投资的收益和风险问题线性规划分析
投资的收益和风险的数学建模

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时, 人们就要在深入调查研究、 了解 对 象 信息、 作出简 化假设、 分析内在规律等工作的基础上, 用数学的符号和语言, 把它表述为数学式子, 也 就 是 数 学 模 型, 然 后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题 并 接受 实 际 的 检 验。 这 个 建 立 数 学 模 型 的 全 过 程就 称 为 数学建模。MATLAB 是一种准确、 可靠的科学计算 标 准 软 件, 它具 有 强 大 的 矩阵 运 算 功能 与 函 数 多 样 性 功能, 是数学建模中常用的工具。 一般说来, 在现代商业、 金融投资中, 投资者总是希望实现收益最大化, 关注于采用什么样的投资方式 可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的, 而且高收益总是伴随着高风险, 收益与风险之间存在着难 以调和的矛盾。怎样兼顾两者, 寻找切实可行的决策思想, 是投资的收益和风险决策的一个重要问题。 一、 问题的提出 1, 2, ……, n) 可以选择, 市场上有 n 种资产 s i ( i = 0 , 现 用 数 额 为 M 的 相当大 的 资 金 进 行 一个 时 期的 投资。这 n 种资 产 在这 一 时 期 内 购 买 s i 的 平 均 收益 率 为 r i , 风险损失率为 qi , 投 资越 分 散, 总的 风 险 越 小, 总体风险可用投资的 s i 中最大的一个风险来度量。 购买 s i 时 要 付 交 易 费 ( 费 率 p i ) , 当购买额不超过给定值 u i 时, 交 易 费 按 购 买 u i 计 算。 另 外, 假定同 期银行存款利率是 r0 ( r0 = 5 % ) , 既无交易费又无风险。 已知 n = 4 时相关数据为
x = 0. 000 0 x= 0 x= 0 x = 0. 000 0
组合投资的收益和风险问题

关键词:时间序列投资风险一次指数滑动法移动平均法最优化
一问题的重述
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金,市场上有8个投资项目(如股票、债券、房地产、…)可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资,当年年末回收本利(本金和利润);项目3、项目4每年初投资,要到第二年末才可回收本利;项目5、项目6每年初投资,要到第三年末才可回收本利;项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利;项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利。现在需要解决的问题
针对问题一,要求我们在不考虑投资风险以及各个项目投资相互独立情况下的投资方案,由于各个变量之间相互独立,限制条件为线性,因此,该问题可理解为一个线性规划条件下的最优化问题,我们可根据已知条件建立目标方程,找出限制条件,然后利用Lingo或Lindo进行最优化计算,得出结果。
针对问题二,题目中给出了过去20年的投资额与到期利润的数据,要求根据这些数据进行预测,不难发现这是一个与时间有关的问题,经研究发现这是一个时间序列问题,我们可以利用时间序列问题的求解方法进行求解,先计算出每个项目每年的到期利润率,再利用一次指数平滑法或移动平均法进行研究,求出不同限制条件下的未来的到期利润率。
:投资相互影响时第五第六第八项目的到期利润率;
:风险损失量;
:银行的利率水平;
:第 年的贷款额;
:贷款上限。
五模型的建立
5.1模型一
虽然在该问题中,涉及的投资项目以及限制条件较多,但是变量与变量之间,变量与目标之间是线性函数关系,故我们可以采取线性规划的方法,建立优化模型,为了简化模型,方便运算,我们用 表示第 年对第 项目的投资量, 表示第五年收回的本息, 表示最后所获利润。
数学建模:投资问题

投资的收益与风险问题摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产(存银行)进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标:总体收益尽可能大和总体风险尽可能小,而这两个目标在一定意义上是对立的。
本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型,并通过“最大化策略” ,即控制风险使收益最大,将原模型简化为单目标的线性规划模型一;在保证一定收益水平下,以风险最小为目标,将原模型简化为了极小极大规划模型二;以及引入收益——风险偏好系数,将两目标加权,化原模型为单目标非线性模型模型三。
然后分别使用Matlab 的内部函数linprog ,fminmax ,fmincon 对不同的风险水平,收益水平,以及偏好系数求解三个模型。
关键词:组合投资,两目标优化模型,风险偏好2•问题重述与分析3.市场上有”种资产(如股票、债券、,).:0 丨.小供投资者选择,某公司有数额为匸的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买•「的平均收益率为c,并预测出购买T的风险损失率为%。
考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的:中最大的一个风险来度量。
购买」要付交易费,费率为;■.,并且当购买额不超过给定值•;..时,交易费按购买■;.计算(不买当然无须付费)。
另外,假定同期银行存款利率是:,且既无交易费又无风险。
(•1、已知" ;时的相关数据如下:试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。
2、试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用以下数据进行计算。
本题需要我们设计一种投资组合方案,使收益尽可能大,而风险尽可能小。
并给出对应的盈亏数据,以及一般情况的讨论。
这是一个优化问题,要决策的是每种资产的投资额,要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低,即本题是一个双优化的问题,一般情况下,这两个目标是矛盾的,因为净收益越大则风险也会随着增加,反之也是一样的,所以,我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案,我们只能做到的是:在收益一定的情况下,使得风险最小的决策,或者在风险一定的情况下,使得净收益最大,或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案,这样的话,我们得到的不再是一个方案,而是一个方案的组合,简称组合方案。
线性规划应用案例分析

