高等代数第5章习题参考答案
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1
习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。
线性代数第五习题答案详解
第五章n 维向量空间习题一1． 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 616a21a 1+31a 2+(-65)a 3 = a将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =21a 1+31a 2+(-65)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.习 题 二1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T 根据对分量相等可得下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====++++++1201213214321k k k k k k k k k k解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++121332223212143214321k k k k k k k k k k k k k由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400510111220510111331621111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00021011142012601117131442111321a a a因为()32321<=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性相关.(4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=500410111320410111211301111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
南开大学出版社高数练习册第五章答案.doc
第五章定积分第一节定积分的概念及性质一、选择题1、A2、D二、填空题1、负2、［*/3、b-a三、1、1 2、0 -4四、1、z 2> < 3> < 4、>五、解：定积分处理问题的四个步骤为：1、分割：将时间区间［儿乙］任意分成n个小区间M，商= l,2,...,n),每个小区间所表示的时间为;各区间物体运动的路程记为△SiQ = 1,2,・•。
2、近似：在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程。
在每个小区间"E ］上任取一时刻夺，以速度V⑥近似代替时间段 "，讪上各个时刻的速度,则有△仰=1,2,・••/)・3、求和：将所有这些近似值求和，得到总路程S的近似值，即S = £△$"£・/=! /=14、取极限：对时间间隔四乙］分割越细，误差越小。
为此记A = max{An),\<i<nn当人TO时和式的极限便是所求路程S,即S = lim£v ㈤山二* 1=1 /=!那么在一秒内经过的路程为S=、20=l ・六、解：设f(x) = /二则/⑴=/站(2尤-1) 当JCG(O,-)时,f (x)<0.2 Ji当xe (— ,2)时,f (x) > 0.i _i・•・、心的极小值为/'(5)=厂；2・.・ f(0) = l,f(2) = e~:.| < J / dx < | /dx即2e^< f e x X dx<2e2••-2° < [ / dx <-2e4七、证明："⑴二土在[1,4]±为减函数.・.sA⑴第二节微积分基本公式一、填空题1、C2、&「23、2xsin V44、05、「Vsin A入r i2 r »小+x 小+x 二、求定积分1、^Vx(l + Vx)Jx = (&2 +：Q L = 45：。
线性代数第五章练习及解答
对应于同一特征值的不同特征向量的非零线性组合是 A 的特征向量。 证明由本节第 3 题可知属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量，而属于同一特征值的不同特征 向量满足
Aξ1 = λξ1 , Aξ2 = λξ2 , 于是 A(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) = k1 Aξ1 + k2 Aξ2 = λ(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) 由定义命题得证 11.λ ̸= 0 是矩阵 A 的特征值，求 A−1 , A⋆ 的特征值。
证明：因为 A + E = A + AAT = A(A + E )T ，那么 |A + E |(1 − |A|) = 0，于是 |A + E | = 0, 即 λ = −1 是 A 的一个特征值
5. 设 A1 , A2 , A3 是 3 个非零的 n 阶矩阵 n ≥ 3 , 满足 A2 i = Ai (i = 1, 2, 3), 且 Ai Aj = O (i ̸= j ; j = 1, 2, 3)
1
若 Ai 有非零和 1 的特征值 λ，由于 λ2 − λ = 0, 故有且仅有 0 和 1 为特征值
(2) 若 Aj ξ = ξ, 那么 Ai (Aj ξ ) = Ai ξi , 即 Ai ξ = 0ξ (3) 反证，若三个向量线性相关不妨设 α3 = k1 α1 + k2 α2
那么 A3 α3 = k1 A3 α1 + k2 A3 α2 , 由 (2) 知 A3 αj = 0(j = 1, 2) 那么 α3 = 0 与特征向量的定义矛盾 2 0 0 2 0 0 与 B = 6. 已知矩阵 A = 0 0 y 0 0 1 0 0 −1 0 1 x P −1 AP = B
高等代数-第5章习题及解答
习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得 即得证A 又A 故 ，则A 或 但，因此无论那一种情形都有 此即，但 所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明 ）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ） 故A B)AC ）AB C ） 于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证 若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解 当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明： 是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得 是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射 即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。
高等数学课后习题及参考答案第五章
高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n i i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22012-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明: (1)若在[a , b ]上f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a ,b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解942394194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk kk k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(l i m )(l i m 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(2ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(1111121010021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--23cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-23cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023023202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11111211)1(111xxdt t dt t tx dx , 而⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x xdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰32sin ππdx xx;解343432sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰02cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==022020202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-102)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 3831=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。
高等数学第五章习题答案
