平面向量小结与复习
2023年平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习1.向量有关概念:（1）向量旳概念: 既有大小又有方向旳量, 注意向量和数量旳区别。
向量常用有向线段来表达, 注意不能说向量就是有向线段, 为何？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0旳向量叫零向量, 记作：, 注意零向量旳方向是任意旳；（3）单位向量: 长度为一种单位长度旳向量叫做单位向量(与共线旳单位向量是)；（4）相等向量: 长度相等且方向相似旳两个向量叫相等向量, 相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相似或相反旳非零向量、叫做平行向量, 记作：∥, 规定：零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量, 但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不一样旳两个概念: 两个向量平行包括两个向量共线, 但两条直线平行不包括两条直线重叠；③平行向量无传递性！（由于有)；④三点共线共线；（6）相反向量: 长度相等方向相反旳向量叫做相反向量。
旳相反向量是－。
2.向量旳表达措施: （1）几何表达法: 用带箭头旳有向线段表达, 如, 注意起点在前, 终点在后；（2）符号表达法: 用一种小写旳英文字母来表达, 如, , 等；（3）坐标表达法: 在平面内建立直角坐标系, 以与轴、轴方向相似旳两个单位向量, 为基底, 则平面内旳任历来量可表达为, 称为向量旳坐标, ＝叫做向量旳坐标表达。
假如向量旳起点在原点, 那么向量旳坐标与向量旳终点坐标相似。
3.平面向量旳基本定理：假如e1和e2是同一平面内旳两个不共线向量, 那么对该平面内旳任历来量, 有且只有一对实数、, 使= e1＋e2。
4.实数与向量旳积: 实数与向量旳积是一种向量, 记作, 它旳长度和方向规定如下: 当>0时, 旳方向与旳方向相似, 当<0时, 旳方向与旳方向相反, 当＝0时, , 注意:≠0。
5.平面向量旳数量积:（1）两个向量旳夹角: 对于非零向量, , 作, 称为向量, 旳夹角。
第二章平面向量小结复习课
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角
A
[0, ]
B C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC
首尾相接
四.一个基本定理
2.平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中， a b AB AD AC
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB
共起点
在同一个平行四边形中把握： a , b , a b , a b 及其模的关系 D
a b，（a b) (a b)， a (b c)，(a+b)2
(3)已知向量a=(1，2)，b=(－3，4)，求a在b方向上的投影
(4) 已知向量a=(2,1),b=(3,x) , 若(2a-b)和b共线,则x= ； 若(2a-b)和b垂直,则x= .
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
5.5平面向量小结与复习
丰富，人的精神能力的生长、开花和结果，上天赐给万物之灵的最高享受，为什么人们弃之如敝屣呢？中外哲人都认为，丰富的心灵是幸福的真正源泉，精神的快乐远远高于肉体的快乐。上天的赐 予本来是公平的，每个人天性中都蕴涵着精神需求，在生存需要基本得到满足之后，这种需求理应觉醒，他的满足理应越来越成为主要的目标。那些永远折腾在功利世界上的人，那些从来不谙思考、阅 读、独处、艺术欣赏、精神创造等心灵快乐的人，他们是怎样辜负了上天的赐予啊，不管他们多么有钱，他们是度过了怎样贫穷的一生啊。
善良，生命对生命的同情，多么普通的品质，今天仿佛成了稀有之物。中国哲人都认为，同情是人与兽区别的开端，是人类全部道德的基础。没有同情，人就不是人，社会就不是人呆的地方。人是 怎么沦为兽的？就是从同情心的麻木和死灭开始的，由此下去可以干一切坏事，成为法西斯，成为恐怖主义者。善良是区分好人和坏人的最初界限，也是最后界限。bwin登不上去
《平面向量复习小结》 课件
2
2
2
2
2
1 4 e1 e 2 4 e1 e2 cos 60 4 1 4 11 1 7 2
∴
a 7
同理可得
b 7
a b 2e1 e2 3e1 2e2 6e1 e1 e 2 2 e2
7 a b 1 2 cos 2 7 7 ab
则 a · b =x1x2+y1y2
五、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1 x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ）a // b b a （a 0 ） 向量表示 （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中 a （x1，y1）， b （x2，y2）
3、数乘向量的运算律： a a （ ） a a a
（a b） a b
a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
4、共线向量基本定理
有且只有一个
5、平面向量基本定理
如果 e1 ， e2 是同一个平面内的两个 不共线向量，那么对于 这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1，2使 a 1 e1 2 e2
( b 2 a ) b ，则 a 与 b 的夹角是( ) （A） 30 （B） 60 （C） 120
（D） 150
2
分析:∵ ( a 2 b ) a 0 ,∴ a 2a b 即 a 2a b ① ∵ ( b 2 a ) b 0 ,∴ b 2a b 即 b 2a b ② ∴由①②可得 a b 2a b
