数学分析2课件：10-4 旋转曲面的面积
4 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：熟练掌握旋转曲面的面积的计算方法 二级目标：掌握微元法教学内容和重、难点：1. 微元法2. 旋转曲面的面积的计算方法 重点：旋转曲面的面积的计算方法 难点：微元法教学方法和教具使用：讲授法。
教学过程： 一、微元法设函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()[]0,,f x x a b ≥∈，下面用微元法说明由曲线()y f x =与直线,,0x a x by ===所围成的曲边梯形的面积为().baf x dx ⎰任取[],x a b ∈，相应于区间[],a x 的曲边梯形的面积是x 的函数，记这个函数为()[],,A A x x a b =∈，则()00,A =而()A b 就是由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积.当x ∆很小时，()()().A A x x A x f x x ∆=+∆-≈∆可以证明当0x ∆→时，()()A f x x o x ∆=∆+∆，即当0x ∆→时，()().A f x x o x ∆-∆=∆故()dA f x dx =，从而函数()A A x =为函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数.又因函数 ()[],,xa f t dt x ab ∈⎰也是函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，故存在一个常数C 使得，()()[],,.xaA x f t dt C x a b =+∈⎰令x a =，则有()()()()0,0000.a aaaA f t dt C C A f t dt =+=-=-=⎰⎰于是，()()[],,.xaA x f t dt x a b =∈⎰令x b =得由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积为()()().b baaA b f t dt f x dx ==⎰⎰一般地，若所求量Φ是分布在区间[],a x 上的()a x b ≤≤，或者说它是该区间的端点x 的函数，即()[],,,x x a b Φ=Φ∈且()0a Φ=，而当x b =时，()b Φ为最终所求的值.在小区间[][],,x x x a b +∆⊆上，若能把Φ的微小增量∆Φ近似表示为x ∆的线性形式(),f x x ∆Φ≈∆其中()f x 为某一连续函数，而且当0x ∆→时，()(),f x x o x ∆Φ-∆=∆则()()()(),.xad x f x dx x f t dt C Φ=Φ=+⎰又因()0a Φ=，故()()[]0,,,.xaC x f t dt x a b =Φ=∈⎰令x b =，得()()().bbaab f t dt f x dx Φ==⎰⎰以上方法通常称为微元法，在用微元法时，应注意：（1）所求量Φ关于分布区间必须是可加的.（2）微元法的关键是正确给出∆Φ的近似表达式().f x x ∆Φ≈∆二、旋转曲面的面积1.直角坐标系设平面光滑曲线()[]:,,C y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥）这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-19）．下面用微元法导出它的面积公式． 1）选取积分变量x ,其变化区间为[.]a b ；2）任取[.]a b 上小区间[],x x x +∆,通过x 轴上点x 与x x +∆分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当x ∆很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即()()S f x f x x π∆≈++∆⎡⎣ [2()f x y x π=+∆ 其中()()y f x x f x ∆=+∆-．因曲线C 为光滑曲线，故函数()y f x =在区间[],a b 上连续可微，于是0lim 0,lim x x y ∆→∆→∆== 因此()({limlim 2020,x x f x f x ππ∆→∆→=+=⎡⎣[(()2()2.f x y x f x x o x ππ+∆-=∆ 所以得到()(),122dx x f x f dS'+=π3) 以(2dS f xπ=为被积表达式，得旋转曲面的面积公式(2.baS f x π=⎰ （1）附记：圆台侧面积公式()S r R l π=+，其中r 、R 分别为圆台的上、下底面半径l 为圆台的母线长.2.参数方程如果光滑曲线C 由参数方程()x x t =，()y y t =，[],t αβ∈ 给出，且()0y t ≥，那么曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(.S y t βαπ=⎰ (2)下面仅就()x x t =在[],αβ严格单调递增的情形加以证明.设由该参数方程确定y 为x 的函数是()y f x =，[],x a b ∈，这里()(),.x a x b αβ==由（1）及定积分的换元积分法知，((()(222.ba S f x y t t dt y t βαβαπππ='==⎰⎰⎰例1 计算圆221x y +=在[]12,[,]x x R R ⊂-上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积． 解 对曲线y =[]12,xx 上应用公式（1），并注意到()2y x ''==-=则212x x S π=⎰()212122.x x Rdx R x x ππ==-⎰特别当12,x R x R =-=时，则得球的表面积24S R π=球．例2 计算由内摆线33cos ,sin x a t y a t ==（见课本PP246图10—7）绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积．解 由曲线关于y 轴的对称性及公式（2），得32sin S a ππ=⎰242201212sin cos 5at tdt a πππ==⎰习题选解 P2621.