导数(含绝对值) - 含答案

1．（本小题满分16分）

已知函数其中e 为自然对数的底.

（1）当时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

（2）若函数y=f(x)有且只有一个零点，求实数b 的取值范围；

（3）当b>0时，判断函数y=f(x)在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b 的取值范围.

|,|)(bx e x f x -=1=

b

20．（本小题满分16分）设为实数，函数。（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；（2）求函数的单调区间。

a 2

()||f x x x a =-1a =()

f x [1,1]-()f

x

20. (本题满分16分)

已知函数()||f x x m =-和函数2()||7g x x x m m m =-+-.

(1) 若方程()||f x m =在[4,)+∞上有两个不同的解,求实数m 的取值范围;

(2) 若对任意1(,4]x ∈-∞,均存在2[3,)x ∈+∞,使得12()()f x g x >成立,求实数m 的取值范

围.

21. 已知函数()ln f x x x a x =--.

（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；

（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．

当[1,]x e ∈时, 2

()ln f x x x x =--,2'

121()210x x f x x x x

--=--=>，

所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分 （2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．

（ⅰ）当0a ≤时，则2

()ln f x x ax x =--，2'

121

()2x ax f x x a x x

--=--=，

令'

()0f x =，得00x =>（负根舍去），

且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'

()0f x >，

所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分 （ⅱ）当0a >时，

①当x a ≥时， 2'

121

()2x ax f x x a x x

--=--=,

令'

()0f x =，得1x =x a =<舍），

a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；

a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'

()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，

'

()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ………………………………………………………6分

②当0x a <<时, 2'

121

()2x ax f x x a x x

-+-=-+-=,

令'

()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，

若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'

()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；

若280a ∆=->，即a >

则由'

()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，

当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'

()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，

'

()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在

上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分

综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间

是)+∞；

当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是

(,)a +∞；

当a >, ()f x 单调递减区间是(0, )和)a ，

()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln x

x a x

->

． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0x

x

<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，

ln 0x

x

=，所以1a ≠； ………………12分 （ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-

恒成立或ln x

a x x

>+恒成立． 令ln ()x

h x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．

因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >． 因为ln x

a x x

<-

恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()x

g x x x

=+，则221ln ()x x g x x +-'=．

再令2()1ln e x x x =+-，则1

()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上

无最大值．

综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分

22. 已知函数f(x)=|x-a|-Inx(a>0)(1)若a=1,求f(x)的单调区间（2）若a ＞0，求f(x)的单调区间

解：已知函数f(x)=|x-a|-Inx(a>0) (1)若a=1,求f(x)的单调区间 f(x)=|x-a|-lnx ，a=1

则，f(x)=|x-1|-lnx ，定义域为x ＞0 所以：