中考复习--方程与不等式的解法及其应用

(x 1)2 9.
x 1 3.
∴ x1 4, x2 2
…… 整理，二次项系数化为 1
…… 配方，两边同加一次项系数一半的平方
…… 化为 ( x + n )2 = p 的形式
…… 降次，转化为两个一元一次方程
通过配方，化为 ( x + n )2 = p 的形式 当 p > 0 时，原方程有两个不相等的实数根； 当 p = 0 时，原方程有两个相等的实数根； 当 p < 0 时，原方程无实根．
方式二 10
0.6
免费
每月主叫时长多少分时，选择方式一更 划算？
不等关系
不等式
问题 1． 把一些图书分给某班学生阅读，
如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如 果每人分 4 本，则还缺 25 本．这个 班有多少学生？
问题 2． 下表中有两种移动电话计费方式：
月使用费 主叫计费/ /元 （元/min）
免费
每月主叫时长多少分时，选择方式一更 划算？
问题 1． 把一些图书分给某班学生阅读，
如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如 果每人分 4 本，则还缺 25 本．这个 班有多少学生？
相等关系
方程
问题 2． 下表中有两种移动电话计费方式：
月使用费 主叫计费/ /元 （元/min）
被叫
方式一 45
0.25 免费
检验
2(2x 1) 4
4x 2 4 x1 2
检验：当 x 1 时，4x2 1 0． 2
∴ x 1 不是原方程的解． 2
∴ 原方程无解．
分式方程为什么要检验？
解分式方程的一般步骤
2 2x 1
4 4x2 1
①
去分母
分式方程
整式方程
解： 2转(2化x 1)
4
(2x 1)(2x 1) (2x 1解)(整2x式方1程)
4 4x2 1
．
解：
2 2x
1
(2x
4 1)(2x
1)
最简公分母： 6x(x 1)
最简公分母： (2x 1)(2x 1)
例
2．解方程：（1）
2x 1 x2 x
5 6x
6
．
解： 2x 1 5 x(x 1) 6(x 1)
因式分解
（2）
2 2x 1
4 4x2 1
．
解：
2 2x
1
(2x
4 1)(2x
∴ x1 4, x2 2.
解题方法小结：
整理
x(x 2) 4x 8
x2 2x 8 0
配方法 公式法
因式分解法
(x 1)2 9 x 2 4 32
2
x(x 2) 4(x 2)
(x 4)(x 2) 0
x1 4, x2 2
解题方法小结：
解一元二次方程的一般步骤
x整(一理x元二2)次x方24程x2x8 8 0
△ (2)2 4 1 (8) 36 0. …… 计算判别式，并判断符号
x 2 36 1 3. 2
∴ x1 4, x2 2.
…… 利用求根公式，转化为两个一元一次方程
例 3．解方程：x(x 2) 4x 8 ．
根的判别式 △= b2；- 4ac
解：
x2 2x 8 0
…… 整理（化为一般式）
……
通分
化为同分母分式
x=a是 分式方程的解
x=a
2(2x 1) 4 ②
…… 分子相等的整式方程
最简公分母不为 0x 1 检验 2
最简公分母为 ……
0整式方程x =②a的不解是
分式方程的解
数学思想：转化
例 3．解方程：x(x 2) 4x 8 ．
配方法
解：
x2 2x 8.
x2 2x 1 8 1.
两式相加，消元 转化为一元一次方程
…
例 1．解方程组：3xx解y二8y元3,一14次. 方①②程组的一般步骤
解：①×3，得
3x 3y 9. ③
③－②，得
解得 y
使同一未知数的系数 …… 相同（或相反）
y=b
二元一解次得方程组
5y 5.
代入
消y元 1. 把 y 1 代入转①化，得
x =…a … 两式相减（或相加），消元 转化为一元一次方程
移项
0.25x 0.6x 10 45.
合并
0.35x 35.
系数化为 1
x 100.
