数列题型及解题方法归纳总结2推荐文档

知识框架
数列的概念数列的分类
数列的通项公式
数列的递推关系
函数角度理解
求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能
在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法
数列
两个基
本数列
等差数列的定义a n
等差数列的通项公式
等差数列
等差数列的求和公式
等差数列的性质a n
等比数列的定义
3n
a n
a n 1
a n
S n
a m
q(n
d(n
a1 (n
n /
2(a1
2)
1)d
a n) na i
a p a q (m
n(n 1)d
2
q)
2)
等比数列的通项公式
等比数列
等比数列的求和公式
a n
S n
等比数列的性质
公式法
分组求和
错位相减求和
裂项求和
倒序相加求和
累加累积
归纳猜想证明
分期付款
数列的应用一八
其他
数列
求和
岂a n q
1
a i(1
q n a1(q a n a m a p a q
(m n
n、
q )/
(q
1 q
1)
p q)
1)
1、求通项公式
（1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数
列或等比数列问题。

（1）递推式为a n+1=a+d及a n+1=qa n（d，q为常数）例1、已知｛a n｝
满足a n+1=a n+2，而且a1=1。

求a n。

例1、解■/a n+1-a n=2为常数••• ｛a n｝是首项为1，公差为2的等差数列
--a n=1+2 （n-1 ）即a n=2n-1
1
例2、已知｛a n｝满足a n 1— a n，而a1 2，求a. =?
2
解V 是常数
••七J是以2为首项.公比为扌的等匕嗷列
5 -2 • L z --^―
(2)递推式为a n+1=a n+f (n)
1
例3、已知｛a n｝中a1，a n 1
解：由已知可知a n 1 a n
a
n
1
4n2 1
求a n.
1 丄(_匚
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1
1
2n
1)
令n=1，2，…，（n-1 ），代入得（n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1）+ （a3-a2）+… +
（a n-a n-1 ）
掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、
1(1 亠 3
2 2n 1 4n 2
★ 说明只要和f (1) +f (2) +…+f ( n-1 )是可求的，就可以由
a”i=a n+f (n)以n=1, 2，…，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求a n
⑶递推式为a n+1=p@+q (p, q为常数)
例4、｛a n｝中，a1 1，对于n> 1 (n € N)有a n 3a n 1 2，求a..
解法一：由已知递推式得a n+1=3a n+2, a n=3a n-1+2。

两式相减：a n+1-a n=3 (a n-a n-1)
因此数列｛a n+1-a n｝是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1= (3X 1+2) -1=4
n-1 n-1 厂“n-1 …a n+1 -a n =4 • 3 - a n+1=3a n+2 …3a n+2-a n=4 • 3 即 a n=2 • 3 -1 解法二：上法得｛a n+1-a n｝是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 -3,
2 n-2
a4-a 3 =4 • 3，…, a n-a n-1 =4 • 3 ,
把n-1 个.等—一■式- -- ：累一•十加——得'J _：—
/• an=2 • 3n-1-1 --
★说明对于递推式亦二叽■+扌，可两边除以q田，得毛^
-*与+丄"引辅助数列(b n)P Cb a= —) , = -b^ + -后用q q q % q q
(5)递推式为a n 2 pa n 1 qa n
思路：设a n 2 pa n 1 qa n,可以变形为：a n 2 a n 1 (a n 1 a n),
「CL + 0 = p 就是也=2 +时则可从门农卩解得4 P,
(d • p = -q
想
于是｛a n+1- a a n｝是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。

⑷递推式为a n+1=p a n+q n (p, q为常数)
【例亦己知心中.術岭论二羸+ G)叫求％
略解在如弓％十心的两边乘以円得
2
羽'* E〔泸社)+ 1 '令亠=
2
则»妁=彳5+1,于是可得
J 2 2
b n 1 b n (b n g 1) 由上题的解法，得：g 3 2(-广
3 3
_ _ ■) 1
【例己知数列中，a｝ =1, a2= 2,亦=詐+严詐・
求
a
n。

C
L=卩
：
L+J
2
3a tvfrl
2
a + 0 = —
3
［卜
a • p =-
3
n两边减去3廿丄，
得
b n
3(1)n
/■ - a n ）是公比为首项为a 2 -Qi = 1的等比数列。

⑹递推式为S 与an 的关系式
Sj
Cn = 1J
1
【例门 设d ｝前口项的和片=4■片-乔 试用
n
表示a
此类型可利用g
一 •一 ■ '■I | ■'1 :关系;
(2) 数列求和的常用方法：
1、 拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。

2、 错项相减法：适用于差比数列（如果 a n 等差，b n 等比，那么 a n b n
叫做差比数列）
即把每一项都乘以 0的公比q ，向后错一项，再对应同次 项相减，转化为等比数列求和。