线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下,最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域,包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例,以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品,每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润,但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划,该公司能够找到最优的生产计划,即在满足所有约束条件下,最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本,但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划,该公司能够找到最优的运输方案,即在满足所有约束条件下,最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率,同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划,该公司能够找到最优的投资组合,即在满足所有约束条件下,最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而,线性规划的应用远不止这些,它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具,可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术,适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域,包括工业、商业、运输、农业、金融等,目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下,通过线性方程组的求解,求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式,而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产:在工业生产中,线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
A 投资的收益和风险

A题投资的收益和风险第一组投资的收益和风险摘要投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器,日益引起了人们的广泛关注和重视。
正确的投资不仅可以避免金钱购买力降低,还可以创造财富,这就吸引了大量人民将自己的财产投入股市、基金等投资项目中。
但由于投资具有风险性,所以投资的收益和风险问题备受关注,本题就是要求我们在风险与收益问题上找到一个均衡点,使投资人得到最优投资组合方案。
对于问题一,我们建立了双目标优化模型。
由于多目标线性规划的问题需要将其转化成一个单一目标,所以首先对模型进行简化(分别用约束法和加权法建立了较为简单的模型),之后引用了风险偏好度的概念,将双目标问题通过风险偏好参数简化为一个含约束条件的线性规划问题,最后,借助Matlab软件进行求解,得出总风险率为0.60%,总体收益率为20.19%。
对于问题二,我们首先建立双目标优化模型,之后同样引入了风险偏好度这一概念,运用Matlab软件进行求解,最后得出最优的投资组合,其中总风险率为6.50%,总体收益率为30.59%。
此问题是对15种投资项目进行评价,得出最优投资组合方案,假设投资规模相当大也可得出最有组合方案。
关键词:双目标规划线性规划投资组合经济效益现在某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务人员经过对资产评估后,得到了一些基本的数据。
即在这一时期内购买),...1(n i S i =的平均收益率为i r ,购买i S 的风险损失率为i q ,以及购买i S 要付的交易费率为i p ,并且当购买额不超过给定值i u 时,交易费按购买i u 计算(不买无须付费)。
假定同期银行存款利率%50=r , 且既无交易费又无风险。
另外,考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量。
(1)试用所给资金M 和4=n 时的相关数据,为该公司设计一种投资组合方案,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。
投资收益和风险的优化模型

投资收益和风险的优化模型摘要如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题,投资的目标是收益尽可能大,但是投资往往都伴随着风险。
实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优,因为收益和风险是矛盾的两个方面,收益的增长必然伴随着风险的提高。
“高风险,高回报”是经济学中一个重要的准则。
但是企业总是追求风险尽可能小,与此同时又追求收益尽可能大。
怎样分配资金才能做到统筹兼顾?在本文中,我们首先建立了一个多目标规划模型(模型一),目标函数分别为风险和收益。
由于M 是一笔相当大的资金,所以我们开始先忽略了i u 对模型的影响,将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。
为了求解此模型,我们将风险的上限限制为c ,这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c 的线性规划模型(模型二)。
当给定参数c 时,这带参量c 的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型,由此可以唯一地求解出目标函数的最大值max g 。
所以若c 作为变量,max g 便是一个关于c 的函数)(max c g 。
如果我们求得了函数)(max c g ,就能够知道:当公司能承担的总风险损失率c v ≤时,公司能得到的最大总平均收益率,及其应投入各个项目i S 的资金率i x 。
这样我们在求解模型二的同时,也将模型一的非劣解解空间给了出来,即图1中的OA 、AB 段。
不同的企业,对于风险和收益的侧重不同,所以作出的决策也不同,自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。
但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值,这样才可能实现“风险尽可能小,收益尽可能大”。
针对第一组数据,我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案,即对大多数企业都合适的投资选择方案,应用此方案,总风险为M ⋅%61.0, 总收益可以达到M ⋅%59.20;类似地,针对第二组数据,我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案,总风险为M ⋅%2.10, 总收益可以达到M ⋅%70.34。
数学建模—投资的收益和风险问题

