3）1；（4）2；（5）4；（6）12-25．D26．B27．B28．D29．D30．B31．B32．A33．D34．C35．B36．B37．C38．A39．C40．141．(2)-∞，42．a <c <b43．③44．11010x <<45．1a >或10a -<<46．22阅读材料反函数趣谈在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，同学们思考一下，x 是不是y 的函数？在指数函数2x y =中，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =．这样，对于任意一个(0)y ∈+∞，，通过式子2log x y =，在R 中都有唯一确定的x 和它对应．此时，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =((0))y ∈+∞，是函数2x y =()x ∈R 的反函数．注意到，在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是函数，但是习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们对调函数2log x y =中的字母，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是指数函数2x y =()x ∈R 的反函数．由前面的讨论可知，指数函数2x y =()x ∈R 与对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数log (01)a y x a a =>≠，且和指数函数x y a =(01)a a >≠，且互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个(0)y ∈+∞，，都有唯一确定的2log x y =和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y 只有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素y ，通过对应法则y=f (x )存在着一一对应关系．清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．通过画出指数函数2x y =与对数函数2log y x =的图象后，我们发现它们是关于直线y=x 对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x 对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f (x )=C （C 为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数10110x xy =+，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由10110x x y =+得到(110)10x x y +=，解得101x y y =-，反函数即为lg 1y x y =-，反函数的定义域为原函数的值域，也就是01y y >-，原函数的值域即为(01)，．练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A ．22y x x=+B ．||y x =C ．2lg y x =D ．11y x =-2.函数21x y =-的反函数为_____________．3.已知函数1212x x y -=+，求它的值域．【参考答案】1.D2.2log (1)y x =+3.(-1，1)。
高中对数的运算练习题及讲解
高中对数的运算练习题及讲解# 高中对数运算练习题及讲解## 练习题### 题目一：基础对数运算求值：\[ \log_{2}(8) \]### 题目二：对数的换底公式求值：\[ \log_{10}(100) \]### 题目三：对数的幂运算法则求值：\[ \log_{3}(27) \]### 题目四：对数的乘积法则求值：\[ \log_{5}(25 \times 20) \]### 题目五：对数的商法则求值：\[ \log_{4}(\frac{16}{8}) \]### 题目六：对数的复合运算求值：\[ \log_{2}(\sqrt{8}) \]### 题目七：对数不等式的解法解不等式：\[ 2^{x} < 16 \]### 题目八：对数方程的解法解方程：\[ \log_{3}(x) = 2 \]### 题目九：对数函数的图像分析分析函数：\[ y = \log_{2}(x) \] 的图像特点。
### 题目十：对数函数的实际应用如果一个细菌群体每4小时翻倍一次，求出48小时后细菌的数量，假设初始数量为100。
## 讲解### 基础对数运算对数的基本定义是：如果 \( a^b = c \)，那么 \( b = \log_{a}(c) \)。
对于题目一，\( 2^3 = 8 \)，所以 \( \log_{2}(8) = 3 \)。
### 对数的换底公式换底公式是 \( \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \)。
对于题目二，\( \log_{10}(100) = 2 \)，因为 \( 10^2 = 100 \)。
### 对数的幂运算法则幂运算法则是 \( \log_{a}(a^b) = b \)。
对于题目三，\( 3^3 = 27 \)，所以 \( \log_{3}(27) = 3 \)。
### 对数的乘积法则乘积法则是 \( \log_{a}(bc) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c) \)。
对数与对数运算(附答案)
2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算知识点一：对数的概念与性质1．以下说法不正确的是A ．0和负数没有对数B ．对数值可以是任意实数C ．以a(a ＞0，a ≠1)为底1的对数等于0D ．以3为底9的对数等于±22．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，那么m 等于A.92B ．9C ．18D ．27 3．2211+log 52⋅的值等于A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52 D ．1＋52 4．若log 31－2x 9＝0，则x ＝__________. 5．给出以下三个命题：①对数的真数是非负数；②若a ＞0且a ≠1，则log a 1＝0；③若a ＞0且a ≠1，则log a a ＝1.其中正确命题的序号是__________．知识点二：指数式与对数式的互化6．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝100；④若e ＝lnx ，则x ＝e 2.