第五章 不定积分与定积分 第一节 定积分的概念及性质1．=S 61 2．（1）1；（2）4π． 3．（1）⎰102dx x ＞⎰12dx x ；（2）⎰12dx e x ＜⎰1dx e x ． 4．利用积分中值定理证明．5．利用定积分估值定理证明．第二节 微积分基本公式1．（1）0； （2）0； （3）2cos x ； （4）2e x-； （5）24sin sin 2x x x -.2．2232y xe x y --='3．（1）1； （2）42π； （3）0； （4）1sin ； （5）11+p .4．（1）6π； （2）1； （3）4； （4）35．5．利用双曲函数表达式及原函数的定义证明．第三节 不定积分的概念与性质1．（1）x x cos 2ln 2+； （2）23x ； （3）C x +-sin ．2．（1）C x +36； （2）C x+3ln 3； （3）C x ++1e ； （4）C x x +-cos sin ； （5）C x +arctan 3； （6）C x +arcsin 2；（7）C t t+-34433e ； （8）C x x +--tan cot ； （9）C x +158815； （10）C t +20ln 20； （11）C e x x x ++e -33ln 313； （12）C x x +--arctan 1； （13）C x x +-sin ； （14）C x x ++arctan ； （15）C x x ++arctan 212； （16）C x x x +--cot 9tan 4． 3．x x y +=3．第四节 换元积分法1．（1）C x +-32ln 21； （2）C e x+--22； （3）C x a a+)22arctan(21；（4）C x +--22121； （5）C x ++)4ln(212； （6）C x +4)(arcsin 41；（7）C x +)arctan(sin 212； （8）C x x ++cos ln sin ln ； （9）C x ++14； （10）C x x x ++-53sin 51sin 32sin ； （11）C x x ++sin cos ln ； （12）C x x +-ln 1．2．（1）0； （2）31； （3）2； （4）1； （5）2)2(ln 21； （6）2332a ．3．（1）C x a x a x a +--2222arcsin 2； （2）C x +1arccos ； （3）C xx++21；（4）C x x ++-)21ln(2； （5）C e e x x+++-+1111ln； （6）C xa x a +--3223223)(． 4．（1）2π； （2）3322-； （3）61； （4）32ln 22+； （5）e e+12ln ．5．2ln ．6．（1）0； （2）3ln ．第五节 分部积分法1．（1）C x x x +-2ln ； （2）C x x x ++-)41ln(412arctan 2； （3）C x x x ++-)21(e 2122； （4）C x x x ++)3cos 23sin 3(e 1312； （5）C x x x ++-2sin 412cos 21； （6）C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22； （7）C x x x ++-]2ln 2)[(ln 2； （8）C x x ex++-)22(33323；（9）)1()1(112+++n ne n ； （10）)11(2e -； （11）5e ； （12）463ππ-． 第六节 有理函数的积分及应用1．（1）C x x +++-111ln 212； （2）C x x x x +-++--+312arctan 3)1ln(211ln 2； （3）C x x x ++--1ln 2)2(ln ；（4）C x x x x x x ++---+++1ln 41ln 3ln 8213123； （5）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+512tan 3arctan 51x ； （6）C x x ++)2tan 3(2tan ln 312； （7）C x ++-tan 11； （8）C x x +-+-32)11(43．第七节 广义积分1．答：不正确．因为该积分是以0=x 为瑕点的广义积分，且该积分是发散的． 2．答：不正确．奇函数在对称区间上的定积分为零是以积分存在为前提的，而dxxx ⎰∞+∞-+21是发散的． 3．1>k 时dx x)x(k⎰∞+2ln 1收敛，1≤k 时dx x)x(k ⎰∞+2ln 1发散．4．（1）4π； （2）82π-； （3）π55； （4）38； （5）91-； （6）23．总复习题五1．（1）A ； （2）A ； （3）C ； （4）C ； （5）D ； （6）D ． 2．（1）C x x +-cos ； （2）61； （3）0； （4）1-； （5）2)1(2--x ； （6）c x x x +-sin cos ． 3．（1）C x+20ln 20； （2）C x x x x ++-arctan arctan ； （3）2； （4）)1(411--e ； （5）π； （6）1． 4．C x x dx x +-+=⎰1ln 2)(ϕ． 5．1=α，1=β．6．提示：利用闭区间上连续函数的最值定理、定积分的估值定理、闭区间上连续函数的介值定理证明．。
高等数学第五章课后习题答案
班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。
（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。
高等代数第5章习题参考答案
第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
《工程高等代数》5第五章线性方程组习题解答
习 题 五A 组1．填空题（1）当方程的个数等于未知数的个数时，=Ax b 有惟一解的充分必要条件是 ． 解 因为()()R R n ==A A b 是=Ax b 有惟一解的充要条件．故由()R n =A 可得||0≠A ． （2）线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 有解的充分必要条件是 ．解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换()12341100011000111001a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎪⎝⎭B A b12341231100011000110000a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭． 所以方程组有解的充要条件是()()R R =A B ，即43210a a a a -+-=．（3）设n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组=Ax 0的通解为 ． 解 令111⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x显然x 满足方程组，又因为()1R n =-A ，所以()1n R -=A ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为T 11(1,1,,1)1k k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，k 为任意常数．（4）设A 为n 阶方阵，||0=A ，且kj a 的代数余子式0kj A ≠（其中，1k n ≤≤；1,2,,j n =），则=Ax 0的通解 ．解 因为0=A ，又0kj A ≠，所以()1R n =-A ，并且有11220, ;||0, i k i k in kn i k a A a A a A i k ≠⎧+++=⎨==⎩．A 所以()T12,,,k k kn A A A 是方程组的解，又因为()1R n =-A ，可知方程组的通解为()T12,,,k k kn c A A A =x ，其中c 为任意常数．（5）设11222221231111211111,,11n n n n n n n x a a a x a a a x a a a x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x b ， 其中，(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=，则非齐次线性方程组T =A x b 的解是=x ．解 T (1,0,0,,0)=x ．（6）设方程123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = ．解 2a =-．2．单项选择题（1）齐次线性方程组355⨯⨯1=A x 0解的情况是 ．(A) 无解； (B) 仅有零解；(C) 必有非零解； (D) 可能有非零解，也可能没有非零解． 答 （C ）．（2） 设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩()3R n =-A ，且123,,ξξξ为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是 ．(A) 12312,2,32+- -ξξξξξ； (B) 122331,,+-+ ξξξξξξ；(C)122132-2,-2,32+-+ ξξξξξξ； (D) 12231324,2+,++ - ξξξξξξ．答（A ）．（3）要使T 1(1,0,2)=ξ，T 2(0,1,1)=-ξ都是线性方程组=Ax 0的解，只要A 为 ． (A) (211)-； (B) 201011⎛⎫⎪⎝⎭；(C) 102011-⎛⎫⎪-⎝⎭； (D)011422011-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭． 答（A ）．（4）已知12,ββ是=Ax b 的两个不同的解，12,αα是相应的齐次方程组=Ax 0的基础解系，12,k k 为任意常数，则=Ax b 的通解是 ．(A) 12()k k 12112-+++2ββααα； (B) 12()k k 12112++-+2ββααα；(C) 12()k k 12112-+-+2ββαββ； (D) 12()k k 12112++-+2ββαββ．答（B ）．（5）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0 若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax =b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax =0的基础解系是 ．(A) 不存在； (B) 仅含一个非零解向量；(C) 含有两个线性无关的解向量； (D) 含有三个线性无关的解向量． 答（B ）．（6）设有齐次线性方程组Ax =0和Bx =0，其中A ，B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax =0的解均是Bx =0的解，则()()R R ≥A B ；② 若()()R R ≥A B ，则Ax =0的解均是Bx =0的解； ③ 若Ax =0与Bx =0同解，则()()R R =A B ；④ 若()()R R =A B ，则Ax =0与Bx =0同解． 以上命题正确的是 ．（A ） ①，②； （B ）①，③； （C ）②，④； （D ）③，④． 答（B ）．（7）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 ． （A ）当n m >时仅有零解； （B ）当n m >时必有非零解； （C ）当m n >时仅有零解； （D ）当m n >时必有非零解． 答（D ）． （8）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量． 若秩T0⎛⎫=⎪⎝⎭αAα秩()A ，则线性方程组 ． （A ）=αAx 必有无穷多解； （B ）=αAx 必有惟一解；（C ）T 0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αA αx 0仅有零解； （D ）T 0y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭αA αx 0必有非零解．答（D ）．3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系(1) 12341234123420,20,2220;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩解 对系数矩阵施行初等行变换，有41001121321110103221240013⎛⎫-⎪-⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭A ．与原方程组同解的方程组为14243440,330,40,3x x x x x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩或写为1241344343944331x x x k x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭x ，其中143k =为任意常数．