探索勾股定理获奖课件
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勾股定理课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第3页
知识讲解
★ 勾股定理认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发觉他 朋友家用等腰三角形砖铺成地面（如图）：
问题1： 正方形A、B、C面积有什么关系？
小正方形A、B面积之和等于大正方形C面积， 即
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
第4页
问题2 ： 图中由正方形A、B、C边长组成等腰直角三角形三 边之间有怎样特殊关系？
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2，
所以 a2+b2=c2.
温馨提醒：上述这种验证勾股定理方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学钻研精神和聪明才智，它是我国古代数 学骄傲.因为，这个图案被选为在北京召开国际数学大会会徽.
第11页
证法2 ： 毕达哥拉斯证法，将四个全等直角三角形按图示进 行拼图，然后分析其面积关系后证实.
第19页
5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a， b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c． 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 . ∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2 . ∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.
第20页
当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5. B
B
4
3 C 图 A
4
A
3 图
C
归纳：当直角三角形中所给两条边没有指明是斜边或直角边时，
其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定
要进行分类讨论，不然轻易丢解.
第16页
例3 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD长.
知识讲解
★ 勾股定理认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发觉他 朋友家用等腰三角形砖铺成地面（如图）：
问题1： 正方形A、B、C面积有什么关系？
小正方形A、B面积之和等于大正方形C面积， 即
S正方形A S正方形B S正方形C
AB C
第4页
问题2 ： 图中由正方形A、B、C边长组成等腰直角三角形三 边之间有怎样特殊关系？
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2，
所以 a2+b2=c2.
温馨提醒：上述这种验证勾股定理方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学钻研精神和聪明才智，它是我国古代数 学骄傲.因为，这个图案被选为在北京召开国际数学大会会徽.
第11页
证法2 ： 毕达哥拉斯证法，将四个全等直角三角形按图示进 行拼图，然后分析其面积关系后证实.
第19页
5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a， b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c． 解：在△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 . ∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2 . ∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.
第20页
当BC为斜边时，如图， BC 42 32 5. B
B
4
3 C 图 A
4
A
3 图
C
归纳：当直角三角形中所给两条边没有指明是斜边或直角边时，
其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定
要进行分类讨论，不然轻易丢解.
第16页
例3 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD长.
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ab
c c 2 a2 b2
1 6 8 10 100 100
2 5 12 13 169 169
3 9 12 15 225 225
1.拿出准备好的四个全等的直角三角形（设 直角三角形的两条直角边分别为a，b， 斜边c）； 2.你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
3.你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？ 4.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
b c
a2+b2=c2吗？
▪ 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
A
C
图2（1）
图2（2）
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成
的地面。
（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他们的面积
之间具有怎样的等量关系？
（2）根据图2（2），你能说出正方形面积之间的等量关系 反映了Rt ∆ABC三边之间怎样的关系吗？ 把它写出来。
动手做: 用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
10
移动2米到C1点，那么梯
子上部A向下移动了多少 2
米？
C1 C
6B
4.应用知识之学海无涯
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位
探索勾股定理省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
你能用三角形旳边 长表达正方形旳面 积吗？
C A
B 图1
AC B
图2
C A
B 图1
AC B
图2
C A
B 图1
AC B
图2
议一议
C A
B
C A
图1
B
图2
（图中每个小方格代表一种单位面积）
图1 图2
A 旳
9
4
面
积9 4
B
旳
面 18 8
积
结论： 面积A +面积B=C旳面积C
C A
B C
A 图1--3
《周髀算经》
……故折矩，勾广三， 股修四，经隅五
毕达哥拉斯
在国外，相传这个定理是
公元前500数年，当初古希
腊数学家毕达哥拉斯首先
发觉旳。所以又称此定理
为“毕达哥拉斯定理”。
法国和比利时称它为“驴
桥定理”，埃及称它为
“埃及三角形”等。但他
们发觉旳时间都比我国要
迟得多。
看一看!
