高中数学难题含答案
高考最难的数学题及答案
高考最难的数学题及答案高考数学最难的题目及答案(1)1、利用数学归纳法证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足如下不等式:a1/b1 + a2/b2 > 0答案：设a=(a1, a2), b=(b1, b2)，由数学归纳法，令n∈N，先给出基本情形：当n=1时：a1/b1 + a2/b2 = (a1 + a2)/(b1 + b2)，由a1 + a2 > 0, b1 + b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0进行归纳：假设n时成立，即a1/b1 + a2/b2 > 0，当n+1时，a1/b1 + a2/b2 > 0，根据a1/b1 + a2/b2 = [a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2]，有[a1 + (n+1)a2]/[b1 + (n+1)b2] > 0，由a1 + (n+1)a2 > 0, b1 + (n+1)b2 > 0可知a1/b1 + a2/b2 > 0，因此，证明平面向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)满足a1/b1 + a2/b2 > 0。
2、求x的集合：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 }答案：界说明：x∈R分析：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2，表述：A={x| x^2 + 6x + 9 ≠ 0 } 等价于A={x| (x + 3)^2 ≠ 0 }，即A={x| x ≠ -3 }答案：A={x| x ≠ -3 }3、求一元二次方程ax^2+bx+c=0中，b^2-4ac < 0时实根的取值范围答案：界说明：x∈R分析：b^2 - 4ac < 0⇒Δ= b^2 - 4ac < 0，表述：b^2-4ac < 0时实根没有解，取值范围为空集，即实根的取值范围为：空集。
答案：实根的取值范围为：空集。
4、设弦AB=12，角A=30°，则角C的度数为多少？答案：界说明：C∈[0,360]（度）分析：弦AB=12，角A=30°，表述：根据余弦定理可得：cosC=12^2/2/2^2=12/4，即cosC=3/2，由cosC=3/2可以求出角C的度数。
10道高中函数难题(详解版)
由 ，则 ，
，当且仅当 时，等式成立.
① 时， ， ，
② ， ， ，
综上： 当且仅当 时等式成立.
【点睛】
本题考查了新定义问题，考查了数学阅读能力，考查了分类讨论问题，考查了数学运算能力.
8．（1） （2）3.
【解析】
【分析】
将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.
【详解】
因为
又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.
又 ，故排除C.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可.
6．（Ⅰ）8；（Ⅱ）（i） ；（ii）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对 求导， 可得 ， 单调递增，得到 最小值，从而得到 的值.
，
如图所示：
【点睛】
本题考查绝对值函数的图像的画法，绝对值函数需先将绝对值去掉，再分段画出图像．属于基础题．
10．325
【解析】
【分析】
利用 可得 ，再利用等差数列求和公式，即可求出结果．
【详解】
因为 ，
所以
，
……
故答案为：
【点睛】
本题主要考查求抽象函数的函数值，关键是利用已知将 变形转化，属于中档题．
10道高中函数难题突破（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若存在正实数y，使得 ，则实数x的最大值为（ ）
A． B． C．1D．4
2023年全国高中生数学奥赛高难题目
2023年全国高中生数学奥赛高难题目难题一：立体几何
已知一个右方金字塔的顶点A位于平面xOy上，A的坐标为(5,6,0)，底面是一个边长为10的正方形，且底面中心O的坐标为(5,6,0)。
金字
塔的高度为12，求：
1. 金字塔底面四个顶点的坐标；
2. 金字塔的体积。
难题二：复数运算
若复数z满足z^4 + 15z^2 + 36 = 0，则求z的所有可能值。
难题三：概率与统计
已知A、B两个事件的发生概率分别为P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，且
P(A∪B) = 0.7。
求：
1. P(A∩B)的值；
2. 若事件A和事件B相互独立，求P(A|B)和P(B|A)的值。
难题四：数列
已知数列{an}满足a1 = a2 = 1，且an+2 = an+1 + 2an对于n≥1成立。
求：
1. a5的值；
2. 数列{an}的通项公式；
3. 求该数列的前10项和。
难题五：函数与导数
已知函数f(x) = (x+1)e^x，在定义域上是递增函数。
求：
1. f'(x)的值；
2. 函数f(x)在定义域上的最小值点；
3. 函数f(x)的图像在x轴和y轴上与坐标轴围成的面积。
注意：以上题目均为高难度题目，需要运用数学知识和思维能力进行解答。
考生可以根据自己的实际情况选择解答题目，建议合理分配时间，不要卡在某一道题目上耽误整体答题进度。
祝各位考生取得优异成绩！。
数学最难试题及答案高中
数学最难试题及答案高中一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)在区间\( [a, b] \)上单调递增，则\( a \)的取值范围是：A. \( a < -2 \)B. \( a \leq -2 \)C. \( a > -2 \)D. \( a \geq -2 \)2. 已知一个等差数列的前三项依次为\( a, a+d, a+2d \)，若该数列的前三项和为9，则\( a \)和\( d \)的值分别为：A. \( a=1, d=2 \)B. \( a=2, d=1 \)C. \( a=3, d=0 \)D. \( a=0, d=3 \)3. 圆\( x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0 \)的圆心坐标是：A. \( (2, 3) \)B. \( (2, -3) \)C. \( (-2, 3) \)D. \( (-2, -3) \)4. 函数\( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的最大值是：A. \( \sqrt{2} \)B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)D. 1二、填空题（每题5分，共20分）1. 若\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值为______。
