导数(含绝对值) - 含答案
高二数学函数与导数试题答案及解析
高二数学函数与导数试题答案及解析1. f（x）=x5+ax3+bx-8且f（-2）=0，则f（2）等于（）A．-16B．-18C．-10D．10【答案】Ａ【解析】略2.；若．．【答案】４【解析】略3.函数，的最大值是（）A．B．-1C．0D．1【答案】D【解析】,所以当时；当时,所以函数在上单调递增,在上单调递减．所以．故D正确．【考点】用导数求最值．4.已知曲线f（x）＝ln x在点（x0，f（x））处的切线经过点（0，－1），则x的值为（）A．B．1C．e D．10【答案】B【解析】【考点】函数导数的几何意义5.函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域为即函数的定义域为【考点】函数的定义域6.（本小题满分14分）北京市周边某工厂生产甲、乙两种产品．一天中，生产一吨甲产品、一吨乙产品所需要的煤、水以及产值如表所示：在会议期间，为了减少空气污染和废水排放．北京市对该厂每天用煤和用水有所限制，每天用煤最多吨，用水最多吨．问该厂如何安排生产，才能是日产值最大？最大的产值是多少？【答案】该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元．【解析】设每天生产甲种产品x吨,乙种产品y吨,建立目标函数和约束条件,利用线性规划，即可求出结果．试题解析：解：设每天生产甲种产品吨，乙种产品吨． 1分依题意可得线性约束条件4分目标函数为, 5分作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示8分将变形为当直线在纵轴上的截距达到最大值时， 9分即直线经过点M时，也达到最大值． 10分由得点的坐标为 12分所以当时， 13分因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是134万元． 14分【考点】简单的线性规划．7.（本题满分12分）已知函数（为实数）．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；（Ⅲ）已知，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）详见解析．【解析】（1）先求导，利用导数的几何意义，再求进行求解；（2）求导，求极值点，根据函数在区间上不存在极值，得到的取值范围，根据条件存在满足，所以，所以求函数的最大值，因为含参，所以讨论对称轴于定义域的关系，求二次函数的最值，得到关于的不等式，再进行求解；（3）先判定函数的单调性，并求其最大值，得到，再进行换元，令，则，即，再代入裂项向消法求和，证明不等式．试题解析：（Ⅰ）当时，，，则，函数的图象在点的切线方程为：，即（Ⅱ），由由于函数在区间上不存在极值，所以或由于存在满足，所以对于函数，对称轴①当或，即或时，，由，结合或可得：或②当，即时，，由，结合可知：不存在；③当，即时，；由，结合可知：综上可知：或（Ⅲ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得最大值即，∴，令，则，即，∴．故．【考点】1．导数的几何意义；2．函数的单调性；3．函数的极值；4．放缩法．8.设，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数的性质，可知，根据指数函数的单调性，可知，根据幂函数的单调性，可知，从而有，故C是正确的．【考点】利用指数函数的性质、幂函数的性质比较大小．9.（本小题满分10分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）过点作曲线的切线,求此切线方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】第一问根据题中所给的条件，函数在处取得极值，得到函数在处的导数为零，从而得出实数的值，再带入验证，满足条件，第二问根据第一问的结果，从而确定出函数的解析式，根据过某点的曲线的切线方程的求解方法，首先设出切点的坐标，应用导数的几何意义，确定出切线的斜率，从而应用点斜式方程，写出切线方程，将带入切线方程，从而解得切点的横坐标的值，带入求得切线方程．试题解析：（Ⅰ） 1分，即解得， 4分此时在两边（附近）符号相反，所以处函数取得极值，同理，在处函数取得极值． 5分（Ⅱ）设切点坐标为．则切线方程为 7分化简，得，即， 9分所求的切线方程为：．10分【考点】函数的极值，导数的应用，切线的方程．10.设函数，．（1）判断函数在上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式成立．【答案】（1）上是增函数；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查了函数单调性的判断方法、导数在最大值、最小值问题中的应用、利用导数判断函数的单调性常用的方法，考查了学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用导数的办法，通过导数大于或小于0判断函数的单调性；第二问，先将化为，从而原不等式化为，即，令，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在正数，使原不等式成立．试题解析：（1），令，则，当时，，∴是上的增函数，∴，故，即函数是上的增函数．（2），当时，令，则故，∴，原不等式化为，即，令，则，由得：，解得，当时，；当时，．故当时，取最小值，令，则．故，即．因此，存在正数，使原不等式成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．11.（本题满分14分）已知函数有最小值．（1）求实数的取值范围；（2）设为定义在上的奇函数，且时，，求的解析式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分类讨论将表达式中的绝对值号去掉成为有两个一次函数的分段函数，从而问题可转化于在每个分段上存在最小值，即可求解；（2）利用奇函数的性质可知，当时，，再由结合已知条件即可求解．试题解析：（1），要使函数有最小值，需，即时，有最小值；（2）∵是上的奇函数，∴，设，则，∴，即．【考点】1．分段函数；2．奇函数的性质；3．分类讨论的数学思想．12.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】数形结合法如上图．直线:是过定点P（-2，4）的动直线，曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆．当直线在PA位置时，即与圆相切时，由圆心到直线距离等于半径得，;当在PB位置时，．由图像知，当直线在PA与PB之间时，有两个交点，所以．故选B．【考点】直线与圆的相交问题．【方法点睛】直线与圆的位置关系常有两种方法研究：一、利用圆心到直线的距离与半径的关系判断交点个数，或由交点个数求参数范围；二、将直线代入圆的方程，利用判别式研究交点个数，或由交点个数求参数范围．但当直线与半圆或四分之一圆等相交问题，常借助图像属性结合去研究交点问题．例如本题，因研究的圆是半圆，所以数形结合方法比较好．13.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C．【考点】1．函数与方程；2．数形结合思想；3．新定义函数问题．【方法点睛】本题主要考查学生接受新知识的能力以及数学中的数学结合思想、函数与方程思想等思想方法，属难题．解决此类问题的关键是将函数的零点问题通过等价转化，将问题转化为两个函数交点的个数问题，再正确画出两个函数的图象，由数形结合进行求解．14.函数的极小值为．【答案】【解析】, 令得;令得.所以函数在上单调递减;在上单调递增.所以在处函数取的极小值为.【考点】用导数求极值.15.若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④．【答案】①③【解析】令,,,恒成立.在上单调递增. ,,,即恒成立;,即.恒成立.故正确的有①③.【考点】用导数研究函数的性质.16.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，故选B．【考点】1、对数式的运算；2、对数式的比较大小．【方法点睛】纵观历年数学高考试题，几乎每套题都有指数式和对数式大小比较的客观题目，结合近年来的数学高考试题，总结归纳指数式和对数式比较大小的六种解题方法．（1）单调函数法同底的指数式和对数式比较大小，就是利用指数函数和对数函数的单调性来比较；（2）中间桥梁法底不同的指数式和对数式比较大小，如果不能直接利用指数函数和对数函数的单调性来比较，可利用特殊数值（如0 或1）作为中间桥梁，进而可比较出大小；（3）特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题，可在这个区间上取满足条件的特殊值，代入后通过计算简化或避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解；（4）估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段，准确、迅速地选出答案；（5）数形结合法画出指数函数和对数函数的图象，利用直观的图象往往能得到更简捷的解法．特征构造法对于含有几何背景的指数式和对数式的大小问题，可根据题目特点，构造函数或利用其他几何特征进行解题．17.已知函数，那么f （1）等于10C．1D．0A．2B．log3【答案】A【解析】【考点】函数求值18.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数k的取值范围是______________．【答案】或【解析】曲线，即（x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），当直线y=x+k经过点A时，1=0+k，求得k=1；当直线y=x+k经过点B、点C时，0=1+k，求得k=-1；当直线y=x+k和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），故要求的实数k的范围为（-1，1]∪{-2}，【考点】直线与圆的位置关系19.已知函数其中为参数．（1）记函数，讨论函数的单调性；（2）若曲线与轴正半轴有交点且交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有．【答案】（1）当时，函数在定义域上单调递增．当时，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】第（1）小题设计为分类讨论函数的单调性．首先化简g(x)，然后对g(x)求导化简得，注意到，所以就找到的临界点，然后对和进行分类讨论求解；第（2）小题设计为证明题，实质转化为求函数的最值．先求，然后构造函数，通过求导求函数H（x）的极值，从而得函数H（x）的最小值，命题得证．试题解析：（1）证明：函数的定义域是．，，当时，则，所以，所以函数在定义域上单调递增．当时，令，则可知函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．（2）令则或若曲线与轴正半轴有交点，则且交点坐标为又则所以曲线在点处的切线方程为，即令函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，有最小值，所以，则【考点】导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的极值，函数的最值．【方法点睛】本题以三次为背景，第(1)小题设计为分类讨论函数的单调性，其中讨论的标准就是导函数的正负性，需要一定的运算能力．第（2）小题设计为证明题，其实就是函数的恒成立问题，可以转化为函数的最值问题，求函数的最值，需转化为求函数的极值，需转化为求函数的单调性，解题思路清晰，需要有一定的运算能力．20.已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值-2．（1）试求动点的轨迹方程；（2）设直线与曲线交于两点，求．【答案】（1）（）；（2）．【解析】（1）设，表示两直线的斜率，利用斜率乘积为，建立方程化简即可得到点的轨迹方程；（2）将直线代入曲线，整理得，可求出方程的根，进而利用弦长公式可求．试题解析：（1）设点，则依题意有整理得由于，求得的曲线的方程为（）；（2）由消去得：，设，则【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线的弦长的计算，属于中档试题，本题解答中，第1问中，以斜率为载体，考查了曲线方程的求解，关键在于利用斜率公式，根据题设条件建立关于的关系式，化简整理得曲线的轨迹方程；第2问题中，熟记弦长公式，利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长，准确、仔细计算是解答的关键．21.若函数在处取得极值．（1）求的值；（2）求函数的单调区间及极值．【答案】（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为．【解析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．试题解析：（1），由，得．（2），．由，得或．当时；②当时或．当变化时，的变化情况如下表：-+-因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．函数的极小值为，极大值为．【考点】利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性22.（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【答案】（Ⅰ）f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．23.某校内有一块以为圆心，（为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售，已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设（单位：弧度），用表示弓形的面积；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值.（参考公式：扇形面积公式，表示扇形的弧长）【答案】(1) ；（2），.【解析】（1）由，利用扇形及三角形面积公式即得；（2）先由题意将利润表示成关于的函数关系式，再利用导数判断函数单调性求得最大值即可.试题解析：（1）因为，，所以.（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为元，种植学校观赏植物成本为元，，，，∴，设，，，，，在上为减函数；，，在上为增函数；当时，取到最小值，此时总利润最大：.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值.【考点】1、数学建模能力；2、利用导数研究函数的单调性及最值.24.设点是函数图象上的任意一点，点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数变形为表示圆的下半部分，点在直线上，圆心到直线的距离，圆的半径为2，则的最小值为【考点】1．直线和圆的位置关系；2．数形结合法25.已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）．（1）求导数f′（x）；（2）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．【答案】（1）3x2﹣2ax﹣4．（2）最大值为，最小值为．（3）[﹣2，2]．【解析】（1）按导数的求导法则求解（2）由f′（﹣1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f′（2）≥0，f′（﹣2）≥0联立可得a的范围（法二）求出f′（x），再求单调区增间（﹣∞，x1）和[x2，+∞），依题意有（﹣∞，﹣2）⊆（﹣∞，x1）[2，+∞]⊆[x2，+∞）解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．（2）由f'（﹣1）=0得，此时有．由f'（x）=0得或x=﹣1，又，所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．（3）解法一：f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，∴﹣2≤a≤2．所以a的取值范围为[﹣2，2]．解法二：令f'（x）=0即3x2﹣2ax﹣4=0，由求根公式得：所以f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．在（﹣∞，x1]和[x2，+∞）上非负．由题意可知，当x≤﹣2或x≥2时，f'（x）≥0，从而x1≥﹣2，x2≤2，即解不等式组得﹣2≤a≤2．∴a的取值范围是[﹣2，2]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．26.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】（1）第一步，先求函数的导数，第二步，再求，根据导数的几何意义，，最后代入直线方程，就是所求的切线方程；（2）设切点，首先求在切点处的切线方程，即求和，然后因为切线过点，所以将原点代入切线方程，转化为关于的方程，求出切点，最后再整理切线方程. 试题解析：（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为．【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。
