一元高次方程解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元高次方程的解法
•特殊的一元高次方程的解法 •一般的高次方程及解法 数本1202 张银星
1．概念辨析
• 二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另 一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程
一般形式： • 关于x的一元n次二项方程的一般形式为
• axn b 0(a 0, b 0, n是正整数）
• 3、倒数方程求解方法：
•
• 如果a x4+bx³+cx²+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x²
得：a(x²+ 1 )+b(x+1)+e=0,令x+1 =y, x²+ 1=y²-2,即原方程变为：
x2
x
x
x2
• ay²+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ 1 =y，解得x的值。
原方程转化为 y 14 y 14 16 y 12 2 y 12 2 16,
• (y4+4y²+1+4y³+2y²+4y)+(y4+4y²+1-
4y³+2y²-4y)=16 y4+6y²=0 , y2 7y2 1 0,
y²=-7 或y²=1,y²=-7无解；y2=1, y=1 x-7=1 x1=8 x2=6
令
• ①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根.
• ②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根.
• ③△>0,y1y2<0,
Leabharlann Baidu
∴原方程有两个实数根.
• ④△<0
∴原方程没有实数根.
• （2） (x²+x)²-5x²-5x=6.
• （3）(2x²-3x+1)²+4x²-1=6x ;
三、倒数方程求根法
• 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中， 或者a= -e,b= -d
• 2、性质：倒数方程有三条重要性质：
• （1）倒数方程没有零根；
• （2）如果a是方程的根，则 1 也是方程的根；
a
• （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍 是倒数方程。
x
• 例1 解方程2 x4+3x3-16x²+3x+2=0
四、双二次方程及推广形式求根法
• 例 (x-6)4+(x-8)4=16 • 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx²+c=0
推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的 形式 x 6 x 8 x 7 • (x-6)4+(x-8)4=2(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则
• 注 ①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. • ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.
• 例（1）
1 x 5 16 0 2
• （2） x 4 16
• 结论：对于二项方程
axn b 0(a 0,b 0, n是正整数）
• 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.
• 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数 根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数； 如果ab>0，那么方程没有实数根.
23
2
(q)2 ( p)3 23
一元四次求根法
•将
移项
• 俩边同时加上
•
•
得
• 变形
左边配方 俩边同时加上
成三次方程
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
14
倒数方程
• 例.12x4-56x³+89x²-56x+12=0.
• 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x³的 系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由
•
•
•
• 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
•
解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
一元三次求根法
• 先把方程 ax3 bx2 cx d 0 化为 x3 px q 0
q y1 3 2
(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y2
3
q 2
(q)2 ( p)3 2 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y3
2
3
q 2
(q)2 ( p)3 3 q
• (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
•设
• •则
(y-9)(y+9)=19，
•即
y²-81＝19．
•
一般的高次方程及解法
• 一、 1判根法
• 例 解方程x4+2x³-9x²-2x+8=0 • 二、常数项约数求根法 • 例1 解方程x4+2x³-4x²-5x-6=0 • （高代第一章的方法）
2.概念辨析
• （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. • 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. • （2）一般形式：
ax 4 bx 2 c 0(a 0)
• 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2．例题分析
例：解下列方程：
（1） x 4 9x 2 14 0
因式分解法
• 例题. x³-2x²-4x＋8=0．
•
解 原方程可变形为
• x²(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x²-4)=0， (x-2)²(x+2)=0．
• 所以 x1＝x2＝2，x3=-2．
归纳：
• 当ad=bc≠0时，形如ax³＋bx²＋cx＋d=0的方程可这样解决：
• 令，则a=bk,c=dk,于是方程ax³+bx²+cx+d=0可化为 bkx³+bx²+dkx+d 即 (kx+1)(bx²+d)=0．
•特殊的一元高次方程的解法 •一般的高次方程及解法 数本1202 张银星
1．概念辨析
• 二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另 一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程
一般形式： • 关于x的一元n次二项方程的一般形式为
• axn b 0(a 0, b 0, n是正整数）
• 3、倒数方程求解方法：
•
• 如果a x4+bx³+cx²+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x²
得：a(x²+ 1 )+b(x+1)+e=0,令x+1 =y, x²+ 1=y²-2,即原方程变为：
x2
x
x
x2
• ay²+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ 1 =y，解得x的值。
原方程转化为 y 14 y 14 16 y 12 2 y 12 2 16,
• (y4+4y²+1+4y³+2y²+4y)+(y4+4y²+1-
4y³+2y²-4y)=16 y4+6y²=0 , y2 7y2 1 0,
y²=-7 或y²=1,y²=-7无解；y2=1, y=1 x-7=1 x1=8 x2=6
令
• ①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根.
• ②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根.
• ③△>0,y1y2<0,
Leabharlann Baidu
∴原方程有两个实数根.
• ④△<0
∴原方程没有实数根.
• （2） (x²+x)²-5x²-5x=6.
• （3）(2x²-3x+1)²+4x²-1=6x ;
三、倒数方程求根法
• 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中， 或者a= -e,b= -d
• 2、性质：倒数方程有三条重要性质：
• （1）倒数方程没有零根；
• （2）如果a是方程的根，则 1 也是方程的根；
a
• （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍 是倒数方程。
x
• 例1 解方程2 x4+3x3-16x²+3x+2=0
四、双二次方程及推广形式求根法
• 例 (x-6)4+(x-8)4=16 • 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx²+c=0
推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的 形式 x 6 x 8 x 7 • (x-6)4+(x-8)4=2(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则
• 注 ①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. • ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.
• 例（1）
1 x 5 16 0 2
• （2） x 4 16
• 结论：对于二项方程
axn b 0(a 0,b 0, n是正整数）
• 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.
• 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数 根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数； 如果ab>0，那么方程没有实数根.
23
2
(q)2 ( p)3 23
一元四次求根法
•将
移项
• 俩边同时加上
•
•
得
• 变形
左边配方 俩边同时加上
成三次方程
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
14
倒数方程
• 例.12x4-56x³+89x²-56x+12=0.
• 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x³的 系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由
•
•
•
• 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
•
解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
一元三次求根法
• 先把方程 ax3 bx2 cx d 0 化为 x3 px q 0
q y1 3 2
(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y2
3
q 2
(q)2 ( p)3 2 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y3
2
3
q 2
(q)2 ( p)3 3 q
• (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
•设
• •则
(y-9)(y+9)=19，
•即
y²-81＝19．
•
一般的高次方程及解法
• 一、 1判根法
• 例 解方程x4+2x³-9x²-2x+8=0 • 二、常数项约数求根法 • 例1 解方程x4+2x³-4x²-5x-6=0 • （高代第一章的方法）
2.概念辨析
• （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. • 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. • （2）一般形式：
ax 4 bx 2 c 0(a 0)
• 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2．例题分析
例：解下列方程：
（1） x 4 9x 2 14 0
因式分解法
• 例题. x³-2x²-4x＋8=0．
•
解 原方程可变形为
• x²(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x²-4)=0， (x-2)²(x+2)=0．
• 所以 x1＝x2＝2，x3=-2．
归纳：
• 当ad=bc≠0时，形如ax³＋bx²＋cx＋d=0的方程可这样解决：
• 令，则a=bk,c=dk,于是方程ax³+bx²+cx+d=0可化为 bkx³+bx²+dkx+d 即 (kx+1)(bx²+d)=0．