一元高次方程解法
高次方程的解法
高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
解方程的方法
解方程的方法解方程是数学中的基本技能之一，它在我们的日常生活和学习中都有着广泛的应用。
解方程的过程可以帮助我们理清问题的思路，找到问题的解决方法。
在解方程的过程中，我们需要运用一些基本的数学知识和技巧，下面我将为大家介绍一些解方程的常用方法。
一、一元一次方程的解法。
一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程的方法主要有逆运算法、等式性质法和代入法。
其中，逆运算法是指通过逆运算将方程中的未知数单独求解出来，等式性质法是指通过等式两边同时进行相同的运算来简化方程，代入法是指将一个变量的值代入另一个变量的表达式中，从而求解方程。
二、一元二次方程的解法。
一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
解一元二次方程的方法主要有公式法、配方法、因式分解法和图像法。
其中，公式法是指利用一元二次方程的求根公式来求解方程的根，配方法是指通过配方的方式将一元二次方程化简为完全平方的形式，因式分解法是指将一元二次方程进行因式分解，从而求解方程，图像法是指通过一元二次方程的图像来求解方程。
三、多元一次方程组的解法。
多元一次方程组是指方程组中含有多个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程组。
解多元一次方程组的方法主要有代入法、加减消去法和等式性质法。
其中，代入法是指将一个变量的值代入另一个变量的表达式中，从而求解方程组，加减消去法是指通过加减的方式将方程组中的某些变量消去，从而简化方程组，等式性质法是指通过方程组的等式性质来简化方程组，从而求解方程组。
四、不等式的解法。
不等式是数学中常见的一种关系式，解不等式的方法主要有图像法、逆运算法和区间法。
其中，图像法是指通过不等式的图像来求解不等式，逆运算法是指通过逆运算将不等式中的未知数单独求解出来，区间法是指通过区间的概念来求解不等式。
总结。
解方程是数学中的基本技能之一，掌握好解方程的方法对我们的学习和生活都有着重要的意义。
高次方程求解技巧
高次方程求解技巧高次方程是指多项式方程中最高次项的次数大于1的方程。
求解高次方程有很多技巧和方法，本文将介绍几种常用的高次方程求解技巧。
一、根的性质在求解高次方程时，首先可以利用根的性质来推导方程的解。
多项式方程的根是指使方程成立的数值，也就是多项式方程的解。
根的性质有以下几点：1. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)是方程P(x)的一个因式。
2. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)是方程P(x)的一个因式。
3. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)^2是方程P(x)的一个因式。
4. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)^2是方程P(x)的一个因式。
利用这些根的性质，可以将高次方程进行因式分解，从而求解方程。
二、二次方程求解对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。
求根公式是：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，可以得到二次方程的两个实根或共轭复根。
三、配方法对于形如ax^2+bx+c=0的二次方程，如果无法直接使用求根公式求解，可以使用配方法进行转化。
配方法的基本思想是通过添加或减少一个合适的数使得方程左边变成一个完全平方。
具体步骤如下：1. 如果a不等于1，可以将方程两边同时乘以1/a，得到x^2+(b/a)x+c/a=0。
2. 将方程右边的常数项移到左边，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
3. 添加一个数，使得方程左边变成一个完全平方，即加上(b/2a)^2，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。
4. 将方程左边进行因式分解，得到(x+b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。
5. 平方根运算，得到x+b/2a=±√(-c/a+(b/2a)^2)。
6. 移项，得到x=-b/2a±√(-c/a+(b/2a)^2)。
通过配方法，可以将二次方程转化为一元二次方程，进而求解方程。
高次方程的解法
高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。
高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。
本文将介绍高次方程的解法。
一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。
对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。
例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a来求解方程的根。
而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和费拉里公式来求解方程的根。
然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。
这是由于高于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。
对于这种情况，我们可以通过数值逼近的方法来求解方程的近似解。
常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线法等。
这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精度的解。
除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。
例如，对于特殊形式的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。
对于齐次方程，我们可以使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。
对于含有参数的高次方程，我们可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。
除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高次方程的解的性质。
通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，例如解的个数、解的分布等。
这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。
综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。
对于高次方程的解法，我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和求解。
通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。
韦达定理在求解一类一元高次方程中的应用_张金良
i =1
i =1
b < 1 或a > b >1) ;
n
n
∑ ∑ (2)若 pi axi ≤ par , 则 pibx < pbs (b <
i =1
i =1
a < 1或b > a > 1) .
