2018版高考数学二轮复习大题规范练3“17题～19题”+“二选一”46分练文

大题规范练(三) “17题～19题”＋“二选一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图1所示，在△ABC 中，B ＝π
3
，BC ＝2，点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足．
图1
(1)若△BCD 的面积为3
3
，求CD 的长； (2)若DE ＝
6
2
，求角A 的大小. 【导学号：04024222】
解：(1)因为△BCD 的面积为
33，B ＝π
3
，BC ＝2， 所以12×2×BD sin π3＝33，解得BD ＝2
3.
在△BCD 中，由余弦定理得
CD ＝BC 2＋BD 2－2BC ×BD cos B
＝
4＋49－2×2×23×12＝273
. (2)因为DE ＝
62，所以CD ＝AD ＝DE sin A ＝6
2sin A
. 因为∠BDC ＝2A ，在△BCD 中，由正弦定理可得
BC
sin ∠BDC
＝
CD
sin B
，所以
2
sin 2A
＝
6
2sin A sin
π
3
，所以cos A ＝
22
. 又因为A 是△ABC 的内角，所以A ＝π
4
.
18．近日，某市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销
活动，其中A 户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B 户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格(单位：万元/平方米)．
(2)张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．
【导学号：04024223】
解：(1)由平均数计算公式，可得a ＝1.16，b ＝1.17.
(2)A 户型售价小于100万元的房子有2套，分别记为A 1，A 2；B 户型售价小于100万元的房子有4套，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4.
买两套售价小于100万元的房子所含基本事件为{A 1，A 2}， {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1)，{A 2，B 2)，
{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，B 4}，{B 2，B 3}，{B 2，B 4}，{B 3，B 4}，共15个．
记事件A 为“至少有一套面积为100平方米的住房”，则A 中所含基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个，
所以P (A )＝915＝35，即所买两套住房至少有一套面积为100平方米的概率为35.
19．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝π
2，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD
上的点，EF //BC ，AE ＝x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面
EBCF (如图2所示)．
图2
(1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；
(2)将以F ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积记为f (x )，求f (x )的最大值.
【导学号：04024224】
解：(1)证明：作DH ⊥EF 于H ，连接BH ，GH ， 由平面AEFD ⊥平面EBCF 知，DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH . 又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH . 又BH ∩DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH .
而BD ⊂平面DBH ，∴EG ⊥BD .
(2)∵AE ⊥EF ，平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF . 由(1)知，DH ⊥平面EBCF ， ∴AE ＝DH ，
∴f (x )＝V D ­BFC ＝13S △BFC ·DH ＝13S △BFC ·AE ＝13×12×4·(4－x )x ＝－23(x －2)2
＋83≤83，
即x ＝2时，f (x )取得最大值8
3
.
(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)
22．【选修4－4：坐标系与参数方程】以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos θ＋1ρ.
(1)写出曲线C 的参数方程；
(2)在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，求矩形
OAPB 面积的最大值．
【导学号：04024225】
解：(1)由ρ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos θ＋1ρ，得ρ2
＝2(ρsin θ＋ρcos θ＋1)，
由互化公式得x 2
＋y 2
＝2x ＋2y ＋2， 即(x －1)2
＋(y －1)2＝4， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ
(θ为参数)．
(2)由(1)可设点P 的坐标为(1＋2cos θ，1＋2sin θ)，θ∈[0,2π)，
则矩形OAPB 的面积S ＝|(1＋2cos θ)(1＋2sin θ)|＝|1＋2sin θ＋2cos θ＋4sin
θcos θ|，
令t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]， 则t 2
＝1＋2sin θcos θ，
S ＝|1＋2t ＋2t 2－2|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2⎝
⎛⎭
⎪⎫t ＋122
－32
， 故当t ＝2时，S max ＝3＋2 2.
23．【选修4－5：不等式选讲】已知a ，b 均为正实数．
(1)求证：a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b ；
(2)利用(1)的结论求函数y ＝
－x
2
x
＋
x 2
1－x
(0＜x ＜1)的最小值. 【导学号：04024226】
解：(1)证明：∵a >0，b >0，
∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3
a ≥a 2＋
b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
，当且仅当a ＝b 时，等号成
立，
∴a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b . (2)∵0<x <1，∴1－x ＞0，由(1)的结论， 得函数y ＝
－x
2
x
＋x 2
1－x
≥(1－x )＋x ＝1， 当且仅当1－x ＝x ，即x ＝1
2时等号成立．
∴函数y ＝
－x
2
x
＋x 2
1－x
(0＜x ＜1)的最小值为1.。