物理中的时间极值问题

物理中的时间极值问题

在实际的运动问题中，经常会涉及两地间怎样运动时间最短的问题。本文通过几例加以讨论。

例1给一间新房盖屋顶，为使屋脊上的雨滴以最短的时间淌离屋顶，设雨滴沿屋顶淌下时，可看作沿光滑的斜面由静止滑下，则所盖屋顶的倾角为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

解析：雨滴在屋顶上的运动示意图如图所示，设倾角为θ，房宽为L，则屋顶的斜坡长为x=

=.对雨滴受力分析可知，雨滴受重力和屋顶的支持力两个力作用.由牛

顿第二定律可得，a=gsinθ，由x=at2，可得t==

=，显然当θ=45°时，时间最短.

例2 一平直的传送带以速率v=2m/s匀速运行，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L=10m。从A处把工件轻轻放到传送带上，经过时间t=6s能传送到B处。如果提高传送带的运行速率，工件能较快地从A处传送到B处。要让工件用最短时间从A处传送到B处，说明并计算传送带的运行速率至少应多大？

解：工件放到A端受传送带恒定的滑动摩擦力作用做匀加速运动，速度由0增大到v；再随传送带一起匀速运动到B外。

工件加速运动时间为t

1

，位移 3/4

工件加速运动时间为t

2，位移s

2

=vt

2

其中v=at

1，t

1

＋t

2

=t，s

1

＋s

2

=L

解得 a=1 m/s2

提高传送带速率为v′(v′＞v)时，工件加速运动所受滑动摩擦力不变、a不变、加速时间延长，由A到B的时间缩短，工件由A到B一直处于加速运动时所用时间最短。

设最短时间为t′，则，

所以

1加速度确定，最大速度没有限制的运动问题。

例1汽车由甲地从静止出发，沿平直公路驶向乙地。汽车先以加速度做1a 匀加速运动，然后做匀速运动，最后以加速度2a 做匀减速运动，到乙地恰好停下。已知甲、乙两地相距为s ，那么要使汽车从甲地到乙地所用时间最短，汽车应做怎样的运动?并定量算出最短时间及相应的最大速度。

解析：根据v －t 图象如图所示，四边形OABC 的面积表示甲乙两地距离s ，OA 、BC 线的斜率表示汽车加速、减速的加速度a 1、a 2，OC 线段表示汽车从甲地到乙地所用时间t ，要使t 最短，s 、a 1、a 2不变，须使BC 沿t 轴负向平移，AB 沿v 轴正向平移，得到三角形OA ＇C ＇，即汽车先加速运动，后减速运动，中间无匀速运动的过程，行驶的时间最短。

设加速时间为t 1，减速时间为t 2，最大速度为v ， 由分析可知

)t t (2v

s ,t a t a v 212211+=

==，

故

)

a t a t (2t a s 211111+=， 12121a )a a (s

a 2t +=

2

12121122

2

1211121min a a s

)a a (2)a a (a s a 2a a a a t a t t t t +=

++=+

=+=

所以最短时间为2

121a a s )a a (2+

例3要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道,然后驶入一段半圆形的弯道,但在弯道上行驶时车速不能太快,以免因离心作用而偏出车道.求摩托车在直道上行驶所用的最短时间.有关数据见表格.

某同学是这样解的:要使摩托车所用时间最短,应先由静止加速到最大速度v 1=40 m/s ,然后再减速到 v 2=20 m/s ,t 1=

11a v =…;t 2=2

2

1a v v -=…;t =t 1+t 2 你认为这位同学的解法是否合理?若合理,请完成计算;若不合理,请说明理由,并用你自己的方法算出正确结果.

答案 不合理 11 s

解析 上述解法不合理,因为加速时间t 1=

s 101

1=a v ,减速时间t 2=s 5.2221=-a v

v ,所以

加速距离s 1=m 200211=t v ,减速距离s 2=m 752

22

1=+t v v ,又因s 1+s 2>s ,故解法不合理.

摩托车先以a 1=4 m/s 2加速到最大速度v m ,又以加速度a 2=8 m/s 2

减速到v 2=20 m/s ,恰完

成直道s =218 m 的距离,这样用时最短.则:加速距离s 1=12m 2a v ,减速距离s 2=22a 2

2

2m v v -

所以:s a =-+2

2

2

2

m 12

m 22v v a v

代入数据得:v m =36 m/s 加速时间t 1=

s s m 9436

1==a v 减速时间t 2=

s s m 28

20

3622=-=-a v v 故最短时间t =t 1+t 2=9 s +2 s =11 s

∙ 如图所示，正三角形ACD 是一用绝缘材料制成的固定柜架，边长为L ，在框架

外是范围足够宽的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里，ACD 可视为磁场的理想内边界，在框架内有一对带电平行极板M 、N 、M 板的中点K 处有一粒子源，能够产生速度为零、质量为m 、电量为q 的带正电的粒子，粒子重力不计，带电粒

子经两极板间的电场加速后从CD边中心的小孔S垂直于CD边射入磁场，若这些料一阵子与框架的碰撞为弹性碰撞，且每一次碰撞时速度方向均垂直于被碰的边框，要使粒子在最短的时间内回到小孔S，求：

（1）粒子做圆周运动的轨道半径，并画出粒子在磁场中的运动轨迹和绕行方向；

（2）两极板M、N间的电压；

（3）粒子回到小孔S的最短时间。

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，与边框垂直碰撞后要重新回到S，由几何关系可知，A、C、D三点必为圆轨道的圆心，要使粒子回到S的时间最短，圆轨道半径

为轨迹如图所示

（2）粒子经电场加速，有

粒子在磁场中运动，有

解得：

（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为

粒子回到S的最短时间为