本文从幂的角度亦给出文[1]的推广:
定理 设 ai , pi , a, r, s 均为正数, pi ≥ p(i = 1, 2,Ln.n ≥ 2) .
解方程分析本题的解法我们发现本题并没有直接给出两数之和也没有给出两数之积原方程通过变形运用字母代换数字通过韦达定理来构造方程使问题化难为易
韦达定理在求解一类一元高 次方程中的应用
福建建阳师范学校 张金良
问题的提出:
解方程 (6x + 7)2 (3x + 4)(x +1) = 6 .
解 原方程可化为
(6x + 7)2 (6x + 8)(6x + 6) = 72 ,
因此,当 ae = ah = b 且 af + ak = 2c 时方
dg
dg
程 (ax2 + bx + c)2 (dx2 + ex + f )(gx2 + hx + k ) =
m (其中 a, b, c, d, e, f, g, h, k, m∈ R 且 d ⋅ g ≠ 0 ) 都可通过韦达定理构造方程来求解.
显然 x = 2 是方程的一个解. 当 x > 2 时,由定理
6 ⋅ 3x + 4x + 2 ⋅ 5x <12x ⋅ 5 / 6 ; 当 0 < x < 2 时,由定理
高次方程、分式方程、无理方程的解法教学-2022年学习资料
例62解方程2x-√2x+1=5-典型例题-此题也可令√2x+1=t-t≥0-转化为t的一元二次方程-t2 1-t=5即t2-t-6=0求解.-解得t=3或t=-2舍去-即√2x+1=3-解得x=4-25
例7解方程√3x-2+√x+3=3-典型例题-解：移项得√3x-2=3-√x+3-两边平方，整理得3Vx+ =7-x-再两边平方，化简得x2-23x+22=0-解得x1=1,x2=22-经检验x,=1为原方程的根， x2=22是增根.-方程一边出现两个根号时要先移项-26
例21解方程-x2-5x2-2x2-5x-24=0-典型例题-解：换元-令t=x2-5x-则原方程可以化为 2-2t-24=0-即t-6t+4=0-故t=6或t=4-即x2-5x=6或x2-5x=-4-解得：x1= 1,x2=6,x3=1,x4=4
例22解方程-x-2x+1x+4x+7=19-典型例题-解：原方程即-x2+5x-14x2+5x+4=19 换元-令x2+5x-14=t-原方程可化为tt+18=19-解得t=-19或t=1-即x2+5x-14=91-或x2+5-14=1
解分式方程的思路是：-去分母-整式-解分式方程的一投步骤-1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，-化 整式方程.-2、解这个整式方程-3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公-分母的值不为0，则整式方程的 是原分式方程的解；-否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.-4、写出原方程的根.-化二解三检验-17
x2+2-例4解方程-32x2-1D=-2-2x2-1x2+2-典型例题-解：令-原方程可化为-t--即t +2t-3=0-解得t1=-3,t2=1-所以-=3或-18
解方程的公式
解方程的公式解方程的公式是指用于解决一个或多个未知数的公式，通常这些未知数形成了方程中的变量。
解方程的公式可以让人们计算出不同的参数值，从而找到一个满足方程的解。
解方程的公式有很多种，但它们都是基于某种数学原理和技巧，如代数法、因式分解、特殊公式等。
它们可以用来解决各种复杂的数学问题，包括一元方程、二元方程、三元方程、高次方程等。
一元方程的解法有直接代入法、翻转乘除法、因式分解法、移项法和幂次法等。
直接代入法是指将未知数代入方程中，然后计算出结果，从而求得该方程的解。
例如，求解2x-3=5的解，可以将x代入方程，即2x-3=5，然后计算出结果，x=4。
翻转乘除法指的是先将方程中的等式两边的系数翻转，然后再将相应的系数相乘或相除，从而求得方程的解。
例如，求解7x+2=6的解，可以将等式两边的系数翻转，即7x+2=6，然后将系数7和2相除，x=1/3。
因式分解法是指将复杂的方程拆分成若干个简单的方程，然后按照先后顺序解决，最终解出该方程的解。
例如，求解2x^2-3x+5=0的解，可以将方程分解成2x^2=3x-5和x=3/2两个方程，然后依次解决，最终得到x=3/2。
移项法是指将方程中的等式两边的变量和系数移动，从而使方程变为一元一次方程，然后根据一元一次方程的求解公式求得未知数的值。
例如，求解x^2+2x-5=0的解，可以将等式两边的x^2移到右边，即x^2+2x-5=0，然后根据一元一次方程的求解公式，计算出x=1或-5。
幂次法是指将方程化为幂次形式，然后利用幂次公式计算出未知数的值。
例如，求解x^3-2x^2+3x-4=0的解，可以将方程化为x^3-2x^2+(3x-4)=0，然后利用幂次公式计算出x=-1,2,-2 三个解。
解方程的公式也可以用来解决更复杂的问题，例如求解二次方程、三次方程等。
二次方程的解法有因式分解法、移项法、平方根法、特殊公式法等，而三次方程的解法有Vieta公式法、特殊公式法等。
一元高次方程求解方法
一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为2b x a-±=。
