2020-2021年高一数学 同角三角函数的基本关系式(一)
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
高一数学人必修课件同角三角函数的基本关系
在解题前，先确定三角函数的定义 域，避免在解题过程中出现定义域 不符的情况。
易错点二
混淆不同三角函数之间的关系。
避免方法
熟练掌握同角三角函数的基本关系， 并在解题时仔细分析题目所给条件， 正确选择应用的关系式。
易错点三
忽视三角函数在各象限的符号。
避免方法
在解题前，先判断角所在的象限， 然后根据三角函数在各象限的符号 来确定函数值的正负。
周期性
正弦函数、余弦函数具有周期性，周期为$2pi$，即$sin(alpha + 2kpi) = sinalpha$，$cos(alpha + 2kpi) = cosalpha$（$k$为 整数）。正切函数、余切函数周期为$pi$，即$tan(alpha + kpi) = tanalpha$，$cot(alpha + kpi) = cotalpha$（$k$为整数）。
定义域
反三角函数的定义域是原三角函数的值域。例如 ，反正弦函数的定义域为 $[-1, 1]$，反余弦函 数的定义域也为 $[-1, 1]$，反正切函数的定义 域为全体实数 $R$。
单调性
反三角函数在其定义域内具有单调性。例如，反 正弦函数和反余弦函数在 $[-1, 1]$ 上单调递增 ，反正切函数在 $R$ 上单调递增。
05
在实际问题中应用举例
角度制与弧度制转换问题
角度与弧度的互化
实际问题中的角度与弧度
理解角度与弧度之间的转换公式，并 能熟练进行互化运算。
理解实际问题中角度与弧度的应用， 如地理中的经纬度、物理中的振动频 率等。
弧度制下的三角函数计算
掌握在弧度制下计算三角函数值的方 法，如正弦、余弦、正切等。
三角形内角和定理相关问题
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
高一数学三角函数基本公式
⾼⼀数学三⾓函数基本公式 三⾓函数是⾼中的⼀个重要知识点，是经常要考察的内容，下⾯百分⽹店铺为⼤家整理了⾼⼀数学三⾓函数的基本公式，希望能对⼤家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业⽣⽹！ 公式⼀： 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式⼆： 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π+α）= —sinα cos（π+α）= —cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意⾓α与 —α的三⾓函数值之间的关系： sin（—α）= —sinα cos（—α）= cosα tan（—α）= —tanα cot（—α）= —cotα 公式四： 利⽤公式⼆和公式三可以得到π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π—α）= sinα cos（π—α）= —cosα tan（π—α）= —tanα cot（π—α）= —cotα 公式五： 利⽤公式—和公式三可以得到2π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（2π—α）= —sinα cos（2π—α）= cosα tan（2π—α）= —tanα cot（2π—α）= —cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= —sinα tan（π/2+α）= —cotα cot（π/2+α）= —tanα sin（π/2—α）= cosα cos（π/2—α）= sinα tan（π/2—α）= cotα cot（π/2—α）= tanα sin（3π/2+α）= —cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= —cotα cot（3π/2+α）= —tanα sin（3π/2—α）= —cosα cos（3π/2—α）= —sinα tan（3π/2—α）= cotα cot（3π/2—α）= tanα （以上k∈Z） 【拓展】⾼⼀数学三⾓函数的解题思路 第⼀：三⾓函数的重要性，即使你⾼⼀勉强过了，我希望你能在暑假好好学习三⾓函数知识。
高一数学必修四-6.同角三角函数的基本关系PPT教学课件
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
高一数学同角三角函数的基本关系式知识精讲