学建模二号:名:级:投资的收益和风险问题摘要:某投资公司现有一大笔资金(8000 万),可用作今后一段时间的市场投资,假设可供选择的四种资产在这一段时间的平均收益率分别为 r i ,风险损失率分别为 q i 。
考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的资产中最大的一个风险来度量。
另外,假定同期银行存款利率是 r0 =5%。
具体数据如下表:对于第一问,我建立了一个优化的线性规划模型,得到了不错的结果。
假设 5 年的投资时间,我认为五年末所得利润最大可为:37.94 亿。
具体如何安排未来一段时间内的投资,请看下面的详细解答。
如果可供选择的资产有如下15 种,可任意选定投资组合方式,就一般情况对以上问题进行讨论,结果又如何?对于第二问,考虑独立投资各个项目的到期利润率,通过分析,发现数据中存在着相互的联系。
由此,我建立了一个统计回归模型x5=a0+a1*x4+a2*x3+a3*x2+a4*x1+a5*x1^2+a6*x2^2+a7*x3^2+a8*x4^2通过这个模型,我预测了今后5年各个项目的到期利润率。
如第一个项目今后五年的到期利润率为:第一年:0.1431 第二年:0.1601 第三年:0.0605 第四年:0.1816 第五年:0.1572 。
(其他几个项目的预测祥见下面的解答)考虑风险损失率时,定义计算式为:f=d*p;d 为该项目 5 年内的到期利润率的标准差,p 为到期利润率;考虑相互影响各个项目的到期利润率时,我们在第一个模型的基础上建立一新的模型:x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5 y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*x5 (两个项目互相影响的模型) x5=a10+a11*x4+a12*x3+a13*x2+a14*x1+a15*y5+a16*z5y5=a20+a21*y4+a22*y3+a23*y2+a24*y1+a25*z5+a26*x5z5=a30+a31*z4+a32*z3+a33*z2+a34*z1+a35*x5+a37*y5(三个项目互相影响的模型)通过解方程组,我们可以预测出今后五年的到期利润率。
投资的收益和风险问题—数学建模论文

投资的收益和风险问题摘要本论文主要讨论解决了在组合投资问题中的投资收益与风险的相关问题。
分别在不考虑风险和考虑风险的情况下建立相应的数学模型,来使得投资所获得的总利润达到最大。
问题一是一个典型的线性规划问题,我们首先建立单目标的优化模型,也即模型1,用Lingo软件求解,得到在不考虑投资风险的情况下,20亿的可用投资金额所获得的最大利润为153254.4万元。
然后分别分析预计到期利润率、可用投资总资金和各投资项目的投资上限对总利润的影响。
发现利润与利润率成正比的关系;可用投资总额有一个上限,当投资额小于这个上限时,总利润与可用投资额成正比的关系,当大于这个上限时,可用投资额与总的利润没有关系,总利润率保持不变;各项目的投资上限均与目标值呈正相关,项目预计到期利润率越大,该项目投资上限的变动对目标值的影响越大。
问题二是一个时间序列预测问题。
分别在独立投资与考虑项目间的相互影响投资的情况下来对到期利润率和风险损失率的预测。
两种情况下的预测思路与方法大致相同。
首先根据数据计算出到期利润率,将每一个项目的利润率看成一个时间序列,对该序列的数据进行处理,可以得到一个具有平稳性、正态性和零均值的新时间序列。
再计算该序列的自相关函数和偏相关函数,发现该时间序列具有自相关函数截尾,偏自相关函数拖尾的特点,所以可认为该序列为一次滑动平均模型(简称MA(1))。
接着,用DPS数据处理系统软件中的一次滑动平均模型依次预测出各项目未来五年的投资利润率。
对于风险损失率,我们用每组数据的标准差来衡量风险损失的大小,将预测出来的投资利润率加入到样本数据序列中,算出该组数据的标准差,用该值来衡量未来五年的风险损失率。
具体答案见4.2.2.1问题的分析与求解。
同样在考虑相互影响的情况下,我们运用ARMA(3,1)模型进行预测,结果见4.2.2.2 问题三与问题一类似,也是优化的问题,其目标仍是第五年末的利润最大,而且也没有考虑风险问题,只是约束条件改变了。
线性规划在风险资产投资组合中的应用

线性规划在风险资产投资组合中的应用作者:张立山张晓红来源:《职业时空》2008年第04期一、问题的提出假设市场上有n种资产(如股票,债券)供投资者选择,第i种资产记为Si(i=1,2,,,n),某投资机构有数目为M的一笔资金可用作一个时期的投资。
经分析评估,估算出这一时期购买Si的平均收益率为ri,并预测出购买Si的风险损失率为σi,且购买Si需支付交易费,费率为Si。
考虑到投资种类越是独立和分散,总的风险就越小,不妨假设用这笔资金购买的资产总体风险可用所投资的产品中风险最大的产品的风险来度量。
另外假设同期银行的存款(设为S0)利率是r0,且既无风险又无费率(σ0=0,p0=0)。
已知n=4的相关数据如表1所示。
现在的最优化问题是为该投资机构设计一种风险投资组合方案,使得总体收益尽可能大,而总体风险尽可能小。
二、模型的构建假设资金M中比例为αi的部分被用来购买资产Si,则购买资产Si的资金为M*αi,购买资产Si的花费为M*αi*pi,从而购买资产Si的最后净收益为:三、投资组合的有效边界最简单的方法是采用计算机进行随机模拟的方法,得出不同种类风险资产的投资组合及有效边界。
首先,可以通过代入法观察收益与风险,即E与-Q的关系;然后设定i,即用来投资的资产种类,用计算机随机模拟的方法对αi取随机数,经过数千次代入计算后得出E,-Q的数值;在以E为纵坐标,Q为横坐标的坐标系上表示的图形就是投资者可能选择的投资组合集合,其中,同一风险水平上收益最高的投资组合连线就是投资者的有效边界。
四、最优投资组合的确定在有效边界曲线上,每个点代表一个投资组合,具有不同的风险水平和相应的收益水平,风险越高,收益越大。
那么投资者如何选择投资组合呢?马科维茨投资组合理论引入了无差异曲线,代表投资者的风险偏好。
无差异曲线是在坐标系中凸向原点的不相交的曲线簇。
曲线上的点无差异,距离原点越远,效用值越高。
代表某一投资者偏好的无差异曲线与有效边界的切点就是投资者的最优投资组合。
线性规划Matlab求解