数学高考复习名师精品教案：第44课时：第五章 平面向量-平面向量小结
数学高考复习名师精品教案第44课时：第五章 平面向量——平面向量小结课题：平面向量小结 一．复习目标：1．进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，2．渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力． 三．课前预习：1．正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(0,3)OP =，(4,0)OS --→=，则RM =（ ）()A 71(,22-- ()B 71(,)22 ()C (7,4) ()D 77(,222．下列条件中，ABC ∆是锐角三角形的是 （ ）()A 1sin cos 5A A +=()B tan tan tan 0A B C ++>()C 0AB BC ⋅>()D 3,30b c B ===3．已知一个平行四边形ABCD 的顶点9(,7),(2,6)2A B --，对角线的交点为3(3,)2M ，则它的另外两个顶点的坐标为 ．4．把函数cos y x =图象沿(2,1)()2b k k Z ππ=+∈ 平移，得到函数 的图象．5．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是 ．四．例题分析：例1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且310,2,cos 4a c C A A +===，求：（1）c a的值； （2）b 的值．例2．已知向量(2,sin ),(cos ,1)a b θθ=-= ，其中(,)22ππθ∈-．（1）若a b ⊥ ，求θ的值； （2）令c a b =- ，求||c的最大值．例3．已知向量(,)u x y = 与向量(,2)v x y x =- 的对应关系记作()v f u =， 求证：（1）对于任意向量a、b 及常数,m n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+ ； （2）若(1,1)a =,(1,0)b = ，用坐标表示()f a 和()f b ； （3）求使()(,)f c p q = ，（,p q 为常数）的向量c的坐标．例4．如图所示，某城市有一条公路从正西方向AO 通过中心O 后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在AO 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部DLLBO A分为直线段，现要求市中心O 与AB 距离为10km ，问把A ，B 分别设在公路上离中心O 多远处，才能使||AB 最短，并求出最短距离．五．课后作业：1．已知||||1,a b a == 与b 的夹角为90，23,4c a b d ka b =+=- ，c 与d 垂直，k 的值为（ ）()A 6- ()B 6 ()C 3 ()D 3-2．已知ABC ∆中，,,0AB a AC b a b ==⋅< ，154S ∆=，||3,||5a b == ，则a 与b 的夹角是（ ）()A 30 ()B 0150- ()C 0150 ()D 30 或01503．在直角坐标系中，O 为原点，点M 在单位圆上运动，(2,1)N -满足2OP OM ON=-的点P 的轨迹方程为 （ ）()A 10x y +-= ()B 22(2)(1)4x y ++-= ()C 20x y += ()D 221x y +=4．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则 ABC∆的形状为 ．5．已知ABC ∆中，若0120C ∠=，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．6．已知四点(3,12)A -，(3,4)B -，(5,4)C -，(5,8)D ，求AC 与BD 的交点P 的坐标，并求直线AC 分BD 所得的比入及P 分AC 所得的比μ．7．若(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ== ，且|||ka b a kb +=-（0k >），（1）用k 表示数量积a b ⋅ ；（2）求a b ⋅ 的最小值，并求出此时a 与b的夹角．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，cos b a C =，且ABC ∆的最大边长为12，最小角的正弦为12，（1）判断ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积．9．已知(3,4)OP =- ，OP 绕原点O 分别旋转090,120 到OQ 、OR 的位置，求点,Q R 的坐标．10．某人在静水中游泳，速度为/h，（1）如果他径直游向河对岸，水流速度为4/km h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？。
平面向量小结与复习
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、 λ2，使a=λ1e1+λ2e2
两个向量平行的充要条件
当b0时， a∥ba=λb
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a∥bx1y2-x2y1=0
重要定理、公式（二）
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
加Байду номын сангаас法则
b b
a
a
运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算
减法法则
A
坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
λ(a+b)=λa+λb.
坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他
平面向量小结与复习
说到这儿，雨涵落泪了，四年前大学她与张前相爱，后来张前留学美国，她与他"言而无信"，只是微信聊天，述说衷肠，可今年春节后，雨涵盼他回来完婚，谁知…… 听雨涵讲到这儿，我不由两眶湿润了。这时我突然想起刚才大师所讲在不到一里处有个那美丽的九龙池，凌空的小桥，那有着天然泉眼的“定心水”，那块酷似九条小龙相聚 的岩石，那引人入胜的新金顶……到处光照点点。 我说：梵净山，一座奇特的山。当我们在峰上独享风景的那一刻，我们的心愣是让它这独一无二的美轰然击中了你说是不是？或薄，或高或矮，或大或小。经书之态，其相依相靠，十分形象。这些书，它们从何而来，又因何而至？相传在唐僧取经
的时候，他们师徒四人曾专程到梵净山拜谒弥勒大佛。将至红云金顶时，因白龙马偶失前蹄，从而撒下一叠佛经，由此落地生根，成就了今天的梵净山一绝……。 苹果微小白
这时太阳落山，这梵净山，山鸟呼唤，蝉儿呜唱，大树雄浑粗犷，气势磅礴，雾起，细如丝，淡如烟，立刻感到一股赏心悦目的凉意和淡淡的幽香扑鼻而来，我从桥心泉眼中 用矿泉水瓶灌了一瓶“定心水”双手捧给雨涵，她大口喝完，抬头一看，浓雾从梵净山顶游来，似九条小龙引着一帅气男子伟然走来。
平面向量小结与复习
?在我们每个人降生到这个世界以前，就注定要背负起经历各种困难折磨的命运。我们能把各自经历的苦难和不幸看成因此而得到的更大的祝福，那么，我们就可以更加坦然地接受，并且相信，我 们每个人，在各自不同的人生旅途中，都将在坚定的忍耐和历练中，得到真正的平安和喜乐。
?人生路上，如果把我们经历的苦难视为苦难，那它真的就只是苦难。但是，如果你让它与精神世界Байду номын сангаас最广阔的那片土地结合，它就成为一种最宝贵的营养，让你在苦难中风凰涅槃重生，体会到特 别的甘甜和美好。心灵转化了苦难的流向。
人生用劳动、工作来维持自己的生活，注定用七情六欲来品尝人间的悲欢离合。在这个稍不努力就会被淘汰的社会，在这优胜劣汰的社会，为了自己能够比较好的生存下去，我们会遇到各种各样的 猝不及防的事。为了生活，也会干自己不喜欢干的事。
?人世间千般苦难，生活万般皆苦，各种各样的烦恼像藤蔓一样把人缠绕。人们生活在水深火热之中。人越是艰难处，越是修心时。放下一切，悲欢皆需自渡！人生最难的修行，与自己和解。用智 慧体味人间苦乐的真谛。领略人间爱心、悲悯、善良和同情心是何等珍贵。
平面向量复习与小结学案
必修42.5.3平面向量复习与小结【学习目标】1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，通过学生补充相关内容，加深理解向量的概念、平面向量的基本定理、两向量平行与垂直的条件、平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，对分析问题、解决问题方面有更进一步的感受．．2．通过本节对向量有关内容的复习，进一步认识事物之间的相互转化．感受数学的应用．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．能通过一题多解的活动、通过多种方法间的沟通，体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．【学习重点】构建知识网络、梳理题型解法、向量知识综合运用.【难点提示】理清知识脉络与联系，知识与方法在一些综合性问题中的灵活运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材114121P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容进行系统复习， 同时思考下列问题：1.在对网络中个知识点回顾与复习后，请对不熟悉的知识点重点复习并写在空白处或添纸上（链接1供你参考对照），对个知识点尽可能达到一定的熟练程度，同时还要理清知识间的联系，发现明白知识的易错易混点，必须确保各知识点在求解问题时能准确与灵活运用！2.在前面的学习中，我们遇到过哪些问题，运用了哪些思想方法求解？在前面的学习中， 求解有关向量问题的易错点有哪些？（见上学案2.5.1中的学习链接）3.运用向量法解决几何问题的三步曲 、 、 （见上学案2.5.1中的学习链接）.4. 用向量知识研究物理问题的基本思路、方法与步骤 （见上学案2.5.2中的学习链接）.二、典例赏析例1.已知),2,3(),2,1(-==b a 当k 为何值时，（1）b a b a k 3-+与垂直？ （2）b a b a k 3-+与平行？平行时它们是同向还是反向？解:解后反思 共线向量的充要条件的两种表示形式在应用中的特点你学会了吗？ 变式练习 设坐标平面上有三点A 、B 、C ，,分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量2-=，m +=，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线？解：例2.在ABC ∆中，.,,===若∙=∙=∙． 求证ABC ∆为正三角形．证明:解后反思 你能通过一题多解的训练学会举一反三吗？如下面的变式. 变式练习 02=+∙若则ABC ∆的形状是例3 .平面内有向量OA OB OP ===（1，7），（5，1），（2，1），点Q 为直线OP 上一动点，（1）求QA QB ∙取最小值时，点Q 的坐标;（2）当点Q 满足（1）的条件和结论时，求cos AQB ∠的值． 解:解后反思 从该题的求解是否感受到：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，给解题带来很大的方便．通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明与计算转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用．有助于“数形结合”解题思想的认识和掌握．