其中正确的是A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④7．下列指数式与对数式互化不正确的一组是A ．e 0＝1与ln1＝0B ．813-＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝78．已知lg3＝α，lg4＝β，求10α＋β、10α－β、10－2α、105β.9．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n .知识点三：对数的运算性质及换底公式10．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数为 ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y) ②log a x －log a y ＝log a (x －y) ③log ax y＝log a x÷log a y ④log a (xy)＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．311．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2 12．若a ＞0，a 23＝49，则log 23a ＝__________. 13．设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值．能力点一：求值问题14．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为A ．14B ．8C ．22D ．2715．2log a (M －2N)＝log a M ＋log a N ，则M N的值为 A.14B ．4C ．1D ．4或1 16．(2010河南洛阳高一期中)华南虎是我国一级保护动物，为挽救濒临物种，国家建立了华南虎繁殖基地，第一年(1986年)只有20只，由于科学的人工培养，华南虎的数量y(只)与培养时间x(年)间的关系可近似符合y ＝alog 2(x ＋1)，则到2016年时，预测华南虎约有__________只．17．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于__________颗广岛原子弹．18.求下列各式中的x 值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)x ＝log 128.能力点二：对数运算性质的综合问题19．已知lga 、lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b)2的值是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．120．lg2＝a ，lg3＝b ，用a 、b 表示lg 458＝__________. 21．(1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40； (2)log 34273log 5[412log 210－(33)23－7log 72]．22．已知x ，y ，z 均大于1，a ≠0，log z a ＝24，log y a ＝40，log (xyz)a ＝12，求log x a.23．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c·log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到解为14和18；乙写错了常数c ，得到解为12和64，求b ，c 都正确的情况下该方程的解．答案与解析基础巩固1．D2．B ∵log 416＝2，∴log 34·log 48·log 8m ＝2，即lgm ＝lg9.∴m ＝9，应选B.3．B 原式＝21+log 22log 2 5.4．－4 由已知可得1－2x 9＝1， ∴1－2x ＝9.∴2x ＝－8.∴x ＝－4.5．②③ ①对数的真数为正数，故①错；②∵a 0＝1，∴log a 1＝0，②对；③∵a 1＝a ，∴log a a ＝1，③对．6．C 7.C8．解：由条件得10α＝3,10β＝4，则10α＋β＝10α·10β＝12，10α－β＝10α10β＝34，10－2α＝(10α)－2＝19， 10β5＝(10β)15＝415. 9．解：log a 2＝m ，log a 3＝n ，由对数定义知a m ＝2，a n ＝3，∴(a m )2＝4，即a 2m ＝4.∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.10．A11．C 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5. 12．3 a ＞0，由a 23＝49，知(a 13)2＝(23)2，∴a 13＝23. 两端取对数得log 23a 13＝log 2323＝1，即13log 23a ＝1， ∴log 23a ＝3.13．解法一：由3a ＝4b ＝36，得log 336＝a ，log 436＝b ，∴由换底公式a ＝log 336＝1log 363，b ＝log 436＝1log 364.∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 解法二：对已知条件的两边取以6为底的对数，得alog 63＝2blog 62＝2，∴2a ＝log 63，1b＝log 62. ∴2a ＋1b＝log 63＋log 62 ＝log 66＝1.能力提升14．C 原式＝2×2＋3×6－8×0＝22.15．B 由题意，得M ＞0，N ＞0，M －2N ＞0.故M N＞2，显然只有B 符合条件． 16．100 当x ＝1时，y ＝alog 2(1＋1)＝20，∴a ＝20.∴y ＝20log 2(x ＋1)，到2016年时，培养时间为(2 016－1 986)＋1＝31(年)，则到2016年时，预测华南虎的数量约为y ＝20log 2(31＋1)＝100(只)．17．1 000 设里氏8.0级，6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1，则8－6＝23(lgE 2－lgE 1)，即lg E 2E 1＝3. ∴E 2E 1＝103＝1 000，即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．18．解：(1)由log 8x ＝－23，得 x ＝823-＝(23) 23-＝2－2＝14. (2)由log x 27＝34，得x 34＝27＝33， ∴x 14＝3.∴x ＝34＝81.(3)由x ＝log 128，得(12)x ＝8＝23＝(12)－3，∴x ＝－3. 19．