高一数学同角三角函数的基本关系式【本讲主要内容】同角三角函数的基本关系式【知识掌握】 【知识点精析】1. 同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin cos tan sec cot csc 222222111αααααα+=+=+=，， （2）商数关系：tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）倒数关系：tan cot cos sec sin csc αααααα⋅=⋅=⋅=111，，应用公式时需注意：①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，等式中涉及的角是同一个角，如sin cos 22331αα+=，tan()cot()-⋅-=1001001，而sin cos 221αβ+=就不一定成立。
②利用平方关系进行开方运算，要注意结果的符号，必要时，要进行分类讨论。
③这些关系式是对使它们有意义的那些角而言的。
如：tan sin cos ααα=是当αππ≠+∈k k z 2()时才有意义。
④在计算、化简、证明三角函数式时常用技巧有：i ）“1”的代换。
根据需要，常将算式中的“1”用“sin cos 22αα+”；“sec tan 22αα-”；“sin csc αα⋅”；“tan cot αα⋅”代换。
ii ）切化弦。
利用商数把正切、余切化为正弦、余弦函数。
iii ）整体代换。
将算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。
⑤公式应用非常广泛，因此除牢记公式原型外，还应注意公式的逆用，变形用。
如：cos sin 221αα=-，sin tan cos ααα=⋅，sin cos (sin cos )αααα⋅=+-212等等。
2. 同角三角函数基本关系式的应用（1）已知一个角的某个三角函数值，求它的其他三角函数值。
①尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号。
②尽量避免使用平方关系（在一般情况下只能使用一次）。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
2020-2021学年高考数学(理)考点：同角三角函数基本关系式及诱导公式
A． 2 3
B． 2 3
C． 2 3
D． 2 3
【答案】B 【解析】
tan 645 tan(2 360 75) tan 75 tan(45 30) 1 tan 30 1 3 2 3 ． 1 tan 30 1 3
故选 B ．
14．（2020•福州一模）若
tan(
联立①②，解得 sin 3 ， cos 4 ，
5
5
则 sin cos 1 ． 5
故选 C ． 2．（2019•新课标Ⅰ） tan 255 ( )
A． 2 3
B． 2 3
C． 2 3
D． 2 3
【答案】D
【解析】 tan 255 tan(180 75) tan 75 tan(45 30)
故选 D ．
15．（2020•大观区校级模拟）若 sin( ) 3 ，则 sin(2 2 ) ( )
12
2
3
A． 1 2
B． 1 2
C． 3 2
D． 3 2
【答案】A
【解析】因为 sin( ) 3 ，
12
2
所以
cos(
2 )
1
2(
3)2 1 ，
6
2
2
所以 sin(2
)
34
2 cos
cos
2 sin
sin
34
34
2 1 2 2 3 2
22
22
2 6． 2
故选 D ．
7．（2020•新疆模拟）已知 是第二象限角，且 cos(3 ) 1 ，则 cos ( )
2
4
A． 15 4
B． 1 4
C． 1 4
D． 15 4
高一数学同角三角函数的关系
第17讲 │ 要点探究
[思路] 由于 π 的系数 k 为奇数和偶数时，诱导公 式的情况不同，故分 k 为奇数和偶数分类求解．
第17讲 │ 要点探究
2 若 2sin2x－cos2x＋sinxcosx－6sinx＋3cosx＝0， 求 2cos2x＋2sinxcosx 的值． 1＋tanx
第17讲 │ 要点探究
[思路] 把已知条件进行变换，得到关于 sinx，cosx 的关系，求出 tanx 的值，再根据齐次式的变换方法，变 换求解目标为关于 tanx 的表达式．
第17讲 │ 要点探究
(1)C (2)D (3)C
1 [解析] (1)cos300° ＝cos(360° －60° )＝cos60° . ＝ 2 (2)由于 600° 在第三象限，所以 cos600° <0，所以 cos2600° ＝－cos600° ＝－cos(360° ＋240° )＝－cos240° 1 ＝－cos(180° ＋60° )＝cos60° . ＝ 2 (3)因为 sin168° ＝sin(180° －12° )＝sin12° ， cos10° ＝cos(90° －80° )＝sin80° ， π 又由于正弦函数 y＝sinx 在区间0， 上为递增函数，因 2 此 sin11° <sin12° <sin80° ，即 sin11° <sin168° <cos10° .
第17讲 │ 要点探究
A
[解析] 若 k 为偶数，则
sin(－α)cosα －sinαcosα 原式＝ ＝ ＝－1； sin(π＋α)cos(π－α) (－sinα)(－cosα) 若 k 为奇数，则 sin(π－α)cos(π＋α) sinα(－cosα) 原式＝ ＝ ＝－1. sinαcosα sinαcos(－α) 故正确选项为 A.
