立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法 Prepared on 22 November 2020教学过程一、课堂导入空间平行垂直问题1．两条直线平行与垂直；２．直线与平面平行与垂直；３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题1．两直线所成角；２．直线和平面所成角；３．二面角的概念；空间距离问题二、复习预习（１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．（3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则21||a a a a =⋅=+（4）夹角公式：21cos ||||a ba b a b a⋅⋅==⋅+（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则221221221)()()(z z y y x x -+-+-==．三、知识讲解考点1 平面法向量的求法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便．求法一：先来看一个引理：若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ，0，0)、B (0，b ，0)、C (0，0，c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A ＝ a ， y B ＝ b ， z C ＝ c（a ,b ,c 均不为0），则平面ABC 的法向量为111(,,)(0)n a b c λλ=≠．参数 的值可根据实际需要选取．证明：→ AB ＝ (－a , b , 0), → AC ＝ (－a , 0, c ), ∴ 0,0n AB n AC ⋅=⋅=,∴ 111(,,)n a b c λ=是平面ABC 的法向量．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x 轴平行（交点坐标值为），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11(0,,)n b c λ=；若平面和x ,y 轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1(0,0,)n cλ=．（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面． 求法二：求出平面方程，得到法向量．我们先求过点0P ),,(000z y x 及以n ＝{}C B A ,,为法向量的平面的方程． 设),,(z y x P 是平面上的动点，于是有⋅P P 0n ＝0， 即0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 整理得 0)(000=---+++Cz By Ax Cz By Ax令=D 000Cz By Ax ---，有0=+++D Cz By Ax 这就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程来表示．且z y x ,,的系数组成该平面的法向量．注意：(1)有了平面的方程0=+++D Cz By Ax ，就能得到平面的法向量{}C B A ,,，可用平面内不共线的三点求出平面的方程．(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷： 通过原点的平面，0=D ，方程为0=++Cz By Ax ； 平行于x 轴的平面，0=A ，方程为0=++D Cz By ； 通过x 轴的平面，0,0==D A ，方程为0=+Cz By ；既平行于x 轴又平行于y 轴的平面,也就是一个平行于xoy 坐标面的平面，方程为0=+D Cz ；类似地，可讨论其它特殊情形．(3)两平面：01111=+++D z C y B x A 与02222=+++D z C y B x A 平行的充要条件是求法三：用行列式求得法向量．若{}1111,,z y x n =，{}2222,,z y x n =是平面内两个不共线向量，计算行列式 222111z y x z y x kj i＝ck bj ai ++， 则平面的法向量为{}c b a n ,,=．考点2 用空间向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过 2 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,n n 则应分别垂直于该平面角的两边. 易知，当12,n n 同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为 . 所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可. 或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向. 两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.对第二个问题，我们需要选取一个参照物. 在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z 轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy 平面的关系，是自下而上穿过xOy 平面呢，还是自上而下穿过xOy 平面若是第一种情形，则n 与→ OZ 所夹的角是锐角，只需取法向量的z 坐标为正即可；若是第二种情形，则n 与→OZ 所夹的角是钝角，只需取法向量的z 坐标为负即可．若法向量与xOy 平面平行，则可以选取其它如yOz 平面、zOx 平面观察．y图二图一（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．考点3 空间直线与空间平面的向量形式在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的．在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的．的直线，那么点P在直线l上1．空间直线：如果l为经过已知点A且方向向量为a=，或对任一点O（通常取坐标原点），有的充要条件是存在实数t，满足等式AP ta这是空间直线的向量形式．2．空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t，使=+或对空间任一定点O（通常取坐标原点），有MP sMA tMB,这是空间平面的向量形式．四、例题精析【例题１】如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。

