1.1 概率空间与条件概率

随机信号分析

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概率空间

条件概率

独立事件与统计独立

概率空间定义：规定一个实验，所有样本点之集合构成样本空间S ，在样本空间中

一个样本点或若干个样本点之适当集合F 称为事件域，F 中的每一集合称为事件。若A ∈ℱ，则P[A]就是事件A 的概率，并称这三个实体的结合(S ，F ，P)为一个概率空间。

样本点（s ）5随机事件（A ）

6样本空间（S ）4随机试验（E ）3随机现象2

确定性事件1

条件概率空间

定义：设(S ，ℱ，P)是一个已知的概率空间，

有事件A ，B ∈ℱ，P[B]≠0，令

[][|] ()[]

P A B P A B A P B F =∈则P[·|B]是定义在ℱ上的条件概率。

计P B [A]=P[A|B]，称(S ，ℱ，P B )为给定

事件B 的条件概率空间，简称为条件概率空间。

条件概率空间

全概率公式S A B 9B 8B 7B 6B 5

B 4B 3B 2B 1 1,2,

,i j B B i j N φ=≠=1N i i B S

==1[][|][]

N i i i P A P A B P B ==∑

条件概率空间

贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上

寻找事件发生的原因

1[][|]

[|] 1,2,,[][|]i i i N i i

i P B P A B P B A i N

P B P A B ===∑贝叶斯公式(Bayes Formula)

P[B i ](i =1,2,…)为先验概率

P[B i |A](i =1,2,…)为后验概率

独立事件、统计独立定义：设(S,ℱ,P)为一概率空间，事件A ∈F 、B ∈F 且P[A]>0，若

P[B|A]=P[B]，则称事件B 随机独立于事件A （或简称B 独立于A ）。

P[B|A]=P[B]

P[A ∩B]=P[A]P[B]P[A|B]=P[A]

在概率独立性的定义中，一般是使用乘积公式，即

P[A ∩B]=P[A]P[B]

两个事件的独立性具有相互对称性质

独立事件、统计独立

概率范畴的概念

集合范畴的概念

注意：互斥事件与统计独立的区别。

互斥----A ∩B =ϕ，P[A ∩B]=P[ϕ]

统计独立----P[A ∩B]=P[A]P[B]

学习概率空间、条件概率空间的定义

判定两事件统计独立理解贝叶斯公式的意义

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