“求旋转体的体积”教学设计方案

“求旋转体的体积”教学设计方案
作者：赵曾云
来源：《商情》2015年第51期
一、课程设置分析
课程的地位《微积分》是我校各院、系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础。

主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容，要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。

本次课的地位本次课教学内容是用元素法求旋转体的体积，元素法是微积分中由定积分定义抽象出来的，是利用微积分解决实际问题的重要方法，是提高学生利用数学思维分析和解决实际问题的典型教学内容。

教学设计理念与思路我院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做出了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职的数学教育中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展。

根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用直观教学，结合动画演示，突出重点与难点，并重视求旋转体的体积在实际问题中的应用。

二、教学设计分析
（一）教学目标会用元素法求旋转体的体积。

（二）教学重点和难点难点：旋转体的体积计算。

（三）教学方法根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课利用直观图形来降低理论难度，运用动画演示进行教学，启发学生的空间想象力。

通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，达到突出重点，突破难点的目标。

（四）教学设计
[旧课复习]
1.曲边梯形面积s=∫baf（x）dx，面积元素f（x）dx。

2.用元素法计算平面图形面积的方法：作图、确定积分变量和积分区间、写出面积元素、计算定积分。

3.旋转体：一个平面图形绕着与它在同一平面上的一条定直线旋转一周所形成的几何体，如圆柱、圆锥、球等。

[新课讲授]求旋转体的体积
问题：设旋转体是由曲线y=f（x），直线x=a、x=b、y=0围成的曲边梯形绕x轴旋转而成。

求旋转体的体积。

讲授时利用多媒体用动画演示曲边梯形绕x轴旋转形成旋转体，同时引导学生思考如何用元素法解决求旋转体的体积的问题，最终得出结论：①绕x轴旋转时体积元素是dV=πf（x）2dx，体积是V=π∫ba[f（x）]2dx；②绕y轴旋转时体积元素是dV=πφ（y）2dy，体积是
V=π∫dc[φ（y）]2dy。

可以考虑得出结论①后辅以适量例题的讲练，再介绍结论②。

例：求曲线y=x与直线x=2及y=0围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

[课堂练习]求曲线y=1-x2与x轴围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

解：如图所示，选择积分变量为x，积分区间为-1，1，所求的体积为
图2
例：求圆x2+y2=4绕y轴旋转而成的球的体积。

解：问题即y轴右边的半圆x=4-y2绕y轴旋转一周，选择积分变量为y积分区间为-2，2，所求的体积为V=π∫2-2（4-y2）2dy=π4y-13y32-2=32π3（体积单位）。

思考：怎样得到球的体积公式？
[课堂小结]
1.用元素法求旋转体的体积的基本步骤：
（1）作图（必要时求曲线交点），确定积分区间；
（2）求体积元素（即小条矩形旋转所得的圆柱薄片的体积）；
（3）利用体积元素计算定积分即得旋转体的体积。

2.由曲线y=f（x），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为V=π∫ba[f（x）]2dx。

3.由曲线x=φ（y），直线y=c，y=d和y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为V=π∫dc[φ（y）]2dy。

[课后题]求曲线y=x2与y2=x所围成的图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积。

参考文献：
[1]孙薇荣等.微积分[M].高等教育出版社，2004。

[2]任开隆.实用微积分[M].高等教育出版社，2004。

[3]赵强.浅析高职数学课程教学的研究与实践[J].时代教育，2011（8）。