1955年希腊曾发行 了一枚纪念邮票
假如直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
a
b
即直角三角形两直角边旳平方和等于斜 边旳平方.
结论变形：a2 = c2 － b2 ，b2 = c2 － a2
基础题
1． 求出下图中字母所代表旳正方形旳面积
A
225
400
2. 求下列用字母表达旳边长
x 12
5
17 15
2
2
2
∴ a2 b2 c2
总结反思、布置作业
数学日志： 1、本节课你学习了什么定理？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中旳
C A
B 图1
AC B
图2
C A
B 图1
AC B
图2
C A
B 图1
AC B
图2
议一议
C A
B
C A
图1
B
图2
（图中每个小方格代表一种单位面积）
图1 图2
A 旳
9
4
面
积9 4
B
旳
面 18 8
积
结论： 面积A +面积B=C旳面积C
C A
B C
A 图1--3
《周髀算经》
……故折矩，勾广三， 股修四，经隅五
毕达哥拉斯
在国外，相传这个定理是
公元前500数年，当初古希
腊数学家毕达哥拉斯首先
发觉旳。所以又称此定理
为“毕达哥拉斯定理”。
法国和比利时称它为“驴
桥定理”，埃及称它为
“埃及三角形”等。但他
们发觉旳时间都比我国要
迟得多。
看一看!
1955年希腊曾发行 了一枚纪念邮票
假如直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
a
b
即直角三角形两直角边旳平方和等于斜 边旳平方.
结论变形：a2 = c2 － b2 ，b2 = c2 － a2
基础题
1． 求出下图中字母所代表旳正方形旳面积
A
225
400
2. 求下列用字母表达旳边长
x 12
5
17 15
2
2
2
∴ a2 b2 c2
总结反思、布置作业
数学日志： 1、本节课你学习了什么定理？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中旳
勾股定理微课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
D1 A1 D
A
4
C1
1 B1 C
2 B
假如长方形长、宽、高分别是a、b、c（a ＞b＞c），你能求出蚂蚁从顶点A到C1最短 路径吗？
从A到C1最短路径是
a 2 (b c)2
第8页
例1、如图，长方体长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C距离为5cm，一只蚂蚁假如要沿着 长方体表面从A点爬到B点，需要爬行最短距离是多 少？
B C 20
分析 依据题意分析蚂蚁爬行路线有两 种情况(如图①② ),由勾股定理可求得 图1中AB最短.
15 A 10
①
5B
20
B
5
②
20
A 10 15
A 10 15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
第9页
台阶中最值问题
例2、如图，是一个三级台阶，它每一级长、宽和高分 别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶两个相正确 端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口食物.请你 想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点， 最短线路是多少？
B 1
6
3
2
A
8
第12页
小溪边长着两棵树，正好隔岸相望，一棵树高 30尺，另外一棵树高20尺；两棵树干间距离是 50尺，每棵树上都停着一只鸟，忽然两只鸟同 时看到两树间水面上游出一条鱼，它们立刻以 同样速度飞去抓鱼，结果同时到达目的。问这 条鱼出现在两树之间何处？
第13页
如图，等边三角形边长是2。
A
第16页
已知，一轮船以16海里/时速度从港口A出发 向西北方向航行，另一轮船以12海里/时速度 同时从港口A出发向东北方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距（ ）
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探索2 你能用直角三 角形边长表示图中正 方形面积吗？
探索3 你能发觉图中直 角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？
C Aa c
b
B
图1-1
第4页
勾股定理
在西方又称 毕达哥拉斯定理
假如直角三角形两直角边分
别为a、b, 斜边为c，那么
股 bb cc 弦
a
勾
即 直角三角形两直角边平方和等 于斜边平方。
探索勾股定理
第2页
C
（1）图1中正方形A面积是
A
个单1位6 面积。
(2) 正方形B面积是
B
9 个单位面积。
图1 (3)正方形C面积是
25 个单位面积。
探索1 你能发觉图1中三个正方形A，B，C面积 之间有什么关系吗？
第3页
结论1 SA+SB=SC
即：两条直角边上正 方形面积之和等于斜边 上正方形面积。
我国最早对勾股定理进行证实，是三 国时期吴国数学家赵爽。
第16页