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积： （1） sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴；（2）()()()sin ,1cos 0,02x a t t y a t a t π=-=->≤≤，绕x 轴；（4）()()222x y a r r a +-=<，绕x 轴.解: （1）())2sin 2sin 2cos 12ln cos 22ln1.S x x πππππππππ===-=-+⎤=⎦⎰⎰⎰（2）()((()2020222200222322002221cos 21cos 21cos 41cos sin 242sin 16sin sin 2222161cos cos 2S a t a t ta t at dtt t t t adt a d t a d πππππππππππππ=-⎡⎣=-=-=-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()20112223211216416116.33t au du a u u a ππππ--⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=--=--=⎪⎝⎭⎰⎰（4）解 此旋转体的表面可看作是由两个半圆：y a r x r y a r x r=-≤≤=-≤≤绕x 轴旋转而得到的，所以((((((222222224rrr rrrrr rr rr r S a a a a a a dxar ππππππππ-------=++-=++-⎡=+-⎢⎢⎣===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰244arcsin 4.rr r rx d x ar ar ar r πππ---⎛⎫ ⎪⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰2.设平面光滑曲线由极坐标方程()[][]()(),,,0,,0r r r θαθβαβπθ=≤≤⊂≥给出，试求出它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积的计算公式. 解在直角坐标系下，曲线的参数方程为()()cos ,sin ,.x r y r θθθθαθβ==≤≤于是()()()()sin cos ,cos sin ,dy dx r r r r d d θθθθθθθθθθ''=+=- ()()()2sin 2sin 2sin .S r r r βαβαβαπθθπθθπθθ===⎰⎰⎰。
《曲面面积的计算》课件
球体曲面面积的计算
计算球体曲面面积需要了解球体的半径和表面积公式。它在天文学、物理学 和地理学等领域有着广泛的应用。
圆柱曲面面积的计算
圆柱的曲面面积计算需要知道圆柱的半径和高度，利用特定的公式进行计算。它在建筑、工程和制造业 中发挥着重要作用。
圆锥曲面面积的计算
计算圆锥的曲面面积需要知道圆锥的半径、斜高和母线长度。圆锥曲面面积的计算方法在建筑和工程领 域非常常见。
《曲面面积的计算》PPT 课件
曲面面积的计算是指在数学中计算曲面所占的空间的方法和技巧。通过掌握 曲面面积的计算，我们能够更好地理解和应用数学知识。
什么是曲面面积
曲面面积是指曲面所占的二维空间大小。它可以用来描述物体的表面积，帮 助我们理解物体的形态和特征。
曲面面积的重要性
曲面面积在日常生活和工程领域具有重要的应用。通过计算曲面面积，我们可以评估材料的用量、设计 制造艺术品等。
常用测量仪器及工具介绍
了解曲面面积计算常用的测量仪器和工具对于提高计算效率和准确性非常重要。选择适当的工具可以帮 助我们更好地进行曲面面积计算。
曲面面积的应用和意义
曲面面积的计算在科学研究、工程设计、建筑规划等领域具有广泛的应用。通过应用曲面面积，我们 以解决实际问题并推动技术的进步。
旋转曲面的面积
旋转曲面的面积
旋转曲面的面积以直代曲，勾股定理，dx的起点和终点不和ds 重合的，所以可以用ds取代弧长，dx不行。
曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线；曲面上任一位置的母线称为素线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
在约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线，控制母线运动的平面称为导平面。
当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。
形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。
如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。
直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。
如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面。
则属于不可展曲面。
曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是应作出决定该曲面各几何元素的投影，如母线、导线、导面等。
此外，为了清楚地表达一曲面，一般需画出曲面的外形线，以确定曲面的范围。
极坐标；设AB的方程为p=p(θ)p=p(θ)，α≤θ≤βα≤θ≤β，
则S=2n(ja)Bp(日)sin日[p(日)12+[p'(日)12vd0S=2/aβ
p(0)sinθ[p(日)12+[o'(日)]2d日。
10.4 旋转曲面的面积
S 2
y(t )
x2(t) y2(t)dt.
(iii ) 若光滑曲线r r( ) 0, [, ] [0, ],则
S
2
r(
)sin
r 2( ) r2( ) d .
例1、求半径为R 的球面面积。
例2、求 双纽线 r 2 2a2cos2 (a 0) 绕极轴
f ( x)dx o(x) , 从而 的微元 d f ( x)dx .