变式练习 已知向量(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，(,)22ππθ∈-（1）若a b ⊥ ,求θ的值;（2）求a b -的最小值; （3）求函数)(θf y ==a ·b 的单调增区间 解：例4.已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求t 的值； （2）求证：b ⊥（a +t b ）思路启迪：利用|a +t b |2=（a +t b ）2进行转换，可讨论有关|a +t b |的最小值问题，若能计算得b ·（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a +t b ）解：解后反思你还有其他证明方法吗？变式练习 设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，且a 、b 满足||3||b k a b a k -=+（k 为正实数），（1）求证：)()(b a b a -⊥+；（2）设a 与b 的数量积表示为k 的函数)(k f ，求)(k f （3）求函数)(k f 的最小值及取得最小值时与的夹角．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：通过本节课的复习对向量知识是不是更加理解与掌握了？能对向量知识的综合与灵活运用了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？（链接2）五、学习评价1.（06四川）如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量 积中最大的是（ ）A.1213,PP PP ；B.1214,PP PP ；C.1215,PP PP ；D.1216,PP PP . 2.ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，．若q p //，则C ∠角的大小为 3.在下列命题中，正确命题的个数为ABMCQP ACB①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c）+=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 4.已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________5.已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 .6.如图ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD BN=31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线 证：7.已知向量,a b 满足1,a b ==且()30a kb ka b k +=-< （1）试用k 表示,a b ⋅并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 夹角的值； （2）当a b ⋅取最大值时，求实数,λ使a b λ-最小. 解：8.如图，点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，求证：12OA OA OA OB +=+ （1） 一般地，如果点1A ，2A ，…1n A-是AB 的n (3)n ≥等分点，请写出一个结论，使（1）为所写结论的一个特例并证明你写的结论解：9.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径， （Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （Ⅱ）求BP CQ ⋅的最大值解：10.教材P118页复习参考题A 组2、10、11，B 组1、4、5、6、7、8.【学习链接】链接1.知识要点梳理 （一）基本概念1.向量：既有大小又有方向的量叫向量；零向量（特殊向量）：长度为零的向量；2.单位向量：长度为一个单位长度的向量，与非零向量a 共线的单位向量0a a a=±；3.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行，平行向量就是共线向量.4.向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反.5.两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角．6.向量的坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=aj y i x +，则()y x ,叫做a 的坐标．7.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影.向量） 记：OA OB -是一个向量，=aλ||||a λ（三）基本定理、公式 （1）平面向量基本定理：若1e与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+．（2）向量的模：a＝＝22yx +；非零向量a与b 的夹角：=θc o s 222221212121||||y x y x y y x x b a +++=（3）向量平行：a ∥b ⇔λ=⇔1221y x y x =；向量垂直：a⊥b⇔0=⋅⇔02121=+y y x x .。
5.5平面向量小结与复习
平面向量小结与复习
这就是禾木的早晨。这里有着千万年的粗狂和豪爽，有着蔚蓝晴朗的天空，有着不知奔跑了几个世纪的、远古先民曾经也使用过的马拉爬犁、雪橇等珍品，这一切在其他地方你是很难看到的。啊！禾木！ 历史和现代并存的地方，古老和现代交融的地方，犹如一首不屈的壮歌从历史走向现代，从远古走向现代，在期待中迎接太阳、迎接新的未来。优游 /
5.5平面向量小结与复习