高三数学导数试题答案及解析
高三数学导数试题答案及解析1.已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为() A．1B．C．2D．3【答案】C【解析】如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则a＝，即a2＝2(12－h2)，所以V＝×a2×h＝h(12－h2)＝－(h3－12h)，令f(h)＝h3－12h，则f′(h)＝3h2－12(h＞0)，令f′(h)＝0，则h＝2，此时f(h)有最小值，V有最大值．2.已知函数在处的切线的斜率为.（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：．【答案】（1），不存在；（2）参考解析【解析】（1）由函数在处的切线的斜率为，通过求导以及将x=1代入导函数即可得到的值.根据的对函数求导，由定义域的范围即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性.（2）需证明，由题意可得令=1.即可构造.只需令.即可得到.所以只需证明在单调递减即可.由题意可得结论成立.（1）由已知可得函数的定义域为（2分）在是单调递增的最大值不存在（6分）（2）由（1）令，则,,当且仅当时等号成立令则【考点】1.函数的导数.2.函数的最值问题.3.构建新的函数的创新思维.3.等差数列中的是函数的极值点，则A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】，令，解得，，∴，，选A．【考点】导数，等差数列的性质．4.已知集合，以下命题正确的序号是．①如果函数，其中，那么的最大值为。
②数列满足首项,，当且最大时，数列有2048个。
③数列满足，，，如果数列中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列一共有33个。
④已知直线，其中，而且，则一共可以得到不同的直线196条。
【答案】②③④【解析】①令，，则，所以，故不正确．②由条件知数列是首项为，公差为2的等差数列，则，则当时，，所以各有两种可能取值，因此满足条件的数列有个，故正确．③根据条件可知满足条件的数列可分为四类：（1），且，有9种；（2），且，有5种；（3），且，有10种；（4），且，有9种，共有9＋5＋10＋9＝33种．④满足的选法有，其中比值相同重复有14种，因此满足条件的直线共有210－14＝196．【考点】1、导数的计数；2、等差数列；3、计数原理．5.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，当时，，所以可知函数在上单调递增，又，，所以可知函数在区间上有且只有一个零点，所以的零点满足；由，当时，，所以可知函数在上单调递减，又，=，因为当时，，所以，可知函数在区间上有且只有一个零点，所以的零点满足；因此函数零点满足的区间至少为，由此可知.【考点】导数公式、函数的零点6.设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 ( )A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】B【解析】试题分析:令，则，设，令，则，要使的图像与图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B.【考点】函数与导数、函数图象.7.设函数.（1）若，对一切恒成立，求的最大值；（2）设，且、是曲线上任意两点，若对任意，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围.【答案】（1）的最大值为；（2）实数的取值范围是.【解析】（1）当时，将不等式对一切恒成立等价转化为来处理，利用导数求处函数的最小值，进而建立有关参数的不等式进行求解，以便确定的最大值；（2）先根据题意得到，假设，得到，进而得到，并构造新函数，利用函数在上为单调递增函数并结合基本不等式法求出的取值范围.试题解析：（1）当时，不等式对一切恒成立，则有，，令，解得，列表如下：减极小值增故函数在处取得极小值，亦即最小值，即则有，解得，即的最大值是；（2）由题意知，不妨设，则有，即，令，则，这说明函数在上单调递增，且，所以在上恒成立，则有在在上恒成立，当时，，则有，即实数的取值范围是.【考点】1.不等式恒成立；2.基本不等式8.已知函数，.(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）【答案】(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范围是.【解析】(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.试题解析：(1) 若，则.当时，，，所以函数在上单调递增；当时，，.所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，，而，所以在区间上有最大值.(2)函数的定义域为．由，得．（*）（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；（ⅱ）当时，①当时，由得，即，现令，则，因为，所以，故在上单调递增，从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.综上可得，满足条件的的取值范围是.【考点】绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.9.定义在上的函数同时满足以下条件：①函数在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③函数在处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若存在使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三个条件可得三个等式，从而可求出三个未知数.（Ⅱ）一般地若存在使得，则;若存在使得，则.在本题中，由可得: .则大于的最小值.试题解析：（Ⅰ）,由题设可得:所以（Ⅱ）由得: 即:令由题意得:所以在单调递增,在上单调递减又,所以的最小值为【考点】函数的性质,导数的求法及应用.10.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为 ,所以即 ,所以 .,所以即, 设: ,,所以在上是单调函数,又,所以 ,所以即设 ,则,或, 或, ,所以在区间上 ;在区间上,;因此在区间上函数没有零点.在区间上是增函数且,所以 .综上 .【考点】导数的运算及应用,函数零点的范围判断.11.已函数是定义在上的奇函数,在上.（1）求函数的解析式;并判断在上的单调性(不要求证明);（2）解不等式．【答案】（1） ;（2）.【解析】{设，则}是求函数解析式问题的重要方法,即求那个区间的解析式设自变量在那个区间,然后运用奇函数的性质进行转化;注意运用{在相同定义域内,增增增; 减减减}判断函数的单调性.（2）利用函数的单调性解不等式,同时注意函数的定义域.试题解析：（1）设，则又是奇函数，所以，= 3分4分是[-1，1]上增函数 .6分（2）是[-1，1]上增函数，由已知得: .7分等价于 ...10分不等式的解集为 12分【考点】求函数解析式,函数的单调性,函数的奇偶性,解不等式.12.设函数 (R)，且该函数曲线在处的切线与轴平行.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）先求出原函数的导函数，令导函数大于零得单调增区间，令导函数小于零得单调减区间；（Ⅱ）当时，，在上单调递增，求出在上的最大值为和最小值，用最大值减去最小值可得结论.试题解析：（Ⅰ），由条件知，故则 3分于是.故当时，；当时，。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
导数含绝对值含答案
1．（本小题满分16分）已知函数|,|)(bx e x f x -=其中e 为自然对数的底.（1）当1=b 时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围.20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数2()||f x x x a =-。
（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间。
20. (本题满分16分)已知函数()||f x x m =-和函数2()||7g x x x m m m =-+-.(1) 若方程()||f x m =在[4,)+∞上有两个不同的解,求实数m 的取值范围;(2) 若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立,求实数m 的取值范围.21. 已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值;（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x --=--=>， 所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分（2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时，则2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x --=--=，令'()0f x =，得00x =>（负根舍去）， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分 （ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x --=--=,令'()0f x =，得1x =x a =<舍），a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ………………………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x -+-=-+-=, 令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->，即a >则由'()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是 (,)a +∞；当a >, ()f x 单调递减区间是)和)a ，()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞．由()0f x >，得ln x x a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0x x<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0x x=，所以1a ≠； ………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln x a x x>+恒成立． 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >．因为ln x a x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()x g x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=． 再令2()1ln e x x x =+-，则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分22. 已知函数f(x)=|x-a|-Inx(a>0)(1)若a=1,求f(x)的单调区间（2）若a ＞0，求f(x)的单调区间 解：已知函数f(x)=|x-a|-Inx(a>0)(1)若a=1,求f(x)的单调区间f(x)=|x-a|-lnx ，a=1则，f(x)=|x-1|-lnx ，定义域为x ＞0所以：①x≥1时，f(x)=x-1-lnx则，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x ＞0所以，f(x)单调递增；②当0＜x ＜1时，f(x)=1-x-lnx则，f'(x)=-1-(1/x)=-[1+(1/x)]＜0所以，f(x)单调递减.（2）若a ＞0，求f(x)的单调区间①当x≥a 时，f(x)=(x-a)-lnx则，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x此时：若x≥1，则f(x)单调递增；若0＜x ＜1，则f(x)单调递减；②当0＜x ＜a 时，f(x)=(a-x)-lnx则，f'(x)=-1-(1/x)＜0所以，f(x)单调递减。
绝对值的导数(附矢量模的导数)
绝对值的导数（附矢量模的导数）绝对值的导数我们在学习导数的时候，会学习很多基本函数的导数，但是通常没有绝对值的导数。
老师基本会说绝对值的求导需要分段求解，其实没必要。
下面将推导出绝对值的导数。
推导：设函数为 f=f(x) ，则其绝对值为 |f| ，以下的求导都是对x 求导，有：\begin{align} &|f|=|f|\\ \Rightarrow&|f|^2=f^2\\\Rightarrow&(|f|^2)^{'}=(f^2)^{'}\\\Rightarrow&2|f||f|^{'}=2f\cdot f^{'}\\\Rightarrow&|f|^{'}=\frac{f}{|f|}\cdot f^{'}\end{align}即：|f|^{'}=\frac{f}{|f|}\cdot f^{'}\tag{1}(1) 式就是绝对值的导数。
可以看到对绝对值求导不用分段求导，因为 \frac{f}{|f|} 将两个分段求导得到的导数统一起来了；同时也能看到f(x) 值为 0 时有没有导数需要通过洛必达法则判断，这与我们分段求导的结果一致。
矢量模的导数不仅如此，如果 f 换成矢量 \vec{f} ，绝对值换成矢量求模，则可以用类似的方法求得：\begin{align} &|\vec{f}|=|\vec{f}|\\\Rightarrow&|\vec{f}|^2=\vec{f}^2\\\Rightarrow&2|\vec{f}||\vec{f}|^{'}=2\vec{f}\cdot\vec{f}^{'}\\\Rightarrow&|\vec{f}|^{'}=\frac{\vec{f}}{|\vec{f}|}\cd ot \vec{f}^{'} \end{align}即：|\vec{f}|^{'}=\frac{\vec{f}}{|\vec{f}|}\cdot\vec{f}^{' }\tag{2}(2) 式表示的意思是：矢量模的导数等于矢量的导数在矢量方向上的投影。
专题21 导数及其应用(解答题)-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国甲卷)(原卷版)