所以，基础解系为 14943⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．(2) 12341234123420,3630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩解1211120136130010510150000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，与原方程组同解的方程组为12432 0,0,x x x x +-=⎧⎨=⎩或写为124223442,,0,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩, 其中，24,x x 可取任意常数12,k k ，故12123421100001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ． 所以，基础解系为122110,0001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．(3) 12341234123412342350,3270,4360,2470;x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解231512473127012126413600151247000327--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ， ()4R n ==A ，方程组组只有零解．(4) 123412341234123434570,23320,41113160,7230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=⎩．解3131017173457192001233217174111316000072130000⎛⎫-⎪⎪-⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ， 与原方程组同解的方程组为134234313 017171920 01717x x x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，． 或写为1342343344313171719201717x x x x x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪=⎩，，，． 故1212343131920170017x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ． 所以基础解系为123131920,170017-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ． 4．求解下列非齐次线性方程组．(1) 123123124+2232101138x x x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，，；解 对增广矩阵施行初等行变换42121338312100101134113080006---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B ，所以()2,()3R R ==A B ．无解．(2) 23424538213496x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩，，，；解231410211245011238213000041960000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B()()2R R ==A B ，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为21,2,x z y z z z =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩． 故211210x y k z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 21,4222,21x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩；解111102222111142212000102111100000⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪=-→ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为111222,,0x y z y y z z w ⎧=-++⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩，．所以原方程组的通解为111222100010000x y y z z w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121211020020000k k ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭． (4) 21,3234,4352x y z w x y z w x y z w +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩．解116107772111159532134017771435200000⎛⎫-- ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为116777595777x z w y z w z z w w ⎧=++⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪=⎩，，，． 故通解为1267115597700070x y k k z w ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．问λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x ⎧λ++=⎪+λ+=λ⎨⎪++λ=λ⎩，，(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？解 系数行列式21111(1)(2)11D λλλλλ==-+．当1≠λ且2-≠λ时0≠D ，方程组有惟一解． 当1=λ时，对增广矩阵施行初等行变换111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ，则()()13R R ==<A B ，故原方程组有解且有无穷多解．当2-=λ时，对增广矩阵施行初等行变换211111241212121211242111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B112411240336033603390003--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, ()2,()3R R ==A B ．所以方程组无解．6．非齐次线性方程组1231231232x x x x x x x x x 2⎧-2++=-⎪-2+=λ⎨⎪+-2=λ⎩，，当λ取何值时有解？并求出它的全部解．解 对增广矩阵施行初等行变换，得222112112121033(1)112000(1)(2)λλλλλλλ⎛⎫---⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭B ，当1λ≠且2λ≠-时，()2,()3R R ==A B 方程组无解． 当1λ=时，有101101100000-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭B()()2R R ==A B ，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为13233310x x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，，．故原方程组的解为1213111010x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．当2λ=-时，有101201120000-⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭B与原方程组同解的方程组为13233322x x x x x x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，，．故方程组的解为123121210x x k x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．7．设12312312322124224x x x x x x x x x (2-λ)+-=⎧⎪+(5-λ)-=⎨⎪--+(5-λ)=-λ-1⎩，，，问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解． 解 系数行列式2222254(1)(10)245D λλλλλ--=--=------． 当1λ≠且10λ≠时，方程组有惟一解． 当1λ=时，有122112212442000024420000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭B()()1R R ==A B ，方程组有无穷多解，此时123221x x x +-=通解为12123221100010x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ．当10=λ时，有8221254225420111245110003----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭B ，()2,()3R R ==A B ，故方程组无解．8．问,a b 为何值时，非齐次线性方程组123423423412340,221,(3)2,321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ (1) 有惟一解，求出惟一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并写出通解．解 方程组的增广矩阵11110111100122101221.013200101321100010a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B当1≠a 时，()()4R R ==A B ，方程组有惟一解．此时2100012301001.10010100010a b a a b a b a -++⎛⎫ ⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-→⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B所以，12342231,,,0111a b a b b x x x x a a a -+--++====---．当1=a 时，有11110012210000100000b ⎛⎫⎪⎪→ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭B ，所以，当1=a 且1-≠b 时，()2R =A ，()3R =B ，方程组无解．