2. 已知\( \tan(\alpha) = 2 \)，且\( \alpha \)为锐角，则\( \sin(\alpha) \)的值为______。
3. 一个等比数列的第二项为4，第四项为16，则该数列的公比为______。
4. 函数\( f(x) = x^2 - 6x + 8 \)的零点为______。
三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求该函数在\( x=2 \)处的切线方程。
高三超难数学试题及答案
高三超难数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：B2. 若复数z满足|z-1|=2，则z在复平面上对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A3. 若函数f(x)=2sin(2x+π/4)的图像向右平移π/8个单位，所得图像对应的函数解析式为：A. f(x)=2sin(2x+3π/4)B. f(x)=2sin(2x-π/4)C. f(x)=2sin(2x+π/8)D. f(x)=2sin(2x-3π/8)答案：B4. 对于双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，若其焦点在x轴上，且离心率为2，则a与b的关系为：A. b=aB. b=2aC. b=√3aD. b=√2a答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，则该数列的前5项和S5为：______。
答案：316. 若直线l的方程为x-y+1=0，且直线l与圆x^2+y^2=1相切，则直线l与圆的切点坐标为：（______，______）。
答案：(0,1)或(-2,-1)7. 设函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0的根为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的值为：______。
答案：08. 若椭圆E的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a>b>0，且椭圆E 与直线y=x相切于点(1,1)，则a^2+b^2的值为：______。
答案：5三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：对于任意x∈R，都有f(x)≥-1。
证明：首先求导f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。
令f'(x)=0，得到x=0或x=2。
当x<0或x>2时，f'(x)>0，函数单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，函数单调递减。
高三数学高难度试卷及答案
一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像关于下列哪一点对称？A. (0, 0)B. (1, 0)C. (1, 2)D. (0, 2)2. 下列哪个等式是正确的？A. sin(α + β) = sinα + sinβB. cos(α + β) = cosα + cosβC. tan(α + β) = tanα + tanβD. cot(α + β) = cotα + cotβ3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 35，a1 + a5 = 10，则公差d等于：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, 1)，则线段AB的中点坐标为：A. (1, 2)B. (1, 4)C. (3, 2)D. (3, 4)5. 已知双曲线C的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1，则其渐近线方程为：A. 3x ± 2y = 0B. 2x ± 3y = 0C. x ± 3y = 0D. x ± 2y = 0二、填空题（每题5分，共20分）6. 若复数z = a + bi（a，b∈R）满足|z - 3i| = 5，则实数a的取值范围为______。
7. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + 3x，若f(x)在区间[1, 2]上单调递增，则x 的取值范围为______。
8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，公比q = 2，则S5 =______。
9. 若平面直角坐标系中，点P(3, 4)关于直线y = x + 1的对称点为Q，则点Q的坐标为______。
三、解答题（每题20分，共60分）10. （本题满分20分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1。
（1）求函数f(x)的导数f'(x)；（2）求函数f(x)的极值点；（3）求函数f(x)在区间[-1, 3]上的最大值和最小值。
高三超难数学试卷加答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。
A. a > 0B. a < 0C. a > 1 或 a < -1D. a > -1 或 a < 12. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则sinC的值为（）。
A. 1/2B. √3/2C. 2/√3D. 3/24. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = (-1)^n n，则Sn的值为（）。
A. nB. -nC. n/2D. -n/25. 设向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）。
B. 2/5C. 3/5D. 4/5二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且f(1) = 0，f(2) = 0，则a = _______。
7. 设复数z = 1 + i，则|z - 2i|^2 = _______。
8. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 +a6 = 18，则a1 = _______。
9. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6，若f(x) = 0有三个不同的实数根，则f'(x) = 0的根为 _______。
10. 若向量a = (3, 4)，向量b = (-2, 1)，则向量a与向量b的叉积为 _______。
三、解答题（每题20分，共80分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像关于x轴对称，且f(1) = 0，f(-1) = 0，求a、b、c的值。