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股 定理是公元前550年时 古希腊数学家兼哲学家 毕达哥拉斯首先发觉。 所以又称此定理为“毕 达哥拉斯定理”。但毕 达哥拉斯对勾股定理证 实方法已经失传。且他 发觉时间比我国要迟得 多。
第17页
90 50
C
AB2 AC2 BC2
502 1202 16900(mm2 )
B
120
40
160
结构直角三角形
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
能够处理实际问题。
答：两孔中心A、B之间距离为130mm。
第11页
1.小刚想知道学校旗杆高度，他发觉旗杆上绳子
垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，
探索3 你能发觉图中直 角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？
C Aa c
b
B
图1-1
第4页
勾股定理
在西方又称 毕达哥拉斯定理
假如直角三角形两直角边分
别为a、b, 斜边为c，那么
股 bb cc 弦
a
勾
即 直角三角形两直角边平方和等 于斜边平方。
探索勾股定理
第2页
C
（1）图1中正方形A面积是
A
个单1位6 面积。
(2) 正方形B面积是
B
9 个单位面积。
图1 (3)正方形C面积是
25 个单位面积。
探索1 你能发觉图1中三个正方形A，B，C面积 之间有什么关系吗？
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结论1 SA+SB=SC
即：两条直角边上正 方形面积之和等于斜边 上正方形面积。
我国最早对勾股定理进行证实，是三 国时期吴国数学家赵爽。
第16页
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股 定理是公元前550年时 古希腊数学家兼哲学家 毕达哥拉斯首先发觉。 所以又称此定理为“毕 达哥拉斯定理”。但毕 达哥拉斯对勾股定理证 实方法已经失传。且他 发觉时间比我国要迟得 多。
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90 50
C
AB2 AC2 BC2
502 1202 16900(mm2 )
B
120
40
160
结构直角三角形
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
能够处理实际问题。
答：两孔中心A、B之间距离为130mm。
第11页
1.小刚想知道学校旗杆高度，他发觉旗杆上绳子
垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，
探索勾股定理1北师大版省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）旳 电视机.小明量了电视机旳屏幕后，发觉屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他旳想法吗？你能解释这 是为何吗？
练一练
1. 如图，根据下列数学情境，你能够提出多少个 数学问题？你能处理所提出旳问题吗？
5 .在直角△ ABC中,a=5,c=13,则△ ABC旳面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
1. 如图1.1-1,求图中字母M所代表旳正方形旳面积.
图1.1-1
图1.1-2
2. 如图1.1-2,在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°,
看一看
C A
B
图1--1
C A
B
图1--2 （图中每个小方格代表一种单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中具
有 9 个小方格，即 A旳面积是 9 个单
位面积；
正方形B中具
有 9 个小方格，即 B旳面积是 9 个单
位面积；
正方形C中具
有 18个小方格，即 C旳面积是 18 个单
位面积。
正方形A，B，C 旳面积之间有什么 关系吗？
幾何原本
• 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
• 欧几里旳旳《几何原本》 是用公理措施建立演绎 数学体系旳最早典范
• 《几何原本》第一卷旳 第 47 命題也有对勾股定 理旳证明。
美国总统旳证明
• 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）
• 1876 年提出有关证明
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）旳 电视机.小明量了电视机旳屏幕后，发觉屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他旳想法吗？你能解释这 是为何吗？
练一练
1. 如图，根据下列数学情境，你能够提出多少个 数学问题？你能处理所提出旳问题吗？
5 .在直角△ ABC中,a=5,c=13,则△ ABC旳面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
1. 如图1.1-1,求图中字母M所代表旳正方形旳面积.
