中考数学-圆知识点考点回顾与思考

中考数学

圆知识点考点回顾与思考

教学目标

（一）教学知识点1．掌握本章的知识结构图．

2．探索圆及其相关结论．

3．掌握并理解垂径定理．

4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．

（二）能力训练要求1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．

2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力．4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．（三）情感与价值观要求

通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．

教学重点掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．

教学难点

上面这些内容的推导及应用．

教学方法

教师引导学生自己归纳总结法．

教具准备

投影片三张：

第一张：（记作A）

第二张：（记作D

第三张：（记作C）

教学过程

I •回顾本章内容

［师］本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？

［生］首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的 特

点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等 关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和 圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积.

［师］很好，大家对所学知识掌握得不错•本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概 念、

对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理， 圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线 的作图；第三部分是圆和圆的位置关系•这三部分构成了全章内容，结构如下:

n.具体内容巩固

［师］上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾.

一、圆的有关概念及性质

［生］圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形•定点为圆心，定长为半径.

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具 有旋转不变性.

［师］圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？

［生］车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性.车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当 它向前滚动时，轮

子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径•把车厢装在过轮子中心的车轴 上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳•如果车轮不是圆形，坐在车上的人会

切

變的性质

（投影片A ）

觉得非常颠.

二、垂径定理及其逆定理

［生］垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

［师］这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分•每个定理都是一个命

题，每个命题都有条件和结论•在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分

这条弦，且平分弦所对的弧（有两对弧相等）•在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦（不是直径），结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧（也有两对弧相等）•从上面的分析可知，垂径定理中

的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件

提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，

则用逆定理.下面我们就用一些具体例子来区别它们.

（投影片B）

1如图（1），在O 0中，AB AC为互相垂直的两条相等的弦，ODLAB OEL AC, D E为垂足，则四边

形ADO是正方形吗？请说明理由.

2. 如图（2），在O 0中，半径为50mm有长50mm的弦AB C为AB的中点，贝U 0C垂直于AB吗？0C

的长度是多少？

［师］在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？

［生］在第1题中，OD 0E都是过圆心的，又OD L AB OEL AC所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦（不是直径）的直径，应用逆定理.

［师］很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？

［生］1.解：T OD L AB OEL AC, AE L AC

•••四边形ADO是矩形.

•/ AC= AB, • AE= AD

•四边形ADO是正方形.

2.解：t C 为AB 的中点,

•••OCL AB

1

在 Rt △ OAC 中, AC= — AB= 25mm OA= 50mm

2

•由勾股定理得 OO . OA 2—AC 2 502—252 25 3(mm).

三、圆心角、弧、弦之间关系定理

［师］大家先回忆一下本部分内容.

［生］在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等.

［师］下面我们进行有关练习 (投影片C)

1

1.

如图在O O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为2cm,求AB

的长.

•••/ AOB= 120°

作OC X AB 垂足为C 则 / AOO 60°, AO BC 在 Rt △ ABC 中,

AC= O£in60 ° = 2X sin60

•- AB= 2AC = 2 3 (cm).

四、圆心角与圆周角的关系

［生］一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

［生］解：由题意可知

A B 的度数为