专题21 导数及其应用（解答题）1．已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞． 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围．【解析】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅==='， 令()'0f x =得2ln 2x =，当20ln 2x <<时，()0f x '>，当2ln 2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=，设函数()ln x g x x =， 则()21ln xg x x -'=，令()0g x '=，得x e =， 在()0,e 内()0g x '>，()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<，()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==， 又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点， 即曲线()y g x =与直线ln a y a =有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<，这即是()()0g a g e <<， 所以a 的取值范围是()()1,,e e +∞．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解．1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2() sin sin2f x x x =．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明：33()8f x ≤； （3）设*n ∈N ，证明：2222sin sin 2sin 4sin 234nn nx x xx ≤．3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求B ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.1．从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x )；（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 4．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 5．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定． 6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．7．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．1．已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈．（1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；（2）已知函数()f x 的图象经过点()1,3，且[2,2]x ∈-，求()f x 的最大值．2．已知函数()()ln 1xf x e ax =+-．（1）若函数()y f x =在点()()0,0f 处切线的斜率为0，求a 的值； （2）在第（1）问的前提下，讨论函数()y f x =的单调性及最值．3．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-． （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数()()g x f x ax =-在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．4．已知函数()ln f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个相异零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>．5．已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ．（1）当1a =时，求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点，求a 的取值范围． 6．定义在()0,∞+上的关于x 的函数2()(1)2x ax f x x e =--． （1）若a e =，讨论()f x 的单调性；（2）()3f x ≤在(]0,2上恒成立，求a 的取值范围．7．已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点，求b 的取值范围． 8．设函数()()22ln f x x a x a x =---（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求正整数a 的最小值． 9．已知函数()ln ()f x ax x a a R =--∈． （1）求函数()f x 的极值；（2）当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦|时，函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．10．已知函数2()cos f x x a x =+，且曲线()y f x =在6x π=处的切线方程为6y x b π=-+．（1）求实数a ，b 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，都有2()0f x m -恒成立，求m 的取值范围．11．已知函数()xe f x x=，()ln g x x =．（1）当0a >时，讨论函数1()()()=--F x af x g x x的单调性；（2）当1a >时，求证：()()(1)1->-+axf x g ax e x ． 12．已知函数2()e x f x mx =-．（1）若x 轴是曲线()y f x =的一条切线，求m 的值； （2）若当0x ≥时，()2sin 1f x x x ≥-+，求m 的取值范围．13．已知函数()2xf x xe ax a =-+()a R ∈．（1）当0a =时，求()f x 在[]22-,上的最值； （2）设()22x g x e ax =-，若()()()h x f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围．14．已知函数()2ln f x ax x x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性：（2）若()f x 在定义城上有两个极值点12x x ，，求证：()()1232ln 2f x f x +>-．15．已知函数()31ln 2f x x x x a =-+，()13212x a g x xe x x --=+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，求a 的取值范围；（2）当1≥x 时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知函数()()23312x f x x e ax =--，其中实数()0,a ∈+∞．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a >时，证明：关于x 的方程()233322f x ax x +=-有唯一实数解． 17．已知函数()ln f x a x x a =-+，()lng x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若1a =，任意[1,e]x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[1,]b e ∈时，求b c +的取值范围．18．已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 唯一极值点，求证：12034x x x +>．19．已知函数()ln f x a x x =-．（1）若0a ≥，讨论函数()f x 的零点个数；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122eln 0x x a +->．20．已知函数()2ln f x x ax a x =+-．（1）若函数()f x 在[2,5]上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当2a =时，若方程()22f x x m =+有两个不等实数根12,x x ，求实数m 的取值范围，并证明121x x <．21．已知函数()ln (0)f x a x x a =+≠，2()e ()x g x bx b =+∈R ． （1）记2()()h x f x x =+，试讨论函数()h x 的单调性；（2）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线都过点（0，1）．求证：当0x >时，()1()e 1g x f x x-+≥-． 22．已知函数()ln 1f x a x x =++（其中0a ≠， 2.71828e =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意的21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭均满足()f x x≤，试确定a 的取值范围．。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.设函数在处取极值，则= ．【答案】2.【解析】因为，又函数在处取极值，所以，从而．【考点】１．函数导数的求法；２．三角恒等变形公式．3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以.试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.5.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是()【答案】D【解析】若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则易得a＝c.∵选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，其中a≠0，则[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝a(x＋1)·(x＋3)e x，∴x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－>0，且开口向下，∴a<0，b>0，∴f(－1)＝2a－b<0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－<－1，且开口向上，∴a>0，b>2a，∴f(－1)＝2a－b<0，与图像矛盾，故选D.6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．7.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．8.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：2+↘12分所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.9.设.（1）若时，单调递增，求的取值范围；（2）讨论方程的实数根的个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)求出函数导数，当时，单调递增，说明当时，，即在恒成立，又函数在上递减，所以；（2）将方程化为，令，利用导数求出的单调区间，讨论的取值当时，，当时，，所以当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根.试题解析：（1）∵∴∵当时，单调递增∴当时，∴,，函数在上递减∴（2）∴令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减∵当时当时∴①当时，方程无解②当时，方程有一个根③当时，方程有两个根【考点】利用导数求函数最值、利用导数研究函数取值、函数和方程思想.10.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值11.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析12.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，.所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，则，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，，即实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数在上的最小值为_____________________.【答案】-6【解析】；令得：列表如下：-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2所以由上表可知：函数的最小值为-6．【考点】函数的最值及导数的应用.2.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与x轴有三个不同交点（0，0），（x1，0），（x2，0），且f（x）在x=1，x=2时取得极值，则x1•x2的值为．【答案】6.【解析】因为的图像过，所以，即；因为f（x）在x=1，x=2时取得极值，所以的两根为1，2，则，即；则，所以.【考点】三次函数的零点、函数的极值.3.设函数f(x)＝＋ln x，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】因为，所以当时，，当x>2时，，故知x＝2为f(x)的极小值点．故选Ｄ．【考点】函数的极值．4.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．5.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.6.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( ) A．(1－ln 2)B．(1＋ln 2)C．D．(1＋ln 2)【答案】B【解析】设P(,),则点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离= =，设==（），所以= =，当时，＜0，当时，，所以在（0,）是减函数，在（，）上是增函数，所以当=时，==，所以= .【考点】点到直线距离公式；利用导数求最值7.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是。
02_导数