4、所求量
b
a d
b
a
f
( x)dx.
注：定积分的实质是具有可加性的连续变量的 求和问题.
如：几何中的面积、体积、弧长； 物理中的功、压力、引力等.
如：求曲线C 的弧长 .
y
y
a o x x x b x s x2 y2
(i)曲线C : y f ( x)( x [a,b]) , 则 弧长微元： ds 1 [ f ( x)]2dx .
弧长：
b
s a
1 [ f ( x)]2dx .
(ii
)曲线
C
:
x y
x(t) ,
y(t )
t
[
,
]
,
则
弧长元素：ds [x(t)]2 [ y(t)]2 dt .
旋转曲面微元
dS 2πf ( x) 1 f 2 ( x)dx,
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
(
x)
1
f 2( x) dx.
(ii) 若光滑曲线由 x x(t), y y(t), t [ , ] 给出,
第6讲 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2 t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .
旋转曲面的面积课件
x 的函数,
或者说它是该区间的端点
前页 后页 返回
即 而且当 x = b பைடு நூலகம்,
适为最终所求的值.
在任意小区间 微小增量 近似表示为
上, 若能把 的 的线性形式
其中 f 为某一连续函数, 而且当
时,
那么只要把
计算出来, 就是该问题所
前页 后页 返回
求的结果. 以上方法通常称为微元法, 在用微元法时, 应注意 : (1) 所求量 关于分布区间必须是可加的. (2) 微元法的关键是正确给出 的近似表达式
令
前页 后页 返回
前页 后页 返回
当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得, 请读者自行指出这应该怎么做？
例2 求心脏线
绕极轴旋转所得曲
面的面积.
解 将曲线用参数方程表示:
于是
前页 后页 返回
前页 后页 返回
在一般情况下, 要严格检验
为 的高阶无穷小量不是一件容易的事.
前页 后页 返回
前页 后页 返回
面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带. 当 很小 时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, 即
其中
由于
前页 后页 返回
因此由
的连续性可以保证
所以得到
如果光滑曲线由参数方程
前页 后页 返回
前页 后页 返回
§4 旋转曲面的面积
定积分的所有应用问题, 都可 按割“、分近似、求极限” 三个步骤导出所求 量的积分形式, 但在实际应用中, 常可
用“微元法”来处理.本节将介绍微元法,
并用于导出旋转曲面面积的计算公式.
一、微元法 二、旋转曲面的面积
前页 后页 返回
一、微元法
当
上的连续函数时，若令
用曲线积分求旋转曲面的面积PPT课件
6.2 定积分的几何应用 20
L l
第20页/共27页
设直线 l 的方程为 ax+by+c=0。
在曲线L的(x,y)处取一弧微分
ds
它到直线 l 的距离是 ：
ax by c d
a2 b2
该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：
dA 2 d ds
于是整个曲线L绕直线 l 旋转而成的旋转曲面的面积为：
L
ds
x
(x, y)
L
6.2 定积分的几何应用 6
第6页/共27页
下面针对不同的曲线方程 将曲线积分化为定积分 得到熟悉的旋转曲面的面积公式
6.2 定积分的几何应用 7
第7页/共27页
直角坐标方程
6.2 定积分的几何应用 8
第8页/共27页
6.2 定积分的几何应用 9 如果
则 ds 1 [ y(x)]2 dx
作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。 本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。 将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。
6.2 定积分的几何应用 1
第1页/共27页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
先看特殊的情形 旋转轴为坐标轴
6.2 定积分的几何应用 2
第2页/共27页
设L是上半平面内的一条平面曲线。 将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。
由于其中积分较难 计算用数学软件Maple完成
6.2 定积分的几何应用 23
第23页/共27页
6.2 定积分的几何应用 24
例1 求曲线y=x2(0<x<2)绕直线 y=2x旋转的 旋转曲面的面积A。
高等数学第10章第4节旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把称为量 的元素并记做，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badx x f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：x y s xx S V xy S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转体的侧面积设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2b aS π=⎰ 例1、 计算圆222R y x =+在],[],[21R R x x -⊂上的弧段绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例2、 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2）。
4旋转曲面的面积
lim n
b
S
f(
T 0i1
i)
xi a f(x)dx.
首页 ×
引入问题：上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个 实际问题如何直接利用定积分表示呢？
我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是 第二步. 这一步是确定的近似值. 完成了这一步，再求和 取极限，从而求得Φ的精确值. 在实际应用中, 为简便起见
部分量，且所求量等于部分量之和Φ= ∑△Φ； （2） 能把Ф的微小增量△Ф 近似地表示为△x的线性形式
△Φ≈ f(x)△x， 且当△x 趋于零时,△Φ－f(x)△x =o(△x). 从而ｄΦ＝f(x)dx.