而当1=a 且1b =-时，有10111012210000000000---⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎪⎝⎭B ，()()2R R ==A B ，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为1342341,221,x x x x x x --=-⎧⎨++=⎩ 或写为13423433441,221,,.x x x x x x x x x x =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 故原方程组的通解为121234111221100010x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ， 其中12,k k 为任意实数．9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且1232132,4354⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηηη， 求该方程组的通解．解 4,()3n r R ===A ，所以1n r -=，令11124136242()8351046⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξηηη，则1ξ为基础解系，故方程组的通解为1132435465k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ξη， 其中k 可取任意常数．10． 设,A B 都是n 阶方阵，且=AB 0．证明()()R R n +≤A B ．证明 设12(,,,)n =B b b b ，则有(1,2,,)j j n ==Ab 0．可见每个j b 都是=Ax 0的解向量．因()R r =A ，可知=Ax 0的解空间的维数是n r -，所以向量组12,,,n b b b 的秩小于等于r n -，从而()R n r ≤-B ，于是()()()R R r n r n +≤+-=A B ．11．已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解．（1）证明方程组的系数矩阵A 的秩()2R =A ； （2）求,a b 的值及方程组的通解．解 （1） 设123,,ααα是方程组=βAx 的3个线性无关的解，其中111114351,1131a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A β．则有1213(),()-=-=ααααA 0A 0，即1213,--αααα是对应齐次线性方程组=Ax 0的解，且线性无关．（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）．所以()2n R -≥A ，即4()2()2R R -≥⇒≤A A ．又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2R ≥A ．因此()2R =A ．（2） 因为11111111111143510115011513013004245a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A又()2R =A ，则420,2,,450 3.a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩ 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，111111024243511011532133100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭B ，故原方程组与下面的方程组同解13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩． 选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩． 故所求通解为12242153100010k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ，12,k k 为任意常数．12．已知三阶矩阵A 的第一行是()a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =（k 为常数），且AB =0，求线性方程组Ax =0的通解．解 由于AB =0，故()()3R R +≤A B ，又由,,a b c 不全为零，可知()1R ≥A ． 当9k ≠时，()2R =B ，于是()1R =A ；当9k =时，()1R =B ，于是()1R =A 或()2R =A ． ① 对于9k ≠，由AB =0可得123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭A =0和36k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A =0．由于()()TT121,2,3,3,6,k ==ηη线性无关，故12,ηη为Ax =0的一个基础解系，于是Ax =0的通解为1122c c =+x ηη，其中12,c c 为任意常数．② 对于9k =，分别就()2R =A 和()1R =A 进行讨论．如果()2R =A ，则Ax =0的基础解系由一个向量构成． 又因为123⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A =0，所以Ax =0的通解为()T11,2,3c =x ，其中1c 为任意常数．如果()1R =A ，则Ax =0的基础解系由两个向量构成． 又因为A 的第1行是(),,a b c ，且,,a b c 不全为零，所以Ax =0等价于1230ax bx cx ++=． 不妨设0a ≠，()()TT12,,0,,0,b a c a =-=-ηη是Ax =0的两个线性无关的解，故Ax =0的通解为 1122c c =+x ηη，其中12,c c 为任意常数．13．确定常数a ,使向量组T1(1,1,),a =αT 2(1,,1),a =αT 3(,1,1)a =α可由向量组T 1(1,1,)a =β，T 2(2,,4)a =-β，T 3(2,,)a a =-β线性表示，但向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示．解 对矩阵123123(,,,,)=B βββααα作初等行变换，有123123(,,,,)=B βββααα=12211111411a aa a a a a --⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ →1221102201000403(1)1a a a a a a a --⎛⎫⎪++- ⎪ ⎪---⎝⎭， 当2a =-时，→B 122112000030006033---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，显然2α不能由123,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当4a =时，→B 122114066030000093--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭， 显然23,αα均不能由123,,βββ线性表示，因此4≠a ．而当2-≠a 且4≠a 时，秩123(,,)3R =βββ，此时向量组123,,ααα可由向量组123,,βββ线性表示．又12312311122(,,,,)111114a a a a a a a --⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ 2111220110220110423a a a a a a a a a --⎛⎫ ⎪→--++ ⎪ ⎪--+⎝⎭21112201102200206342aa a a a a a a a --⎛⎫⎪→--++ ⎪ ⎪--++⎝⎭， 由题设向量组123,,βββ不能由向量组123,,ααα线性表示，必有01=-a 或022=--a a ，即1a =或2-=a ．综上所述，满足题设条件的只能是1a =．14．已知齐次线性方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x （Ⅱ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值．解 方程组（Ⅱ）的未知量个数大于方程个数，故方程组（Ⅱ）有无穷多解．因为方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，所以方程组（Ⅰ）的系数矩阵的秩小于3．对方程组（Ⅰ）的系数矩阵施以初等行变换12310123501111002a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 从而2a =．此时，方程组（Ⅰ）的系数矩阵可化为123101235011112000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故T (1,1,1)--是方程组（Ⅰ）的一个基础解系．将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（Ⅱ）可得2,1==c b 或 .1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有112101213011⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解．当1,0==c b 时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有101101202000⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的解不相同．综上所述，当2,1,2a b c ===时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解． 15．设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．解 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.00aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()1R n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为,021=+++n x x x由此得基础解系为T 1(1,1,0,,0),=-η T 2(1,0,1,,0),=-ηT 1,(1,0,0,,1),n -=-η于是方程组的通解为1111,n n x k k --=++ηη其中11,,-n k k 为任意常数．当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.0101n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭B 可知2)1(+-=n n a 时，()1R n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 由此得基础解系为T (1,2,,)n =η，于是方程组的通解为k =x η，其中k 为任意常数．16．