若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程。
于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。
有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠。
当系数01,,a a1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式。
如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根。
1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。
根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算。
这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积。
”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。
要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。
一元高次方程解法
一元高次方程解法
一元高次方程的解法有多种方法，最常用的方法是配方法、因式分解法、求根公式法和牛顿迭代法等。
配方法：将一元高次方程转化为一个多项式乘积等于零的形式，再分别解出每一个因式，即可得到方程的解。
因式分解法：将一元高次方程进行因式分解，再分别解出每个因式，即可得到方程的解。
求根公式法：对于二次以上的高次方程，可以使用求根公式求出方程的根。
例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求出方程的根。
牛顿迭代法：通过对方程进行迭代计算，不断逼近方程的解，最终得到方程的解。
这种方法通常需要预先估计方程的解，在这个基础上进行迭代计算。
高次方程解法[整理版]
![高次方程解法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.png)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
方程解法公式
方程解法公式方程解法公式是数学中常用的一种解题方法，通过运用特定的公式和方法，可以快速求解各种类型的方程。
下面将介绍几种常见的方程解法公式。
一、一元一次方程的解法公式一元一次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程的方法有很多种，其中最常用的是使用一元一次方程的解法公式。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的公式是x = -b / a。
根据这个公式，我们可以很方便地求得方程的解。
例如，对于方程2x + 3 = 0，根据解一元一次方程的公式，我们可以得到x = -3 / 2，即解为x = -1.5。
二、二元一次方程组的解法公式二元一次方程组是指含有两个未知数，并且每个未知数的最高次数都为1的方程组。
解二元一次方程组的方法有很多种，其中最常用的是使用二元一次方程组的解法公式。
二元一次方程组的一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1、b1、c1、a2、b2、c2为已知数，x和y为未知数。
解二元一次方程组的公式为：x = (c1b2 - c2b1) / (a1b2 - a2b1)y = (a1c2 - a2c1) / (a1b2 - a2b1)根据这个公式，我们可以很方便地求得方程组的解。
例如，对于方程组2x + 3y = 7，4x - 5y = 1，根据解二元一次方程组的公式，我们可以得到x = 2，y = 1，即解为x = 2，y = 1。
三、一元二次方程的解法公式一元二次方程是指只有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的方程。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的是使用一元二次方程的解法公式。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a根据这个公式，我们可以很方便地求得方程的解。
143个高中高频数学解题模型
143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。
2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。
二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。
三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。
解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。
2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。
解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。