超难高三数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 设函数f(x) = ln(x+1)，若f'(1) = a，则a的值为：A. 1B. 0C. -1D. 1/22. 已知数列{an}满足an+1 = an^2 - 2an，且a1 = 2，则数列{an}的通项公式为：A. an = 2^nB. an = 2^n - 1C. an = 2^n + 1D. an = 2^n - 23. 在直角坐标系中，若点A(1,2)关于直线y=x的对称点为B，则点B的坐标为：A. (2,1)B. (1,2)C. (2,2)D. (1,1)4. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则g'(x) = 0的解的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列{bn}的前n项和为Sn，且b1 = 3，S10 = 55，则公差d的值为：A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数h(x) = x^2 - 4x + 4，若h(x)在区间[0,2]上的最大值为M，则M的值为：A. 0B. 1C. 2D. 47. 若等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，且c1 + c2 + c3 = 27，c1 c2 c3= 1，则q的值为：A. 1/3B. 3C. 1/9D. 98. 在平面直角坐标系中，若点P(2,3)到直线y=2x+1的距离为d，则d的值为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,1]上的最大值为M，则M的值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知数列{dn}满足dn = (1/n) (1/(n+1))，则数列{dn}的前n项和S的值为：A. 1B. 1/2C. 1/3D. 1/4二、填空题（每题10分，共40分）11. 设函数f(x) = e^x - x^2，若f'(x) = 0，则x的值为______。
12. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1，且a1 = 1，则an的通项公式为______。
世界最难的10道数学题加答案高中
世界最难的10道数学题加答案高中1.求三角形三边a,b,c。
将任意两边的平方和加和求出：a²+b²=c²答案：即求三角形三边关系式，即勾股定理。
2.如果x的平方减2的平方等于4，求x的值？解：x²-2²=4x²=8x=√8答案：√83.如果一个等比数列的首项为a，公比为r，求该等比数列的前n项和？解：Sn=a[(1-rⁿ)÷（1-r)]a=首项，r=公比，n=项数答案：Sₙ=a[(1-rⁿ)÷（1-r)]4.以x，y，z三个变量来表示三条边，用何种等式表示三角形的充要条件？解：x+y > z, y+z > x, z+x > y答案：三角形充要条件等式为：x+y > z, y+z > x, z+x > y5.已知函数f(x)=2x⁴+5，求f(2)的值解：f(x)=2x⁴+5f(2)=2*2⁴+5f(2)=2⁵+5f(2)=33答案：f(2)=336.给定四边形ABCD的两个对角线，如何求出此四边形的周长？解：周长=AB+BC+CD+DA答案：先计算四边形各边的长度，然后求和即可求出四边形的周长。
7.已知一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等实根x₁和x₂，若其系数b处以解公式中的Δ，求ax²-2bx+2c=0的解？解：ax²-2bx+2c=0ax²-2bx+2c=0即可化为2x²-2(b/Δ)x+2c/Δ=0x₁= b/Δ+√(b²-4ac/Δ)/2x₂= b/Δ-√(b²-4ac/Δ)/2答案：x₁= b/Δ+√(b²-4ac/Δ)/2x₂= b/Δ-√(b²-4ac/Δ)/28.已知正太分布的数据有n个，求该数据的平均数和标准差？解：平均数：X¯=Σ(Xᵢ)/n标准差：σ=√((Σ(Xᵢ²)-nX¯²)/(n-1))答案：平均数X¯=Σ(Xᵢ)/n；标准差σ=√((Σ(Xᵢ²)-nX¯²)/(n-1))9.如果f(x)=4x²+2x+1，求函数f(x)的极值？解：f'(x)=8x+2f'(x)=0 -> 8x+2=0 ->x=-1/4在x=-1/4处取得极值，再代入f(x)求值f(-1/4)=4(-1/4)²+2(-1/4)+1f(-1/4)=1/2答案：f(x)在x=-1/4处取得极值，值为f(-1/4)＝1/210.三角形有三条边，求三角形的面积？解：三角形面积公式为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))其中p=(a+b+c)/2，a、b、c为三边答案：三角形面积公式为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，a、b、c为三边。
高三数学高难度试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为：A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -1 和 x = 1答案：D解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x^2 = 1，解得x = -1 或 x = 1。
通过一阶导数的符号变化，可以判断在x = -1和x = 1处f(x)分别取得极大值和极小值。
2. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹为：A. 实轴B. 虚轴C. 单位圆D. 轴上两点间的线段答案：D解析：设z = a + bi（a，b∈R），则|a - 1 + bi| = |a + 1 + bi|，即(a - 1)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2，解得a = 0，所以复数z在复平面上的轨迹是轴上两点间的线段。
3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 + a3 = 10，a1 + a5 = 18，则S10 =：A. 55B. 60C. 70D. 80答案：A解析：由等差数列的性质知，a1 + a3 = 2a2，a1 + a5 = 2a3 + 2d，其中d为公差。
联立方程组得2a2 = 10，2a3 + 2d = 18，解得a2 = 5，a3 = 7，所以公差d = 2。
因此，S10 = 10/2 (2a1 + 9d) = 5 (10 + 18) = 55。
4. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1相切，则k和b的关系为：A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 2C. k^2 + b^2 = 3D. k^2 + b^2 = 4答案：C解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k1 - 2 + b| / √(k^2 + 1) = 1。
