机电工程基础第六章 线性系统的综合
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2）D = 0 时，闭环系统 K 的传递函数阵为 GK C[sI ( A BK )]1 B
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
4） D 0 时，若令 K HC ，则有 Kx Hy ，状 态反馈就等价于输出反馈 H 。
状态反馈控制器设计原理：
系统的动态性能主要由A、B、C、D 矩阵决定。 A、B 阵是已知的，不能改变。而K 阵可以选择。
因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系
统达到希望的控制性能。
第六章 线性定常系统的综合
，Kx则有Hy ， H
由于m＜n的原因，K阵可以选择的自由度比较大， 而H阵可以选择的自由度相对K阵来说要小些，尤其 是HC对改善系统性能的效果同K阵相比要小得多，因 此，输出反馈改善系统性能的能力要差些。
然而输出反馈比状态反馈实现起来要方便，因此在 实际中仍然采用。但状态反馈可获得更好的性能。
第六章 线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置 的充要条件是：系统状态完全能控。
线性定常系统
: x Ax Bu y Cx Du
状态反馈
u v Kx
状态反馈系统方程 k : x (A BK)x Bv
y (C DK)x Dv
第六章 线性定常系统的综合
y
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Kx
闭环系统
K
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)
x
Dv
闭环系统 K 结构图
第六章 线性定常系统的综合
状态反馈性质：
1）状态反馈对输入矩阵 B 无影响， 对直接传输矩阵 D 无影响， 系数矩阵由 A 变为（A - BK）， 系统输出矩阵由 C 变为（C - DK）。
算法一：
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。
经过线性变换 x P1x，可以使系统具有能控标准形。
0 1 0 0
x
0
0
1
0
0
x
u
0
0 0
1
a0 a1 an1
4）系统输出矩阵由 C 变为(I+DH)-1C （当D=0时，C阵不改变）
第六章 线性定常系统的综合
输出反馈控制器设计原理：
系统的动态性能主要由A、B、C、D 矩阵决定。 A、B 阵是已知的，不能改变。而H 阵可以选择。
因此，通过适当的方法选择反馈阵H，就可以使系
统达到希望的控制性能。
第六章 线性定常系统的综合
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
输出反馈性质：
第六章 线性定常系统的综合
1）输出反馈使输入矩阵由 B 变为 [B-BH(I＋DH)-1D] （当 D＝0 时，对 B 阵无影响）
2）直接传输矩阵 D 变成 (I+DH)-1D。
3）系统矩阵由 A 变为 [A-BH(I＋DH)-1C] （当D＝ 0时，就变成(A-BHC)）
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
第六章 线性定常系统的综合
通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
x
1 3
2 1
x
0 1
u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u [3 1]x v
第六章 线性定常系统的综合
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x
1 0
2 0 0 x 1 v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
第六章 线性定常系统的综合
6.1.2 输出反馈的定义及其性质 在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出反馈
ห้องสมุดไป่ตู้
对象 线性定常系统
非线性系统、时变系统
描述 方法
传递函数法 高阶微分方程 (外部描述)
状态空间法 (内部描述)
反映 内容
仅是系统的输入输出关系
系统的状态
稳定性 种类
输出反馈
状态反馈 输出反馈
第六章 线性定常系统的综合
6.1 状态反馈与输出反馈
6.1.1 状态反馈的定义及其性质
x Ax Bu
给定系统
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
综合与设计 目的：寻求控制律（控制器） 对象：已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 要求：期望的性能指标（稳态性能及动态性能） 手段：控制规律常取反馈形式 （在抗干扰性能或控制性能方面，反馈闭环系 统都优于非反馈或开环系统）
第六章 线性定常系统的综合
经典控制理论
现代控制理论
研究 单输入/单输出系统SISO 多输入/多输出系统MIMO
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
第六章 线性定常系统的综合
给定系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
第六章 线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 极点配置 6.3 镇定问题 6.4 状态观测器
系统的描述 目的： 系统的建模、模型转换 模型种类：时域、频域、内部、外部描述
系统的分析 定量分析：状态方程的解（即系统运动分析） 定性分析：能控性、能观测性 稳定性
定理6.1.1 状态反馈不改变线性定常系统的能控性。
证明 对任意的K 矩阵，均有
λI (A BK )
B λI A
BKI
0
I
I 0
因为 K
I
满秩，所以对任意常值矩阵K 和