结果为: x= 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9个一级检验员。
注:本问题应还有一个约束条件:x1、x2取整数。故它
是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来 解,求得其最优解刚好是整数:x1=9,x2=0,故它就是该 整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是 整数,将其取整后不一定是相应整数规划的最优解,这样 的整数规划应用专门的方法求解。
线性规划的基本算法——单纯形法
1.线性规划的标准形式:
min z = f (x)
x
s.t . g i (x ) 0 ( i 1,2,, m)
其中目标函数 f (x) 和约束条件中gi (x) 都是线性函数
2. 线性规划的基本算法——单纯形法
用单纯法求解时,常将标准形式化为:
c min f = x b s.t. Ax = x
x1 30 0 x2 50
x 3 20
s.t .
1 0
解: 编写M文件xxgh2.m如下: c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50]; Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
x1 1 x2 1 0 x 3 x1 3 0 0 x 2 2 0 x3 1
1 2 0 50
例3 问题一的解答
改写为: S.t.
min z 13 9 10 11 12 8X
引入松弛变量x3, x4, x5, 将不等式化为等式, 即单纯形标准形: min z = 10x1 + 9x2 s.t.6x1 + 5x2 + x3 = 60 10x1 + 20x2 - x4 = 150 x1 + x5 = 8 xi≥ 0 (i = 1,2,3,4,5) 系数矩阵为: 6 5 1 0 0 A = 10 20 0 -1 0 = (P1 P2 P3 P4 P5) 1 0 0 0 1 b = (60, 150, 8 ) T
多目标规划--模型投资的收益和风险

3.3 两目标优化模型
max R ( x) min Q ( x) s.t.F ( x) = M , x ≥ 0
(8)
3.4 单目标规划模型 将多目标规划问题(8)化为单目标规划问题 3.4.1 模型 M1:确定风险水平 q ,记 k = q M ,求解
max R ( x) s.t.Q( x) ≤ k F ( x) = M , x ≥ 0
ci ( xi ) = pi xi
(12)
从而资金约束简化为
∑ (1 + p ) x
i =0 i
n
i
=M
(13)
进而在具体计算时可设 M=1, 这时将
yi = (1 + pi ) xi
(14)
视作投资 Si 的比例. 4.2 将 M1 化为线性规划 M1 中(9)的约束条件 max (qi xi ) ≤ k 可以写作 qi xi ≤ k (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n) , 则 M1 1≤ i ≤ n 化为如下的线性规划 LP1:
利用 MATLAb 可以求解如上线性规划. 5 计算结果与结果分析 (略)
max ∑ (ri − pi ) xi
i =0 n
s.t.qi xi ≤ k , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n
(15)Βιβλιοθήκη ∑ (1 + p ) x
i =0 i
n
i
= 1, x ≥ 0
4.3 将 M2 化为线性规划 M2 中的(10)本来是极小极大规划
min max (qi xi )
1≤ i ≤ n
s.t.∑ (ri − pi ) xi ≤ h
(17)
∑ (1 + p ) x
i=0 i
《投资学》第三章 投资及投资组合的收益与风险

预期收益率的内涵是未来长期投资的收益率的平均值, 并不是实际收益率, 有的年份实际值高于预期值,有时低于, 但平均是在预期值左右。
二、风险及测度
(一)风险的分类
可分散风险:公司自身原因(技术、经营管理)造成的风险。 或叫非系统风险。 投资者可以购买很多、不同种类的证券(证券组合)来分散 风险。 不可分散风险:影响所有公司业绩的外部宏观因素带来的风 险。或叫系统风险、市场风险。 只有通过各种套期保值技术和方式来避免,如衍生品的应 用。
持有期收益率的局限性
不能直接用于不同期限(持有期不同)的 投资收益进行比较。
年化收益率的折算
1 、不同期限的折合成年收益率,单利折算的公式 为
年化收益率=持有期收益率×[年(或365或12)÷持有期长度]
如果上例中,股票投资期限是5年,而银行储蓄的期限是 17个月,则
股票投资的年化收益率为15%×[1/5]=3% 银行储蓄的年化收益率为4%×[12/17]=2.82%
二、风险及测度(2)
2、历史样本法:
1 n 2 ( R R ) i n 1 i 1 2
公式中用n-1,旨在消除方差估计中的统计偏差。 在实际生活中,预测股票可能的收益率,并准确地估计 其发生的概率是非常困难的。 为了简便,可用历史的收益率为样本,并假定其发生的 概率不变,计算样本平均收益率,并以实际收益率与平 均收益率相比较,以此确定该证券的风险程度。
在读研期间,马导师要其去读威廉姆斯的《投资价值理论》,马
发现投资者并不简单地选内在价值最大的股票,他终于明白投资 ? 者分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险,马是 第一人。当时主流意见是集中投资。
1998年A题投资的收益和风险