图1.1-1
图1.1-2
2. 如图1.1-2,在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°,
看一看
C A
B
图1--1
C A
B
图1--2 （图中每个小方格代表一种单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中具
有 9 个小方格，即 A旳面积是 9 个单
位面积；
正方形B中具
有 9 个小方格，即 B旳面积是 9 个单
位面积；
正方形C中具
有 18个小方格，即 C旳面积是 18 个单
位面积。
正方形A，B，C 旳面积之间有什么 关系吗？
幾何原本
• 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
• 欧几里旳旳《几何原本》 是用公理措施建立演绎 数学体系旳最早典范
• 《几何原本》第一卷旳 第 47 命題也有对勾股定 理旳证明。
美国总统旳证明
• 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）
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C
B
图2
中国古代把直角三角形中较短的直角 边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫 做弦.
股 4 据《周髀算经》记载，西周战国时期
（约公元前1千多年）有个叫商高的人对
周公说，把一根直尺折成直角，两端连接 得一个直角三角形，如果勾是3，股是4， 那么弦等于5.
弦 5
勾
∟
3
人们还发现， 在直角三角形中， 勾是6， 62=36, 勾是5， 股是8， 82=64, 股是12， 弦一定是10； 102=100 弦一定是13， 62+82=102
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.
做一做 （1）观察图1、图2，并填 写下表：
A
B
图1
C
C
A
B
图2
A的面积 （单位面积）
B的面积 （单位面积）
C的面积 （单位面积）
图1 图2
16
4
9 9
25
13
（2）右图中正方形 A,B，C的面积之间有 什么关系？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的 正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面 积. B 图1 A C A
a
c
b
弦 股
勾
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的 c c c c a a a a b b a c c c c b b a b b
用两种方法表示大正方形的面积:
(a b)
2
b
1 4 ( a b) c 2 2
a
b 对比两种表示方法,你得到勾股定理了吗?
a
【例题】
【例】如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离 旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高?
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x2 =144 ∵x>0
∴ x=12
第9页
3、在直角三角形ABC中, ∠C=900, (1)已知: a=5, b=12, 求c; (2)已知: b=6,•c=10 , 求a; (3)已知: a=7, c=25, 求b ; (4)已知: a=7, c=8, 求b .
4 、始终角三角形始终角边长为7, 另两条边长 为两个连续整数,求这个直角三角形周长.
相传二千多年前，希腊毕达哥拉斯学派首先证实了勾
股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定
理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一
枚纪念邮票。
第12页
试
我们用下面办法来阐明勾股定理是正确
一
c
c
c
c
试
a
a
a
a
b
b
b
b
(a+b)2= 4 ab C2 2
c2 = a2+ b2
a
b
第10页
小结： 1、利用数格子办法，摸索了以直角三角形三边为 边长正方形面积关系（即两个小正方形面积之和 等于大正方形面积） 2、摸索了直角三角形三边关系，得到勾股定理：
即直角三角形两直角边平方和等于斜边平方平方
C cb B a
A
A面积+B面积=C面积
a2+b2=c2
第11页
读一读
勾股世界
我国是最早理解勾股定理国家之一。早在三多年前，
第7页
练习： 1、求下列图中字母所表示正方形面积
A=625
225
400
81
B =144
225
第8页
2、求出下列直角三角形中未知边长度
x 6
《探索勾股定理》课件 (一等奖)2022年最新PPT
b c2 a2
我会用,我挑战
1.求以下直角三角形中未知边的长:
比
一
5
比
看8
17
看
x
12
谁
x
算
得
快 ！
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
我自信,我挑战 :R△tA△BACB的C两的边两为直边3角为和边34和，为43，和4， 求:第三边c.
解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边c的平方等于25 即：c=5
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
形的边长作正方形.