导 数例1． 设()f x 可导，()F x =()f x (1+sin x ) ，则f()00=是F ()x 在0x =处可导的（A ） 充要条件 （B ）充分非必要条件 （C ） 必要非充分条件 （D ）既非充分也非要 解：答案选（A ）A B ⇒ A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件 若A B ⇔充要条件()⇒由(0)0f = 0(0)(0)l i m(0)x F x F F x∆→+∆-'=∆ 0()(1sin )0limx f x x x∆→∆+∆-=∆00()sin ()(0)limlimx x f x xf x f xx∆→∆→∆∆∆-=+∆∆ =0（()(0)lim (0)()sin lim(0)x x f x f f x f x xf x∆→∆→∆-'=∆∆∆=∆） ()⇐ (0)F '存在 （()f x 可导）()(1sin )(0)()(0)limlimx x f x x f F x F xx→→+--=00()sin ()(0)limlimx x f x xf x f xx→→-=+{(0)(0)(0)(0)f f f f '+'-= 00x x ≥< （(0)f 只能为0）例2. 已知(3)2f '= ，则._______2)3()3(lim=--→hf h f h分析0(3)(3)(3)(3)1limlim(3)12()(2)(2)h h f h f f h f f hh →→----'===----000(2)(3)limh f h f h hx x →+--＝？ （得有个前提条件 ()f x 在 0x x=处可导才能往下做）若该导数存在，则结果是0(2)()(3)()2(3)235'()f h f f h f hhf x xxxx+------=例3：设 0),(,0,cos 1{)(2≤>-=x x g x x xxx f 其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x = 处（A ） 极限不存在 （B ）极限存在，但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导解：先求0x =处 ，左、右极限是什么 ,显然 0)0(=-f （有界与无穷小乘积）2limlim 000x x x+→→==⇒左、右极限存在相等且等于函数值， 所以，函数连续 利用导函数没有第二类间断点的性质，可以分段求导0'()0x f x x >⎧=⎨≤⎩， ， 求导后，取导数的极限，看是否相等，但此题，g(x)未知，故只能用定义来求00)(lim)0(2=∆-∆=-→∆-xx g x f x0cos 1limcos 1lim)0(23=∆∆-=∆-∆∆-=++→∆→∆+x xxxxf x x 故 选 D参数方程求导：{()()x t y t ϕψ== t αβ≤≤23()()()()'d y t d t t y d xt d t t dtdy y dxdtψψϕϕψϕψϕψϕψϕϕϕϕ''⋅'===''⋅''''''-⋅'''''''-''===''幂指函数： ,x x y =x x y ln ln =1ln 1'+=x y y()()v x y u x =1ln v vy v u u v uu -'''=⋅⋅+⋅⋅即将v(x)，或u(x)依次看作常数,分别看作幂函数和指函数各求导一次 再如:()1)1)(1)(ln ()(ln (ln )x x xxxxxxxxxy xx y x xx x x x xx xxxx xxxx---=''=+⋅⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅例4： 设 2()(321)xf x t dt t =++⎰则()()lim__________()()lim 22()2h h f x h f x h hf x h f x h f x h→→+--=+--'原式＝＝因为)(x f 为积分上限的函数,故可导,但如果()f x 不连续，就不可导。
2020年高考数学导数题(含答案)
2020年高考数学导数题卷一理科 21.(12分)已知函数f (x )=e x +ax 2-x.(1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围.21.解 (1)当a=1时,f (x )=e x +x 2-x ,f'(x )=e x +2x -1. 故当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0. 所以f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)f (x )≥12x 3+1等价于(12x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1. 设函数g (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0), 则g'(x )=- 12x 3-ax 2+x+1-32x 2+2ax -1e -x =-12x [x 2-(2a+3)x+4a+2]e -x =-12x (x -2a -1)(x -2)e -x .①若2a+1≤0,即a ≤-12,则当x ∈(0,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2)单调递增,而g (0)=1, 故当x ∈(0,2)时,g (x )>1,不合题意.②若0<2a+1<2,即-12<a<12,则当x ∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x )<0;当x ∈(2a+1,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2a+1),(2,+∞)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g (0)=1,所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2≤1,即a ≥7-e 24.所以当7-e 24≤a<12时,g (x )≤1. ③若2a+1≥2,即a ≥12,则g (x )≤12x 3+x+1e -x .由于0∈7-e 24,12,故由②可得(12x 3+x +1)e -x ≤1.故当a ≥12时,g (x )≤1. 综上,a的取值范围是[7-e 24,+∞).卷一文科15.曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .15.y=2x 设切点坐标为(x 0,y 0).对y=ln x+x+1求导可得y'=1x +1. 由题意得,1x 0+1=2,解得x 0=1,故y 0=ln 1+1+1=2,切线方程为y -2=2(x -1),即y=2x.20.(12分)已知函数f (x )=e x -a (x+2).(1)当a=1时,讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.20.解 (1)当a=1时,f (x )=e x -x -2,则f'(x )=e x -1. 当x<0时,f'(x )<0;当x>0时,f'(x )>0.所以f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)f'(x )=e x -a.当a ≤0时,f'(x )>0,所以f (x )在(-∞,+∞)单调递增,故f (x )至多存在1个零点,不合题意. 当a>0时,由f'(x )=0可得x=ln a.当x ∈(-∞,ln a )时,f'(x )<0;当x ∈(ln a ,+∞)时f'(x )>0.所以f (x )在(-∞,ln a )单调递减,在(ln a ,+∞)单调递增,故当x=ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (ln a )=-a (1+ln a ).①若0<a ≤1e ,则f (ln a )≥0,f (x )在(-∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意. ②若a>1e ,则f (ln a )<0.由于f (-2)=e -2>0,所以f (x )在(-∞,ln a )存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,e x -x -2>0, 所以当x>4且x>2ln(2a )时,f (x )=e x2·e x2-a (x+2)>e ln(2a )·(x2+2)-a (x+2)=2a>0. 故f (x )在(ln a ,+∞)存在唯一零点. 从而f (x )在(-∞,+∞)有两个零点. 综上,a 的取值范围是(1e ,+∞).卷二理科 21.(12分)已知函数f (x )=sin 2x sin 2x.(1)讨论f (x )在区间(0,π)的单调性; (2)证明:|f (x )|≤3√38; (3)设n ∈N*,证明:sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤3n4n.21.(1)解 f'(x )=cos x (sin x sin 2x )+sin x (sin x sin 2x )' =2sin x cos x sin 2x+2sin 2x cos 2x =2sin x sin 3x.当x ∈(0,π3)∪(2π3,π)时,f'(x )>0;当x ∈(π3,2π3)时,f'(x )<0. 所以f (x )在区间(0,π3),(2π3,π)单调递增,在区间π3,2π3单调递减.(2)证明 因为f (0)=f (π)=0,由(1)知,f (x )在区间[0,π]的最大值为f (π3)=3√38,最小值为f (2π3)=-3√38. 而f (x )是周期为π的周期函数,故|f (x )|≤3√38. (3)证明 由于(sin 2x sin 22x …sin 22nx )32=|sin 3x sin 32x …sin 32n x|=|sin x||sin 2x sin 32x …sin 32n -1x sin 2n x||sin 22n x| =|sin x||f (x )f (2x )…f (2n -1x )||sin 22n x| ≤|f (x )f (2x )…f (2n -1x )|, 所以sin 2x sin 22x …sin 22n x ≤(3√38)2n 3=3n4n .卷二文科 21.(12分)已知函数f (x )=2ln x+1.(1)若f (x )≤2x+c ,求c 的取值范围; (2)设a>0,讨论函数g (x )=f (x )-f (a )x -a的单调性. 21.解 设h (x )=f (x )-2x -c ,则h (x )=2ln x -2x+1-c , 其定义域为(0,+∞),h'(x )=2x-2.(1)当0<x<1时,h'(x )>0;当x>1时,h'(x )<0.所以h (x )在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)单调递减.从而当x=1时,h (x )取得最大值,最大值为h (1)=-1-c.故当且仅当-1-c ≤0,即c ≥-1时,f (x )≤2x+c. 所以c 的取值范围为[-1,+∞).(2)g (x )=f (x )-f (a )x -a=2(lnx -lna )x -a,x ∈(0,a )∪(a ,+∞). g'(x )=2(x -ax +lna -lnx )(x -a )2=2(1-a x +ln ax )(x -a )2.取c=-1得h (x )=2ln x -2x+2,h (1)=0,则由(1)知,当x ≠1时,h (x )<0,即1-x+ln x<0.故当x ∈(0,a )∪(a ,+∞)时,1-ax +ln ax <0,从而g'(x )<0.所以g (x )在区间(0,a ),(a ,+∞)单调递减. 卷三理科 21.(12分)设函数f (x )=x 3+bx+c ,曲线y=f (x )在点12,f (12)处的切线与y 轴垂直.(1)求b ;(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,证明:f (x )所有零点的绝对值都不大于1.21.(1)解 f'(x )=3x 2+b ,依题意得f'(12)=0,即34+b=0. 故b=-34.(2)证明 由(1)知f (x )=x 3-34x+c ,f'(x )=3x 2-34. 令f'(x )=0,解得x=-12或x=12. f'(x )与f (x )-∞,-12-12,1212,+∞ 因为f (1)=f (-12)=c+14,所以当c<-14时,f (x )只有大于1的零点.因为f (-1)=f (12)=c -14,所以当c>14时,f (x )只有小于-1的零点. 由题设可知-14≤c ≤14.当c=-14时,f (x )只有两个零点-12和1. 当c=14时,f (x )只有两个零点-1和12.当-14<c<14时,f (x )有三个零点x 1,x 2,x 3,且x 1∈-1,-12,x 2∈-12,12,x 3∈12,1.综上,若f (x )有一个绝对值不大于1的零点,则f (x )所有零点的绝对值都不大于1. 卷三文科 20.(12分)已知函数f (x )=x 3-kx+k 2. (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有三个零点,求k 的取值范围.20.解 (1)f'(x )=3x 2-k.当k=0时,f (x )=x 3,故f (x )在(-∞,+∞)单调递增;当k<0时,f'(x )=3x 2-k>0,故f (x )在(-∞,+∞)单调递增.当k>0时,令f'(x )=0,得x=±√3k3.当x ∈-∞,-√3k3时,f'(x )>0; 当x ∈-√3k 3,√3k3时,f'(x )<0;当x ∈√3k3,+∞时,f'(x )>0.故f (x )在-∞,-√3k3,√3k3,+∞单调递增,在-√3k 3,√3k3单调递减.(2)由(1)知,当k ≤0时,f (x )在(-∞,+∞)单调递增,f (x )不可能有三个零点. 当k>0时,x=-√3k3为f (x )的极大值点,x=√3k3为f (x )的极小值点.此时,-k -1<-√3k3<√3k3<k+1且f (-k -1)<0,f (k+1)>0,f (-√3k3)>0.根据f (x )的单调性,当且仅当f (√3k3)<0,即k 2-2k √3k9<0时,f (x )有三个零点,解得k<427.因此k 的取值范围为0,427.山东卷 21.(12分)已知函数f (x )=a e x -1-ln x+ln a.(1)当a=e 时,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f (x )≥1,求a 的取值范围.21.解f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=a e x -1-1x .(1)当a=e 时,f (x )=e x -ln x+1,f'(1)=e -1,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -(e +1)=(e -1)(x -1),即y=(e -1)x+2.直线y=(e -1)x+2在x 轴,y 轴上的截距分别为-2e -1,2.因此所求三角形的面积为2e -1. (2)由题意a>0,当0<a<1时,f (1)=a+ln a<1. 当a=1时,f (x )=e x -1-ln x ,f'(x )=e x -1-1x .当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0.所以当x=1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)=1,从而f (x )≥1. 当a>1时,f (x )=a e x -1-ln x+ln a ≥e x -1-ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,+∞). 天津卷 20.(16分)已知函数f (x )=x 3+k ln x (k ∈R ),f'(x )为f (x )的导函数. (1)当k=6时,①求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;②求函数g (x )=f (x )-f'(x )+9x 的单调区间和极值;(2)当k ≥-3时,求证:对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2. 20.(1)解①当k=6时,f (x )=x 3+6ln x ,故f'(x )=3x 2+6x.可得f (1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -1=9(x -1),即y=9x -8.②依题意,g (x )=x 3-3x 2+6lnx+3x ,x ∈(0,+∞).从而可得g'(x )=3x2-6x+6x −3x 2,整理可得g'(x )=3(x -1)3(x+1)x 2.令g'(x )=0,解得x=1.当x 变化时,g'(x ),g (x )所以,函数g (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g (x )的极小值为g (1)=1,无极大值.(2)证明由f (x )=x 3+k ln x ,得f'(x )=3x 2+kx . 对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,令x1x 2=t (t>1),则(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]=(x 1-x 2)3x 12+k x 1+3x 22+kx2-2x 13−x 23+k ln x1x 2=x 13−x 23-3x 12x 2+3x 1x 22+kx 1x 2−x 2x 1-2k ln x1x 2=x 23(t 3-3t 2+3t -1)+k t -1t -2ln t .①令h (x )=x -1x -2ln x ,x ∈[1,+∞). 当x>1时,h'(x )=1+1x 2−2x=(1-1x )2>0,由此可得h (x )在[1,+∞)单调递增,所以当t>1时,h (t )>h (1),即t -1t-2ln t>0. 因为x 2≥1,t 3-3t 2+3t -1=(t -1)3>0,k ≥-3,所以,x 23(t 3-3t 2+3t -1)+k t -1t -2ln t ≥(t 3-3t 2+3t -1)-3t -1t -2ln t =t 3-3t 2+6ln t+3t -1.② 由(1)②可知,当t>1时,g (t )>g (1),即t 3-3t 2+6ln t+3t >1,故t 3-3t 2+6ln t+3t -1>0. ③由①②③可得(x 1-x 2)[f'(x 1)+f'(x 2)]-2[f (x 1)-f (x 2)]>0. 所以,当k ≥-3时,对任意的x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2,有f '(x 1)+f '(x 2)2>f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2.。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。