C lga ＋lgb ＝2，lga·lgb ＝12，(lg a b)2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb ＝4－2＝2. 20．1－4a ＋2b 原式＝lg45－3lg2＝lg5＋2lg3－3lg2＝1－4lg2＋2lg3＝1－4a ＋2b.21．解：(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. (2)原式＝log 33433·log 5[22log 10－(332)23－77log 2] ＝(34log 33－log 33)log 5(10－3－2)＝(34－1)·log 55＝－14. 22．解：由log z a ＝24得log a z ＝124， 由log y a ＝40得log a y ＝140， 由log (xyz)a ＝12得log a (xyz)＝112， 即log a x ＋log a y ＋log a z ＝112. ∴log a x ＋140＋124＝112， 解得log a x ＝160. ∴log x a ＝1log a x＝60. 拓展探究23．解：由甲可知2142181log log 20,41log log 20,8b c b c ⎧++⋅=⎪⎪⎨⎪++⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧ －2＋b －12c ＝0，①－3＋b －13c ＝0. ②由①－②，得1－16c ＝0，∴c ＝6. 由乙可知2122641log log 202log 64log 20b c b c ⎧++⋅=⎪⎨⎪++⋅=⎩ 即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b －c ＝0， ③6＋b ＋16c ＝0. ④由③＋④×6，得7b ＋35＝0， ∴b ＝－5.综上，方程为log 2x ＋6log x 2－5＝0，即(log 2x)2－5log 2x ＋6＝0， ∴log 2x ＝2或log 2x ＝3.∴x ＝4或x ＝8，即原方程的解为4或8.。
对数与对数的运算练习题(量大,含答案)
对数与对数运算练习题一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( ) A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6B ．5C ．1D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C.ab 2c 3D.2ab 3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－15．的值等于( ) A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋52D ．1＋526．Log 22的值为( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－12D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a <2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( ) A ．x ＝19B ．x ＝x3C．x＝ 3 D．x＝99．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为() A．9 B．8C．7 D．610．若102x＝25，则x等于()A．lg 15B．lg5 C．2lg5 D．2lg1511．计算log89·log932的结果为()A．4 B.53C.14D.3512．已知log a x＝2，log b x＝1，log c x＝4(a，b，c，x＞0且≠1)，则log x(abc)＝()A.47 B.27C.72 D.74二．填空题1．2log510＋log50.25＝____.2．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝_______.3．若lg(ln x)＝0，则x＝_ ______.4．方程9x－6·3x－7＝0的解是_______5．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.6．已知log a2＝m，log a3＝n，则log a18＝_______.(用m，n表示) 7．log6[log4(log381)]＝_______.8．使对数式log(x－1)(3－x)有意义的x的取值范围是_______三.计算题1．计算：(1)2log210＋log20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2(3)log6112－2log63＋13log627 (4)log2(3＋2)＋log2(2－3)；2．已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值．对数与对数运算练习题答案一．选择题1．C 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. B 8 A 9. A 10. B11.B 12.D二．填空题1. 22. 23. e4. x＝log375. 96. m＋2n7. 08. 1<x<3且x≠2三．计算题1.解：(1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg(3×4÷10)lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1(3)log6112－2log63＋13log627＝log6112－log69＋log63＝log6(112×19×3)＝log6136＝－2.(4)log2(3＋2)＋log2(2－3)＝log2(2＋3)(2－3)＝log21＝0.2. [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.