3、 裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可求和。

解 Cl)
由S
1
_ S _ 2卄1
S n 1 S n
1 1 (a n
a n 1) ( n
2 n 1丿
2n
1
…a n 1
a
n
a
n 1
n
2n
1 1
a n 1 -a n n
2
2
n 。

上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+i =2n a n +2则｛2 5｝是公差为2的等差数列。

1
.'，
a n . a n 1
适用于数列
1
a n a
n 1
可裂项为
1 a n a n 1
（其中a n 等差）
••• 2n a n = 2+ (n-1)• 2=2n
" …- 7^=1
等差数列前n 项和的最值问题：
1、若等差数列 a n
的首项a 1
0 ,公差d
0，则前n 项和S n 有最大值。

（i ）若已知通项
a n
a n
,则S n 取大
0 ；
a
n 1
（ii ）若已知S n
2
pn qn ,
则当 n 取最靠近
q 的非零自然数时S n 最
2p
大；
2、若等差数列 a n 的首项a 1
0 , 公差d
0, 则前 n 项和S n 有最小值
（i ）若已知通项 a n ，则S n 最小
a n
0 . ；
a
n 1
（ii ）若已知S n 2 pn qn , 则当 n 取最靠近 q 的非零自然数时
S n 最
2p
a
n
(a n a n 1 ) (a n 1 a
n 2
) L (a 2 a l
)
a i (n 2)。

⑸已知
a n 1
f （n ）求a n ，用累乘
法
a n a n 1
a n
a
n 1
a
n 2
⑹已知递推关系求 a n ，用构造法（构造等差、等比数列）
特别地，（1）形如a n ka n 1 b 、a n 推数列都可以用待定系数法转化为公比为
如a n
ka n 1 k n 的递推数列都可以除以
小； 数列通项的求法:
⑵已知S n
（即a 1 a 2 L a n f （n ））求a n ,用作差法 S 1,( n 1) 1 S n S n 1, ( n。

2)
已知 a 1ga 2gL ga n f (n)求 a n ,用作商法 f(1),(n 1)
:a n
f(n) (n 2) 。

―小(n 2) f (n 1)
⑶已知条件中既有 S n 还有a
n ,
有时先求 S n ，再求a n .有时也可直接求a n 。

⑷ 若
a n 1 a n f(n) 求
a n
用 累
力口 法
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

a 2 a 1
a 1 (n 2)。

ka n 1 b n （ k,b 为常数）的递 k 的等比数列后，再求a n ；形 k n 得到一个等差数列后，再求
a
n 。

a
（2） 形如a n
口 的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka n 1 b
k
（3） 形如a n 1 a n 的递推数列都可以用对数法求通项。

（7） （理科）数学归纳法。

a
（8） 当遇到a n 1 a n 1 d 或亠 q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可
a
n 1
能是分段形式。

数列求和的常用方法：
（1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

（2） 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时， 常将“和式”中“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和。

3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是
2
等差数列前n 和公式的推导方法）•
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的
1 1
n 2时，一a 1
2 a 2 ••…
2 2 1
1
2 得:右 a . 2 •- a n
2n ①
1
1
1
；②
1
1(1
1 )
n(n 1) n
n 1 n(n k) k 'n n k 丿
1 1 1 1
1 ③ F k 2
1 1
2 (k 1
k 7 1 1 1 1 1 1
1 ；
k k 1 (k 1)k k 2
(k 1)k k 1 ; k
通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方 法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂 后相关联，那么常选用裂项相消法求和 .常用裂项形式有:
⑤
•- a n
14 (n 1)
n 1
2 (n 2)
④
— n(n 1)(n 2) 1)
1
(n 1)(n 2) n (n 1)! 丄 1 n! (n
1)!
［练习］
5
数列 a n 满足 S n S n 1 - a n 1，a 1 4，求 a n
3 ⑥2（、百 ,n ） 20 n
一百)
(注意到a n 1 S n 1 S n 代入得：Sn 1
4
S n
、解题方法:
求数列通项公式的常用方法:
1、 公式法
2、 由S n 求a n (n 1 时，a 1 S 1? n 2时，a n S n S n 1)
3、求差（商）法 女口： a n 满足丄a r -2 a 2 2 22 2n 5 1
解：n 1 时，一a 1
2 1 5,二 a 1
14
n 2时，a n S
n
S
n 1
3
n 1
・4
4、叠乘法
例如：数列 a n
中, a 1
3,
a
n 1
n ，求a n
a n
n 1 解：a2 • a3
••…
a n
1 2
n 1
. a n 1 5 * * a 2
a
n 1
2 3
n a 1 n
又a 1
3，二 a n
3
n
5、等差型递推公式
又S 1 4，二S n 是等比数列，S n 4n
由a n a n 1 f (n ), a i a °，求，用迭加法
•- a n
n 2时，a 2 a i f(2)
a 1
a 3
a ?
f(3)
两边相加，得:
•- a n
a
1
c n 1
a n a n 1 f(n) ［练
习］
a n a i f (2) f (3)……f(n ) 数列 a n 满足a 1 9， 3a n 1 a n 4， 求a n
••• a n a 0 f (2) f (3)……f(n ) ［练习］ 数列 a n ，a i 1，a n 3n 1 a “ i n 2，求a “ (a n — 3 1 )
2
6、等比型递推公式 a n ca n 1 d c 、d 为常数，c 0， c 1，d 0 可转化为等比数列，设 a n x c a n 1 x (a n
1
)
7、倒数法
例如：a 1
由已知得:
a n 1
a n ca n 1
令(c 1)x d ，「. x
a n
1,
a
n
2a n a n 求a n
a n 1 a n 2
2a n
a n
a n — 是首项为a 1
c 1
c 为公比的等比数列
a n
1 a n 2
为等差数列,
1，公差为
2 .数列求和问题的方法(1)、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前下公式对求和来说是有益的。