ln绝对值x的导数
ln绝对值x的导数
lnx的绝对值的导数是为0＜x＜1时，(|lnx|)'=-1/x；x=0时，(|lnx|)'不存在；x＞1时，(|lnx|)'=1/x。
解：令y=|lnx|，则0＜x＜1时，y=|lnx|=-lnx。
x=0时，y=|lnx|=0。
1＜x时，y=|lnx|=lnx。
那么0＜x＜1时，y'=(-lnx)'=-1/x。
那么1＜x时，y'=(lnx)'=1/x。
x=0时，y=|lnx|的导数不存在。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
复合函数的导数求法
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
即对于y=f(t)，t=g(x)，则y'公式表示为：y'=（f(t)）'*（g(x)）'。
例如y=sin（cosx），则y'=cos(cosx)*(-sinx)=-sinx*cos(cosx)。
常用的导数公式
（lnx）'=1/x、（e^x）'=e^x、（C）'=0（C为常数）。
（sinx）'=cosx、（cosx）'=-sinx、（2x²）'=4x。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.若函数在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)B．(－∞，3)C．(0，+∞)D．【答案】D 【解析】∵，且f(x)在(0，1)内有极小值． ∴．5. 已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值等于( ) A ．B ．C ．D ．1【答案】D ． 【解析】由已知是奇函数，且当时，的最小值为1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当时，有最大值．，当，即时，，在上单调递增；当，即时，，在上单调递减．当时，取最大值，故选D ．【考点】1．函数的奇偶性；2．导数与函数的最大值最小值．6. 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角α． 【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分 （2）W． 设，则． 11分令得，即，得．列表+0所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.7.已知函数.（1）若在处取得极大值，求实数的值；（2）若，求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1) 本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数，通过列表分析其单调性，进而寻找极大值点；(2) 本小题结合（1）中的分析可知参数的取值范围影响函数在区间上的单调性，于是对参数的取值范围进行分段讨论，从而求得函数在区间上的单调性，进而求得该区间上的最大值.试题解析：（1）因为令，得，所以，随的变化情况如下表：↗↘↗(2)因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值0. 14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值0当时，在取得最大值.【考点】1.导数公式；2.函数的单调性；3.分类讨论.8.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系9.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.10.已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值和最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入，得到解析式，对它求导，列出表格，通过单调性，判断极值；第二问，证明不等式转化为求函数的最小值大于0；第三问，利用第二问的结论，令，利用放缩法得到，再利用对数的性质和裂项相消法求和，得到所证不等式.试题解析：（1）当时，1分变化如下表+00+极大值， 4分（2）令则 6分∴在上为增函数。
高二数学函数与导数试题答案及解析
高二数学函数与导数试题答案及解析1.设函数，，当时，取得极值；(1) 求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；(2) 当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围；【答案】是函数的极小值；，【解析】解：（1）由题意当时，取得极值，即此时当时，，当时，，是函数的极小值； ---------------------4分（2）设，则，设，，令解得或，列表如下：4__0+函数在和上是增函数，在上是减函数；当时，有极大值；当时，有极小值；函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点或 ---------------------14分..2.若幂函数的图象经过点（4，2），则函数的单调递增区间为。
【答案】（0，+）【解析】略3.设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行。
（1）求的值；（2）求函数的单调区间。
【答案】（1）（2）当，所以为单调增区间.当，所以为单调减区间.【解析】略4.设是奇函数，对任意的实数，有则在区间上（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】任取，所以是单调递减函数，所以函数最大值为【考点】抽象函数单调性与最值5.已知函数的导数为，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故选C.【考点】导数公式应用研究.6.（本小题满分12分）已知函数，是函数的导函数，有且只有四个单调区间．（Ⅰ）设的导数为，分别求和（两个结果都含）；（Ⅱ）求实数的取值范围；（Ⅲ）设，试比较与的大小．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由导数公式直接求解即可；（Ⅱ）有且只有四个单调区间关于的方程有三个解，求二阶导数，研究的单调性与极值，由极大值大于，极小值小于可求的范围；（Ⅲ）由在上是增函数可得时，不等式恒成立得，计算，利用放缩比较两个数的大小.试题解析：（Ⅰ）∵，∴的定义域是，且，∴．（Ⅱ）∵有且只有四个单调区间，∴关于的方程有三个解．∴关于的方程有两个不同实根，设这两个根为，根据条件，这两个根是正根，且．∵，∴且，解得．下面验证时，．不妨假定，（方法一）由条件得，∴，∵，∴当变化时，函数，变化情况如下表：极大极小∵，∴极大，极小．由于，∴时，．又，令，则时，，即在区间上单调递增，∴时，，∴，∴有三个零点．综上所述，实数的取值范围是．（方法二）∴，．设，则时，，∴是区间上的单调增函数，∴当时，，∴∴，即，．∵，∴当变化时，函数，变化情况如下表：极大值（大于极小值（小于由于，∴时，．又，令，则时，，即在区间上单调递增，∴时，，∴，∴有三个零点．综上所述，实数的取值范围是．（Ⅲ）设，当时，，∴在上是增函数，即时，，即∴.由（Ⅰ）知，，∴．∵，∴∴．【考点】1.导数公式的应用；2.导数与函数单调性、极值；3.函数与方程、不等式.7.函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）【答案】C【解析】判定端点值是否异号，，，，，都是同号，所以不选，，，所以零点必在区间内．【考点】函数的零点8.已知函数,则在点处的线方程为．【答案】【解析】根据题意，可知点，而，所以，所以在点处的线方程为，即．【考点】导数的几何意义，切线方程的求法，直线方程的点斜式，商函数的求导法则．9.函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】因为所以，令，则或由得：；由得：或所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为.故选C.【考点】1、导数在研究函数性质中的应用.10.函数在上的最大值为1，最小值为，则．【答案】【解析】由题意，，则；时，，不成立．【考点】函数的最值及其几何意义．11.定义区间的区间长度为，如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度所处的区间．（要求区间长度为）【答案】支柱的高度大约为，从而得出其对应的区间，答案不唯一．【解析】该题让球支柱的高度所处的区间，只要求出的高度的大约值即可，而其高度需要借助于坐标来完成，所以在解题的过程中，需要建立相应的坐标系，求得圆拱桥对应的圆拱所在的抛物线方程，根据题中所给的有关长度，确定出点的横坐标，将其代入，求得对应的纵坐标，求得大约值，从而确定出其所在的相应的区间，答案是不唯一的．试题解析：建系如图：,则设圆拱所在的圆半径为，利用勾股定理，，圆心坐标为，故圆方程为：，点的横坐标为，故代入圆方程求出纵坐标为．故．注：答案不唯一哈．最后的答案估算占分．【考点】利用曲线方程，求点的坐标，解决实际问题．12.（本题12分）已知函数，（1）当时，解不等式；（2）比较的大小；（3）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）当时，当时，有当时，（3）【解析】（1）将代入不等式，结合二次函数图像求解；（2）比较大小一般采用作差法，将结果与0比较，求解时注意分情况讨论；（3）中首先将不等式化为，通过讨论的大小得到不等式的解集试题解析：（1）当时，有不等式，∴，∴不等式的解集为：；（2）∵且∴当时，有当时，有当时，；（3）∵不等式当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【考点】1．一元二次不等式解法；2．分情况讨论13.设函数，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，当即时，，解得，舍；当即时，，所以，解得．综上可得．故D正确．【考点】分段函数．14.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间是和，单调递增区间是;（2）．【解析】（1）根据绝对值的含义，分区间把绝对值符号去掉，写成分段函数的形式，分离常数，再由反比例函数研究每个区间上的单调性即可；（2）分讨论，结合函数的图象特点，分段讨论，结合二次方程根的分布原理，可求的取值范围．试题解析：（1）．由反比例函数的单调性知：的单调递减区间是和，单调递增区间是．（2）①若，则方程，即，由（1）知，仅唯一零点，不合题意；②若，有四个实根即函数与开口向下的抛物线有四个交点．当时，单调递减，单调递增，故最多一个交点，当时，，，仅有一个交点，这与他们有四个交点不符；③若，由知，是其一根．当时，有，即．因为，所以该方程在实数范围有两根，而，故方程在上仅有一根，因此在上有两实数根，即在上有两实数根，等价于有两个不等的负实根，令，又，故，此时由韦达定理知有两个不等负根，且均不等于．综上可知的取值范围是．【考点】1．分段函数的表示及单调性；2．函数与方程．15.函数在处有极值10，则．【答案】7【解析】对原函数求导可得，由题得，当时，，此时不是极值点，不合题意，经检验符合题意，所以【考点】函数的极值16.已知二次函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状是（）【答案】B【解析】由的图象可知，在上是增函数，在上是减函数，从而在上恒成立，在上恒成立，从而知的图象应如图B所示．故选B．【考点】导数在研究函数的应用．17.在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f′（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x·f′（x）＜0的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据图像，的解集是或，的解集是，所以的解集是或，所以不等式组的解集是或，故选A．【考点】导数的应用【方法点睛】主要考察了利用导数与函数的图像，属于基础题型，导数与函数单调性的关系是在某一区间内，函数单调递增，，函数单调递减，，所以由函数的图像就能确定导函数大于或小于0的区间，最后再解不等式．18.若曲线在处的切线与曲线在处的切线互相垂直，则实数的值为________．【答案】【解析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．根据在处的切线与曲线在处的切线互相垂直，可得．【考点】利用导数研究曲线上某点处的切线方程【方法点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x，y）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－y＝f′（x0）（x－x）．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的不同．19.已知曲线上一点，则过点的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．135°D．165°【答案】B【解析】由，因此，由导数的几何意义知，曲线上过点的切线的斜率为，因此过点的切线的倾斜角为45°【考点】导数的几何意义；20.已知f（x）=x3+x2-6x+c，若x[0，2]都有f（x）>2c-恒成立，则c的取值范围是【答案】【解析】，令，解得（舍）或，所以当时；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以上，要使都有恒成立，只需，解得．【考点】1用导数求最值；2恒成立问题．21.设，函数的导函数是，且是奇函数，则的值为（）A．1B．C．D．-1【答案】A【解析】求导数可得，是奇函数，，解得，故选A.【考点】1、函数的求导法则；2、函数的奇偶性.22.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．【答案】3【解析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．x的图象是（）23.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=loga【答案】C【解析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，x，当0＜a＜1时是减函数，又y=loga两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．24.