对 数一、选择题 1、25)(log 5a -（a ≠0）化简得结果是（ ） A 、－aB 、a 2C 、｜a ｜D 、a2、 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则21-x 等于（ ）A 、31B 、321 C 、221 D 、3313、 nn ++1log（n n －＋1）等于（ ） A 、1B 、－1C 、2D 、－24、 已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 5、 2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 6、 若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ） A 、m>n>1 B 、n>m>1 C 、0<n<m<1 D 、0<m<n<17、 若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（ ） A 、a<b<c B 、 a<c<b C 、c<b<a D 、c<a<b 8、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ） A 、 a >5或a <2B 、 25<<aC 、 23<<a 或35<<aD 、 34<<a9、 已知23834x y ==，log ，则x y +2的值为（ ） A 、 3B 、 8C 、 4D 、 log 4810、 设a 、b 、c 都是正数，且c b a 643==，则（ ） A 、111c a b=+ B 、221c a b =+ C 、 122c a b=+ D 、212c a b=+ 二、填空题11 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 12、3a＝2，则log 38－2log 36＝__________ 13、若2log 2,log 3,m na a m n a+===___________________14、若f x x ()log ()=-31，且f a ()=2，则a=____________ 15、2342923232log ()log ()+-+=___________三、解答题16、计算：（1） 12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258)17、 若lga 、lgb 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(baab ⋅的值。
对数练习题数学
一、对数的基本概念1. 下列各数中，哪些是正数、负数、零？log₂3log₃9log₄16log₅25log₆362. 判断下列各对数是否成立：log₂4 = 2log₃27 = 3log₄16 = 4log₅25 = 5log₆36 = 63. 求下列各对数的底数：logₐ16 = 4logₐ25 = 2logₐ36 = 2logₐ49 = 2logₐ64 = 34. 求下列各对数的真数：log₂8 = alog₃27 = blog₄16 = clog₆36 = e5. 求下列各对数的对数底数： logₐ16 = 4logₐ25 = 2logₐ36 = 2logₐ49 = 2logₐ64 = 3二、对数的运算1. 求下列各对数的值：log₂(8 ÷ 4)log₃(27 ÷ 9)log₄(16 ÷ 4)log₅(25 ÷ 5)log₆(36 ÷ 6)2. 求下列各对数的值：log₂(8 × 4)log₃(27 × 9)log₄(16 × 4)log₅(25 × 5)log₆(36 × 6)3. 求下列各对数的值：log₂(8 + 4)log₃(27 + 9)log₅(25 + 5)log₆(36 + 6)4. 求下列各对数的值：log₂(8 4)log₃(27 9)log₄(16 4)log₅(25 5)log₆(36 6)5. 求下列各对数的值：log₂(8 ÷ 4) + log₂4log₃(27 ÷ 9) + log₃3log₄(16 ÷ 4) + log₄4log₅(25 ÷ 5) + log₅5log₆(36 ÷ 6) + log₆6三、对数的应用1. 某商品原价为100元，现在打八折，求打折后的价格。
2. 某人存款10000元，年利率为5%，求2年后存款的利息。
对数及对数运算基础训练题(有详解)
对数及对数运算基础训练题（有详解) 一、单选题 1．设()()ln 21x g x +＝，则(4)(3)(3)(4)g g g g -+---= A ．-1 B ．1 C ．l n2 D ．-ln2 2．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．1- B ．12- C ．12 D 3．已知，则的值是（ ） A ．1B ．3C ．D ． 4．设227a =，则3log 2等于( ) A ．3a B ．3a C ．13a D ．3a 5．若()[)[]3,1,01,0,13x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()3log 2f 的值为 ( ) A ．2 B ．12 C D ．3 6．61log 12log 2-( ) A ．B ．C ．12 D ．3 7．若77log 2,log 3,a b == 则 7log 12= ( ) A ．2+a b B ．2ab C ．2a b D ．+2a b8．下列等式一定正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 9．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，6()log f x x =，则(4)(9)f f -+=__________．10．求值：7log 23log lg25lg473+++=_________________． 11．已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2=ff __________． 12．21444log 3[(5)]-⋅--=______． 13．()21log 5223(lg5)lg2lg5lg20log 3log 82++⋅+-⋅+=______．14．______．15．21326684log 12log 2⨯+-=__________． 16．已知3log 2m =，则32log 18=____________（用m 表示）17．12100=______．18．若3log 21x =，则42x x --=___．19．计算2ln33(0.125)e -++的结果为______.20．lg4+2lg5=______；若log a 2=m ，log a 3=n ，则1m n 2a +=______．21．_________.三、解答题22．计算下列各式的值：（1）13(0.027)--（-13）-2+65；（2）l og 43×log 92+2log 32-log ．23．求值：(1)()122230133220083482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)()2lg5lg 2lg50+⨯.24．计算：(1)102239(22(54-++(2)1lg100lg 4lg 25lg 10+++ 25．解答题求下列各式的值: （1）5lg12.5lg lg 0.58-+ ； （2）lg20+log 10025. 26．计算下列各式： （1）112032170.027()(2)1)79---+-； （2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯. 27．计算 （1） （2） （3） 28．求值： （1）； (2) . 29．计算下列各式的值： ； ． 30．计算： （1） （2）参考答案1．C【解析】【分析】先把(4)(3)(3)(4)g g g g -+---化为[][](4)(4)(3)(3)g g g g --+--，再根据公式log log log a a aM M N N-=和log +log log ()a a a M N MN =求解. 【详解】 (4)(3)(3)(4)g g g g -+---[][](4)(4)(3)(3)g g g g =--+--4433ln(21)ln(21)ln(21)ln(21)--⎡⎤⎡⎤=+-+++-+⎣⎦⎣⎦43432121ln ln 2121--++=+++ 43ln 2ln 2-=+()43ln 22ln 2-=⋅=故选C.【点睛】本题考查对数、指数的运算，注意观察题目之间的联系.2．C【解析】【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案。