解决问题 答：每月主叫时长超过 100 分时，方式一更划算．
问题 1．
问题 2．
把一些图书分给某班学生阅读， 如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如 果每人分 4 本，则还缺 25 本．这个 班有多少学生？
配方法 公式法
配方法
因式分解法 降次
公式法
x(x 2) 4(x 2)
(x 4)(x 2) 因 式0 分解法
(x 1)2 9 x 2 4 32
2
整一理元一次方程
数学思想：降次 x1 2, x2 4
3(x 1) x 1, ①
例
4．解不等式组：
x
2
9
2x.
②
解：解不等式①,得 x 2．
解： 2x 1 5 x(x 1) 6(x 1)
因式分解
（2）
2 2x 1
4 4x2 1
．
解：
2 2x
1
(2x
4 1)(2x
1)
6(2x 1) 5x
去分母
12x 6 51) 0． 7
∴ x 6 是原方程的解． 7
∴ 原方程的解是 x 6 ． 7
降次 去分母
消元 转化
等式的性质
方程的解 x = a
一 元
一 元
一 次 不 等 式 组
一 次 不 等 式
不等式的性质
不等式的解集 x>a 或 x<a
解 决 问 题 化归
方程的解 (或不等式的解集)
课后练习
4(x y 1) 3(1 y) 2,
1．解方程组： x 2
y 3
2.
2．解方程：（1）
当 △ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根
____________
x
=
_-_b__±__√_b_2_-…__4…_a_c
2a
计；算判别式，并判断符号
△
x
(22)2
346当1△1(=038时) ，3原6方程…0有…两利个用相求等根的公实式数，根转化为两个一元一次方程
2
∴ x1 2, x2 4
……
代入，消元
转化为一元一次方程
代入二元一次方程 …… 求另一个未知数 …… 方程组的解
例
1．解方程组：
x y 3x 5y
3,
1.
① ②
加减消元法
法 2 解：①×3，得
3x 3y 9. ③
②－③，得
8y 8.
解得
y 1.
把 y 1 代入①，得
x 1 3.
x 2.
x 2,
∴
原方程组的解是
x<b
ba
同小取小
∴ 原不等x式<组a 的解集为 2 x 3 ． 大小小大
x>b
ba
中间找
x>a x<b
ba
大大小小 解不了
x>a x<b b<x<a
无解
相等关系
方程
实际问题
不等关系
不等式
发现问题 抽象
数学模型
分 式 方 程
一 元 二 次 方 程
二 元 一 次 方 程 组
一 元 一 次 方 程
被叫
方式一 45
0.25 免费
方式二 10
0.6
免费
每月主叫时长多少分时，选择方式一更划算？
解：设这个班有 x 名学生．
3x 20 4x 25. 3x 4x 25 20.
x 45. x 45.
答：这个班有 45 名学生．
设未知数
解：每月主叫时长为 x 分．
列方程或不等式
45 0.25x 10 0.6x.
5x x2
2 x
3 x 1
；
（2） x(2x 5) 4x 10 ．
2(x 1) 3x 7,
3．解不等式组
x
10 ≥2x, 3
并写出它的所有非负整数解．
参考答案
x 2,
练习 1．
y
3.
练习 2． （1）无解；
（2） x1
2 ，x2
5 2
．
练习 3． x ≤ 2，非负整数解为 0，1，2．
方程与不等式的解法及其应用（下）
例 1．关于 x 的方程 3x m 1 的解为负数，求 m 的取值范围． 分析： 关于 x 的方程 3x m 1 的解为负数
x ...（含 m 的代数式） x < 0，即含 m 的代数式的值小于 0
例 3．解方程：x(x 2) 4x 8 ．
公式法
利用配方法解 ax2 bx c 0 ， 当 b2 4ac≥0 时，
x b b2 4ac ． 2a
我们把这个式子叫做一元二次 方程的求根公式．
例 3．解方程：x(x 2) 4x 8 ．
公式法
解： x2 2x 8 0.
…… 整理，化为一般式
x1 = x2
=
-
_b__ 2a
；
当 △ < 0 时，原方程无实根．
例 3．解方程：x(x 2) 4x 8 ．
因式分解法
解： x(x 2) 4(x 2).
…… 因式分解
(x 4)(x 2) 0.