设T 1(1,2,0)=α,T 2(1,2,3)a a =+-α, T 3(1,2,2)b a b =---+α, T (1,3,3)=-β, 试讨论当b a ,为何值时,(1) β不能由123,,ααα线性表示；(2) β可由123,,ααα惟一地线性表示, 并求出表示式；(3) β可由123,,ααα线性表示, 但表示式不惟一, 并求出表示式． 解 设有数,,,321k k k 使得112233k k k ++=αααβ．记123(,,)=A ααα．对矩阵(,)A β施以初等行变换, 有1111(,)22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭．（1） 当0=a 时, 有1111(,)0010001b -⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β．可知()(,)R R ≠A A β． 故方程组无解, β不能由123,,ααα线性表示．（2） 当0≠a , 且b a ≠时, 有1111(,)01000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()(,)3R R ==A A β, 方程组有惟一解：a k 111-=, ak 12=, 03=k ．此时β可由123,,ααα惟一地线性表示, 其表示式为1211(1)a a=-+βαα．（3） 当0a b =≠时, 对矩阵(),A β施以初等行变换, 有1111(,)01000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭A β1100110110000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()(,)2R R ==A A β，方程组有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3， 其中c 为任意常数．β可由123,,ααα线性表示, 但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα．17．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++,14)4()2(3,022,0432143214321x x μx λx x x x x x x μx λx 已知T (1,1,1,1)--是该方程组的一个解，试求（1） 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2） 该方程组满足32x x =的全部解．解 将T (1,1,1,1)--代入方程组，得μλ=．对方程组的增广矩阵B 施以初等行变换, 得1101021211200131132441002(21)2121λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++---⎝⎭⎝⎭B ，（1） 当21≠λ时，有1001011010*********⎛⎫⎪ ⎪⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()34R R ==<A B ，故方程组有无穷多解，且T 011(0,,,0)22=-ξ为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T(2,1,1,2)=--η，故方程组的全部解为T T 011(0,,,0)(2,1,1,2)22k k =+=-+--ξξη (k 为任意常数)．当12λ=时，有11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ，()()24R R ==<A B ，故方程组有无穷多解，且T 01(,1,0,0)2=-ξ为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 T 1(1,3,1,0)=-η，T 2(1,2,0,2)=--η，故方程组的全部解为T T T 01122121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k k k =++=-+-+--ξξηη(21,k k 为任意常数)．（2） 当21≠λ时，由于32x x =，即k k -=+-2121， 解得21=k ，故方程组的解为T T T 111(1,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ ．当21=λ时，由于32x x =，即121231k k k =--，解得212141k k -=，故方程组的全部解为T T T 22111(,1,0,0)()(1,3,1,0)(1,2,0,2)242k k =-+--+--ξT T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---其中2k 为任意常数．18．已知平面上三条不同直线的方程分别为123:230,:230,:230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=．解 必要性．设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组23,23,23ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩有惟一解，故系数矩阵222a b b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与增广矩阵232323a b c b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 的秩均为2，于是0=B ．由于22223236()[]23a b cb c a a b c a b c ab ac bc c a b-=-=++++----B=])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性．由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=B ，故秩()3<B ．由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2=B ．于是，秩()=A 秩()B 2=．因此方程组有惟一解，即三直线321,,l l l 交于一点．*19．求方程组12311231231,0,1,242,x x x x x x x x x x -+=⎧⎪=⎪⎨++=-⎪⎪++=⎩ 的最小二乘解．解 方程组的系数矩阵和常数项矩阵为111100111124-⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，1012⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b ，记123x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，则方程组的正规方程TT=A Ax A b 为1234262268268188x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解之得1233/54/51x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，方程组的最小二乘解为12334,, 1.55x x x =-=-=*20．当外加电压E (单位:V )分别为5，8，10，12时，测得电源中对应的电流I (单位:A )分别为4，6，8，9，试根据公式00E E R I =+确定电源内阻0R 与电源的端电势0E ．解 根据公式00E E R I =+，把测得的数据代入方程，得0000000045,68,810,912.E R E R E R E R +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为14161819⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，581012⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b ，记00E R ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ，则方程组的正规方程TT=A Ax A b 为004273527197256E R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解之得0017/5979/59E R -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即000.288(), 1.339()E V R ≈-≈Ω。
高等数学课后习题答案--第五章
x1 1 2 4 1 1 − 2 4 1 3 2 ~ ~ ~ (3) x + x + 1 在 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的坐标 x 2 = 0 1 4 1 = 0 1 − 4 1 = − 3 . x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 3
8. 设 P2 为次数不超过 2 的多项式全体构成的线性空间。 ~ =1， ε ~ = x + 2, 证明(1) P2 的基可取为 ε 1 =1, ε 2 = x , ε 3 = x 2 ，也可取为 ε 1 2 2 ~ ε = (x + 2) ；
3 1 2 3
~ =ε , ε ~ = 2ε + ε , ε ~ = 4ε + 4ε + ε , 8. (1) ε 1 1 2 1 2 3 1 2 3
x1,n −1 x 2,n −1
M L L x n −1,n −1 L x n ,n −1
x1n x2n M x n −1 , n x nn
x1n x2n M M M , k −2 k −2 ml xl 2 L ∑ ml xl ,n −1 x n −1 , n ∑ l =1 l =1 k −2 k −2 n x L n x x ∑ ∑ nn l l , n −1 l l2 l =1 l =1 x11 x12 L x1,n −1 x1n x 21 x 22 L x 2,n −1 x 2 n K 因此矩阵 A 经过适当的行变换后, 变为 M M M M , 于是 | A |= 0 , L 0 L 0 s 0 0 0 L 0 t ~ ~ ~ 即 a , a , K, a 线性相关, 与已知矛盾. rank ((a , a ,K, a )) ≥ k − 1 .
高等代数5-5章小结与习题
即，X0 (AA)X0 0. 故，A´A正定.
“ ”假若齐次线性方程组 AX＝0 有非零解，
即，X 0 Rn , X 0 0, AX 0 0. 从而有， X0 (AA)X0 (AX0)(AX0) 0. 与A´A正定矛盾.
证A0 ：
即二次型
f (x1, x2, , x因n ) X AX 秩为n ，且 f 不是正定的.
设
f
的正惯为性指数为 ，
p，则必有
p n.
于是存在非所退化线性替换 X＝CY ，使
f (x1, x2, ,以xn) X AX YCACY
取
Y0
0
0 1
秩 (A)
y12
y
Байду номын сангаас
2 p
,＝由n .于C可逆，有
《高等代数》
开课单位：数学系
第五章小结、例题 主要内容
§1 二次型的矩阵表示 §2 标准形 §3 唯一性 §4 正定二次型
二次型
对称矩阵
非线
定理1 退 性
化替 换
C´AC=B X=CY C 0
合
同 定理2
变 换
标准形
对角矩阵
定理3
复 二 次 型 的 规 范 形
定理4
实 二 次
正惯性指数 ＝变元个数 n
X AX YCACY y12
y
2 p
y
2 p1
yr2
其中，1 p r.