(Ⅰ)求证：EF ∥平面SAD ；(Ⅱ)设SD ＝2CD ，求二面角A －EF －D 的大小；【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． 平面AEFG 与x 轴、z 轴的交点分别为A (1,0,0)、G (0,0,1)，与y 轴无交点，则法向量1(1,0,1)n =，在CD 延长线上取点H ，使DH ＝AE ，则DH ∥ AE ，所以AH ∥ED ，由（1）可知AG ∥EF ，所以平面AHG ∥平面EFD ，平面AHG 与x 轴、y 轴、z 轴的交点ABCDSEF分别为A (1,0,0)、H (0,－ 12 ,0)、G (0,0,1)，则法向量2(1,2,1)n =-，设二面角A －EF －D 的大小为 ，则12123cos 3n n n n α⋅==⋅，即二面角A －EF －D 的大小为arccos 3． 【例题２】 已知四棱锥PABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点. （1）求二面角CAMB 的大小； （2）求二面角AMCB 的大小.【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角CAMB 而言，→AD 是平面AMB 的法向量（向内），易知平面ACM 符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy 平面，所以与→AZ 所夹的角是锐角. 对二面角AMCB 而言，平面ACM 选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM 就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy 平面，与z 轴正向所夹的角是钝角.（1）如图，以AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则平面AMB 的法向量为1n ＝(1,0,0), 设平面ACM 的法向量为2n ＝(x ,y ,z ).由已知C （1, 1, 0), P (0, 0, 1), B (0, 2, 0)，则M (0, 1, 12 ), ∴→ AC ＝(1, 1, 0), →AM ＝(0, 1, 12).y由220,0,10.0.2x y n AC y z n AM +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 取y ＝ 1，则x ＝1, z ＝2， ∴ 2n ＝(1, 1, 2). （满足2n ·→AZ >0）. 设二面角CAMB 的大小为 ，则cos ＝12126n n n n ⋅=⋅, ∴ 所求二面角的大小为arccos6（2）选取（1）中平面ACM 的法向量2n ＝(1, 1, 2)，设平面BCM 的法向量为3n ＝ (x ,y ,z ).→ BC ＝ (1, 1, 0), →BM ＝ (0, 1, 12 ),由330,0,10.0.2x y n BC y z n BM -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 取z ＝－2，则y ＝－1, x ＝－1，3n ＝ (－1, －1, －2)，则2n ，3n 所夹的角大小即为二面角A －MC －B 的大小，设为 ， cos ＝23233n n n n ⋅=-⋅， ∴所求二面角的大小为 － arccos 63 .【例题３】 如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是BB 1的中点．（1）求二面角E －AC 1－B 的大小； （2）求二面角C 1－AE －B 的大小．【解析】在第（1）题中，只需在AC 1上找到两点G 、H ，使得→ GB 、→ HE 均与→AC 1 垂直，则→ GB 、→ HE 的夹角即为所求二面角的大小．如何确定G 、H 的位置呢可设1GA AC λ=，1GB GA AB AC AB λ=+=+，这样向量→GB 就用参数表示出来了，再由→ GB · → AC 1 ＝0求出 的值，则向量→ GB 即可确定，同理可定出H 点．第（2）题方法类似．以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0), A (0,1,0), C (1,0,0), B 1(0,0,2), C 1(1,0,2), E (0,0,1)．→ AC 1 ＝ (1, －1, 2), → AB ＝ (0, －1, 0).（1）设1(,,2)GA AC λλλλ==-，则 由→ GB · → AC 1 ＝0 ＋( ＋1)＋4 ＝0，解得：16λ=-，∴→ GB ＝ (151,,663---).同理可得：→ HE ＝ (11,,022--)，→ HE ·→ AC 1 ＝ 0．→ GB 、→ HE 的夹角等于二面角E －AC 1－B 的平面角． cos <→ GB ,→ HE > ＝621515530262GB HE GB HE GB HEGB HE⋅⋅+===⋅⋅⋅, ∴ 二面角E －AC 1－B 的大小为arccos155. （2）→ AE ＝ (0, －1, 1), 在AE 上取点M 、N ，设(0,,)MA AE γγγ==-，则(0,1,)MB MA AB γγ=+=--,由→ MB ·→ AE ＝ 0得： ＋1＋ ＝ 0，解得： ＝12-，∴ → MB ＝ 11(0,,)22--.xyzGHxyzMN图七图六同理可求得：→NC1＝ ( 1, 12,12),→NC1 ·→AE＝ 0.∴→MB、→NC1的夹角等于二面角C1－AE－B的平面角．cos<→MB ,→NC1 > ＝111141MB NCMB NC--⋅==⋅,∴二面角C1－AE－B的大小为arccos(五、课堂运用【基础】１. 在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D - ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1【解析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则AD 1＝BD 1＝2，AB ＝2，∴S 1＝12×2×2＝2，S 2＝SOCD 2＝12×2×2＝2，S 3＝SOAD 3＝12×2×2＝2． ∴选D ． 【答案】D２.求过点)1,0,2(1M ,)0,1,1(2M ,)1,1,0(3M 的平面的法向量．【解析】方法一：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量{}1,1,121--=M M ，{}0,1,231-=M M ，设平面的法向量为{}z y x n ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03121M M M M ，得⎩⎨⎧=+-=-+-020y x z y x ，令1=x ，得平面的一个法向量 {}121,,=n ．方法二：设过点)1,0,2(1M ,)0,1,1(2M ,)1,1,0(3M 的平面的方程为0=+++D Cz By Ax ，代入点的坐标，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0002D C B D B A D C A ，解之⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=3323DC D B D A ，即03323=+---D z Dy D x D ， 所以平面的方程为032=-++z y x ，所以平面的一个法向量 {}121,,=n ． 方法三：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量{}1,1,121--=M M ，{}0,1,231-=M M ，因为这两个向量不平行，计算k j i kji++=---2012111．故所求平面的一个法向量 {}121,,=n ．３．已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点， （1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线； （2）求异面直线1CC 和1BD 的距离．