1998年A 题投资的收益和风险A 题 投资的收益和风险市场上有n 种资产(如股票、债券、…).S i (i=1…n)供投资者选择,某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估估算出在这一时期内购买S i 的平均收益率为r i ,并预测出购买Si 的风险损失率为q i .考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费,费率为Pi ,并且当购买额不超过给定值u i 时,交易费按购买u i 计算(不买当然无须付费)。
另外,假定同期银行存款利率是r 0,且既无交易费又无风险。
(r o =5%)1)已知n=4时的相关数据如下:试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M ,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。
A 题(投资的收益和风险)参考解答一、写出每种资产的交易费、净收益、投资风险及资金约束的表达式。
设购买S i 的金额为X i ,所需的交易费c i (x i )为c 0(x 0)=0,⎪⎩⎪⎨⎧=1111i i x p p 0)x (c u x 1=0 0<x i <u i i=1,2…n x i ≥u i对S i 的投资的净收益(设收益率r i 已折合到现时)、风险和所需资金(购买时支付交易费)分别为:R i (x i )=r i x i --c i (x i ) Q i (x i )=q i x i F i (x i )=x i +c i (x i )当购买S i 的金额为x i ,1≤i ≤n 存款额为x 0时,投资组合x=(x 0x 1…x n )的净收益总额R (x ),整体风险Q (x)和资金约束F(x)分别为: R(x)=∑=ni i )i (R)x (Q )x (Q iin10max ≤≤=F(x)=∑=ni ii)x (f二、表述成优化问题 1、原问题为两目标优化⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0x ,M )x (F )x (R )x (Q min2、简化为单目标优化:2.1确定风险水平q ;记k=q M ,求解 max R(x) s.t Q(x)≤k F(x)=M,x ≥02.2确定盈利水平r ,记h=r M ,求解 max Q(x) s.t R(x)≥h F(x)=M,x ≥02.3确定投资者对风险一收益的相对偏好参数ρ>0,求解 max ρQ(x)-(1-ρ)R(x) s.t F(x)=M,x ≥02.4将收益与风险相比,求解 max)x (Q )x (Rs.t F(x)=M,x ≥0三、简化 因为M 相当大,所以总可使对每个S i 的投资超过U i 即(1)式可简化为 c i (x i )=p i x i并且作具体计算时可设M=1,于是(1+p i )x i 视作投资S i 的比例。
个人投资项目收益最大问题

错误!未找到引用源。
XX学院课程设计报告课程设计题目:个人投资项目收益最大问题姓名1:学号:姓名2:学号:姓名3:学号:专业班级指导教师年月日摘要本文主要讨论投资最优化问题。
根据问题分析问题,建立数学模型,以使得投资获得的利润最大化。
这是典型的线性规划问题,我们首先建立单目标的数学模型,以五年后拥有的资金总数为目标函数,以资金的金额限制为约束条件,再运用lingo对问题进行求解,得到比较理想的结果:现有10万元资金经最优投资到第五年拥有总资金143750元,即盈利43.75%。
另外,本文在最后对模型的优缺进行了综合理解及简要分析。
关键词:投资最优化 lingo一问题的提出1.中国经济背景随着中国经济的增长,国民财富的积累;随着中国市场经济的发展和金融产业的进步,金融业综合经营步伐日渐加快。
金融理财服务成为性质迥异的各类金融机构一致推出的服务概念。
投资人投入企业的资本以何种形态,何种规模,如何得到运用决定了企业收入和利润的产出多少和产出质量。
好的企业一定是有效运用资本,取得最大营业收入的企业;而这有效运用资本首先就面对着资产配置效率的检验。
2.问题的提出某投资者有基金10万元,考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资,已知:项目A 从第1年到第4年每年年初需要投资,并与次年年末回收本利115% 项目B 从第3年初需要投资,并于第5年年末回收本利125%项目C 从第2年初需要投资,并于第5年年末回收本利140%,但按照规定此项投资不能超过3万元项目D 5年内每年年初可购买公债,当年年末回收本利106%应如何安排资金,可使第5年年末的资金总额最大?二问题的分析解决这类问题最常用方法就是线性规划方法。
线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法,主要用于研究有限资源的最佳分配问题,即如何对有限的资源做出最佳方式地调配和最有利地使用,以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。
在总体计划中,用线性规划模型解决问题的思路,在有限的生产资源和市场需求条件约束下,求利润最大的总产量计划。
管理经济学常用的分析方法