二次函数f(x)的图像经过点，且，则不等式的解集为（）A．(－3，1)B．(－lg3，0)C．D．(－∞，0)【答案】D【解析】设，则，并且，由于，所以，所以，由，可得，解得所以不等式的解集为，故选D.【考点】1、二次函数及二次不等式；2、指数函数.【思路点睛】本题是一个二次函数、导数以及二次不等式的综合应用问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先要设出二次函数的一般式，再根据题目条件确定二次函数的解析式，这样就得到一个关于的二次不等式，最后解这个关于的不等式，就可得出不等式的解集，使问题得以解决.25.已知函数，.⑴求函数的极大值和极小值;⑵求函数图象经过点的切线的方程；⑶求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.【答案】（1）极大值1，极小值；（2）y=1或；（3）【解析】（1）f′（x）=x（x-1），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得其单调性与极值；（2）由（1）可得，由点为切点时，可得切线方程；若点不为切点时，设切点为P，则切线方程为：把点代入解得，即可得出切线方程；（3）由，解得x=0或．可得函数的图象与直线y=1所围成的封闭图形的面积为：，利用微积分基本定理即可得出试题解析：（1），令，解得x=0或x=1，令，得x<0或x>1，，解得0<x<1，∴函数f（x）在上单调递增，在（0,1）上单调递减，在上单调递增∴x=0是其极大值点，x=1是极小值点，所以f（x）的极大值为f（0）=1；f（x）的极小值为（2）设切点为P，切线斜率∴曲线在P点处的切线方程为，把点代入，得，所以切线方程为y=1或；（3）由，所以所求的面积为.【考点】利用导数研究函数的极值；定积分；定积分在求面积中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程26.设函数是奇函数的导函数，，当x＞0时，，则使得成立的的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则g（x）的导数为：，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数为减函数，又∵，∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x g（x）＞0⇔或，【考点】函数的单调性与导数的关系27.函数，若对，求实数的最小值.【答案】【解析】任意存在型命题关键转化为对应函数最值问题：再分别求出对应函数最值，，最好解对应不等式即可试题解析：解：由题意，在递减，在递增，所以，在单调递增，，；【考点】恒成立问题28.已知函数在单调递增，则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】依题意在区间上恒成立,,所以.【考点】函数导数与单调性．29.已知直线与曲线相切，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设切点为,,所以切线方程为,依题意,切线过点,代入切线方程得,解得,故.【考点】利用导数求切线.30.若偶函数，当，满足，且，则的解集是 .【答案】【解析】由得，因为，所以，设，则，所以时，，即在上单调递增，因为，所以时，，当时，，又是偶函数，则是奇函数，因此当时，也有，所以不等式的解集是．【考点】导数与函数的单调性．构造法解函数不等式．31.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求的值；（2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值试题解析：（1）因为时，所以∴；（2）由（1）知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；．令得．当时，，当时，函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性32.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【答案】.【解析】通过假设广告矩形栏目的长、宽，表达广告栏目的矩形面积，进而利用基本不等式求解面积的最小值.试题解析：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab="9000." ①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2=18500+当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时，S取得最小值24500.故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25两栏面积之和为2(x－20)，由此得y=广告的面积S=xy=x()＝x，整理得S=因为x－20＞0，所以S≥2当且仅当时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.【考点】基本不等式的应用.【思路点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.33.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【答案】.【解析】通过假设广告矩形栏目的长、宽，表达广告栏目的矩形面积，进而利用基本不等式求解面积的最小值.试题解析：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab="9000." ①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b≥18500+2=18500+当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时，S取得最小值24500.故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25两栏面积之和为2(x－20)，由此得y=广告的面积S=xy=x()＝x，整理得S=因为x－20＞0，所以S≥2当且仅当时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25，得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.【考点】基本不等式的应用.【思路点睛】本题主要考查函数表达式及基本不等式的应用.由题已知，可通过假设矩形的长与宽，进而表示广告面积的表达式，利用基本不等式，求出面积的最小值.在应用不等式求最值时，需要满足一正二定三相等的原则，即①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.34.已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数上是减函数，求实数a的最小值．【答案】（I）当时,，所以函数的增区间是，当且时,，所以函数的单调减区间是;（II）【解析】（I）先求出函数的定义域为, 再求出，由，得到函数的增区间，由，可得函数的单调减区间（II）因f(x)在上为减函数，在上恒成立，可得当时，．从而可得a的最小值试题解析：（I）由已知得函数的定义域为,函数,当时,，所以函数的增区间是;当且时,，所以函数的单调减区间是,（II）因f(x)在上为减函数，且.故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．【考点】函数的单调性及导数的关系，求参数的取值范围【方法点睛】(1)函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数的定义域优先意识；（2）可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到. (3)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）35.设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .【答案】【解析】由函数是奇函数可得【考点】函数奇偶性与函数求值36.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A．(-∞，)∪(,2)B．(－∞，0)∪(，2)C．(－∞，∪(，＋∞)D．(－∞，)∪(2，＋∞)【答案】B【解析】由的图象可知，在上，在上，，所以等价于或，即或或，解得或，故选B．【考点】导数与函数单调性的关系．37.已知f（x）为偶函数，当时，,则曲线y=f（x）在点（1,−3）处的切线方程是_______________.【答案】【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．38.f（x）的定义域为（0，＋∞），且对一切x＞0，y＞0都有f＝f（x）－f（y），当x＞1时，有f（x）＞0.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）＝1，解不等式.【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）0＜x＜4．【解析】（1）应用已知不等式，令则（2）应用单调性的定义判断.（3）对于解析式不清楚的抽象函数，当单调递增时当单调递减时试题解析：（1）f（1）＝f＝f（x）－f（x）＝0，x＞0.（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数．证明：设0＜x1＜x2，则由f＝f（x）－f（y），得f（x2）－f（x1）＝f，∵＞1，∴f＞0.∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（3）∵f（6）＝f＝f（36）－f（6），又f（6）＝1，∴f（36）＝2，原不等式化为：f（x2＋5x）＜f（36），又∵ f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴解得0＜x＜4.【考点】1、函数的单调性；2、函数单调性的应用．39.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由函数过点,代入表达式可得值；（2）由将两函数表代入,转化为关于的指数型复合方程.利用换元法,将指数型方程化为一元二次方程,解一元二次方程后再解指数方程,可得值.试题解析：（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即，令，则，即，又，故，即，解得．【考点】1.指数运算；2.一元二次方程的解法；3.换元法.40.设定义在上的函数，且对任意有，且当时，．（1）求证：，且当时，有；（2）判断在上的单调性；（3）设集合，集合，若，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）在上单调递减；（3）.【解析】（1）由所给函数满足的条件,用特殊值法令,可得,再利用,可得与之间的关系,由时,范围,可得时,范围；（2）由函数单调性的定义出发,可判断函数单调性；（3）结合条件由可得,由可得,由,将两式联立可得一元二次不等式无解,可得关于的不等式,解可得的范围. 试题解析：（1）由题意知，令，则，因为当时，，所以，设，则，所以即当时，有．（2）设是上的任意两个值，且，则，所以，因为，且，所以，即，即．所以在上单调递减．（3）因为，所以，由（2）知在上单调递减，则，又，所以，因为，又由得，由题可知上式无解即，即，解得：，故的取值范围为．【考点】1.函数单调性；2.一元二次不等式；3.集合的交集.41.已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围。
2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(知识点讲解)解析版
专题4.4 导数的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）函数零点 1．方程()0f x =有实根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点．2．函数()y f x =的零点就是()0f x =的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.（二）导数解决函数的零点问题1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号. 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. （三）导数证明不等式(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x )＜g (a )转化为f (x )max ＜g (a ).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x )＞g (x )转化为f (x )－g (x )＞0，进而构造函数h (x )＝f (x )－g (x ). (3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x )＞g (x )利用其最值求解.(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可将函数式变为与x 1x 2或x 1·x 2有关的式子，然后令t ＝x 1x 2或t ＝x 1x 2，构造函数g (t )求解.(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，xx ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1).(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.（四）利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1.分离参数法一般地，若a ＞f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＞f (x )max ；若a ＜f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＜f (x )min .若存在x 0∈D ，使a ＞f (x 0)成立，则只需a ＞f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a ＜f (x 0)成立，则只需a ＜f (x 0)max .由此构造不等式，求解参数的取值范围. 2.构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的零点或零点个数例1.（2012·天津·高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【详解】2()2ln 23,(0,1)()0x f x x f x +''=>在上恒成立，所以单调递增，(0)10,(1)10,f f =-<=>故函数在区间(0,1)内的零点个数1个.例2．（2019·全国高考真题（理））已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02ff ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点例3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【答案】(1)(,1]e -∞+ (2)证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用导数即可得证.