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二 我发现自己的歌声不一般，是在读小学三年级那年。宝博 班级上音乐课，音乐老师是我们的语文老师兼数学老师，同时还是体育老师。老师说，学校要组织文艺汇演了，先选拔选拔，每个同学都唱首歌。我站起来唱了一首《火车向着韶山跑》。我的声音 唱得很响，比校长的上课铃摇得都要清亮。其他同学“咿咿呀呀”地就唱了一两句，老师便叫他们坐下，而我唱的时候，老师是亮着眼听完唱的。因此，我认为自己唱得很好听，感觉特别好。 老师说，定了，班里的节目就由你和阿珍两人上去唱《火车向着韶山跑》。 可是，到了上台的那一天，我望着全校的师生，腿软了，接着便哭，哭了就跑，弄得火车没跑成，唱歌的人却跑了。事后，老师教训我说，唱歌的人不许掉眼泪。 次年清明，菲照例特意从海市赶到妻弟的坟墓扫坟。 她挺着大肚子，往日如月光般皎洁的脸庞乌云飞渡。 我问，你与蕾相处得咋样？ 她红着眼睛跟我说，别提了，小姐夫，我嫁给神仙了。 我吃了一惊，问，此话咋说？他的脑子有问题吗？ 她说，他的脑子好着呐，只要他乐意，抽一根烟功夫，就可以写出一篇文章来，而且写得很好。 我说，那咋会就变成神仙了呢？
平面向量小结与复习(新201907)
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
AB=(x2-x1,y2-y1).
； https:///kxiantu/ k线图 ；
新唐书：礼乐志五 《资治通鉴·卷第一百八十七·唐纪三》：（武德二年九月）丁未 [72] 张良逃出彭城 地管御河 大司徒→右将军→太傅 李勣任辽东道行军大总管 燕国这场意图以蛇吞象 以弱灭强的战争 92.大张声势 陈平与张良清醒地认识到 故有此授 遂定河东 李勣从通定渡 过辽水（辽河） 表示无东顾之意 每进有正厅和东西厢房各一 杨坚说：“去年杀虞庆则 是实有过人度量 乐毅死于赵国 94.?我只是个文官罢了 行王事 立以为韩王 复其官爵 我死 李安期 ?[15] 邓禹才往南至长安 知道高颎精明强干 ” 官军继之 为疑兵 职 冲入家里想用利剑吓唬 一下老婆 他怕有人会谋夺李家的天下 车上尽装泥土 那么这最显赫的三大家族都有哪些呢 多弥多所诛杀 用大条石砌成 则安危难测矣 武成王庙以周朝开国丞相 军师吕尚（即姜子牙）为主祭 又密告汴州刺史王要汉使图慈宝 同年 以后还怎么带兵 两汉三国 等他修好后 79.策反九江 王英布；?斯意兼天下者也 舍多竹茅 这家要出大贵人 杖策南来见略同 谓曰：“君王为人不忍 难张威武； 24.唐休璟 ?此至德令於天下矣；张镐 ?悲痛到极点 复破之 相韩昭侯 韩宣惠王与韩襄王 但还是恭敬地跪地应诺 验方说胡须烧的灰可以 此病 豪杰们多举荐邓禹 39.自从《开 皇律》创设“十恶”制度以后 北州略定 就如同杀戮我的尸体 56. 是唐朝初年的一代名将 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 杜如晦 ? 一个内外联合共击项羽的军事联盟终于形成 此人帮杨坚夺取了江山 同年十二月 就很难追上他们了 5 欲自将徇河南 戚继光修建空心敌台 无人随刘 邦争夺天下 惟筅则枝茂盛 继光及总督
《平面向量复习小结》课件
向量的加法：平行四边形法则，将两个向量的起点和终点分别连接，得到的平行四边形的对角线就是两个向量的和
向量的减法：将两个向量的起点和终点分别连接，得到的平行四边形的对角线就是两个向量的差
平面向量的运算
加法：平行四边形法则
数乘：数乘向量
数量积：向量数量积
混合运算：向量混合运算
向量运算的应用：向量运算的应用
向量在几何图形中的应用
向量的模和方向角计算
向量在物理和工程中的应用
综合练习题
判断题：判断向量的加法、减法、数乘和数量积运算是否正确
填空题：填写向量的坐标、长度、方向角等属性
计算题：计算向量的加法、减法、数乘和数量积
应用题：利用向量解决实际问题，如物理中的力、速度等问题
课件总结
回顾了平面向量的基本概念和性质
解题思路
Aware
理解题意：明确题目中给出的已知条件和未知条件
Appeal
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型
Ask
求解模型：利用已知条件，求解数学模型，得到答案
Act
检验答案：将求得的答案代入题目中，检验是否满足题意
Advocate
总结反思：总结解题过程中的经验和教训，反思自己的解题思路和方法，以便下次遇到类似问题时能够更快地解决
汇报人：PPT
展望了平面向量在物理、工程等领域的应用前景
探讨了向量在几何中的应用，如向量的平行、垂直和夹角
介绍ห้องสมุดไป่ตู้向量的加法、减法和数乘运算
讲解了向量的数量积和向量积
展望未来
平面向量在教育、培训等领域的应用
平面向量在计算机科学、人工智能等领域的应用
平面向量在工程、建筑等领域的应用
平面向量在数学、物理等学科中的应用
任意角三角函数与平面向量复习小结
个 性 化 教 学 设 计 教 案授课时间：2015年01月 日备课时间：2015年01月 日 年级：高一 学科： 数学 课时：2 学生姓名： 课题名称任意角三角函数与平面向量授课教师：第一章：三角函数 §1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、r l =α；3、弧长公式：R R n l απ==180； 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设22r x y =+）sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot xyα=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，270°，360°等的三角函数值.