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
方和等于斜边的平方
请说出以下直角三角形中三边之间的关系。
xx
z
(1)
(2)
(3)
勾股定理
• 直角三角形中，两直角边的平方 和等于斜边平方. 用数学式子表示：a2+b2=c2
⑴ c2 = a2 + b2 c a2 b2
股 c弦⑵
b
⑶
a勾
a2 = c2 - b2
b2 = c2- a2
a c2 b2
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
形的边长作正方形.
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
我会用,我挑战
1.求以下直角三角形中未知边的长:
比
一
5
比
看8
17
看
x
12
谁
x
算
得
快 ！
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
我自信,我挑战 :R△tA△BACB的C两的边两为直边3角为和边34和，为43，和4， 求:第三边c.
解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边c的平方等于25 即：c=5
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
形的边长作正方形.
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
方和等于斜边的平方
请说出以下直角三角形中三边之间的关系。
xx
z
(1)
(2)
(3)
勾股定理
• 直角三角形中，两直角边的平方 和等于斜边平方. 用数学式子表示：a2+b2=c2
⑴ c2 = a2 + b2 c a2 b2
股 c弦⑵
b
⑶
a勾
a2 = c2 - b2
b2 = c2- a2
a c2 b2
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
形的边长作正方形.
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
勾股定理ppt课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
第15页
课外作业：
1. P104 第 2题
2. 如图，在直角三角形ABC中, ∠C=900, A
• 已知: a=5, b=12, 求c;
• 已知: b=6,•c=10 , 求a;
• 已知: a=7, c=25, 求b.
c b
3.准备四张形状相同
大小一样直角三角形
硬纸片
B
a
C 第16页
第17页
R Qa c
b
P
图1—4 第6页
图1—3 图1—4
P面积（单位 Q面积（单位 R面积（单位
面积）
面积）
面积）
16
9
25
4
9
13
（2）三个正方形P、Q、R面积之间有什么关 系？
P面积+Q面积=R面积
第7页
议一议： （1）你能用三角形边长表示正方形面积吗？ （2）你能发觉直角三角形三边长度之间存在什么关 系吗？
R P
Q
（2）观察图1—2：
正方形P中含有 9 个小 方格，即P面积是 9个 单位面积；
正方形Q中含有 9 个小 方格，即Q面积是 9 个单位面积；
图1—2
正方形R中含有 18 个小 方格，即R面积是 1个8 单位面积；
P面积+ Q面积= R面积
第4页
议一议：（1）你能用三角形 边长表示正方形面积吗？
探索勾股定理（1）
ac b
a2+b2=c2
第2页
R P
Q
图1—1
（1）观察图1—1：
正方形P中含有 4 个小 方格，即P面积是 4个 单位面积；
正方形Q中含有 4 个小 方格，即Q面积是 4 个单位面积；
正方形R中含有 8 个小 方格，即R面积是 8个 单位面积；
课外作业：
1. P104 第 2题
2. 如图，在直角三角形ABC中, ∠C=900, A
• 已知: a=5, b=12, 求c;
• 已知: b=6,•c=10 , 求a;
• 已知: a=7, c=25, 求b.