取 Y0 (0,
,0, 1 ,1,0, 第p个
, 0),
由于C可逆，有 X0 CY0 0,
且， X0 AX0 Y0CACY0 0.
例4 设 A 为n阶半正定矩阵，B Rnm，且秩(B)＝m, 证明：B´AB半正定.
清华线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答3 -37穴1 =, $1.求下列矩阵的特征值和特征向量： （1）-3-31丿/\~37 A.所以, （■ 1I - A ）X = 0的基础解系为:(6,1-一 37)T .因此,A 的属于'i 的所有特征向量为:匕(6,1 -、37)丁(匕=0).2I所以，（’2l-A ）x=0的基础解系为:(6,1 . 37)T .因此,A 的属于■ 2的所有特征向量为:k 2(6,1 37)T (k 2 =0).'3 -1九-31-1 ⑵ 2 0 1 : 解： 打-A =-2 丸-1-12」-11h -2nn2亠=('-1)「-2)解:-2 3所以，特征值为：’1=1（单根）,'2=2（二重根）J 2 1 -1、5 0 0、入 1 — A =-21 -1T0 1-11 -b1°0 °」所以，（、| —A ）x =o 的基础解系为：（0,1,1）T .因此，A 的属于-1的所有特征向量为： 匕（0,1,1）丁你1 =0）.'-11 -1、1 -1'花 1 — A =-2 2 -1 T 0 0 1r 11><00 0」所以，（，2l -A ）x =：0的基础解系为：（1,1,0）T .因此，A 的属于-2的所有特征向量为：k 2（1,1,0）T （k 2 =0）.所以，特征值为:1=2 （二重根）*0 0 0 "人I —A= -1 1—1 TIT 1 -b所以，（\l -A ）X=0 的基础解系为：（1,1,0）T ,（-1,0,1）T .九-20 0 扎1—A=-1 丸-1 -1-11九一32 0 0' ⑶ 1 1 1 解:J -1 3」2)-210所以，（■1l -A ）x =0的基础解系为：（1,0,0,0）T .因此，A 的属于 > 的所有特征向量为： k 1（1,0,0,0）T （k^-0）所以，特征值为：'1 - 1 （三重根）'-3 -5 2、「10 1、入1 —A=2 3-1 T ■" T 0 1 -1J1 0」e 0 0」T所以,（‘1l _A ）x =0的基础解系为：（-1,1,1） •q 2 3 4^扎—1-2-3 -4 0 1 2 3解：XJ — A =0 &一1-2-3 0 0 1 2 0 0 九-1-2 1°0 0 bZ-1因此，A 的属于-i 的所有特征向量为：k i （1,1,0）T • k 2（-1,0,1）T （k i ,k 2为不全为零的任 意吊数）。
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
工程数学--线性代数课后题答案_第五版5
工程数学--线性代数课后题答案_第五版第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;解 根据施密特正交化方法,⎪⎪⎭⎫⎝⎛==11111a b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a .解 根据施密特正交化方法,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110111a b ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121312112131211;解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------979494949198949891.解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T=E -2(x T )T x T =E -2xx T ,所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;解3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321;解)9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A , 得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000. 解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000000001101001101011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明 因为|A T-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,所以A T与A的特征多项式相同,从而A T与A的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.若a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r,b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r,l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t,使k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r+l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r),则k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r不全为0,否则l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0,与b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A 与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m⨯n B n⨯m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ,则ϕ(1)=3,ϕ(2)=2,ϕ(3)=3是ϕ(A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|ϕ(A)|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.12.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2,-3,求|A*+3A+2E|.解因为|A|=1⨯2⨯(-3)=-6≠0,所以A可逆,故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则ϕ(1)=-1, ϕ(2)=5, ϕ(-3)=-5是ϕ(A )的特征值, 故|A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25. 13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相 似.证明 取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似. 14.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,求x .解 由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则 (A -λE )p =0,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022;解 将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T )32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p .对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p .于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222.解 将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000542452228321x x x , 得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p .于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10). 17.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p . 对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 解 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11011101101111111011P ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-1101110111000200020111111101P P A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=244354331.19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=.令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x , 314=x , 325=x .因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022********A .20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1116111A , 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T , a 1≠0, A =aa T .(1)证明λ=0是A的n-1重特征值;证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则有A x=λx,λ2x=A2x=aa T aa T x=a T a A x=λa T ax,于是可得λ2=λa T a,从而λ=0或λ=a T a.设λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn是A的所有特征值,因为A=aa T的主对角线性上的元素为a12,a22,⋅⋅⋅,a n2,所以a12+a22+⋅⋅⋅+a n2=a T a=λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn,这说明在λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn中有且只有一个等于a T a,而其余n-1个全为0,即λ=0是A的n-1重特征值.