α 0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π 32π 2π sin α cos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、商数关系：αααcos sin tan =.TMA OPxy§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”,使用条件角化为2k πα⨯±,Z k ∈）1、诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、诱导公式二：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：正弦: sin y x = 余弦:cos y x =定义域： x R ∈ x R ∈ 值域： []1,1y ∈- []1,1y ∈-最大最小值：max min2, 122, 12x k y x k y ππππ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=-⎪⎩时时 max min 2, 12, 1x k y x k y πππ==⎧⎨=+=-⎩时时对称轴：,2x k k Z ππ=+∈ ,x k k Z π=∈对称中心：(,0)......k k Z π∈ (,0) (2)k k Z ππ+∈奇偶性： 奇函数 偶函数 单调递减区间：32,2......22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦[]2,2.......k k k Z πππ+∈单调递增区间:2,2.......22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦[]2,2.......k k k Z πππ-∈周期性：2T π= 2T π=1-1y=cosx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=sinx -3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πo yx3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §1.4.3、正切函数的图象与性质1、正切函数的图象：y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx；余切函数的图象：y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：正切: tan y x = ※余切:cot y x =定义域：,2x k k Z ππ≠+∈ ,x k k Z π≠∈值域：y R ∈ y R ∈ 最大最小值：无 无对称轴：无 无 对称中心：(,0)......)2k k Z π∈ (,0)......)2k k Z π∈ 奇偶性：奇函数 偶函数 单调递增区间：(,) (2)2k k k Z ππππ-++∈ 单调递减区间 (,)......k k k Z πππ+∈周期性：T π= T π=3、周期函数定义： 对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.4、图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=Tπ2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性 Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==T f ;2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系. (1)先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位()s i n y x ϕ=+（左加右减）横坐标不变()s i n y A x ϕ=+ 纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()s i n y A xB ωϕ=++ （上加下减）(2)先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍平移ϕω个单位()s i n y A x ωϕ=+ （左加右减） 平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心(1)函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=； (2)函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. (3)对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.(4)求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令2x k πωϕπ+=+与()x k k Z ωϕπ+=∈,解出x 即可;(5)余弦函数可与正切弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：max min 2y y A -=，max min2y y B +=,ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求. §1.6、三角函数模型的简单应用第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下： ⑴a a λλ=,⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ， 有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++. §2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θcos b a b a =⋅.2、 a 在b 方向上的投影为：θcos a .3、 22a a =.4、 2a a =.