n项和公式求和，另外记住以
(2)、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

【例9】求和S=1 • (n2-1 ) + 2 • ( n2-2 2) +3 • ( n2-32) + …+n
( n2-n 2) 解S=n2(1+2+3+…+n) - ( 13+23+33+…+n3)
= n a* (n + 1)冷用〔门 + D \
——n3fn +1)〔n - 1〕
1 +
2 + 3+ ....... +口=
2
1 + 3 + 5+……+ (2n-1)=n
5 . 3 . . a+ lX2n + 1)
r +2+3 + .................. +n =—----------- - -------- ；
(3)、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

例10、求和：S n 3C n 6Cn L 3nC；
【例8】求数列1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),…前n 项的和。

一 1
解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n= —n(n 1)
2
个奇数，
1 2
•••最后一个奇数为：1+[ n(n +1)-1] x 2=n+n-1
2
因此所求数列的前n项的和为
沐=卜6 + 1)
* (n + O 3o
例10、解S n O?c0 3C n 6C： L 3nC：
又気=为C： -+ 3 (n-1) C 十…+ 0C：相加.且
运用g = 可得
2S n= (C：+C：+ ・・・ + F
• S n=3n • 2n-1
(4)、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的
式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.
例11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)x n-1前n项的和.
2 n 1
解设S=1+3+5x+…+(2n-1)x -. ①
，可把和
⑵ x=0 时，S n=1 .
⑶当X M 0且X M 1时，在式①两边同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n,
1 1
2n-l 2n + 3]
②
①-②，得(1-X)S n=1+2x+2x2+2X3+ …+2x n-1-(2 n-1)x
由公式^冰三&[ 1+缶:-0仙■])屮]
1「:X 1 一疋■ —[ 1 H------------------------ ] 4L 3 2“十1 2口十3」
n(4n + 5)
=3(2n + Wa + 3)
⑸裂项法：
把通项公式整理成两项常见裂项方法：
1 _ 1 n(n + k)
~ k
[
n(n + 1)(n + 2)(式多项)差的形式，然后前后相消。

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一
样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时
的应用。

二、常用数学思想方法
1 •函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】等差数列｛a n｝的首项a1>0，前n项的和为S n,若S=S< (I M k)问n
为何值时S n最大？
例12、求和
例孑
1 1
1?5 3?7
求和)
+ 亦+ k
1
1
5?9 (2n 1)(2n 3)
1 _ 1^ 1 1 、
C2n - l)(2n+ 3)盲(融f -乔冃
解依题意，iSf Cn)二外二2]十"U d
此函数以n为自变量的二次函数。

T a1> 0 S i=S k (I M k),「. d v 0故此二次函数的
图像开口向下：
-(1 ) =f (k)； 1 , _
二当1+k为偶数时飞三一^时久最大。

当1代为奇数味n = L±|^l时気最大’
文德教育
2.方程思想
【例14】设等比数列｛a n｝前n项和为S,若S+S6=2S9,求数列的公比q。

分析
本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解•••依题意可知1。

•••如果q=1，则S3=3a i, S=6a i, S9=9a i。

由此应推出a i=0与等比数列不
3 6 3
整理得q ( 2q -q -1 ) =0 ■/ q z 0
■ \2q s -q3 -1 = 0 q；二1舍，迅二「扌
・甫
…"盲
此题还可以作如下思考：
3 3 3 3 6
S6=S3+q S3= (1+q ) S。

S9=S+q S6=S s (1+q +q ),
•••由S3+S=2S可得2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0
3•换元思想
【例15】已知a, b, c是不为1的正数，x, y, z € R+,且
.112
有『=b7 = 和——*
z z y
求证：a, b, c顺次成等比数列。

证明依题意令a =b=c =k
符。

(1-^)
1-q
• x=1og a k, y=log b k, z=log c k
..112 1 1 2
.----- -- =—f, . --------------- b ------- =----------
葢£ y log M k 1og c k
故学2十粋二吟竽HPlga + l^c = 21gb
lgK lgk lgk
•b2=ac • a, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)。