管理经济学常用的分析方法管理经济学是一门研究管理决策的经济学分支,其目的是通过分析和解决管理问题,提高组织的效率和效益。
为了实现这一目标,管理经济学常使用多种分析方法。
本文将讨论管理经济学中常用的分析方法,并简要介绍它们的应用。
一、边际分析法边际分析法是管理经济学中最为常用的一种分析方法。
其基本原理是根据边际成本和边际收益进行决策,以实现最大化利润或效益。
边际成本是指增加或减少一个单位产量或经济活动所需要增加或减少的成本,边际收益则表示增加或减少一个单位产量或经济活动所能带来的收益。
边际分析法通过比较边际收益和边际成本的大小,决定是否进行项活动、增加或减少产量等。
二、成本-收益分析法成本-收益分析法是一种通过比较收益和成本来评估决策效果的方法。
它主要应用于项目决策、投资决策和运营成本控制等方面。
在项目决策中,成本-收益分析法可以帮助管理者判断是否值得投资项项目。
在投资决策中,可以通过比较不同投资项目的收益率来选择最有利可图的项目。
在运营成本控制中,成本-收益分析法可以帮助管理者决定是否要继续采用其中一种运营方式或对项活动进行调整。
三、线性规划分析法线性规划分析法是一种用于解决约束条件下最优决策问题的数学方法。
它适用于各种管理问题,如生产计划、资源分配、物流优化等。
线性规划通常通过建立数学模型来描述问题,并利用线性规划算法求解最优解。
例如,在生产计划中,线性规划可以帮助管理者确定最佳生产方案,以最大化利润或最小化生产成本。
四、决策树分析法决策树分析法是一种常用的决策分析方法,适用于多变量、多目标的决策问题。
它通过构建决策树,将问题拆解为一系列决策节点和结果节点,并通过计算决策树中每个节点对决策结果的贡献来评估不同决策方案的优劣。
决策树分析法可以帮助管理者在不同决策情境下做出合理的决策,并量化决策风险。
五、敏感性分析法敏感性分析法是一种用于评估一些决策方案对于关键因素变化的敏感程度的方法。
在管理经济学中,不同决策方案通常涉及多个影响因素。
线性规划模型在投资决策中的应用

线性规划模型在投资决策中的应用一、介绍投资决策是企业经营活动中的重要环节,通过对不同投资方案进行评估,确定最佳的投资方案可以最大程度地满足企业的利润最大化或风险最小化的目标。
线性规划作为一种数学优化方法,被广泛应用于投资决策中,能够帮助企业找到最佳的投资方案,提高决策效率。
二、线性规划模型:线性规划是一种优化模型,通过确定目标函数和约束条件,以达到最优解为目标。
在投资决策中,通常将投资金额、收益率、风险等指标作为变量,建立线性规划模型来实现最优化。
1. 目标函数目标函数反映了投资决策的目标,一般以企业利润最大化或风险最小化为目标。
在线性规划模型中,目标函数通常是一个线性函数,可以通过数学方法求得最优解。
2. 约束条件约束条件是指投资决策中需要满足的限制条件,如资金限制、市场需求限制等。
这些约束条件可以是等式约束或者不等式约束,通过线性规划模型可以将这些约束条件进行统一,帮助企业快速找到满足条件的最佳投资方案。
三、1. 资金分配问题投资决策中的一个关键问题是如何合理分配有限的资金。
线性规划模型可以帮助企业确定资金分配方案,以达到最大利润的目标。
通过建立资金与投资项目之间的关系,将资金约束条件和投资收益进行线性化,可以通过求解线性规划模型得出最优的资金分配方案。
2. 投资组合优化投资组合优化问题是指在多个投资项目中选择最佳组合,以实现最大收益或最小风险。
线性规划模型可以将投资项目的预期收益、风险等指标作为决策变量,通过约束条件来控制各项指标的范围,以求解出最佳的投资组合。
3. 项目排期问题在投资决策中,有时需要考虑项目的排期问题,即确定项目的执行顺序和时间安排,以最大程度地满足企业的利益。
线性规划模型可以将项目排期问题转化为约束条件和目标函数,并通过求解线性规划模型得到最优的项目排期方案。
四、线性规划模型的优势与挑战1. 优势线性规划模型在投资决策中具有以下优势:(1)模型简单,可以通过数学方法求得最优解;(2)能够处理复杂的约束条件,帮助企业找到最优的投资方案;(3)具备较强的灵活性,可以根据实际情况进行调整。
1998年大学生数学建模优秀论文投资收益和风险问题