化简得k^2 + b^2 = 3。
高一数学高难试题及答案
高一数学高难试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数为f'(x)，则f'(1)的值为：A. 5B. 3C. -1D. 12. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求数列的第5项a5的值为：A. 17B. 33C. 65D. 1293. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为：A. √2B. 2C. √3D. 14. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值：A. -1B. 0C. 1D. 35. 若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，求直线l与x轴的交点坐标：A. (3, 0)B. (-3, 0)C. (0, 3/2)D. (0, -3/2)6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定7. 已知函数f(x) = sinx + cosx，求f(x)的值域：A. [-√2, √2]B. [-1, 1]C. [0, √2]D. [1, √2]8. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的零点个数：A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(x)的对称轴方程：A. x = 3B. x = -3C. x = 6D. x = -610. 若函数f(x) = 2^x - 1/2^x，求f(x)的单调递增区间：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-1, 1)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f(-1) = 1，且f(2) = 8，则a的值为______。
12. 已知数列{an}满足an = 2^n，求数列的前n项和Sn的公式为______。
高中数学难题汇编带解析
（1） //
又 平面 ， 平面 ,∴ // 平面
（2）易证：平面 底面
所以截面 与面 所成的二面角即为面 与面 所成的二面角，
ห้องสมุดไป่ตู้因为 平面 所以 平面
，
由（1）可知 四点共面
所以 为截面 与平面 所成的二面角的平面角．
所以 ，
所以
考点：线面平行，二面角．
7．如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， 平面 ， ， ， ．
试题解析：（1）∵点 到 和 的距离之和等于 且 ，∴ 是以 和 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 ，则 ，故 ，∴曲线 的方程为 ．
（2）设 ， ，则联立方程 ，得 ,此时 恒成立,又由韦达定理可得 ， ………………①
由点 在直线 上，可得 ， 又∵ , ∴ 即
即 ,整理得 ,将①式代入得 ,故 ．
当 时， ，当 时， ,综上所述， ．
（2）若分数在（含60分）的人对“高速公路免费政策”表示满意，现从全市参加了这次满意度测评的人中随机抽取一人，求此人满意的概率；
（3）请你估计全市的平均分数．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）利用频率分布表以及 进行求解；（2）利用互斥事件的概率公式进行求解；（3）利用平均数的计算公式进行求解．
（Ⅰ）求棱锥 的体积；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）存在， ．
【解析】
试题分析：（I）在在 中， ，可得 ，由于 平面 ，可的棱锥的高，利用体积公式求解几何体的体积；（II）由 平面 ，可得 ，进而得到 平面 ，即可证明平面 平面 ；（III）在线段 上存在一点 ，使得 平面 ， ，设F为线段DE上的一点，且 ，过F作 ，由线面垂直的性质可得 ，可得四边形ABMF是平行四边形，于是 ，即可证明 平面 ．
高三数学难题及答案
1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值范围是解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即PA是⊙C的直径）。
设⊙C与小⊙O的公共点为D.令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。
（取开值）下面先求出最值，由图1——r²+d²=1d=r±1/2(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)于是r²+(r±1/2)²=1整理得8r²±4r-3=0解得r=(√7±1)/4（负根已舍去）于是(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，以此为前提(重点)，我们来研究|OA|的取值——【易得此前提即(√7-1)/4<d<(√7+1)/4）】先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和图2)由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.r=√2/2满足(√7-1)/4<r <(√7+1)/4，此时|OA|=d+r=√2取最大值，即|OA|≤√2.再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA'，过A 作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值必在图2中A(或A')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4= 7/4|OA|=√7/2段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是|OA|>√7/2.综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].。
高中数学难题(含参考答案)
东莞龙文教育高中数学试卷（24）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于 A ．｛0，1｝ B ．｛-1，0，1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛-1，0，1，2｝ 2．i 是虚数单位1+i 3等于 A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i 3．若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6 B ．8 C ．10D ．125．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．3 B ．11 C ．38 D ．1236．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的 取值范围是 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随 机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14 B ．13C ． 12D ． 238．已知函数f （x ）=。
