数列题型及解题方法归纳总结2推荐文档

知识框架

数列的概念数列的分类

数列的通项公式

数列的递推关系

函数角度理解

求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能

在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法

数列

两个基

本数列

等差数列的定义a n

等差数列的通项公式

等差数列

等差数列的求和公式

等差数列的性质a n

等比数列的定义

3n

a n

a n 1

a n

S n

a m

q(n

d(n

a1 (n

n /

2(a1

2)

1)d

a n) na i

a p a q (m

n(n 1)d

2

q)

2)

等比数列的通项公式

等比数列

等比数列的求和公式

a n

S n

等比数列的性质

公式法

分组求和

错位相减求和

裂项求和

倒序相加求和

累加累积

归纳猜想证明

分期付款

数列的应用一八

其他

数列

求和

岂a n q

1

a i(1

q n a1(q a n a m a p a q

(m n

n、

q )/

(q

1 q

1)

p q)

1)

1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数

列或等比数列问题。

（1）递推式为a n+1=a+d及a n+1=qa n（d，q为常数）例1、已知｛a n｝

满足a n+1=a n+2，而且a1=1。求a n。

例1、解■/a n+1-a n=2为常数••• ｛a n｝是首项为1，公差为2的等差数列

--a n=1+2 （n-1 ）即a n=2n-1

1

例2、已知｛a n｝满足a n 1— a n，而a1 2，求a. =?

2

解V 是常数

••七J是以2为首项.公比为扌的等匕嗷列

5 -2 • L z --^―

(2)递推式为a n+1=a n+f (n)

1

例3、已知｛a n｝中a1，a n 1

解：由已知可知a n 1 a n

a

n

1

4n2 1

求a n.

1 丄(_匚

(2n 1)(2n 1) 2(2n 1

1

2n

1)

令n=1，2，…，（n-1 ），代入得（n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1）+ （a3-a2）+… +

（a n-a n-1 ）

掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、

1(1 亠 3

2 2n 1 4n 2

★ 说明只要和f (1) +f (2) +…+f ( n-1 )是可求的，就可以由

a”i=a n+f (n)以n=1, 2，…，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求a n

⑶递推式为a n+1=p@+q (p, q为常数)

例4、｛a n｝中，a1 1，对于n> 1 (n € N)有a n 3a n 1 2，求a..

解法一：由已知递推式得a n+1=3a n+2, a n=3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n=3 (a n-a n-1)

因此数列｛a n+1-a n｝是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1= (3X 1+2) -1=4

n-1 n-1 厂“n-1 …a n+1 -a n =4 • 3 - a n+1=3a n+2 …3a n+2-a n=4 • 3 即 a n=2 • 3 -1 解法二：上法得｛a n+1-a n｝是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 -3,

2 n-2

a4-a 3 =4 • 3，…, a n-a n-1 =4 • 3 ,

把n-1 个.等—一■式- -- ：累一•十加——得'J _：—

/• an=2 • 3n-1-1 --

★说明对于递推式亦二叽■+扌，可两边除以q田，得毛^

-*与+丄"引辅助数列(b n)P Cb a= —) , = -b^ + -后用q q q % q q

(5)递推式为a n 2 pa n 1 qa n

思路：设a n 2 pa n 1 qa n,可以变形为：a n 2 a n 1 (a n 1 a n),

「CL + 0 = p 就是也=2 +时则可从门农卩解得4 P,

(d • p = -q

想

于是｛a n+1- a a n｝是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。

⑷递推式为a n+1=p a n+q n (p, q为常数)

【例亦己知心中.術岭论二羸+ G)叫求％

略解在如弓％十心的两边乘以円得

2

羽'* E〔泸社)+ 1 '令亠=

2

则»妁=彳5+1,于是可得

J 2 2

b n 1 b n (b n g 1) 由上题的解法，得：g 3 2(-广

3 3

_ _ ■) 1

【例己知数列中，a｝ =1, a2= 2,亦=詐+严詐・

求

a

n。

C

L=卩

：

L+J

2

3a tvfrl

2

a + 0 = —

3

［卜

a • p =-

3

n两边减去3廿丄，

得

b n

3(1)n