c b
3.准备四张形状相同
大小一样直角三角形
硬纸片
B
a
C 第16页
第17页
R Qa c
b
P
图1—4 第6页
图1—3 图1—4
P面积（单位 Q面积（单位 R面积（单位
面积）
面积）
面积）
16
9
25
4
9
13
（2）三个正方形P、Q、R面积之间有什么关 系？
P面积+Q面积=R面积
第7页
议一议： （1）你能用三角形边长表示正方形面积吗？ （2）你能发觉直角三角形三边长度之间存在什么关 系吗？
R P
Q
（2）观察图1—2：
正方形P中含有 9 个小 方格，即P面积是 9个 单位面积；
正方形Q中含有 9 个小 方格，即Q面积是 9 个单位面积；
图1—2
正方形R中含有 18 个小 方格，即R面积是 1个8 单位面积；
P面积+ Q面积= R面积
第4页
议一议：（1）你能用三角形 边长表示正方形面积吗？
探索勾股定理（1）
ac b
a2+b2=c2
第2页
R P
Q
图1—1
（1）观察图1—1：
正方形P中含有 4 个小 方格，即P面积是 4个 单位面积；
正方形Q中含有 4 个小 方格，即Q面积是 4 个单位面积；
正方形R中含有 8 个小 方格，即R面积是 8个 单位面积；
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3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？
4、你能否就你拼出的图说明 a 2+b 2=c2？
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
c a c b ba
出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问
这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
3.巩固提高 之灵活运用 如图，将长为 10米的梯子AC斜靠 在墙上， BC长为6米。
(1)求梯子上端 A 到墙的
A
底端B的距离AB 。
A1
（2）若梯子下部C向后
斜边为c，那么 a2+b2=c2
ac
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
简捷、易懂、明
又∵ S梯 形 AB CD=S AED+S EBC+S CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c 2)
2 2 22
“总统证法”． ? 比较上面二式得 c2=a2+b2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
动手做： 用尺规做直角三角形 ABC ，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm ．
动手量 :如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm ,则它的斜边长是多少 ? （5cm）
动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系 ? 32 ? 42 ? 52
动脑猜： 任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗 ?
1.在图1(2)中，? ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。
（1）如果每个小方格子都是边长为 1的正方形，那么
Rt ? ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少 ?以AC,BC,AB为边
的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的
等量关系？
（2）如果这个直角三角形的三边长分别是 a，b，c，
10
移动2米到C1点，那么梯
子上部A向下移动了多少 2
米？
C1 C
6B
4.应用知识 之学海无涯
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单
位mm),求两孔中心A、B之间的距离.
解： 过A作铅垂线，过 B作水平线，两线交于点 C，则
∠ACB=90 °，
AC=90-40=50 （mm ）
40
BC=160-40=120 （mm)
那么可以怎样用 a，b，c把图中三个正方形面积之间的关
系表示出来呢？
B
A
C
图2（1）
图2（2）
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成的地面。
（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他 们的面积之间具有怎样的等量关系？
（2）根据图 2（2），你能说出正方形面积之间的 等量关系反映了 Rt ? ABC三边之间怎样的关系吗？把它 写出来。
∵ c2= (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
=b2-2ab+a 2+ 2ab
a bb c
=a2+b2
a c
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 ? ? C2
2
a bc
b
c
a ∵ (a+b) 2 = 4 ? ab ? C2 2
a2+2ab+b 2 = 2ab +c2
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
ab 16 8 2 5 12 3 9 12
c c 2 a2 ?b2
10 100 100 13 169 169 15 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为 a ，b ， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
弦 勾
勾股
股
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯 《勾股圆方图》
１.基础练习 之出谋划策
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为
(C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
B
３
C
４
A
２.回归生活 之学以致用
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高
同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
?勾股树1 勾股树2
A
bc
a
C
B
图1(1)
图1(2)
探索勾股定理
假如我们一旦和外星人见面，该使用 什么语言呢？使用“符号语言”与外星人 联系是最经济和最有效的，外星人也最可 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个 图形作为与外星人交谈的媒介，一个是 “数”，另一个是“数形关系”（勾股定 理）。因为这种自然图形所具备的“数形 关系”在整个宇宙中是普遍的。
由勾股定理有：
A
AB2=AC 2+BC 2=502+1202
=16900 （mm 2) ∵AB＞0,
90
C
∴AB=130(mm)
160
答：两孔中心 A，B的距离为 130mm.