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x =,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-， 若()0f x ≥,则e 10a +-≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e -∞+ (2)由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设121x x 要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭因为()()12f x f x =,即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭设11(),e e xx g x x xx =->，则11122111111()e e e 1e e 1x x x xx g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111e 1e 1e e xx x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝所以()()1e x ϕϕ>=,而1e e x <所以1e e 0xx x->,所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞单调递增即()(1)0g x g >=,所以1ee 0xx x x->令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭ 所以()h x 在(1,)+∞单调递减即()(1)0h x h <=,所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭；综上, 1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以121x x <. 【总结提升】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．题型二：与函数零点有关的参数（范围）问题例4.（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b 1−a＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．例5.（2015·安徽·高考真题（理））设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】1，3，4，5 【解析】 【详解】令3()f x x ax b =++，求导得2'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，易知，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，所以()=(1)132f x f b b -=-++=+极大，()=(1)132f x f b b =-+=-极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320f x f b b -=-++=+<极大或者()=(1)1320f x f b b =-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.例6.（2020·全国高考真题（文））已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞. 【解析】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-， 所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e +∞.【总结提升】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．题型三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题例7．（2019·天津高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤.当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C.例8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数2()2sin 341x f x x x =+-+，则(2)(2)f f +-=_________；关于x 的不等式2()(23)2f x f x +-≥的解集为____________．【答案】2 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据解析式直接求(2)(2)f f +-的值，易知()f x 关于(0,1)对称，可将题设不等式变形为2(23)()f x f x -≥-，再利用导数判断()f x 的单调性，由单调性列不等式求解集. 【详解】232(2)(2)2sin 262sin 2621717f f +-=+-+-+=， 由()()22222sin 32sin 341414141x x x x f x f x x x x x --+-=+-+-+=+=++++2(41)41x x ++2=， ∴()f x 关于(0,1)对称，故()2()f x f x =--，∴22()(23)2()(23)2f x f x f x f x +-=--+-≥，即2(23)()f x f x -≥-， 又124ln 2()2cos 30(41)x xf x x +'=-+-<+，故()f x 单调递减， ∴223x x -≤-，即223(23)(1)0x x x x +-=+-≤，解得312x -≤≤.∴不等式解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2；3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 例9.（2021·全国高三月考）已知函数2()ln f x x mx =+.（1）探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）12e 2⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦,. 【分析】（1）求导，对参数m 分类讨论，由导函数的符号可得函数的单调性；（2）将不等式()1(12)f x m x ≤++化为()2ln 1210x mx m x +-+-≤，再构造函数()2()ln 121g x x mx m x =+-+-，利用导数求出函数()g x 的最大值，由max ()0g x ≤可求出结果.【详解】（1）由2()ln f x x mx =+，得2121()2(0)mx f x mx x x x +'=+=>， ①若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②若0m <，则2121()22x x mx f x mx m x x x⎛ +⎝⎭⎝⎭'=+==⋅，当0x <<时，()0f x '>；当x >()0f x '<； 所以()f x在区间0,⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述：当0m ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m <时，()f x在区间⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，相当于()2ln 1210x mx m x +-+-≤在(]0,e 上恒成立，令()2()ln 121g x x mx m x =+-+-， 则212(21)1(21)(1)()221mx m x mx x g x mx m x x x-++--'=+--==， ①当0m ≤时，210mx -<，由()0g x '<，得1e x <≤，由()0g x '>，得01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减，所以max ()(1)2g x g m ==--，所以20m --≤，解得20m -≤≤. ②当102em <≤时，因为022e x <≤，所以021mx <≤，所以210mx -≤， 所以当01x <<时，()0g x '≥，当1e x <≤时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,1)上递增，在(1,e]上递减，所以max ()(1)20g x g m ==--≤，解得2m ≥-，又102e m <≤，所以102em <≤； ③当112e 2m <<时，1(1)()2()2x x m g x m x--'=⋅，此时11e 2m <<， 由()0g x '>，得01x <<或1e 2x m <≤，由()0g x '<，得112x m <<， 所以()g x 在(0,1)和1(,e]2m 上递增，在1(1,)2m 上递减，所以11,2x x m==分别是函数()g x 的极大值点和极小值点， 因此有()(1)2011(e)e e 1202e 21122g m g m m m m e⎧⎪=--≤⎪=--≤⇒<<⎨⎪⎪<<⎩； ④当12m =时，()21()0x g x x-'=≥，所以()g x 在(]0,e 上单调递增，所以(e)0g ≤， 即1e 2m ≤-，所以12m =； ⑤当12m >时，1(1)()2()2x x m g x m x--'=⋅，此时1012m <<， 由()0g x '>，得102x m <<或1e x <≤，由()0g x '<，得112x m <<， 所以()g x 在1(0,)2m 和(1,e]上递增，在1(,1)2m 上递减， 所以112x x m==，分别是函数()g x 的极大值点和极小值点，因此有()1()02(e)e e 12012g m g m m m ⎧≤⎪⎪=--≤⇒⎨⎪⎪>⎩1ln 22041e 212m m m m ⎧---≤⎪⎪⎪≤⎨-⎪⎪>⎪⎩112e 2m ⇒<≤-； 综上可知，实数m 的取值范围是12e 2⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，. 【总结提升】1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．()f x a >：min max max ()()()f x a f x a f x a ⇔>⎧⎪⇔>⎨⎪⇔≤⎩恒成立有解无解2.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.题型四：利用导数证明不等式例10．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，()e ln(1)x f x x =+()y f x =(0,(0))f ()()g x f x '=()g x [0,)+∞,(0,)s t ∈+∞()()()f s t f s f t +>+y x =()g x [0,)+∞()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >()m x即得证.(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又， ∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，令，，即证，∵，， 由（2）知在上单调递增， ∴，∴∴在上单调递增，又因为， ()e ln(1)x f x x =+()00f =()0,01()e (ln(1))1x f x x x=+++'(0)1k f '==y x =1()()e (ln(1))1x g x f x x x=++'=+221()e (ln(1))1(1)x g x x x x =++-++'221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'()h x [0,)+∞()(0)10h x h ≥=>()0g x '>[0,)+∞()g x [0,)+∞()()()(0)f s t f s f t f +->-()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t xx t x m x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+1()()e (ln(1))1x g x f x x x =++'=+[)0,∞+()()g x t g x +>()0m x '>()m x ()0,∞+,0x t >∴，所以命题得证.例11.（2021·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点． （1）求a ；（2）设函数．证明:． 【答案】（1）；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且， ()(0)m x m >()()ln f x a x =-0x =()y xf x =()()()x f x g x xf x +=()1g x <1a ='y a ()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-1x <0x ≠()0,1x ∈(),0x ∈-∞()1g x <()()ln 1ln 1x x x x +->-()0,1x ∈(),0x ∈-∞()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--()()'ln x y a x x ay xf x ⇒=-=+-0x =()y xf x =()'0ln 0y a ==1a =ln(1)11()ln(1)ln(1)+-==+--x x g x x x x x (,0)(0,1)-∞()1g x <111ln(1)+<-x x 1111ln(1)-<-=-x x x x(0,1)x ∈10ln(1)<-x 10x x-<ln(1)1->-x x x ()ln(1)1=---x F x x x 2211()01(1)(1)--=-=>--'-x F x x x x ()F x (0,1)()(0)0F x F >=(,0)x ∈-∞10ln(1)>-x 10x x ->ln(1)1->-x x x ()F x (,0)-∞()(0)0F x F >=()1g x <()()ln 1f x x =-()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-1x <0x ≠当 时，要证，， ，即证，化简得；同理，当时，要证，， ，即证，化简得；令，再令，则，， 令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定()0,1x ∈()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()0,ln 10x x >-<()ln 10x x ∴-<()()ln 1ln 1x x x x +->-()()1ln 10x x x +-->(),0x ∈-∞()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()0,ln 10x x <->()ln 10x x ∴-<()()ln 1ln 1x x x x +->-()()1ln 10x x x +-->()()()1ln 1h x x x x =+--1t x =-()()0,11,t ∈+∞1x t =-()1ln t t t t ϕ=-+()1ln 1ln t t t ϕ'=-++=()0,1t ∈()0t ϕ'<()t ϕ()()10t ϕϕ>=()1,t ∈+∞()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ>=()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()(),00,1x ∈-∞()ln (1)ϕ=--x x x 11()1x x x x ϕ-'=-=()ϕx (0,1)(1,)+∞()(1)0x ϕϕ≤=ln 1≤-x x 1x =1x <0x ≠101x >-111x≠-11ln 111<---x x ln(1)1--<-x x x ln(1)1->-x x x (0,1)x ∈0ln(1)1>->-x x x 1111ln(1)-<=--x x x x 111ln(1)+<-x x ()1g x <(,0)x ∈-∞ln(1)01->>-x x x ()1g x <1x <0x ≠ln(1)1ln(1)+-<-x x x x ()1g x <(0,1)x ∈ln(1)1->-x x x (,0)x ∈-∞ln(1)1->-x x x ()0,1x ∈()()1ln 10x x x +-->(),0x ∈-∞()()1ln 10x x x +-->()ln (1)ϕ=--x x x ln 1≤-x x 1x =ln(1)1->-x x x的巧合性.