若f （a ）+f （1）=0,则实数a 的值等于A ．-3B ．-1C ．1D ．39．若a ∈（0，2），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．2 B ．C ．D ．10．若a>0,b>0,且函数f （x ）=3242x ax bx --在x=1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．911．设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于 A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。
高三数学超难试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 1C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 12. 若a、b、c是等差数列的连续三项，且a+b+c=0，则b= （）A. 0B. 1C. -1D. 23. 在极坐标系中，点P(3, π/3)对应的直角坐标系中的坐标是（）A. (3, 3)B. (3, -3)C. (-3, 3)D. (-3, -3)4. 若复数z满足|z+1|=|z-1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 以原点为圆心，半径为1的圆B. 以点(-1, 0)为圆心，半径为1的圆C. 以点(1, 0)为圆心，半径为1的圆D. 以原点为圆心，半径为2的圆5. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则数列{an^2}的首项是（）A. 4B. 6C. 8D. 126. 函数y=2^x + 3^x + 4^x的图像在（）A. 第一象限单调递增B. 第一象限单调递减C. 第二象限单调递增D. 第二象限单调递减7. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x在x=2处取得极值，则f(2)= （）A. 1B. 2C. 3D. 48. 设向量a=(1, 2)，向量b=(2, -1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值是（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/59. 在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则△ABC的外接圆半径R= （）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=55，S20=185，则数列{an}的公差d= （）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共25分）11. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，若f(x)在x=1处取得极小值，则f(1)=________。
12. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的轨迹是圆心为 ________，半径为 ________ 的圆。
高三的数学试卷难题及答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = (x+1)^2 - 2x，则f(x)的对称轴为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 2答案：C解析：f(x) = (x+1)^2 - 2x = x^2 + 2x + 1 - 2x = x^2 + 1，对称轴为x = -b/2a = -0/2 = 0，故选C。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则数列{an}的前10项之和S10为（）A. 40B. 100C. 210D. 340答案：D解析：S10 = a1 + a2 + ... + a10 = (1^2 - 31 + 2) + (2^2 - 32 + 2) + ... + (10^2 - 310 + 2) = (1 + 2 + ... + 10)^2 - 3(1 + 2 + ... + 10) + 210 = 55^2 - 355 + 20 = 3025 - 165 + 20 = 2880，故选D。
3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f(x)在x = 1处的导数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，f'(1) = 31^2 - 61 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1，故选B。
4. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 6，a4 + a5 + a6 = 18，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3n - 4B. an = 4n - 5C. an = 5n - 6D. an = 6n - 7答案：B解析：a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3d = 6，a4 + a5 + a6 = 3a1 + 9d = 18，解得a1 = 1，d = 2，故an = a1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 4n - 5，故选B。
高中数学排列组合难题
高中数学排列组合难题
1、小张家住在二楼,他每次回家走楼梯时都是一步走二级或三级台阶,已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
答案：设小明从一层到二层走二级台阶走了x步,走三级台阶走了y步,于是有:
2x+3y=16
1)x=2,y=4
2)x=5,y=2
3)x=8,y=0
∴小明从一层到二层不同的走法有：
N＝C6（2）＋C7（5）＋C8（8）
＝15＋21＋1
＝37种。
2、“六个人,他们每人有一个帽子,但他们每个人都被要求戴别人的帽子,请问有多少种戴法?”