高一数学同角三角函数的基本关系式第一课时教案
教学手段应用
01
02
03
多媒体教学
利用PPT、动画等多媒体 手段，直观展示同角三角 函数的基本关系式，帮助 学生更好地理解知识。
板书教学
在黑板上详细写出同角三 角函数的基本关系式，便 于学生记录和回顾。
实验教学
通过实验演示，让学生观 察三角函数的图像和性质 ，加深对知识的理解和掌 握。
04
教学过程设计
高一数学同角三角函数的基 本关系式第一课时教案
汇报人：
汇报时间：202X-12-18
目录
• 教学目标与要求 • 教学内容与重点难点 • 教学方法与手段 • 教学过程设计 • 评价方式与标准 • 教学反思与改进措施
01
教学目标与要求
知识与技能目标
掌握同角三角函数的基本关系式：sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ。 理解同角三角函数的关系及其几何意义。
改进措施提出
针对学生个体差异
在教学过程中，我将更加注重学生的个体差异，提供更加个性化的教学方案。对于接受能 力较强的学生，我将提供更高难度的练习和挑战；对于接受能力较弱的学生，我将提供更 多的指导和帮助，确保每个学生都能够掌握所学知识。
加强实践能力和解题技巧的培养
在教学过程中，我将更加注重学生的实践能力和解题技巧的培养。通过更多的练习和指导 ，提高学生的解题能力。同时，我将引入更多的实际问题和案例，让学生更加深入地了解 数学知识的应用价值。
评价标准制定
知识点掌握程度
评价学生对同角三角函数基本关系式相 关理论知识的理解和掌握程度。
应用能力
评价学生运用同角三角函数基本关系式 解决实际问题的能力。
学习态度与习惯
2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：5-2-2 同角三角函数的基本关系
[解] (1)原式
＝
sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130° sin130°＋ cos2130°
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss113300°°||＝ssiinn113300°°－－ccooss113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoinsαα＋2sinαcosα＋cos2α·csoinsαα
[变式训练 2] 已知 tanα＝3，求下列各式的值： (1)ccoossαα－＋ssiinnαα＋ccoossαα＋－ssiinnαα； (2)sinα1cosα； (3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
解：(1)ccoossαα－＋ssiinnαα＋ccoossαα＋－ssiinnαα＝11－＋ttaannαα＋11－＋ttaannαα＝11－＋33＋
[变式训练 3] 化简下列各式： (1)12－sin22cαo－s21α； (2) sin2α－sin4α(其中 α 是第二象限角)．
解
：
(1)
2sin2α－1 1－2cos2α
＝
2ssiinn22αα＋－cossin2α2α－＋2ccoos2sα2α ＝
sin2α－cos2α sin2α－cos2α
第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利 用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．
[重点] 同角三角函数关系式的应用． [难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
D [答案] (2)见解析
[解析] (1)∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－153， ∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－－1532＝±1123. 又∵α 是第四象限角，∴cosα>0，∴cosα＝1123， ∴tanα＝csoinsαα＝－152.
【课件】同角三角函数的基本关系课件-2022-2023学年高一上数学人教A版(2019)必修第一册
1
cos
公式变形
2
2
cos 1
2
cos
1
sin
商数关系： =
其中（ ≠
应用一：已知, 求, .
+ ， ∈ )
sin
2
sin
cos 1 sin
以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．
(2)sinθ±cosθ 的符号的判定方法
sinθ－cosθ 的符号的判定方法：由
三角函数的定义知，当 θ 的终边落在
直线 y＝x 上时，sinθ＝cosθ，即 sinθ
－cosθ＝0，当 θ 的终边落在直线 y＝x
的上半平面区域内时，sinθ>cosθ，即 sinθ－cosθ>0；当 θ 的终边落在直线 y
课本182页、大本172页 双色笔、
演草纸、课堂笔记
5.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.根据三角函数的定义推导出同角三角函
数的基本关系式，
2.熟练掌握同角三角函数平方关系和商的
关系，并能正用、逆用、变形用。
3、会用同角三角函数基本关系求值、化简
与证明．
复习巩固：二定义、一法则、三公式
二定义：
证明：法一：由cosx≠0，知sinx≠±1,所以1±sinx≠0
cos x(1 sin x)
再将分母 1 变形为
解.