(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.解设λ1=a T a,λ2=⋅⋅⋅=λn=0.因为A a=aa T a=(a T a)a=λ1a,所以p1=a是对应于λ1=a T a的特征向量.对于λ2=⋅⋅⋅=λn=0,解方程A x=0,即aa T x=0.因为a≠0,所以a T x=0,即a1x1+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n=0,其线性无关解为p2=(-a2,a1, 0,⋅⋅⋅, 0)T,p3=(-a3, 0,a1,⋅⋅⋅, 0)T,⋅⋅⋅,p n=(-a n, 0, 0,⋅⋅⋅,a1)T.因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅112212100), , ,(a a aa a a a n n n p p p . 22.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A ,求A 100.解 由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1,A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100), ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1202105055112021012111P , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12021050555112021012151100100100A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1). (1)求关系式⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ; 解 由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x q pq py x 1111, 因此 ⎪⎭⎫⎝⎛--=q p qp A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.000y x , 求⎪⎭⎫⎝⎛n n y x . 解 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11可知⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令⎪⎭⎫⎝⎛-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1. 于是 11100111-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=p q r p q A nn ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=q p r p q q p n 11001111⎪⎭⎫⎝⎛+--++=n n n n q r p p r p q r q p r q q p 1,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=⎪⎭⎫⎝⎛5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A , 求ϕ(A )=A 10-5A 9;解 由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21.对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵⎪⎭⎫⎝⎛-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111210004111121 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111122222.(2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122221212A ,求ϕ(A )=A 10-6A 9+5A 8.解 求得正交矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1=P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1=P diag(12, 0, 0)P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222033211001220223123161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4222112112.25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f . 26. 写出下列二次型的矩阵:(1)x x x ⎪⎭⎫⎝⎛=1312)(T f ;解 二次型的矩阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312A .(2)x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321)(T f .解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3; 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320230002A .由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4. 解二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111111001111011A . 由 2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p .当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T)21 ,0 ,21 ,0(4=p . 于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程. 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p .对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p . 于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 21322312132231031234, 使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值.证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=⋅ ⋅ ⋅=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵.(1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令⎪⎩⎪⎨⎧+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-=323223211221225y y x y x yy y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3;=(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2. 令⎪⎩⎪⎨⎧+==+=32322311x x y x y x x y , 即⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C . (3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 3223222212421)21(2x x x x x x -+++=232322212)2(21)21(2x x x x x +-++=.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=333222112)2(21)21(2x y x x y x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=33322321121222212121y x y y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12+y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10022011121C .31. 设f =x 12+x 22+5x 32+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3为正定二次型, 求a . 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A ,其主子式为a 11=1,2111a a a-=, )45(5212111+-=--a a a a .因为f 为正主二次型, 所以必有1-a 2>0且-a (5a +4)>0, 解之得054<<-a .32. 判别下列二次型的正定性:(1) f =-2x 12-6x 22-4x 32+2x 1x 2+2x 1x 3; 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=401061112A .因为0211<-=a ,0116112>=--, 038||<-=A , 所以f 为负定.(2) f =x 12+3x 22+9x 32+19x 42-2x 1x 2+4x 1x 3+2x 1x 4-6x 2x 4-12x 3x 4. 解二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=19631690230311211A . 因为 0111>=a ,043111>=--, 06902031211>=--, 024>=A , 所以f 为正定.33. 证明对称阵A 为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U , 使A =U T U , 即A 与单位阵E 合同.证明 因为对称阵A 为正定的, 所以存在正交矩阵P 使P T AP =diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn )=Λ, 即A =P ΛP T ,其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 均为正数. 令), , ,diag(211n λλλ⋅⋅⋅=Λ, 则Λ=Λ1Λ1, A =P Λ1Λ1T P T .再令U =Λ1T P T , 则U 可逆, 且A =U T U .。
