马尔科夫随机场

马尔科夫随机过程的分类
按照参数集和状态空间分成四类 时间和状态都是离散的马尔科夫过程。 也成为马尔科夫链 时间连续、状态离散的马尔科夫过程。 通常称为纯不连续马尔科夫过程。 时间和状态都是连续的马尔科夫过程。 时间连续、状态离散的马尔科夫过程。
马尔科夫随机场
马尔科夫随机场包含两层意思 马尔科夫性质 随机场
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对于一幅给定的图像，Y已知，所以p(Y)为常数， 故上式等价于:arg max p(Y | X ) p( X )
X
由于随机场X是MRF，具有正概率性和Markov性。 由MRF与Gibbs分布的等价性可知 exp Vc ( xi ) M *N cC p(X)= p ( xi ) i 1 L i 1 1 exp Vc ( xi ) xi cC 式中Vc ( xi )是包含xi的基团c的势函数，C是所有基团的集合
马尔科夫随机场与图像处理
随机过程

在当代科学与社会领域里，人们都可以看到一 种叫作随机过程的数学模型：从分子的布朗运 动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电 话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、 从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应 用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上 提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它 是马尔科夫对概率论乃至人类思想发展作出的 又一伟大贡献。



刘爱平，付琨，尤红建，刘忠.基于MARMRF的SAR图像分割方法[J].电子与信息 学报 李旭超，朱善安.图像分割中的马尔可夫 随机场方法综述[J].中国图像图形学报 张鹏，张桂林.Markov随机场在图像处理 中应用的研究[D].华中科技大学
随机场

当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空 间的一个值之后，其全体就叫做随机场。其中 有两个概念：位置（site），相空间（phase space）。我们不妨拿种地来打个比方。“位 置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是要 种的各种庄稼。我们可以给不同的地种上不同 的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”， 赋予相空间里不同的值。所以，俗气点说，随 机场就是在哪块地里种什么庄稼的事情。
一维马尔科夫过程
设有随机过程 X n , n T , 若对于任意正整数n T 和任意的 i0 , i1 ,, in 1 I , 条件概率满足 P{ X n 1 in 1 | X 0 i0, , X n in } P{ X n 1 in 1 | X n in } 就称 X n , n T 为马尔科夫过程，该随机过程的统计特性 完全由条件概率所决定
s s
( ys um ) 2 exp 2 2 m 2 m 1
其中参数um和 m分别是第m区域的均值和方差，可以 根据其在概率论中的公式计算 根据上面得到的p(x)和p(Y|X)的计算公式就可 求得最优分割结果 X。

MRF图像分割的关键点



马尔科夫性质

马尔科夫性质指的是一个随机变量序列 按时间先后关系依次排开的时候，第 N+1时刻的分布特性，与N时刻以前的随 机变量的取值无关。拿天气来打个比方。 如果我们假定天气是马尔可夫的，其意 思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天 的天气存在概率上的关联，而与前天及 前天以前的天气没有关系。其它如传染 病和谣言的传播规律，就是马尔可夫的。
的联合概率分布具有如下形式： P( X x ) (1 / Z ) exp{U ( x)} 即X在格点集S上的一组态。 U ( x) Vc ( x)称为能量函数，Vc ( x)是仅与子团c内各
cC
则称X为吉布斯随机场，式中x是随机场X的一“实现”，
象元值有关的子团势函数 Z e U ( x ) 称为配分函数，是一个归一化常数
基团的选取 势函数 Vc ( x) 的定义 先验概率p(X)的确定（图像预分割） 选取合适的条件分布 条件分布中参数的估计 分割算法的选取
参考文献



匡锦瑜.吉布斯随机场模型及其在图像处 理中的应用[J].通信学报 王玲，逯贵祯,肖怀宝.基于马尔科夫随机 场的合成孔径雷达图像分割方法[J].中国 传媒大学学报自然科学版 卢晓东，周军，周凤岐.基于可能性FMRF 的红外图像分割算法及其参数估计[J].红 外与激光工程

上式解决了求MRF中概率分布的难题,使 对MRF的研究转化为对势函数Vc(x)的研 究,使Gibbs分布与能量函数建立了等价关 系,是研究邻域系统δ(s)MRF的一个重要 里程碑。
基于MRF的图像分割模型
基于马尔科夫随机场模型的图像分割算法假设待分割图像 的像素只与其邻域内的像素相关，与邻域外的像素无关； 基于该假设我们能定量计算图像局部的先验结构信息， 并根据最大后验概率准则（MAP），有效的利用像素间 结构信息分割图像。
马尔科夫随机过程

通俗的讲，马尔科夫随机过程就是，下 一个时间点的状态只与当前的状态有关 系，而与以前的状态没有关系，即未来 的状态决定于现在而不决定于过去。

用前苏联数学家辛钦（1894－1959〕的话来说， 就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来 由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识 丝毫不影响这种决定性。这种在已知 “现在” 的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特 性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机 过程就叫做马尔科夫过程
MRF与Gibbs分布的等价关系

