机电工程基础第六章 线性系统的综合

2）D = 0 时，闭环系统 K 的传递函数阵为 GK C[sI ( A BK )]1 B
即 GK G(s)[I K (sI A)1 B]1 状态反馈改变系统的极点，不改变系统的 零点（除非人为制造零极相消）。
第六章 线性定常系统的综合
3）引入状态反馈不改变系统的能控性。但是， 状态反馈可以改变系统的能观测性。
6.2 极点配置
在古典控制理论中，系统的各种动态性能很大 程度上都是由极点在s平面上的位置所决定的。
在现代控制理论中，系统的极点实际上就是状 态方程中的系统矩阵A所对应的特征根。
系统中引入状态反馈之后，矩阵A变成了（A一 BK）。因此，利用改变状态反馈阵K的办法来改 变特征根（极点），称为“极点配置”．
6.1.3 状态反馈与输出反馈的比较
状态反馈
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)x
Dv
输出反馈
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
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通过比较可知，当 D时，0 若令 状态K反 H馈C就等价于输出反馈 。
形式。
水箱PID 控制系统
转台PID 控制系统
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给定系统
x Ax Bu
y
பைடு நூலகம்
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Hy
闭环系统 H 的结构图
闭环系统 H
x Ax B(v - Hy)
[ A - BH (I DH )-1C]x [B - BH (I DH )-1 D]v
定理6.1.1 状态反馈不改变线性定常系统的能控性。
证明 对任意的K 矩阵，均有
λI (A BK )
B λI A
BKI
0
I
I 0
因为 K
I
满秩，所以对任意常值矩阵K 和
λ
，
均有 rankλI (A BK ) B rankλI A B
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例6.1.1 系统
y
Cx
Du
引入反馈控制律 u v Kx
闭环系统
K
x (A BK)x Bv
y
(C
DK
)
x
Dv
闭环系统 K 结构图
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状态反馈性质：
1）状态反馈对输入矩阵 B 无影响， 对直接传输矩阵 D 无影响， 系数矩阵由 A 变为（A - BK）， 系统输出矩阵由 C 变为（C - DK）。
，Kx则有Hy ， H
由于m＜n的原因，K阵可以选择的自由度比较大， 而H阵可以选择的自由度相对K阵来说要小些，尤其 是HC对改善系统性能的效果同K阵相比要小得多，因 此，输出反馈改善系统性能的能力要差些。
然而输出反馈比状态反馈实现起来要方便，因此在 实际中仍然采用。但状态反馈可获得更好的性能。
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对象 线性定常系统
非线性系统、时变系统
描述 方法
传递函数法 高阶微分方程 (外部描述)
状态空间法 (内部描述)
反映 内容
仅是系统的输入输出关系
系统的状态
稳定性 种类
输出反馈
状态反馈 输出反馈
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6.1 状态反馈与输出反馈
6.1.1 状态反馈的定义及其性质
x Ax Bu
给定系统
4）系统输出矩阵由 C 变为(I+DH)-1C （当D=0时，C阵不改变）
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输出反馈控制器设计原理：
系统的动态性能主要由A、B、C、D 矩阵决定。 A、B 阵是已知的，不能改变。而H 阵可以选择。
因此，通过适当的方法选择反馈阵H，就可以使系
统达到希望的控制性能。
第六章 线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
第六章 线性定常系统的综合
6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 极点配置 6.3 镇定问题 6.4 状态观测器
系统的描述 目的： 系统的建模、模型转换 模型种类：时域、频域、内部、外部描述
系统的分析 定量分析：状态方程的解（即系统运动分析） 定性分析：能控性、能观测性 稳定性
算法一：
因为A 和 b 一定，确定K 的就可以配置系统的极点。
经过线性变换 x P1x，可以使系统具有能控标准形。
0 1 0 0
x
0
0
1
0
0
x
u
0
0 0
1
a0 a1 an1
y
(I
DH
)-1Cx
(I
DH
)-1
Dv
输出反馈性质：
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1）输出反馈使输入矩阵由 B 变为 [B-BH(I＋DH)-1D] （当 D＝0 时，对 B 阵无影响）
2）直接传输矩阵 D 变成 (I+DH)-1D。
3）系统矩阵由 A 变为 [A-BH(I＋DH)-1C] （当D＝ 0时，就变成(A-BHC)）
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定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置 的充要条件是：系统状态完全能控。
线性定常系统
: x Ax Bu y Cx Du
状态反馈
u v Kx
状态反馈系统方程 k : x (A BK)x Bv
y (C DK)x Dv
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综合与设计 目的：寻求控制律（控制器） 对象：已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 要求：期望的性能指标（稳态性能及动态性能） 手段：控制规律常取反馈形式 （在抗干扰性能或控制性能方面，反馈闭环系 统都优于非反馈或开环系统）
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经典控制理论
现代控制理论
研究 单输入/单输出系统SISO 多输入/多输出系统MIMO
x
1 3
2 1
x
0 1
u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u [3 1]x v
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则闭环系统 的K 状态空间表达式为
K
：
x
1 0
2 0 0 x 1 v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
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6.1.2 输出反馈的定义及其性质 在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出反馈
4） D 0 时，若令 K HC ，则有 Kx Hy ，状 态反馈就等价于输出反馈 H 。
状态反馈控制器设计原理：
系统的动态性能主要由A、B、C、D 矩阵决定。 A、B 阵是已知的，不能改变。而K 阵可以选择。
因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系
统达到希望的控制性能。
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