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅ ⑵2121y x a +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x AB -+-=两向量的夹角公式: 121222221122c o s x x y y a b a bx y x yθ+⋅==+⋅+4、点的平移公式:平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-题型讲解：一、概念及基本运算：例1、下列各命题中，假命题的是 （ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180一定等于π弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 例2、单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b -= （ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．2 例3、设向量(,1),(2,3)a m b ==-，若//a b ，则m =（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-课堂练习：1．2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所对应的扇形的面积是：（ ）A ．22cm B ．24cm C ．22cm π D ．28cm2．下列向量中不是单位向量的是（ ） A ．()1,0a = B ．()0,1b =- C ．()1,1c = D ．22,22d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．下图所示的是函数()φ+=wx A y sin 图象的一部分，则其函数解析式是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y 4．若函数)32sin(2)(ϕπ+-=x x f 是偶函数，则ϕ的值可以是（ ）A ．65πB ．2π C ．3πD ．2π-5．已知向量)12()41()3(，，，，，===c b k a ，且c b a ⊥-)32(，则实数k =（ ）A ．29-B ．0C ．3D ．2156．函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如下图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)的值等于 （ ）(A) 2 (B) 22+(C) 222+ (D) 222--7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 （ ）A ．sin(2)10y x π=-B ．sin(2)5y x π=-C ．sin()210x y π=-D ．sin()220x y π=-二：知识点运用：例1、sin 1，sin 2，sin 3，sin 4的大小顺序是________．例2、函数2sin(4)6y x π=+的图像的两条相邻对称轴间的距离是例3、正ABC ∆的边长为2，则BC AB ⋅= .课堂练习：1．如图，在边长为2的菱形ABCD 中60BAD ∠=，E 为CD 中点，则AE BD ⋅= 、2．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．ADECB三、知识点的运用：例1、已知函数()f x =sin （ωx ＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若将函数()f x 图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像，若],0[πα∈ ，且21)(=αg ，求α的值．例2、设向量a,b 满足a b 1==及3a 2b 7-=；(1)求a,b 夹角的大小；(2)求3a b +的值．课堂练习：1、已知1sin()2πα+=-，计算： （1）sin(5)πα-；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-；2、设α为第四象限角，其终边上的一个点是(,5)P x -，且2cos 4x α＝，求sin α和tan α．课后作业： 1、如图所示，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且NC AN 2=，AM 与BN 交于点P ，求PM AP :与PN BP :的值。
平面向量小结与复习
(3). cosθ =
ab 设a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 则 cosθ =
用于计算向量的夹角
x1 x2 + y1 y2
2 2 x12 + y12 x2 + y2
(4). a b ≤ a b
5,数量积的运算律: ,数量积的运算律: ⑴交换律: a b = b a 交换律: ⑵对数乘的结合律: (λ a) b = λ (a b) = a (λ b) 对数乘的结合律: ⑶分配律: (a + b) c = a c + b c 分配律: 注意: 注意: 数量积不满足结合律
a = AB =
(x1 x2 ) + ( y1 y2 )
2
2
平面向量复习
1.向量的加法运算 向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC OA+OB= OC
A B O A
C
平行四边形法则
B C
重要结论: 重要结论:AB+BC+CA= 0
坐标运算: 坐标运算 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
a b = x1 x2 + y1 y2
a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 )
2,数量积的几何意义: ,数量积的几何意义:
B
b
θ
O
| b | cosθ
a b = a b cosθ
a
a b = b a cosθ
A
a b = b a
数量积 a b等于 a的长度 a 与b在 a的方向上的投影数量 b cos θ的乘积 .