由于标号场先验概率和标号场的邻域局 部关系在实际应用中很难确定，20世纪 80年代Hammersley-Clifford给出了Gibbs 分布与MRF的关系，从而用Gibbs分布求 解MRF中的概率分布
MRF与Gibbs分布的等价关系
Gibbs分布：
是定义在S上的邻域系统，当且仅当随机场X={x s , s S }
马尔科夫随机场
拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄 稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼 的种类有关，与其它地方的庄稼的种类 无关，那么这些地里种的庄稼的集合， 就是一个马尔可夫随机场。
马尔科夫随机场与图像的关系

一维马尔科夫随机过程很好的描述了随 机过程中某点的状态只与该点之前的一 个点的状态有关系。对于定义在二维空 间上的图像，也可以将它看为一个二维 随机场。自然也存在二维马尔科夫随机 场,此时必须考虑空间的关系,二维MRF的 平面网格结构同样可以较好的表现图像 中像素之间的空间相关性。
在图像中 格点集S表示像素的位置 X称为标号场，也可以表示像素值的集合 或图像经小波变换后的小波系数集合 Λ为标号随机变量 x s 的集合 L表示将图像分割为不同区域的数目
邻域系统
设 ={ ( s) | s S}是定义在S上的通用邻域系统的集合， 其满足如下特性：
(1) ( s ) S (2) s ( s ) (3)s, r S , s (r ) r ( s ) 则位置r ( s )称作s的邻点， ( s)称作s的邻点集
对于一幅给定的M*N的图像Y， 其中任意一个像素yi , 分割后对应的标记为x i , 定义两个随机场： X={x i , i S }是图像分割后的类别标号场， xi 1, 2, L表示分割成L个区域， 但其类别状态不能直接观察到。 Y={yi , i S }是可观测的随机场， 即图像的观测灰度场， 那么分割问题可以描述为：
（1）P{X=x}>0,x
邻域系统 的MRF的含义：在任意格点s的其余格点位置上 随机变量xs 取值已知的条件下，随机场在格点s处的取值概率 只与格点s的 相邻点有关。
在图像中，P()表示标号场的先验概率， P(|)表示邻域系统标号的局部作用关系
在数字图像中，一个像元的灰度值仅与 其邻域系统内各象元的灰度值有关，因 而可以利用马尔科夫随机场来模拟数字 图像。当邻域系统 足够大时，任何定 义在S上的图像数据均可看成马尔科夫随 机场的一个实现
分阶邻域系统与子团
在图像模型中，可以根据对象元的距离建 立一种分阶邻域系统，定义如下：
(n)
( s) {r | d ( s, r ) n, r s}, 式中n为邻域系统的阶次，
d ()表示距离函数，经常使用欧氏距离，市区距离， 棋盘距离等函数。 对n 0, 满足特性 ( s)
x
MRF与Gibbs分布的等价关系
Gibbs分布与MRF的等价条件：一个随机场 是关于邻域系统的MRF，当且仅当这个 随机场是关于邻域系统的Gibbs分布，表 示为： exp ( Vc (xs | xr )) cC P(xs | xr , r ( s )) L 1 exp (Vc ( xs | xr )) xs cC
(n) ( n +1)
( s)
子团
S中有不同的邻域结构，在S上由单个像 元或由象元与其邻点组成的子集 c S 称为一个子团。子团c的集合用C来表示。
分阶邻域系统与子团示例
马尔科夫随机场
设 为S上的邻域系统，若随机场X={x s ,s S}满足如下条件： (2) P{X s =x s | X r xr , r s, r ( s)} P{X s =x s | X r xr , r ( s)} 则称X为以 为邻域系统的马尔科夫随机场， 上式称为马尔科夫随机场的局部特性
i t arg et1 1 2 i t arg et 2 yi Y xi xi X , i {1, 2, M * N } L i t arg etL 根据贝叶斯准则，最优分割准则为： p (Y | X ) p ( X ) X arg max p ( X | Y ) arg max p (Y ) X X
基本定义
设S {(i, j ) |1 i M ,1 j N }表示MN位置的有限格点集 即随机场中的位置
={1,2， L}表示状态空间，即随机场中的相空间
X={xs | s S }表示定义在s S 处的随机场 即xs
xs 表示在随机场X上，状态空间为的隐状态随机变量，
M *N
Vc xi ) （
if if
xi x j xi x j
其中 为耦合系数
对于p(Y | X )是条件概率函数，也成为似然函数， 其概率分布要根据图像服从的分布而选择。 在这里我们假设图像的各个位置的像素是独立同分布 的，p(Y|X)服从高斯分布，即： p(Y=y|X=x)= p(Y ys | X xs )