…… 化成 ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 的形式
∴ x 4 0 或 x 2 0. …… 降次，转化为两个一元一次方程
。
。
解不等式②,得 x 3．
∴ 原不等式组的解集为 2 x 3 ．
3(x 1) x 1, ① 例 4．解不等式组不：等 x式2 组9 解2集x. 的类型②及表示（设 a > b ）
不等式组 用数轴表示
口诀
解集
解：解不等式x①>,a得
x>b
x
3．
b
a
同大取大
解不等式②x <,a得 x 2 ．
方程
一 元 二 次 方 程
分 式 方 程
二 元 一 次 方 程 组
一 元 一 次 方 程
问题 3
运输 360 t 化肥，装载了 6 节火车车厢和 15 辆汽车； 运输 440 t 化肥，装载了 8 节火车车厢和 10 辆汽车． 每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
问题 4
6x 15y 360 8x 10 y 440
方程与不等式的解法及其应用（上）
问题 1． 把一些图书分给某班学生阅读，
如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如 果每人分 4 本，则还缺 25 本．这个 班有多少学生？
问题 2． 下表中有两种移动电话计费方式：
月使用费 主叫计费/ /元 （元/min）
被叫
方式一 45
0.25 免费
方式二 10
0.6
y
1.
…… 使同一未知数的系数相等
……
两式相减，消元 转化为一元一次方程
代入二元一次方程 …… 求另一个未知数 …… 方程组的解
例
1．解方程组：
x y 3x 5y
3,
1.
① ②
加减消元法
法 3 解：①×5，得
5x 5y 15. ③
②＋③，得
8x 16.
………… 使同一未知数的系数相反
…………
解得 x
一元一次方程
二元一次方程组的解
x 1 3. 数学思x 想 2：. 消元
代入二元一次方程 …… 求另一个未知数
x=a y=b
x 2,
∴原方程组的解是
y
1.
…… 方程组的解
例
2．解方程：（1）
2x 1 x2 x
5 6x
6
．
解： 2x 1 5 x(x 1) 6(x 1)
因式分解
（2）
2 2x 1
1)
6(2x 1) 5x
去分母
12x 6 5x
x6 7
检验：当 x 6 时，6x(x 1) 0． 7
∴ x 6 是原方程的解． 7
∴ 原方程的解是 x 6 ． 7
检验
2(2x 1) 4
4x 2 4 x1 2
检验：当 x 1 时，4x2 1 0． 2
∴ x 1 不是原方程的解． 2
解：每月主叫时长为 x 分．
不等式
45 0.25x 10 0.6x
系数化为 1
x 45等式的性质
移项 0.25x 0不.6x等式10的 4性5 质
答：这个班有 45 名学生． x=a
合并
0.35x 35
系数化为 1 x > a 或 x <x a100
答：每月主叫时长超过 100 分时，方式一更划算．
甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做 6 个， 甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等． 求甲、乙每小时各做零件多少个．
问题 5
90 60 x6 x
青山村种的水稻 2010 年平均每公顷产 7200 kg，2012 年平均 每公顷产 8450 kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．
∴ 原方程无解．
分式方程为什么要检验？
2 4
①
2x 1 4x2 1
解： 2(2x 1)
4
(2x 1)(2x 1) (2x 1)(2x 1)
……
通分
化为同分母分式
2(2x 1) 4 ② x1 2
…… 分子相等的整式方程 …… 整式方程②的解
例
2．解方程：（1）
2x 1 x2 x
5 6x
6
．
相等关系 解：设这个班有 x 名学生．
3x 20 4x抽 2象5
移项 合并
3x 4x方 程25 20
x 45
下表中有两种移动电话计费方式： 实际问题
月使用费 主叫计费/ /元 （元/min）
被叫
方式一 45
0.25 免费
方式二 不等1关0 系 0.6
免费
每月主叫时长多少分时，选择方式一更划算？ 抽象
7200(1 x)2 8450
例
1．解方程组：
x y 3x 5y
3,
1.
① ②
…… x 与 y 的关系
代入消元法
法 1 解：由①，得
x y 3. ③
把③代入②，得
3( y 3) 5y 1.
解得
y 1.
把 y 1 代入③，得
x 2.
∴
原方程组的解是
x 2,
y
1.
用含一个字母的式子 …… 表示另一个字母