++
sin2α+cos2α,转化为形如
的分式求
+
2020-2021高中数学人教版第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系式 课堂含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时作业：5.2.2 同角三角函数的基本关系式课堂含解析第五章 5.25。
2。
21．已知sinα＝－错误!，α为第四象限角，则tanα＝（C) A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误![解析]由于α为第四象限角,所以cosα〉0，从而cosα＝1－sin2α＝错误!,所以tanα＝错误!＝－错误!，故选C．2．若α是第四象限角，tanα＝－错误!，则sinα等于(D）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误![解析］∵tanα＝错误!＝－错误!，∴cosα＝－错误!sinα.由sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝错误!,∵α是第四象限角，∴sinα〈0，∴sinα＝－513。
3．已知cosα＝错误!，则sin2α等于（A) A．错误!B．±错误! C．错误!D．±错误!［解析]sin2α＝1－cos2α＝错误!。
4．已知tanα＝－错误!，则错误!等于(A）A．错误!B．－错误!C．－7 D．7[解析］错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
5．求证：2(1－sinα）（1＋cosα）＝（1－sinα＋cosα)2.［解析]证法一：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2（cosα－sinα）＝1＋2（cosα－sinα）＋（cosα－sinα）2＝（1－sinα＋cosα）2＝右边．所以原式成立．证法二：左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα,右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα。
故左边＝右边．所以原式成立．证法三：令1－sinα＝x，cosα＝y,则（x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x。
故左边＝2x（1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y）2＝右边．所以原式成立．攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
三角函数公式1． 同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔 〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔 〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔 〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔 〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔 〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔 〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________． 三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α； 〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α． 〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔 〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔 〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔 〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔 〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔 〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为 ． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11． 求以下三角函数值： 〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12． 求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； 〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。
2021年高考数学理一轮复习 4-2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 精品课件
例 2 已知 f(α)＝sin(π－ cotα()－coαs－(2ππ－)siαn)(t－anπ(－－αα)＋32π) (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－32π)＝51，求 f(α)的值； (3)若 α＝－331π，求 f(α)的值．
[分析] 先用诱导公式逐项化简，再求值．
43，∴m＝
3 2.
(3)当 m＝ 23时，原方程变为 2x2－( 3＋1)x＋ 23＝0，
解得 x1＝ 23，x2＝21，
sinθ＝ ∴
3 2
cosθ＝ 或
3 2
，
cosθ＝21
sinθ＝21
又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6或 θ＝3π.
[规律总结] 在求角中，应注意同角所具有的 关系．同时在求角的大小时，应注意角的范 围.
求角问题
思维提示 注意角的范围
例 4 已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根
为 sinθ 和 cosθ，θ∈(0,2π)，求：
(1)1－sincθotθ＋1－cotsaθnθ 的值；
(2)m 的值；
(3)方程的两根及此时 θ 的值．
[解] (1)由韦达定理可知
sinθ＋cosθ＝ 32＋1，
备选例题 4 已知 sin(3π－α)＝ 2cos(32π＋β)和 3cos(－ α)＝－ 2cos(π＋β)，且 0＜α＜π，0＜β＜π，求 α 和 β 的值．
由①2＋②2，得
sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，
即 sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
∴sin2α＝12，sinα＝±
(2)左边＝sin2α·csoinsαα＋cos2α·csoinsαα＋2sinαcosα－csoinsαα ＝sin4α＋cossi4nαα＋co2sαsin2αcos2α－csoinsαα ＝1s－inαccooss2αα＝sinsiαnc2oαsα ＝tanα. ∴左边＝右边，原等式成立.
2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识点讲解)含详解
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法: ()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等.(3)和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.（二）诱导公式 六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x xx x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____.例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（ ）A ．15B ．15-C ．75D ．75-例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数()3πcos sin 12f ααα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(1)化简()f α；(2)若()15f α=，求sin cos αα和sin cos αα-的值．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 题型三：诱导公式及其应用例7．（2008·天津·高考真题（文））设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<例8．（2014·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）A ．B ．C ．0D ．例9．