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A． ,5 B． 2,5 C． 2,3 3,5 D． 2,
5．若 a 0, a 1 ，则下列说法正确的是（ ）
①若 M N ，则 loga M loga N ；② loga M loga N ，则 M N ；
③ loga M 2 loga N 2 ，则 M N ；④若 M N ，则 loga M 2 loga N 2 ．
lg 9 lg 8
lg10 lg 9
log5 10
1 log5
2，
因
为
0 log5 2 1 ， 所 以
1 y 2 ，故选 B．
9．【答案】B
【解析】 2 log6 3 log6 4 log6 9 log6 4 log6 36 2 ．
故选：B．
10．【答案】-13
【解析】
1 2x
由指数式与对数式互化，可得
3，解得 x
13 ．
9
11．【答案】12
【解析】 a2loga 2loga 3 aloga 4 aloga 3 4 3 12 ．
12．【答案】1
【解析】因为
2a
10,
所以
a
log2 10
1 lg 2
，又因为
5b
10,
所以 b
log5 10
1 lg 5
，所以原式=
∴ a log5 2 ，
2
log5 80 3log2 10 log5 5 log5 16 3(log2 2 log2 5)
1
4
log5
2
3
3
log2
5
4
log5
2
3 log5
2
2
4a 3 2 a
故选：D． 8．【答案】B
【解析】
y
lg 6 lg 5
lg 7 lg 6
lg 8 lg 7
10．若 log3
1 2x 9
1，则
x=
．
11．若 loga 2 m, loga 3 n, a2mn
；
12．若 2a 5b 10 ，则 1 1
．
ab
1
13．（2015
河南源汇区一模）设
m
(2
1
)
1 2
(9.6)0
(3
3
)
2 3
(1.5)2 ；
4
8
n
log3
4
27 3
lg 25 lg 4 7log7 2 ．
【巩固练习】
1．下列说法中错误的是（ ）
A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式
C．以 10 为底的对数叫做常用对数 D．以 e 为底的对数叫做自然对数
2．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若 10=lgx，则 x=10；④若 e=lnx，则 x=e2，
的，故选 C．
6．分析：直接利用对数的性质化简表达式，然后把 lg x lg y a 代入即可．
【答案】A
【解析】 lg( x )3 lg( y )3 3(lg x lg 2) 3(lg y lg 2) 3(lg x lg y) 3a
2
2
故选 A．
7．【答案】D
【解析】∵ 5a 2 ，
其中正确的是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
3．下列等式成立的有（ ）
1 ① lg
100
2 ；② log3
3
3 3 ；③ 2log2 5 5 ；④ eln e 1；⑤ 3lg 3 3 ； 2
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④⑤
4．对数式 loga2 (5 a) b 中，实数 a 的取值范围是（ ）
求 m+n 的值． 14．计算下列各式的值：
（1） (ln 5)0 (9 )0.5 (1 4
2 )2 2log4 2
（2） log2 1 lg 3 log3 2 lg 5 ．
【答案与解析】 1．【答案】B
【解析】由对数的概念知，指数式 ax 中，只有 a 0 ，且 a 1的指数式才可以化为对数式．
A．①③
B．②④
C．②
6．若 lg x lg y a ，则 lg( x )3 lg( y )3 =（
2
2
A． 3a B． 3 a C．a
a
D．
2
2
D．①②③④ ）
7．（2016 春 福建期末）已知 5a 2 ，则 log5 80 3log2 10 （ ）
A． a4 3a 2
B． a4 3 2 a
3
【答案】（1） ；（2）－1
2
3
【解析】（1） (ln 5)0 ( 9 )0.5 (1 2)2 2log4 2 1 3 2 1 2 3 ，
4
2
2
（2）
log2
1
lg
3
log3
2
lg
5
0
lg
3
lg lg
2 3
lg
5
lg
2
lg
5
lg10
1
4
lg 2 lg 5 1．
17
13．【答案】
4
【解析】∵ m
(2
1
)
1 2Biblioteka 9.6)0(33)
2 3
(1.5)2
3
1
4
4
1
，
4
8
2 99 2
n
log3
4
27 3
lg 25 lg 4 7log7 2
3 4
1 2 2 15 ， 4
∴ m n 1 15 17 ． 24 4
14．分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出， （2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．
C．a―2
D． 4a 3 2 a
8．若 y log5 6 log6 7 log7 8 log8 9 log9 10 ，则（ ）
A． y (0,1)
B． y (1, 2)
C． y (2,3)
D． y (3, 4)
9．计算 2 log6 3 log6 4 的结果是（
）
A． log6 2 B． 2 C． log6 3 D． 3
2．【答案】C
【解析】由 loga a 1, loga 1 0 知①②正确．
3．【答案】B
【解析】 lg 1 lg102 2 ； 100
4．【答案】C
5 a 0, 【解析】由对数的定义可知 a 2 0, 所以 2 a 5 且 a 3 ，故选 C．
a 2 1,
5．【答案】C
【解析】注意使 loga M loga N 成立的条件是 M、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确