四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。
2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。
五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。
2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。
六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。
mathematics 解方程
解方程在数学中是一个基本的概念。
方程是一个数学表达式，表示两个表达式相等。
解方程意味着找到使得该等式成立的未知数的值。
解方程的基本方法和技巧取决于方程的类型。
以下是一些常见的方程类型及其解决方法：1. 一元一次方程：
\( ax + b = 0 \)
解：\( x = -\frac{b}{a} \)
2. 一元二次方程：
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
通常使用求根公式\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 来解决它。
3. 一元三次方程和更高次的方程：
这些方程的解法较为复杂，并且可能没有通用的解。
对于高于二次的多项式方程，可能需要使用数值方法或其他特定的技术来找到解。
4. 多元方程组：
当有多个未知数时，可以使用消元法、代入法、加减法等技巧来求解方程组。
5. 其他类型的方程：
在数学中，还有许多其他类型的方程，如指数方程、对数方程、三角方程等。
每种类型的方程都有其特定的解决方法。
解方程是数学中的一个核心概念，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。
为了解方程，你需要熟悉各种解方程的技巧和方法，并进行实践来加深理解。
解方程的方法
解方程的方法解方程是数学中的基本技能之一，它在各个领域都有着重要的应用。
解方程的过程需要我们运用一定的方法和技巧，下面我将介绍一些常见的解方程方法。
一、一元一次方程的解法。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
解一元一次方程的方法主要有两种，分别是等式两边加减同一个数和等式两边乘除同一个数。
1.等式两边加减同一个数。
对于方程ax+b=c，我们可以通过在等式两边同时加上或减去同一个数来求解。
例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4，再除以2，得到x=2。
2.等式两边乘除同一个数。
对于方程ax=b，我们可以通过在等式两边同时乘以或除以同一个数来求解。
例如，对于方程3x=9，我们可以通过除以3，得到x=3。
二、一元二次方程的解法。
一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
解一元二次方程的方法主要有公式法和配方法。
1.公式法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-4ac称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
2.配方法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将方程化为完全平方的形式来求解。
例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以将其化为(x+3)^2=0，从而得到x=-3。
三、联立方程的解法。
联立方程是指含有两个或两个以上未知数的方程组。
解联立方程的方法主要有代入法、消元法和加减法。
1.代入法。
对于联立方程{ax+by=c, dx+ey=f}，我们可以先解其中一个方程得到一个未知数的表达式，然后将该表达式代入另一个方程中求解。
例如，对于方程组{2x+y=7, x-y=1}，我们可以先解得y=7-2x，然后将其代入第二个方程中得到x=2，再代回第一个方程中得到y=3。
高次方程、分式方程、无理方程的解法
通过换元可将原方程化为关于 t的一元二次方程.
方
法
1. 移项，平方可把无理方程化为有理方程
提 炼
2.换元可以使解方程的过程变得简便
3.解无理方程时应注意检验
一化二解三检验
课 堂 小
1.三种方程高次、分式、无理方程的解法 结 2.一个方法——换元 3.一个思想——等价转化的数学思想
典 型
x1x2 2xa 的解为负数
x2 x1 (x2)x (1)
例 题
求实数 a的范围.
解： 左边通分
4x5 2xa (x2)x (1) (x2)x (1)
所以 4 x 5 2 x a，2x5a
所以 x 5 a 0 且 5 a 1
2
2
解得 a5且 a7
方
1.在分式方程两边同乘以最简公分母，
典
例6（1）解方程 x7x1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解： x 7 0
x 1 0
题
为什么会产 生增根？
解得 x2 （ x3为增根 ）
此题也可先解出方程*的根， 再代回原方程检验.