答案：这是错位问题记住通项公式An=（n-1)（A(n-1)+A(n-
2))A1=0A2=1A3=2A4=9A5=44A6=265
3、安排7个同学去5个运动项目,要求甲乙两同学不能参加一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个,求方案书?
答案：(C73-C51+C72*C52/2-C52)*P55
思路：先分堆,再全排列,分堆方法有2种,
第一种：31111,把其中甲乙在一起的排除掉第二种：22111,把其中甲乙在一起的排除掉。
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龙文教育高中数学试卷（24）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于 A ．｛0，1｝ B ．｛-1，0，1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛-1，0，1，2｝2．i 是虚数单位1+i 3等于 A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i 3．若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6 B ．8 C ．10D ．125．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．3 B ．11 C ．38 D ．1236．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的 取值围是 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 部随 机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 部的概率等于 A ．14 B ．13C ． 12D ． 238．已知函数f （x ）=。
若f （a ）+f （1）=0,则实数a 的值等于 A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．39．若a ∈（0，2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．22 B ．3C ． 2D ． 310．若a>0,b>0,且函数f （x ）=3242x ax bx --在x=1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．911．设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于 A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4。
给出如下四个结论： ①2011∈[1] ②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a-b ∈[0]”。
其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上。
13．若向量a=（1,1），b （-1,2），则a ·b 等于_____________． 14．若△ABC 的面积为3，BC=2，C= 60，则边AB 的长度等于_______．15．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2。
，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b-a ），这里，x 被称为乐观系数。
经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c-a ）是（b-c ）和（b-a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=-3．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{a n}的前k项和=-35，求k的值．18．（本小题满分12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。
（I）数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．19．（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a 0．2 0．45 b C（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（I）求证：CE⊥平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积21．（本小题满分12分）设函数f（θ）cosθθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0θπ≤≤。
（1）若点P的坐标为1(2，求f()θ的值；（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：x+y1x1y1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，试确定角θ的取值围，并求函数()fθ的最小值和最大值。
22．（本小题满分14分）已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。
（I ）数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x ∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。
龙文教育高中数学试卷（24）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1——12 ADABBCCADDAC二、填空题：本大题考查基础知识的基本运算，每小题4分，满分16分。
13．1 14．2 15 16三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分12分。
解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+- 由121,312 3.a a d ==-+=-可得解得d=-2。
从而，1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=- （II ）由（I ）可知32n a n =-， 所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==-进而由2135235,S k k =--=-可得即22350k k --=，解得7 5.k k ==-或 又*,7k N k ∈=故为所求。
18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。
解：（I ）由22,4404y x b x x b x y=+⎧--=⎨=⎩得，（*） 因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0,b ∆=--⨯-= 解得b=-1。
（II ）由（I ）可知21,(*)440b x x =--+=故方程即为， 解得x=2，代入24, 1.x y y ==得故点A （2，1），因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离， 即|1(1)|2,r =--=所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-=19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。
解：（I ）由频率分布表得0.20.451,a b c ++++=即a+b+c=0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件， 所以30.15,20b == 等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==， 从而0.350.1a b c =--= 所以0.1,0.15,0.1.a b c ===（II ）从日用品1212,,,x x y y 中任取两件， 所有可能的结果为：12131112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个，又基本事件的总数为10， 故所求的概率4()0.4.10P A == 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分（I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以.PA CE ⊥因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PAAD A =所以CE ⊥平面PAD 。
（II ）由（I ）可知CE AD ⊥，在Rt ECD ∆中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ⋅︒==⋅︒= 又因为1,//AB CE AB CE ==， 所以四边形ABCE 为矩形，所以1151211.222ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ∆=+=⋅+⋅=⨯+⨯⨯=矩形四边形 又PA ⊥平面ABCD ，PA=1， 所以11551.3326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四边形 21．本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分12分。
解：（I ）由点P的坐标和三角函数的定义可得sin 21cos .2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是1()cos 2.22f θθθ=+=+=（II ）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中A （1，0），B （1，1），C （0，1）。