B
40
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注
意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理”
有用吗？
教师寄语
c a
cb
∴a2+b2=c2
b
a
证明3：
C
你能只用这两个 D 直角三角形说明 a c
b c
a2+b2=c2 吗？
? 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A
b
1 E aB
∵ S梯 形 AB CD= 2 ?a+b?2
十任总统.后来， 1 人们为了纪念他 = (a2+2ab+b 2) 对勾股定理直观、 2
4、你能否就你拼出的图说明 a 2+b 2=c2？
c a
b
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2
；
也可以表示为 (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
c a c b ba
出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问
这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
2
H
┓
?x
B
3.巩固提高 之灵活运用 如图，将长为 10米的梯子AC斜靠 在墙上， BC长为6米。
(1)求梯子上端 A 到墙的
A
底端B的距离AB 。
A1
（2）若梯子下部C向后
斜边为c，那么 a2+b2=c2
ac
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
简捷、易懂、明
又∵ S梯 形 AB CD=S AED+S EBC+S CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c 2)
2 2 22
“总统证法”． ? 比较上面二式得 c2=a2+b2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的发现；只 有量的变化，才会有质的进步。 其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我 们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探 索，等待我们去发现……
动手做： 用尺规做直角三角形 ABC ，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm ．
动手量 :如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm ,则它的斜边长是多少 ? （5cm）
动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系 ? 32 ? 42 ? 52
动脑猜： 任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗 ?
1.在图1(2)中，? ABC是直角三角形，∠ ACB=90° 。
（1）如果每个小方格子都是边长为 1的正方形，那么
Rt ? ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少 ?以AC,BC,AB为边
的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的
等量关系？
（2）如果这个直角三角形的三边长分别是 a，b，c，
10
移动2米到C1点，那么梯
子上部A向下移动了多少 2
米？
C1 C
6B
4.应用知识 之学海无涯
一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单
位mm),求两孔中心A、B之间的距离.
解： 过A作铅垂线，过 B作水平线，两线交于点 C，则
∠ACB=90 °，
AC=90-40=50 （mm ）
40
BC=160-40=120 （mm)
那么可以怎样用 a，b，c把图中三个正方形面积之间的关
系表示出来呢？
B
A
C
图2（1）
图2（2）
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷 砖铺成的地面。
（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他 们的面积之间具有怎样的等量关系？
（2）根据图 2（2），你能说出正方形面积之间的 等量关系反映了 Rt ? ABC三边之间怎样的关系吗？把它 写出来。
∵ c2= (b ? a)2 ? 4? 1 ab 2
=b2-2ab+a 2+ 2ab
a bb c
=a2+b2
a c
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
ab 4 ? ? C2
2
a bc
b
c
a ∵ (a+b) 2 = 4 ? ab ? C2 2
a2+2ab+b 2 = 2ab +c2
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
ab 16 8 2 5 12 3 9 12
c c 2 a2 ?b2
10 100 100 13 169 169 15 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形 （设直角三角形的两条直角边分别为 a ，b ， 斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？拼一拼试试看
弦 勾
勾股
股
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯 《勾股圆方图》
１.基础练习 之出谋划策
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为
(C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
B
３
C
４
A
２.回归生活 之学以致用
3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高
同学们，在我们美丽的地球王国 上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
?勾股树1 勾股树2
A
bc
a
C
B
图1(1)
图1(2)
探索勾股定理
假如我们一旦和外星人见面，该使用 什么语言呢？使用“符号语言”与外星人 联系是最经济和最有效的，外星人也最可 能使用这种语言,并且最可能是数学语言。 中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个 图形作为与外星人交谈的媒介，一个是 “数”，另一个是“数形关系”（勾股定 理）。因为这种自然图形所具备的“数形 关系”在整个宇宙中是普遍的。
由勾股定理有：
A
AB2=AC 2+BC 2=502+1202
=16900 （mm 2) ∵AB＞0,
90
C
∴AB=130(mm)
160
答：两孔中心 A，B的距离为 130mm.
B
40
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注
意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理”
有用吗？
教师寄语
c a
cb
∴a2+b2=c2
b
a
证明3：
C
你能只用这两个 D 直角三角形说明 a c
b c
a2+b2=c2 吗？
? 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A
b
1 E aB
∵ S梯 形 AB CD= 2 ?a+b?2
十任总统.后来， 1 人们为了纪念他 = (a2+2ab+b 2) 对勾股定理直观、 2