基本假设
一, 投资行为只能发生在开始阶段,中途不得撤资或追加投资。 二, 任一资产可购买量足够多,足以吸纳全部投资资金。 三,几种资产相互之间不会产生影响,例如股市的涨跌不会影响到债券的 涨跌。 四,财务分析人员对平均收益率和风险的预测值是可信的。 五,M 值足够大,大至可忽略 ui 的影响。(因为一般情况下企业的投资动辄 成百上千万元,而 ui 仅为数百元,故可忽略其影响) 六,公司总会选择满意度高的方案。
? , 模型假设:由问题分析可知,在问题 1 的情况下,风险值只能是 2.5%, 1.5%,5.5%,2.6%,0%中的某一个。
? , 模型的建立与求解: 当风险为 2.5%时,此时购买 S1 的资金超过了 M 的一半。剩余的资金为了追 求最大收益,都将会购买净收益率最大的资产。最后发现所有的资金全部购买 了 S1。净收益率为 27%。 当风险为 1.5%时,可得购买 S1 和 S2 的资金大约各占一半,S2 所耗资金略多 一点。净收益率约为 23%。 当风险为 5.5%时,可得购买 S1 和 S3 的资金大约各占一半,S3 所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 2.6%时,可得购买 S1 和 S4 的资金大约各占一半,S4 所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 0%时,可得购买 S1 和 S0 的资金大约各占一半,S0 所耗资金略多一 点。净收益率约为 16%。 通过对以上结果的分析,我们发现模型中未体现出总风险随投资的分散而减 小,另外当有某种投资所耗资金超过 M 的一半时,无论其余的资金作何种投资, 总风险都不会发生变化。这些显然都是不符合实际情况的,因此我们需要对条 件进行完善。
当各资产投资份额不同时,即给 S1,S2,S3,S4,S0(银行)投资各不相同时, 将会得到市场总收益与市场总风险的对应关系,在二维坐标(Rj-Q)中其表示 为二维图形。
数学建模投资的风险和效益word精品文档11页