（2007·天津·高考真题（文））“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例10. （2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α. （2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 题型四：同角公式、诱导公式的综合应用例11. （2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知11sin(2)cos()cos cos 2229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭，则sin 3cos sin cos αααα-+＝（ ）A ．-7B ．53-C ．1 3- D ．5例12.（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.例13.（2016·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）=___________.例14．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为(,)P a b (0)b >，将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记β的终边与单位圆的交点为Q ．(1)若12a =-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角α的值；(2)若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值．【规律方法】1.明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法: ()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等.(3)和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.（二）诱导公式 六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【常考题型剖析】题型一：同角三角函数的基本关系式例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________ 【答案】12 【分析】首先求α的值，再求cos α. 【详解】tan α=α为第四象限角，2,3k k Z παπ∴=-+∈， 1cos 2α∴=.故答案为：12例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x xx x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____. 【答案】3 310【解析】 【分析】将sin cos sin cos x x x x +-=2左端分子分母同除以cos x ，得tan 12tan 1x x +=-，解得tan 3x =，2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110x x x x x x x x ====+++. 故答案为：3；310例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【答案】当α是第一象限角，则cos α， sin α； 当α是第三象限角，则cos α， sin α. 【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 解 由sin cos αα＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，故(2cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15.又由tan α＝2>0，知α是第一或第三象限角． 当α是第一象限角，则cos α， sin α； 当α是第三象限角，则cos α， sin α. 【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（ ）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】 【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=. 故选：C例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数()3πcos sin 12f ααα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (1)化简()f α；(2)若()15f α=，求sin cos αα和sin cos αα-的值．【答案】(1)()sin cos f ααα=+ (2)12sin cos 25αα=-，7sin cos 5αα-=- 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式直接化简即可，（2）对1sin cos 5αα+=平方可求出12sin cos 25αα⋅=-，再由π02α-<<可得sin cos 0αα-<，然后求出()2sin cos αα-，从而可求得sin cos αα-的值(1)()sin sin 1f ααα=-1cos sin sin 1sin cos sin αααααα+=+⋅-=+． (2)由()1sin cos 5f ααα=+=，平方可得221sin 2sin cos cos 25αααα++=， 即242sin cos 25αα⋅=-． ∴12sin cos 25αα⋅=-． 又π02α-<<，∴sin 0α<，cos 0α>， ∴sin cos 0αα-<，∵()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-⋅=， ∴7sin cos 5αα-=-．【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 题型三：诱导公式及其应用例7．（2008·天津·高考真题（文））设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【详解】 因为，，所以，，且，所以，，所以,故选D.例8．（2014·安徽·高考真题（理））设函数满足当时，，则（ ）A ．B ．C ．0D ．【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意，231717111117()()sin ()sin sin 666666f f f ππππππ=+=++ 5511171111()sin sin sin 066662222f ππππ=+++=+-+=，故选A. 例9．（2007·天津·高考真题（文））“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由已知22tan 2sin ,tan2sin 33ππθθ=-==-，充分性成立； 由πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不能得出2π3θ=，如0θ=也满足．故选：A.例10. （2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α.（2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【答案】（1）cos α-；（2）45- 【解析】（1）3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---． sin()sin (tan )2tan sin πααααα---=-cos sin tan tan sin ααααα=-cos α=-． （2）因为3cos()2πα- 3cos()2πα=-3sin 5α=-=， 所以3sin 5α=-． 因为α是第四象限角， 所以4cos 5α=， 所以4()cos 5f αα=-=-．【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 题型四：同角公式、诱导公式的综合应用例11. （2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知11sin(2)cos()cos cos 2229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭，则sin 3cos sin cos αααα-+＝（ ）A ．-7B ．53-C ．13- D ．5 【答案】D 【分析】先通过诱导公式对等式进行化简，进而弦化切求出正切值，然后对所求式子进行弦化切，最后得到答案. 【详解】 由题意，()()(sin )(cos )sin sin tan 2tan 2(cos )sin sin cos αααααααααα-⨯-⨯-⨯-=-=⇒=--⨯⨯⨯，则sin 3cos tan 355sin cos tan 11αααααα---===++-.故选：D.例12.（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.