【解析】（1）解法一：延长EO 交1A A 于F ，则F 为1A A 的中点，∴//EF AC ，∵1CC AC ⊥，∴1C C EF ⊥，连结1,D E BE ，则1D E BE =，又O 是1BD 的中点，∴1OE BD ⊥，∴OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线． 解法二：以D 为原点，分别以1DD DC DA ,,为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，于是有),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(2022200000011aa E a a a O a a B a a C a C a D ，),,(a a a BD --=1，),,(a CC 001=，),,(022aa -=，01=⋅BD ，01=⋅CC ，所以OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线．（2）由（1）知，OE 为异面直线1CC 和1BD 的距离．所以224422aa a OE =+==． 【巩固】１．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，求1B C 与BD 间的距离． 【解析】解法一：（转化为1B C 到过BD 且与1B C 平行的平面的距离）连结1A D，则1A D 1B C 1B C 1A DB 1AC 1AC BD ⊥1AC AD ⊥1AC ⊥1A DB 1AC ⊥1A DB 1A O C 1CE AO ⊥E CE 1B C 1A DB 1B C BD 1A OC∆111122OC A A CE AO ⋅=⋅CE =1B C BD a 33D 1,,DA DC DD x y z (,0,0),(,,0),(0,,0)A a B a a C a 11(,,),(,0,),(0,0,0)B a a a A a a D C 1A DB CE(,,)E x y z E1A DB 111A E A D A Bλμ=+(,,)(,0,)(0,,)x a y z a a a a a λμ--=--+x a a y az a a a λμμλ=-⎧⎪=⎨⎪=--⎩1,CE A D CE BD⊥⊥(,2,)(,0,)0(,2,)(,,0)0x y z a a x y z a a ---=⎧⎨---=⎩23λμ==111(,,)333CE a a a =--3CE a =1B C BD 1B C BD 1OO 11,O B C O BD ∈∈(,,)O x y z DO BDλ=(,,)(,,0)x y z a a λ=--0x ay a z λλ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩(,,0)O a a λλ--1(,,)O a a a μμ1((),,)OO a a a a μλλμ=++111,OO BD OO B C ⊥⊥1110,0OO BD OO B C ⋅=⋅=21,33λμ=-=1OO =111(,,)333a a a -13||3OO =1C (1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 - AB - C 的大小．【解析】方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D 平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ．连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C ．由三垂线定理得AC 1⊥A 1B ． (2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC 平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝3． 作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F ．由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 - AB - C 的平面角． 由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14．所以二面角A 1 - AB - C 的大小为arccos 14．方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )． 由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B ．(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0．令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c ．又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3， 代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1，于是AA 1→＝(－1，0，3)． 设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0. 令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14．所以二面角A 1 - AB - C 的大小为arccos 14． 【拔高】１． 如图，已知ABCD 为边长是4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝２，求点B 到平面EFG 的距离．【解析】分别以→ CD 、→ CB 、→CG 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则E (2,4,0), F (4,2,0), G (0,0,2),B (0,4,0).∴ → EF ＝ (2,－2,0), →EG ＝ (－2,－4,2),设P 是平面EFG 上的动点，则存在实数s ,t ，使得 → CP ＝ → CE ＋ s → EF ＋ t →EG ＝ (2,4,0) ＋ s (2,－2,0) ＋ t (－2,－4,2) ＝ (2s －2t ＋2, 4－2s －4t , 2t ), ∴ P (2s －2t ＋2, 4－2s －4t , 2t ), ∴ → BP ＝ (2s －2t ＋2, －2s －4t , 2t ).当且仅当BP ⊥EF 且BP ⊥EG 时，BP ⊥平面EFG ，BP 即为所求的点B 到平面EFG 的距离．由 ⎩⎪⎨⎪⎧ → BP ·→ EF = 0 → BP ·→ EG = 0 ⎩⎨⎧ 2(2s -2t +2) –2(-2s -4t )=0 -2(2s -2t +2) –4(-2s -4t ) + 4t =0 ，解得：⎩⎨⎧ s = - 711 t = 311． ∴ →BP ＝ ( 211 , 211 , 611 ),∴ 点B 到平面EFG 的距离即为 |→ BP | ＝ 21111 .解法二：因为平面EFG 的竖截距为2，可设平面EFG 的方程为12=++zBy Ax ，将E (2,4,0), F (4,2,0)的坐标分别代入，得 ⎩⎨⎧=+=+124142B A B A ，解之⎪⎩⎪⎨⎧==6161B A ， 所以平面EFG 的方程为 1266=++z y x 即063=-++z y x点B (0,4,0) 到平面EFG 的距离为9116040++--+＝11112． ２．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。