多目标优化摘要:对市场上的多种风险投资和一种无风险资产(存银行)进行组合投资策略的的设计需要考虑连个目标,总体收益尽可能大和总体风险尽可能小,然而,这两目标并不是相辅相成的,在一定意义上是对立的。
模型一应用多目标决策方法建立模型,以投资效益没目标,对投资问题建立个一个优化模型,不同的投资方式具有不同的风险和效益,该模型根据优化模型的原理,提出了两个准则,并从众多的投资方案中选出若干个,使在投资额一定的条件下,经济效益尽可能大,风险尽可能小。
模型二给出了组合投资方案设计的一个线性规划模型,主要思想是通过线性加权综合两个设计目标:假设在投资规模相当大的基础上,将交易费函数近似线性化,通过决策变量化解风险函数的非线性。
【关键字】:经济效益 线性规划模型 有效投资方案 线性加权1. 问题重述投资的效益和风险(2019年全国大学生数学建模竞赛A 题)市场上有n 种资产(如股票、债券、…)S i ( i=1,…n) 供投资者选择,某公司有数 额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。
公司财务分析人员对这n 种 资产进行了评估,估算出在这一时期内购买Si 的平均收益率为i r 并预测出购买Si 的风险损失率为i q 。
考虑到投资越分散,总的风险越小,公司确定,当用这笔资金 购买若干种资产时,总体风险用所投资的S i 中最大的一个风险来度量。
购买S i 要付交易费,费率为i p ,并且当购买额不超过给定值i u 时,交易费按购买i u 计算(不买当然无须付费)。
另外,假定同期银行存款利率是0r , 且既无交易费又无风险。
(0r =5%) 已知n = 4时的相关数据如下:试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M ,有选择地购买若干种资 产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。
2模型的假设与符号说明2.1模型的假设:(1)在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。
(2)在短时期内所购买的各种资产(如股票,证券等)不进行买卖交易。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
投资的收益和风险问题线性规划分析
1问题的提出
市场上有 n 种资产(如股票、债券、…)S
i
(i=1,…,n)供投资者选择,
某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析
人员对这 n 种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买 S
i
的平均收益率为
r i ,并预测出购买 S
i
的风险损失率为 q
i.考虑到投资越分散、总的风险越小,
公司确定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 S
i
中最大的一个风险来度量.
购买 S
i 要付交易费,费率为 p
i
,并且当购买额不超过给定值 u
i
时,交易
费按购买 u
i 计算(不买当然无须付费). 另外,假定同期银行存款利率是 r
,
且既无交易费又无风险. (r
=5%)
已知 n=4 时的相关数据如下:
n的相关数据
试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小.
2模型的建立
模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量,假设投资的风险水平是 k ,即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内:Q(x) ≤k 则模型可转化为:
()
()()max s.t.?,,0
R x Q x k F x M x ≤≥ =
模型2. 假设投资的盈利水平是 h ,即要求净收益总额 R (x )不少于 h :R (x )
≥h ,则模型可转化为:
()
()()min s.t.0
Q x R x h F x M x ≥≥ =
模型 3.要使收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型。
人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此,假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ(≥0),则模型可转化为:
()()() min ?1? s.t .0
Q x R x F x M x ρρ≥()=
3. 模型的化简与求解
由于交易费 c i (x i )是分段函数,使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂,是一个非线性规划问题,难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大,一旦投资资产 S i ,其投资额 x i 一般都会超过 u i ,于是交易费 c i (x i )可简化为线性函数
().i i i i c x p x =从而,资金约束简化为
()()(1)n
n
i i i i i i F f x p x M
====+=∑∑x
净收益总额简化为
()()[()]()n n n
i i i i i i i i i
i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x
在实际进行计算时,可设 M=1,此时
101i i i y p x i n =+⋯()(= ,,,)
可视作投资 S i 的比例.
以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的. 1)模型 1 的求解
模型1的约束条件Q(x) ≤k 即
00()max ()max()i i i i i n
i n
Q Q x q x ≤≤≤≤==x k ≤,
所以此约束条件可转化为
01i i q x k i n ≤⋯ (=,,,)
这时模型 1可化简为如下的线性规划问题:
00
max ()s.t. , =1, 2,
, (1)1, 0
n
i i i
i i i n
i
i
i r p x q x k i n p x
==-≤+=≥∑∑x
具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据,模型为:
Max 0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4
s.t. 0.025x 1≤k ,0.015x 2≤k ,0.055x 3≤k ,0.026x 4≤k ,
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1,x i ≥0(i =0,1, (4)
利用MATLAB7.0求解模型1,以 k=0.005 为例: 输出结果是
{0.177638, {x 0 → 0.158192, x 1 → 0.2,x 2 → 0.333333, x 3 → 0.0909091,x 4
→ 0.192308}}
这说明投资方案为(0.158192,0.2,0.333333,0.0909091,0.192308)时,可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.
当 k 取不同的值(0—0.03),风险与收益的关系见下图:
00.0050.01
0.0150.020.025
0.05
0.10.150.2
0.25
0.3
风险 a
收益
模型1风险与收益的关系图
输出结果列表如下:
模型 1 的结果
从表 3.2中的计算结果可以看出,对低风险水平,除了存入银行外,投资首选风险率最低的 S 2,然后是 S 1 和 S 4,总收益较低;对高风险水平,总收益较高,投资方向是选择净收益率(r i –p i )较大的 S 1 和 S 2.这些与人们的经验是一致的,这里给出了定量的结果. 2)模型 2 的求解
模型 2 本来是极小极大规划:
0min max()
i i i n
q x ≤≤
s.t. 0
()n
i i i i r p x =-∑ h ≥ 0
(1)1n
i i i p x =+=∑ 0x ≥
但是,可以引进变量 x n+1= 0max()i i i n
q x ≤≤,将它改写为如下的线性规划:
1min()n x +
s.t. 10,1,2,,,i i n q x x i n +≤=⋯,
()n
i
i
i
i r p x
=-∑, h ≥ 0
(1)1n
i i i p x =+=∑, 0x ≥
具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题中表3.1给定的数据,模型为: Min x 5
s.t. 0.025x 1≤x 5,0.015x 2≤x 5,0.055x 3≤x 5,0.026x 4≤x 5,
0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4≥h ,
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1,x i ≥0(i =0,1,…,5) 利用MATLAB7.0求解模型2,当 h 取不同的值(0.04—0.26),我们计算最小风险和最优决策,结果如表3所示,风险和收益的关系见图2所示
0.002
0.0040.0060.008
0.010.0120.0140.0160.0180.02
风险
收益
图2 模型2中风险与收益的关系图
表3 模型 2 的结果
从表3.3中我们可以推出和模型 1 类似的结果. 3)模型3 的求解
类似模型2 的求解,我们同样引进变量 x n+1= 0max()i i i n
q x ≤≤,将它改写为如下
的线性规划:
min 1n x ρ+ -(1 –ρ) 0()n
i i i i r p x =-∑
s.t. 1012i i n q x x i n +≤=⋯,,,,, 0
(1)1n
i i i p x =+=∑ 0x ≥
具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题表3.1给定的数据,模型为: min ρx 5–(1–ρ)(0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4) s.t. 0.025x 1≤x 5,0.015x 2≤x 5,0.055x 3≤x 5,0.026x 4≤x 5,
x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1, x i ≥0(i =0,1, (5)
利用MATLAB7.0求解模型3,当 ρ取不同的值(0.7—0.98),我们计算最小风险和最优决策,风险和收益的关系见图3 输出结果列表如下:
表 4 模型 3 的结果
结论:从表 4 的结果可以看出,随着偏好系数 ρ 的增加,也就是对风险的日益重视,投资方案的总体风险会大大降低,资金会从净收益率(r i –p i )较大的项目 S 1、S 2、S 4,转向无风险的项目银行存款. 这和模型 a 的结果是一致的,也符合人们日常的经验.
图3 模型3中风险与收益的关系图
结论:模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.080.120.140.160.180.220.240.260.28??
??。