λ
，
均有 rankλI (A BK ) B rankλI A B
第六章 线性定常系统的综合
例6.1.1 系统
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
4） D 0 时，若令 K HC ，则有 Kx Hy ，状 态反馈就等价于输出反馈 H 。
状态反馈控制器设计原理：
系统的动态性能主要由A、B、C、D 矩阵决定。 A、B 阵是已知的，不能改变。而K 阵可以选择。
因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系
统达到希望的控制性能。
第六章 线性定常系统的综合
，Kx则有Hy ， H
由于m＜n的原因，K阵可以选择的自由度比较大， 而H阵可以选择的自由度相对K阵来说要小些，尤其 是HC对改善系统性能的效果同K阵相比要小得多，因 此，输出反馈改善系统性能的能力要差些。
然而输出反馈比状态反馈实现起来要方便，因此在 实际中仍然采用。但状态反馈可获得更好的性能。
第六章 线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置 的充要条件是：系统状态完全能控。
线性定常系统
: x Ax Bu y Cx Du
状态反馈
u v Kx
状态反馈系统方程 k : x (A BK)x Bv
y (C DK)x Dv
第六章 线性定常系统的综合
y
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Kx
闭环系统
K
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)
x
Dv
闭环系统 K 结构图
第六章 线性定常系统的综合
状态反馈性质：
1）状态反馈对输入矩阵 B 无影响， 对直接传输矩阵 D 无影响， 系数矩阵由 A 变为（A - BK）， 系统输出矩阵由 C 变为（C - DK）。
算法一：
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。
经过线性变换 x P1x，可以使系统具有能控标准形。
0 1 0 0
x
0
0
1
0
0
x
u
0
0 0
1
a0 a1 an1
4）系统输出矩阵由 C 变为(I+DH)-1C （当D=0时，C阵不改变）
第六章 线性定常系统的综合
输出反馈控制器设计原理：
系统的动态性能主要由A、B、C、D 矩阵决定。 A、B 阵是已知的，不能改变。而H 阵可以选择。
因此，通过适当的方法选择反馈阵H，就可以使系
统达到希望的控制性能。
第六章 线性定常系统的综合
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
输出反馈性质：
第六章 线性定常系统的综合
1）输出反馈使输入矩阵由 B 变为 [B-BH(I＋DH)-1D] （当 D＝0 时，对 B 阵无影响）
2）直接传输矩阵 D 变成 (I+DH)-1D。
3）系统矩阵由 A 变为 [A-BH(I＋DH)-1C] （当D＝ 0时，就变成(A-BHC)）
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
第六章 线性定常系统的综合
通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
x
1 3
2 1
x
0 1
u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u [3 1]x v
第六章 线性定常系统的综合
则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x
1 0
2 0 0 x 1 v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
第六章 线性定常系统的综合
6.1.2 输出反馈的定义及其性质 在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出反馈
ห้องสมุดไป่ตู้
对象 线性定常系统
非线性系统、时变系统
描述 方法
传递函数法 高阶微分方程 (外部描述)
状态空间法 (内部描述)
反映 内容
仅是系统的输入输出关系
系统的状态
稳定性 种类
输出反馈
状态反馈 输出反馈
第六章 线性定常系统的综合
6.1 状态反馈与输出反馈
6.1.1 状态反馈的定义及其性质
x Ax Bu
给定系统
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
综合与设计 目的：寻求控制律（控制器） 对象：已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 要求：期望的性能指标（稳态性能及动态性能） 手段：控制规律常取反馈形式 （在抗干扰性能或控制性能方面，反馈闭环系 统都优于非反馈或开环系统）
第六章 线性定常系统的综合
经典控制理论
现代控制理论
研究 单输入/单输出系统SISO 多输入/多输出系统MIMO
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
第六章 线性定常系统的综合
给定系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
第六章 线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 极点配置 6.3 镇定问题 6.4 状态观测器
系统的描述 目的： 系统的建模、模型转换 模型种类：时域、频域、内部、外部描述
系统的分析 定量分析：状态方程的解（即系统运动分析） 定性分析：能控性、能观测性 稳定性
定理6.1.1 状态反馈不改变线性定常系统的能控性。
证明 对任意的K 矩阵，均有
λI (A BK )
B λI A
BKI
0
I
I 0
因为 K
I
满秩，所以对任意常值矩阵K 和
λ
，
均有 rankλI (A BK ) B rankλI A B
第六章 线性定常系统的综合
例6.1.1 系统