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第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3；4)8x 1x 4 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4 ；5)x 1x 2 x 1x 3 x 1x 4 x 2x 3 x 2x 4 x 3x 4；解1 )已知f x 1,x 2,x 3 4x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 ( 1)x 3 y 3则f x 1,x 2,x 3 4y 124y 224y 1y 322 2 24y 1 4y 1 y 3 y 3 y 34y 22y 1 y 3 3y 324y 22，再作非退化线性替换11 y 1z 1212y 2 z 2y 3 z 3则原二次型的标准形为最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为2) x 12 2x 1 x 2 2x 224x 2x 3 4x 32；3) x 123x 222x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3；6) x 12 2x 22 x 424x 1x 2 4x 1x 32x 1x 42x 2x 3 2x 2 x 4 2x 3x 4；7) x 12 x 22 x 322x 42x 1x 2 2x 2x 32x3 x4 。
x 1,x 2,x 32 z124z 223)x 1x 212z 1 1 2z 1z 2z 21 2z 3 1 2z 3x 31 0111 022 T1100 1 000 100 1且有100 T AT0 4 00 1 2 ）已知f x 1,x 2,x 3x1 2x 1x2 2x 22由配方法可得f x 1,x 2,x 3 2 x 12x 1x 22 x 22x 1 x 2x 2于是可令 y 1 x 1 x 2y 2 x 22x 3 ，y 3x 3则原二次型的标准形为f2 2x 1,x 2 ,x 3y 1y 2，且非退化线性替换为 x 1 y 1 y 2 2y 3 x 2 y 2 2y 3x 3 y 3于是相应的替换矩阵为 4x 2 x 3相应的替换矩阵为 2x 22x 3 2，2 1 2 02，21， 2，14x 32，4x 2x 3 4x 320。
10 0 11 01 T AT 1 10 1220 2 2 1 0240（3）已知 f x 1,x 2 , x 3 2 x 13x 222x 1x 2由配方法可得2 f x 1,x 2, x3 x 12x 1x 22x 1x 3 2x 2xx 1x 2x 322x 2 x 3于是可令 y 1 x 1 x 2 x 3y 2 2x 2 x 3 y 3 x 3 且有1 1 0 2x 1x 33则原二次型的标准形为 22y122 x22且非退化线性替换为 相应的替换矩阵为 且有 6x 2 x 3 ，2 x324x 224x 2 x 3 x 32f x 1, x 2, x 3 2 y2213 x 1 y 1 2 y 2 2 y 3 11 x 2 2 y 2 2 y 3 ，x 3 y 3T AT1 1 0 12 23 1223 2 1 2 11 1 01 11 2 01 33 0 121 30 0 013 2 1 2 1100 0 1 0 。
0004）已知f x 1,x 2, x 3,x 4 8x 1x 2 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4，先作非退化线性替换x 1 y 1 y 4x 2y2 ，x 3y 3x 4y 4则f x 1,x 2,x 3, x 428y 1 y 4 8 y 42y 3y 4 2y 2 y 3 8y 2y 4211 111128 y 422y 4y 1y 2y 3 y 1 y 2y 3421228 32 1 2 281 1128y 212 y28y 32y 2y 3221 11182 y1 2 y28y 3y 4 2y 1y 2y 3 42y 2y 3，再作非退化线性替换y 1 z 1y 2 z 2 z3，y 3 z 2z 3y 4 z 4则221 5 353 f x 1 , x 2 , x 3, x 48 z 1 z 2z3z 4 2z 1z2 z328834 2 4 32z 222z 32，再令53w 1z 1x 2 x 344w 2z 2w 3z 3153w 4z 1z 2z 3 z 42 188则原二次型的标准形为f x 1,x 2 , x 3, x 42w 122w 222w 328w 42，且非退化线性替换为z 3 y 3 y 42z 4 y 4153x 1w 1w 2w 3 w 42144 3 4x 2w 2w 3x 3w 2 w 31x 4w 1w 422 0 0 0 0200 T AT0 0 2 0 0008先作非退化线性替换x 1 2 y 1 y 2x 2y2 ，x 3 y 3相应的替换矩阵为24 0110 01且有5）已知f x 1,x 2, x 3,x 4x 1 x 2 x 1x 3x 1 x 4 x 2 x 3x 2x 4 x 3 x 4f x 1, x 2, x 3, x 4 2y 1y 22y 2 2 y 1y 3 2y 2 y 32y 1y 4 2y 2 y 4 y 3y 42y 1 y 2 y 3 y 4y 3 12 y 443 y 42 y 122x 12f x 1, x 2, x 3,x 4x 4 y 4再作非退化线性替换z 1 y 1z 2 y 1 y 2 y 3 y 412x 12f x 1, x 2, x 3,x 4y 1 z 11 y 2z 1 z 2 z 32z4，1y 3 z 3z 42y 4 z 4则原二次型的标准形为22232f x 1,x 2, x 3,x 4z 1z 2z 34z 4，且非退化线性替换为1 x 1 z 1z 2 z 32 z 41x 2z 1 z 2 z 32z 4，1x 3 z 32 z 4x 4 z 4相应的替换矩阵为11 11 211 1 1T2 10 012 0 01且有1 0 0 00 10 0T AT10。
3 00 04（6）已知f x 1,x 2,x 3, x 42 x 122x 22x 424x 1x 2 4x 1x 3 2 x 1x 4 2x 2x 3 2x 2x 4 2x 3x 4 ，由配方法可得2x 22x 1 2x 22x 3 x 4 2x 2 2x 32x 12f x 1, x 2, x 3,x 42x 42x 32x 42x 222x 42x 2x 3 2x 2 x 4 2x 3x 4x 2 x 3 2 x 1x 32x 1x 2x 3x 1 2x 2 2x 3 x 4 22 x 23 1 1 22x 3 2 x 4 2 x 3 x 4 ，y 1 x 1 2x 2 2x 3 x 431 x 2 x 3 x 4 22 32 4，于是可令x 1y 12y 2 y 3x 2 y 2 3 2y 3y 4x 3y 3 y 4x 4y 4y 42 21 2 f y 122y 222y 32，故替换矩阵为 且有 7）已知 f 由配方法可得T ATx 1,x 2,x 3, x 4f x 1, x 2, x 3, x 42 x 22 x 1于是可令13 2 12001。
002 0 0 0x 12x 22x 32x 422x 1x 2 2x 2x 3 2x 3x 4 ，2x 2 x 1 x 3 x 12x 3x 1 x 22x 3x 3 22x 1x 3 2x 3 x 4 x 422 2 2 x 32x 3 x 4 x 4 x 3 2x 42 2 22x 1 x 3 x 32 x 12 x1222x 3 x 4 x 1 x 3 ，y 2 则原二次型的标准形为y 3y 4x 3 x 4x 4且非退化线性替换为x2 x3 2 x1x32x1 x2 x3y1 x1y2 x1 x2 x3 ，y3 x3 x4y4 x1 x3则原二次型的标准形为2 2 22f y1 y2 y2 y4且非退化线性替换为x1 y1x2 x3x4 y2y1y1y4y4y3 y4相应的替换矩阵为1 0 0 00 1 0 1T1 0 0 11 0 1 1且有1 0 0 00 1 0 0T AT 。
0 0 1 00 0 0 1（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解 1 ）已求得二次型f x1,x2,x3 4x1x2 2x1x3 2x2 x3的标准形为f y124y223y32，且非退化线性替换为1 1x1 y1 y2 y32 21 1x22y1 y2 2 y3 ，x3 y31）在实数域上，若作非退化线性替换y1 z31 y2 z2 ，2 y3 z1 可得二次型的规范形为222z1 z2 z3 。
2）在复数域上，若作非退化线性替换y1 iz1y2 1 2 z2y3 z1可得二次型的规范形为f 2z1 22 z2 z3。
2 ）已求得二次型f x1,x2 ,x3 2 x122x1x2 2x224x2x3 4x32的标准形为f 2y12 y2，且非退化线性替换为x1 y1 y2 2y3x2 y2 2y3，x3 y3故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形f y122y2 。
3 ）已求得二次型2f x1,x2 ,x3 x1 3x222x1x2 2x1x3 6x2 x3 的标准形为f y122 y2且非退化线性替换为1 3x1 y1 y2 y32 21 1x2 y2 y3 ，22 23x3y31） 在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即22 f y 1 y 2。
2） 在复数域上，若作非退化线性替换y 1 z 1 y 2 iz 2 。
y 3 z 3可得二次型的规范形为f z 12z 22。
（ 3） 已求得二次型f x 1, x 2, x 3, x 4 8x 1x 2 2x 3 x 4的标准形为f2 y 122 y 222y 328y 42，且非退化线性替换为x 115 y 1 y 224 3 y 3 y 44x 2y 2 y 3x 3y 2 y 3x 41y 1 y 4 2（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换y 1 1 2 z 4y 21 2z2 ，y 31 2 z 3y 412 2 z 1可得二次型的规范形为2222iy 12 z 1y 21 2 z 2 y 3iz 323y 41 2 2 z可得二次型的规范形为2222 z 1 z 2 z 3 z 2。
1) 在实数域上，若作非退化线性替换y 1z 2y 2 z 1y 3z 32y 43可得二次型的规范形为2 2 2 2 z 1 z 2 z3 z 4。