典
例6（2）解方程 2x2x15
型
例
解：移项， 2x12x5
题
两边平方，化简得 2 x 2 1x 1 1 2 0
典 型 例
解：令
x2 2 2x2 1
t
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t22t30
解得 t13,t21
所以
x2 2 2x2 1
3
或
x2 2 2x2 1
1
典
即 7x210或 x230
型 例
题
解得 x17 7,x27 7,x33,x43
简易高次方程的解法
简易高次方程的解法在数学中，高次方程是指次数大于二次的代数方程。
一般来说，高次方程的解法并不是那么容易，需要使用特定的方法才能求出解。
但是对于一些简易的高次方程，我们可以使用较为简单的方法来求解。
首先来看一元四次方程的解法。
对于一元四次方程而言，我们通常使用代换法将其转化为一元二次方程进行求解。
其中一种代换的方法如下：假设我们要解的一元四次方程为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, 首先我们使用代换方法将其转化为y=x^2。
这样我们就得到了ay^2+by+c(dx+e)+d^2=0的一元二次方程。
这个方程可以使用求根公式进行求解。
求出y的值之后，我们再用y代回x^2，就能得到x的值了。
接下来是一元五次方程的解法。
对于一元五次方程而言，我们可以使用差分与代换的方法来进行求解。
具体步骤如下：1. 把一元五次方程的根排序，这样就得到了a，b，c，d，e五个数字。
2. 接着我们计算这五个数字的差值，即b-a，c-b，d-c和e-d。
如果它们之间存在相同的数，那么这个一元五次方程就可以被化简为一元四次方程或者更低次数的方程。
3. 如果差值中不存在相同的数，我们将y=x+t代入原方程中，并将所有的x^5都替换成(y-t)^5。
这样，我们就得到了一个只有一项（y^5）是关于y的五次方的方程。
用五次求根公式求出y的值后，再令x=y-t，就可以得到x的值。
以上就是一元四次方程和一元五次方程的常用求解方法。
对于一元六次及以上的方程，其解法比较复杂，我们需要使用更加专业的方法进行求解。
总之，在解高次方程时，我们需要考虑各种因素，并根据具体方程和情况选择合适的解法。
虽然有些高次方程的解法相对较为复杂，但是在数学学习中，它们也是非常重要的。
掌握了这些方法，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，从而更好地应对各种数学问题。
一元三次方程的15种解法
一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。
解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。
本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。
2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。
具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。
4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。
具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。
(完整版)特殊的高次方程的解法
特殊的高次方程的解法教学目标1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程. 2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点用因式分解法求解一元高次方程.教学流程设计复习引入例题分析巩固练习布置作业课堂小结教学过程设计一、情景引入1．复习（1）将下列各式在实数范围内分解因式：①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.教师指出：在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项式，使问题易于解决.（2）提问：①解二项方程的基本方法是什么？（开方）②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的. 2．观察：（1）若令①x2-4x+3；② x4-4；③x3-2x2-15x；④ x4-6x2+5；⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？（2）这些高次方程如何求解？分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一元一次方程或一元二次方程.二、学习新课1．例题分析例6 解下列方程（1）5x 3=4x 2； （2）2x 3+x 2-6x=0.[说明] 只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程. 例7 解下列方程（1）x 3-5x 2+x-5=0； （2）x 3-6=x-6x 2.2．问题拓展（1）解方程x 3-2x 2-4x ＋8=0．解 原方程可变形为x 2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x 2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x 1＝x 2＝2，x 3=-2．（2）归纳：当ad=bc≠0时，形如ax 3＋bx 2＋cx ＋d=0的方程可这样解决： 令0≠==k dc b a，则a=bk,c=dk,于是方程ax 3+bx 2+cx+d=0 可化为bkx 3+bx 2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx 2+d)=0．三、巩固练习1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.2．解下列方程：（1）3x3-2x=0 ; （2）y3-6y2+5y=0.3．解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0; （2）x3-2x2+x-2=04．拓展：（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.分析：在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相乘法分解，这样省略了许多代换程序.（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设则(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．[说明] 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．在换元时也可以令y= x2+5x，因为换元的目的是为了降次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选择.四、课堂小结（学生总结，教师归纳）1．解一元高次方程的基本方法是什么？2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？五、作业布置1．练习册：习题21.2（3）2．选做题：解下列方程：（1）x3+3x2+3x+1=0（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) =24（3）x(x+1)(x-3) =x+1（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67教学设计说明1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需要.4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.。