首页 ×
对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线 弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为:
首页 ×
下面用微元法导出它的面积公式. （1） 积分变量x, 变化区间[a,b];
（2） 任取[a, b]上小区间[x, x+△x],通过x轴上点x与x+△x
分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭
带.当△x很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
即，
△s≈ fx fx x x 2 y 2
省略下标i，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的
窄曲边梯形的面积:
Φ= ∑△Φ
首页 ×
取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ
的近似值为以点x处的函数值 f (x)为高,△x为底的矩形面
积，即
△Φ ≈ f (x)△x = f (x)dx.
由于当△x趋于零时,△Φ - f(x)△x = o(△x ),根据微分
这些点把[a,b]分割成n个小区间[xｉ－１,xi], i=1,2,… n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（此时，以简代繁、以直代曲、以静代动）。
则
U b f ( x)dx。 a
三、旋转曲面的面积
y
设平面光滑曲线C的方程为:
y f (x)
y f ( x), x [a,b] (不妨设f ( x) 0).
o
x x x
x
这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面，求这 个曲面的面积。
过x和x x分别作垂直于x轴的平面，
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x
2f
(
x
)
1
f 2( x)x
o(x).
dS 2f ( x) 1 f 2( x)dx 2f ( x)ds,
S 2
b
f (x)
1 f 2( x)dx.
a
——直角坐标下旋转曲面面积计算公式。
如果光滑曲线C的参数方程为：
x x(t), y y(t),t [a, ] y(t) 0,
则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为 ：
S 2 a y(t)ds
dS 2yds
2
y(t )
x2(t ) y2(t )dt.
a
如果光滑曲线C的极坐标方程为：
r r( ), ,
则 S 2
y( )ds
a
2
r( )sin
r 2( ) r2( )d .
a
例1 求抛物线 y2 8x, 0 x 1 4
则 U b f ( x)dx。 a
平面图形的面积：
y
y f (x)
A | y | x,
dA | y | dx; A( x)
x x dx
o a x x dx b x
立体的体积： V A( x)x, dV A( x)dx;
曲线的弧长： s x2 y2 ,
y
ds
N
ds dx2 dy2;
a
o
ax
t [0, 2 ] .
于是，其旋转体的面积
S 2
y(t )
x2(t ) y2(t )dt
0
4 / 2 a sin3 t (a 3cos2 t sin t )2 (a 3sin2 t cos t )2dt 0
12a2 .
5
作业
P262. 1（2）（4） 2， 3
2）建立U的微元表达式
设想把区间[a, b]分成n 个小区间，取其中任一小区间 并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果U 能近似地表示为[a, b] 上的一个 连续函数在x 处的值 f ( x) 与dx 的乘积，
即
U f ( x)x o(x)，
即dU dU ( x) f ( x)dx， 其中f ( x) C[a,b]
它们在旋转曲面上截下一条狭带，
当 x 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x,
lim y 0, x0
y f ( x x) f ( x).
lim
x0
1
y 2
x
1 f 2(x),
§4 旋转曲面的面积 一、微元法
设U是 一 个 量 ， 满 足 ：
1）U与某个量（记为x）的变化区间[a, b]有关；
2）对[a, b]的 分 割 ，U有 相 应 的 分 割 ， 且U对 此 分 割
n
有可加性
U
U
；
i
i 1
3）
f
(
x
)
C[a
,
，
b]
使x与x
x之
间
（
相
应
的
部
分
量
）
U f ( x)x o(x)， 即 dU f ( x)dx，
绕x轴旋转所得曲面的面积。
1
解
S 2 4 8x 1 ( 8x )2dx. 0
2
1 4
8x
x 2dx.
0
x
1
2 4 8x 16dx. 0
.
2
2
2
例 2 求星形线 x 3 y 3 a 3(a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转体
的面积
y
解 星形线的参数方程为：
x a cos3 t, y a sin3t,
M
T dy
RHale Waihona Puke dxox x dx x
通常要验证 U f ( x)x o(x)是非常困难的。 且 U f ( x)x o(x)中的f ( x)一般来说不是唯一的。
所以 U b f ( x)dx 中的f ( x)也不是唯一的。 a
二、使用微元法求量U的步骤：
1）确定U的相关量（记为x）的变化区间[a , b]；