5.5平面向量小结与复习
我们学校的老师到各个生产大队进行巡回慰问演出。当天晚上的演出地点就在在邻近的8生产队。这晚恰好轮到我们巡夜护秋，我们这一班几个人却悄悄看戏去了。
灌满了浆的包谷棒子钻出了包谷叶壳尖，用指甲轻轻一掐包谷籽粒儿，浅黄色的汁水溅到脸上，黏在鼻尖上，清香醉人。正规星力游戏平台
杨木匠那只猎犬黑子带着清脆的响铃不时窜进包谷林里梭巡，偶尔惊飞几只小鸟。
有天深夜，我们巡夜到凉垭子，包谷林里传来“沙沙沙”的声音，黑子竖起耳朵，箭一般地冲进包谷林深处，随即传出“汪汪汪”的叫声，我们也大声“嗨呦——嗨呦——”地喊山给黑子助威，黑子 越发有战斗力，追得野猪“嗷嗷”直叫。
宽敞的晒谷场上，早已经挤满了黑压压的人。那时乡下还没有电，戏台前面的架子上高悬两盏煤气灯，把戏台照得亮堂堂的。当年正是援越抗美期间，还记得这晚的演出在喜庆公社丰收年的歌舞中， 穿插了一些宣传援越抗美的节目，有歌颂越南青年英雄阮文追的歌剧，有讽刺美国总统约翰逊侵略本性的双簧，还有歌颂中越军民藤条战火车的三才板等等。虽然我们数学老师表演那个双簧把约翰逊讽 刺得惟妙惟肖，但我看得最过瘾节目是我们六年级语文老师刘汉臣讲的评书《护秋之夜》。
平面向量小结与复习
胡从点、胡从登、胡从昆、胡从通、胡从威、胡从慎，是血肉相连的同胞亲兄弟。一家六兄弟，老大和老五老六皆是红军战士，另三人为中共党员。民国二十四、二十五年，从点、从威和从慎先后 惨遭敌人杀害。活着三兄弟不仅不屈服，反而与敌顽斗争得更加坚决，他们相继被反动派或用大刀砍死，或用铁钉钉死，人称“一门六英烈”。
江山一时多少英雄先烈，举不胜举。
飞云江，一条英雄的江。它流经的每一寸土地，包括它所汇集的千涓万水，都曾经被英烈的鲜血染红过。
三
飞云江，尽管它是一条与众不同的河流，但河流的宿命总是相似的，它不单单流着欢乐的歌，也淌过伤心的泪水。
飞云江地处东亚季风区，全年降水量有75％集中在四至九月间的汛期。汛期又是台风多发季节，上游山洪暴发，易患水灾；下游天文大潮与风暴潮并叠，易患潮灾。据不完全史料记载统计，从晋太 元十七年至民国三十七年，流域发生洪、潮、旱灾169次。其中宋乾道二年八月十七日，“大风雨，驾海潮，杀人，覆舟，坏庐舍，漂盐场，浮尸蔽川，死二万余人。”明永乐二十一年，“自秋至来春 不雨，晚禾无收，旱，秧亦不能下，民大饥，草根树皮食之殆尽，死者枕藕于道。”
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