例12．（2021·全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<()f x ()0,1()1,+∞1211,x x a b==122x x e <+<21x tx =12x x e +<()()1ln 1ln 0t t t t -+-<()1,+∞()0,∞+()1ln 1ln f x x x '=--=-()0,1x ∈()0f x '>()1,+x ∈∞()0f x '<()f x ()0,1()1,+∞ln ln b a a b a b -=-()()ln 1ln +1b a a b +=ln 1ln +1a b a b+=11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211,x x a b ==1201,1x x <<>()0,1x ∈()()1ln 0f x x x =->(),x e ∈+∞()()1ln 0f x x x =-<21x e <<122x x +>22x ≥122x x +>22x <122x x +>122x x >-2021x <-<()()122f x f x >-()()222f x f x >-212x <<设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：， 即：，故，要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令，则， 先证明一个不等式：.设，则， 当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，. 【总结提升】1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最()()()2,12g x f x f x x =--<<()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦12x <<()021x x <-<()ln 20x x -->()0g x '>()g x ()1,2()()10g x g >=()()2f x f x >-()()222f x f x >-122x x +>122x x +>21x tx =1t >ln 1ln +1a b a b +=1211,x x a b==()()11221ln 1ln x x x x -=-()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t t x t --=-12x x e +<()11t x e +<()1ln 1ln 1t x ++<()1ln ln 111t t t t t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭()ln 1x x ≤+()()ln 1u x x x =+-()1111x u x x x -'=-=++10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<()u x ()1,0-()0,+∞()()max 00u x u ==()ln 1x x ≤+1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭()0S t '<()S t ()1,+∞()()10S t S <=()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12x x e +<112e a b<+<值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.2.利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.3.不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．。
含绝对值的函数求导
含绝对值的函数求导含绝对值的函数是数学中常见的一种函数形式，其导数的计算需要根据绝对值函数的特性进行分段讨论。
本文将介绍含绝对值的函数求导的方法，并通过具体的例子进行说明。
一、绝对值函数的定义绝对值函数是指以自变量的绝对值作为函数值的函数。
一般来说，绝对值函数的定义可以表示为f(x) = |x|，其中x为实数。
二、绝对值函数的导数计算对于不含绝对值的函数，我们可以直接使用导数的定义进行求导。
但对于含有绝对值的函数，我们需要根据绝对值函数的性质进行分段讨论。
当x>0时，绝对值函数f(x) = x，此时导数为f'(x) = 1；当x<0时，绝对值函数f(x) = -x，此时导数为f'(x) = -1；当x=0时，绝对值函数f(x) = 0，此时导数为f'(x) = 0。
含绝对值的函数在不同区间内的导数有不同的取值。
下面通过具体的例子进行说明。
例1：求函数f(x) = |x|的导数。
根据前面的讨论，当x>0时，f(x) = x，导数为f'(x) = 1；当x<0时，f(x) = -x，导数为f'(x) = -1；当x=0时，f(x) = 0，导数为f'(x) = 0。
函数f(x) = |x|的导数为：f'(x) =1, x>0；-1, x<0；0, x=0。
例2：求函数f(x) = |x-2|的导数。
根据前面的讨论，当x>2时，f(x) = x-2，导数为f'(x) = 1；当x<2时，f(x) = -(x-2)，导数为f'(x) = -1；当x=2时，f(x) = 0，导数为f'(x) = 0。
函数f(x) = |x-2|的导数为：f'(x) =1, x>2；-1, x<2；0, x=2。
通过以上两个例子，我们可以看出含绝对值的函数求导的方法是根据不同区间的定义来进行分段讨论，并求出相应的导数值。
带绝对值函数的高阶导数
带绝对值函数的高阶导数绝对值函数是一种常见的数学函数，它的定义是对于任意实数x，绝对值函数的值等于x的绝对值。
在数学中，绝对值函数通常用符号“|x|”表示。
而高阶导数是指函数的导数的导数，即对于一个函数f(x)，它的n 阶导数表示为f^(n)(x)，其中n为正整数。
那么问题来了，如何求解带绝对值函数的高阶导数呢？我们来看一下绝对值函数的导数。
对于绝对值函数f(x) = |x|，当x>0时，f(x) = x，当x<0时，f(x) = -x。
而在x=0处，f(x)是不可导的。
因此，我们可以得到绝对值函数的导数为：f'(x) = 1，x>0f'(x) = -1，x<0接下来，我们来求解绝对值函数的二阶导数。
根据导数的定义，我们知道导数是函数的斜率，即函数在某一点的变化率。
因此，二阶导数可以理解为一阶导数的变化率。
对于绝对值函数f(x) = |x|，我们可以将其分段来求解二阶导数。
当x>0时，f(x) = x，一阶导数为f'(x) = 1；当x<0时，f(x) = -x，一阶导数为f'(x) = -1。
在x=0处，f(x)是不可导的。
因此，我们可以得到绝对值函数的二阶导数为：f''(x) = 0，x≠0f''(x) = 不存在，x=0由此可见，绝对值函数的二阶导数在x=0处不存在，其它位置都为0。
这是因为绝对值函数在x=0处不可导，因此二阶导数也不存在。
接下来，我们继续求解绝对值函数的三阶导数。
根据导数的定义，我们知道导数是函数的斜率，即函数在某一点的变化率。
因此，三阶导数可以理解为二阶导数的变化率。
对于绝对值函数f(x) = |x|，我们可以将其分段来求解三阶导数。
当x>0时，f(x) = x，二阶导数为f''(x) = 0；当x<0时，f(x) = -x，二阶导数为f''(x) = 0。
带绝对值怎么求导
带绝对值怎么求导
思路：在该点处，分别求其左右导数，若左导数=右导数，即是该点导数；若至少有一个不存在,则该点导数不存在。
1.在该点x0处,分别求其左右导数,若左导数=右导数,即是该点导数；若至少有一个不存在,则该点导数不存在.有些可以简化：f(x)= x² | x-1|,f ' (0) =Limit [ x² | x-1| / x ,x->0 ] = 0
2.在其他点,去掉绝对值...
导数不存在有几种情况
1、函数在该点不连续，且该点是函数的第二类间断点。
如y=tan(x)，在x=π/2处不可导。
2、函数在该点连续，但在该点的左右导数不相等。
如Y=|X|，在x=0处连续，在x处的左导数为-1，右导数为1，不相等(可导函数必须光滑)，函数在x=0不可导。
导数和极限的关系
1、极限只是一个数：x趋向于x0的极限=f(x0)。
而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率。
导数比极限多了一个表达“过程”的部分。
2、一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
极限是一种“变化状态”的描述。
此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。
3、导数在一个点处的极限或者函数在一个点的空心邻域内是否可导，与导数在一个点处的函数值或者函数在一个点处的导数不同，导数在一个点有函数值，则函数可导。
2.。
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1．（本小题满分16分）
已知函数其中e 为自然对数的底.
（1）当时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；
（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围.
|,|)(bx e x f x -=1=
b
20．（本小题满分16分）设为实数，函数。
（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；（2）求函数的单调区间。
a 2
()||f x x x a =-1a =()
f x [1,1]-()f
x
20. (本题满分16分)
已知函数()||f x x m =-和函数2()||7g x x x m m m =-+-.
(1) 若方程()||f x m =在[4,)+∞上有两个不同的解,求实数m 的取值范围;
(2) 若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立,求实数m 的取值范
围.
21. 已知函数()ln f x x x a x =--.
（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．
当[1,]x e ∈时, 2
()ln f x x x x =--,2'
121()210x x f x x x x
--=--=>，
所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分 （2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．
（ⅰ）当0a ≤时，则2
()ln f x x ax x =--，2'
121
()2x ax f x x a x x
--=--=，
令'
()0f x =，得00x =>（负根舍去），
且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'
()0f x >，
所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分 （ⅱ）当0a >时，
①当x a ≥时， 2'
121
()2x ax f x x a x x
--=--=,
令'
()0f x =，得1x =x a =<舍），
a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；
a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'
()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，
'
()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ………………………………………………………6分
②当0x a <<时, 2'
121
()2x ax f x x a x x
-+-=-+-=,
令'
()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，
若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'
()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；
若280a ∆=->，即a >
则由'
()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，
当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'
()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，
'
()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在
上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分
综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间
是)+∞；
当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是
(,)a +∞；
当a >, ()f x 单调递减区间是(0, )和)a ，
()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln x
x a x
->
． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0x
x
<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，
ln 0x
x
=，所以1a ≠； ………………12分 （ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-
恒成立或ln x
a x x
>+恒成立． 令ln ()x
h x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．
因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >． 因为ln x
a x x
<-
恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()x
g x x x
=+，则221ln ()x x g x x +-'=．
再令2()1ln e x x x =+-，则1
()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上
无最大值．
综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分
22. 已知函数f(x)=|x-a|-Inx(a>0)(1)若a=1,求f(x)的单调区间（2）若a ＞0，求f(x)的单调区间
解：已知函数f(x)=|x-a|-Inx(a>0) (1)若a=1,求f(x)的单调区间 f(x)=|x-a|-lnx ，a=1
则，f(x)=|x-1|-lnx ，定义域为x ＞0 所以：
①x≥1时，f(x)=x-1-lnx
则，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x＞0
所以，f(x)单调递增；
②当0＜x＜1时，f(x)=1-x-lnx
则，f'(x)=-1-(1/x)=-[1+(1/x)]＜0
所以，f(x)单调递减.
（2）若a＞0，求f(x)的单调区间
①当x≥a时，f(x)=(x-a)-lnx
则，f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x
此时：若x≥1，则f(x)单调递增；若0＜x＜1，则f(x)单调递减；
②当0＜x＜a时，f(x)=(a-x)-lnx
则，f'(x)=-1-(1/x)＜0
所以，f(x)单调递减。