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• 例1 解方程2 x4+3x3-16x²+3x+2=0
四、双二次方程及推广形式求根法
• 例 (x-6)4+(x-8)4=16 • 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx²+c=0
推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的 形式 x 6 x 8 x 7 • (x-6)4+(x-8)4=2(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则
因式分解法
• 例题. x³-2x²-4x＋8=0．
•
解 原方程可变形为
• x²(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x²-4)=0， (x-2)²(x+2)=0．
• 所以 x1＝x2＝2，x3=-2．
归纳：
• 当ad=bc≠0时，形如ax³＋bx²＋cx＋d=0的方程可这样解决：
• 令，则a=bk,c=dk,于是方程ax³+bx²+cx+d=0可化为 bkx³+bx²+dkx+d 即 (kx+1)(bx²+d)=0．
23
2
(q)2 ( p)3 23
一元四次求根法
•将
移项
• 俩边同时加上
•
•
得
• 变形
左边配方 俩边同时加上
成三次方程
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
14
原方程转化为 y 14 y 14 16 y 12 2 y 12 2 16,
• (y4+4y²+1+4y³+2y²+4y)+(y4+4y²+1-
4y³+2y²-4y)=16 y4+6y²=0 , y2 7y2 1 0,
y²=-7 或y²=1,y²=-7无解；y2=1, y=1 x-7=1 x1=8 x2=6
• 3、倒数方程求解方法：
•
• 如果a x4+bx³+cx²+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x²
得：a(x²+ 1 )+b(x+1)+e=0,令x+1 =y, x²+ 1=y²-2,即原方程变为：
x2
x
x
x2
• ay²+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ 1 =y，解得x的值。
• (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
•设
• •则
(y-9)(y+9)=19，
•即
y²-81＝19．
•
一般的高次方程及解法
• 一、 1判根法
• 例 解方程x4+2x³-9x²-2x+8=0 • 二、常数项约数求根法 • 例1 解方程x4+2x³-4x²-5x-6=0 • （高代第一章的方法）
一元三次求根法
• 先把方程 ax3 bx2 cx d 0 化为 x3 px q 0
q y1 3 2
(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y2
3
q 2
(q)2 ( p)3 2 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y3
2
3
q 2
(q)2 ( p)3 3 q
2.概念辨析
• （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. • 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. • （2）一般形式：
ax 4 bx 2 c 0(a 0)
• 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2．例题分析
例：• 例.12x4-56x³+89x²-56x+12=0.
• 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x³的 系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由
•
•
•
• 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
•
解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
一元高次方程的解法
•特殊的一元高次方程的解法 •一般的高次方程及解法 数本1202 张银星
1．概念辨析
• 二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另 一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程
一般形式： • 关于x的一元n次二项方程的一般形式为
• axn b 0(a 0, b 0, n是正整数）
三、倒数方程求根法
• 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中， 或者a= -e,b= -d
• 2、性质：倒数方程有三条重要性质：
• （1）倒数方程没有零根；
• （2）如果a是方程的根，则 1 也是方程的根；
a
• （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍 是倒数方程。
• 注 ①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. • ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.
• 例（1）
1 x 5 16 0 2
• （2） x 4 16
• 结论：对于二项方程
axn b 0(a 0,b 0, n是正整数）
• 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.
• 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数 根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数； 如果ab>0，那么方程没有实数根.
令
• ①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根.
• ②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根.
• ③△>0,y1y2<0,
∴原方程有两个实数根.
• ④△<0
∴原方程没有实数根.
• （2） (x²+x)²-5x²-5x=6.
• （3）(2x²-3x+1)²+4x²-1=6x ;