【答案】512-【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】55cos sin 21313πθθ⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭，因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以12cos 13θ==，所以sin θ5tan θcos θ12，所以()5tan 9tan 12θπθ-==-.故答案为：512-. 例13.（2016·全国·高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）=___________.【答案】43-【解析】 【分析】 由题求得θ4π+的范围，结合已知求得cos （θ4π+），再由诱导公式求得sin （4πθ-）及cos （4πθ-），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan （θ4π-）的值．【详解】解：∵θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+＜＜，则22444k k k Z ππππθπ-+++∈＜＜，，又sin （θ4π+）35=， ∴cos （θ4π+）45==． ∴cos （4πθ-）＝sin （θ4π+）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）45=．则tan （θ4π-）＝﹣tan （4πθ-）44453354sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为43-．例14．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为(,)P a b (0)b >，将角α的终边按逆时针方向旋转2π后得到角β的终边，记β的终边与单位圆的交点为Q ．(1)若12a =-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角α的值；(2)若1sin cos 5ββ+=-，求tan α的值．【答案】(1)23απ=(2)4tan 3α= 【解析】 【分析】（1）当12a =-时，得到1(,)2Pb -，结合三角函数的定义求得1cos 2α=-，即可求解；（2）由1sin cos 5ββ+=-，结合题意得到1cos sin 5αα-=-，利用三角函数的基本关系式，得出7cos sin 5αα+=，联立方程组，即可求解. (1)解：当12a =-时，即角α的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为1(,)2P b -，根据三角函数的定义可得112cos 112a α-===-， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23απ=，(2)解：因为1sin cos 5ββ+=-，所以1sin cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1cos sin 5αα-=-①，平方得112sin cos 25αα-=，且242sin cos 025αα=>， 因为sin 0b α=>，所以cos 0α>，则7cos sin 5αα+==②，由①②得34cos,sin55αα==，则sin4tancos3ααα==.【规律方法】1.明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．。
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2019-2020年高一数学 同角三角函数的基本关系式（一）
一、 教学目标：
（一）知识目标：掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义
（二）能力目标：通过利用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养学生融会贯通
前后数学知识的能力，进一步感受数学的整体性、连贯性。
通过运用公式的
训练过程，培养学生解决三角函数求值的解题技能，提高运用公式的灵活性；
（三）情感目标：通过同角三角函数的基本关系学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生
辩证唯物主义观；
二、 教学重点： 同角三角函数的基本关系式的推导及其应用
三、 教学难点： 已知一个三角函数值（但不知角的范围）求出其他三角函数值结果不惟一
时的分类讨论
四、 教学方法：引导、发现法，讲练结合法
五、 教 具：多媒体、实物投影仪
六、 教学过程：
I 、 问题情境：
1．复习：
（1） 任意角的三角函数的定义及其定义域：
设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r
（2） 三角函数的定义与点P 在终边上的位置无关只
与角的大小有关。
观察课件演示。
（3） 任意角的三角函数的几何表示。
观察课件演示。
（4） 三角函数在各象限内的符号规律
一全二正三切四余弦
2．情境：问题：我们了解了任意角的三角函数及其定义域，那么对于任意角?的这些三角函数值之间有什么关系？我们看下面一组题：
=_____；=_____；=_____
II 、 意义建构
1．猜想：
我们还能得到什么呢？
2．理论证明：
①采用定义
1cot tan )(23tan cos sin )(221cos sin cos ,sin 122222=⋅=⋅∈≠+≠==⨯=÷=∈+≠=+∴==
=+y x x y ，Z k k k x
y x r r y r x r y Z k k r
x r y r y x ααπαππααααππααααα时且当时，当且 ②采用几何意义
观察课件演示
3．点题：这三种关系，称为同角三角函数的基本关系。
4．四个注意点：
（1） 同角三角基本关系式
，对一切恒成立；
仅对时成立，
时成立且仅对)(2
Z k k k ∈≠+≠παππα （2） 同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间的内在联系；这里的“同
角”与角的表达形式无关。
如：
，，1)7
5cot()75tan(=+⋅+πβπβ
（3） 应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意他们的如下变形
形式：如
，，
，，
，
（4） 同角三角函数基本关系式在三个方面的应用。
① 根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求
出其余两个值（可简称“知一求二”
② 化简三角函数式；
③ 证明有关的三角恒等式。
III 、 知识应用
例1已知，且是第二象限角，求，的值。
分析：由平方关系可求cos 的值，由已知条件和cos 的值可以求tan 的值，进而用倒数关系求得cot 的值．
解：∵，是第二象限角
,5
3)54(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα 3
45
354
cos sin tan -=-==∴ααα 例2已知，求、的值。
分析：∵ ∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．
当是第二象限角时，
.81517
81715
cos sin tan ,1715)178(1cos 1sin 22-=-===-
-=-=ααααα
当是第三象限时
.815tan ,1715cos 1sin 2=-=--=ααα IV 、 推广总结：
1、推广：
①这种关系称为平方关系,当或时，我们还能得到类似的平方关系：两边同除以或得或，从而有
②这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：
③这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有：
2、 点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系
3、 注意：上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。
据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号
例3．已知为非零实数，用表示，．
解一：见教材25页
解二：由 即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=为第二、三象限角
当为第一、四象限角当αα
ααα22tan 11tan 11cos 而
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=为第二、三象限角
当为第一、四象限角当ααααααα22tan 1tan tan 1tan sin V 、 课堂练习
P27 练习1，2，3
VI 、 回顾小结
1、同角三角函数的基本关系：三种关系，八个公式
2、讨论了各个基本关系式恒成立时的条件，并进行了他们的第一种“知一求二”的应用，有时结果不惟一时，需要分象限进行讨论。
一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；
VII 、 课后作业
1. 教材第27页 习题4.4第1、2题；
2. 思考题：已知，求、的值。
七、 板书设计：
八、。